一九八九年（理科）
考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。）
1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ?等于 （ A ） （A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}
2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）
（A ）2
x y = （B ）x
x y 2=
（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中
3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]5
3arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）
（A ）-1 （B ）257-
（C ）25
7
（D ）510-
5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++
且n n n 21n S lim ,a a a S ∞
→+++=那么Λ的值等于 （ B ）
（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）48
6．如果2
sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ）
（A ）510-
（B ）510 （C ）515- （D ）5
15
7．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ）
（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 4
3
+
8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心
的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5
9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235
θ
-=ρ那么它的短轴长是（C ）
（A ）
3
10
（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136
y 64x 2
2=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那
么点P 到它的右准线的距离是 （ D ）
（A ）10 （B ）
7732 （C ）72 （D ）5
32
11．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ）
（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数
12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个 二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果.）
13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________
答案：}Z k ,12
)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π
+π+=π+
π=或 或}Z k ,3
4)1(k x |x {k ∈π
+π-+π=
14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________
答案：}4x ,1x |x {>-<或
15．函数1
e 1
e y x x +-=的反函数的定义域是_____________
答案：（-1，1） 16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=-Λ那么=+++721a a a Λ____答案：-2
17．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件。
答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）
18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________ 答案：
2
3
3 三．解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分）
证明：x
2cos x cos x
sin 22x tg 2x 3tg
+=
- 证：2
x cos
2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2x sin
2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin 2
x tg 2x 3tg =-=-=-
x
2cos x cos x
sin 2+=
20．（本小题满分10分）
如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3
π
（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD
的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积。
（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N
由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上
（Ⅱ）∵AM=AA 1,2
32133cos =?=π∴AO=AM .223
4csc =
π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,2
9
299=-
∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022
3
45=??
21．（本小题满分10分）
自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程。
解：已知圆的标准方程是 （x-2)2+(y-2)2=1,
它关于x 轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1,
设光线L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k 待定）
由题设知对称圆的圆心C '（2，-2）到这条直线的距离等于1，即
.
3
4
k ,43k :,
012k 25k 12:.k 1|5k 5|d 22
-=-==++++=
或解得整理得
故所求的直线方程是),3x (3
43y ),3x (4
3
3y +-=-+-=-或
即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）
已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围。
解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足
??
?
??>->--=-)3(.0a x )2(,
0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解
??
?>--=-)2(,
0ak x )
1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()
k 1(a kx 22+=
当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解。 当k ≠0时，（4）的解是
)5(.k 2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得
.k k
2k 12>+ 解得：.1k 01k <<-<<∞-或
综合得，当k 在集合)1,0()1,(?--∞内取值时，原方程有解。 23．（本小题满分10分）
是否存在常数a,b,c 使得等式
)c bn an (12
)
1n (n )1n (n 32212222+++=
++?+?Λ对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。
解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得
.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===??
?
??=++=++=++解得 于是，对n=1,2,3下面等式成立：
).10n 11n 3(12
)
1n (n )1n (n 32212222+++=
++?+?Λ 记.)1n (n 3221S 222n ++?+?=Λ
设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)
1k (k S 2k +++=
那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12
)
1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+
2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12
)1k (k ++++++=
]
10)1k (11)1k (3[12)2k )(1k ()
24k 12k 5k 3(12
)2k )(1k (22++++++=+++++=
也就是说，等式对n=k+1也成立。
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立。 24．（本小题满分10分）
设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用k I 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2. （1）求f(x)在k I 上的解析表达式;
（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的
实根} 解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期。 又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-， ∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-=
即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-=
（2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程
).
k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (2
2
222+=-+=?=++-=-它的判别式是整理得
上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足
????
?
???
?
+++≥++-+<->+].
)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ?????-≤++<+>+).
3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得 由（1）知a>0，或a<-8k.
当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3） 可得,a 2)k 8a (a -≤+即
1k 21
a 0.2a ,1)1k 2(.
0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤
?<≤+???>--≤+即即 当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+
易知a 2)k 8a (a +<+无解， 综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1
k 21
a 0|a {M k +≤<=
一九八九年（文科）
考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分.
一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。）
1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ?等于 （ A ） （A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}
2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）
（A ）2
x y = （B ）x
x y 2
=
（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中
3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．已知}a {n 是等比数列，如果,6a a ,12a a 3221-=+=+且
n n n 21n S lim ,a a a S ∞
→+++=那么Λ的值等于 （ B ）
（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）48 5．如果,x a x a x a a )x 21(7722107++++=-Λ那么721a a a +++Λ的值等于 （ A ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）2
6．如果2
sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ） （A ）510-
（B ）510 （C ）515- （D ）5
15
7．直线2x+3y-6=0关于点（1，-1）对称的直线是 （ D ） （A ）3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0 (C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0 8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5
9．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有 （ B ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个
10．如果双曲线136
y 64x 2
2=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那
么点P 到它的右准线的距离是 （ D ） （A ）10 （B ）
7732 （C ）72 （D ）5
32
11．如果x sin x cos )x (f ,4
|x |2+=π
≤那么函数最小值是 （ D ）
（A ）
212- （B ）221+- （C ）-1 （D ）2
2
1- 12．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ C ）
（A ）在区间（-2，0）上是增函数 （B ）在区间（0，2）上是增函数 （C ）在区间（-1，0）上是减函数 （D ）在区间（0，1）上是减函数
二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果.） 13．给定三点A （1，0），B （-1，0），C （1，2），那么通过点A 并且与直线BC 垂直的直线方程_________________ 答案：x+y-1=0
14．不等式4|x 3x |2>-的解集是_________________ 答案：}4x ,1x |x {>-<或
15．函数1
e 1
e y x x +-=的反函数的定义域是__________
答案：（-1，1）
16．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件。
答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分） 17．已知,1a ,1b 0,1a 0)3x (b log <<<<<-如果那么x 的取值范围是______ 答案：(3,4)
18．如图，P 是二面角α—AB —β棱AB 上的一点，分别在α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM=∠BPN=450，∠MPN=600，那么二面 角α—AB —β的大小是____________ 答案：900
三．解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分）
设复数5)i 31(z -=，求z 的模和辐角的主值。 解：
)
3
sin i 3(cos 32)
3
25
sin i 325(cos 32)35sin i 35(cos 32)i 2321(2)i 31(5555π
+π=π+π=π+π=-=-Θ∴复数z 的模为32，的模和辐角的主值为.3
π
20．（本小题满分8分）
证明：x
2cos x cos x
sin 22x tg 2x 3tg
+=
- 证：2x cos
2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2x sin
2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin 2
x tg 2x 3tg =-=-=-
x
2cos x cos x
sin 2+=
21．（本小题满分10分）
如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3
π
（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD
的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积。
（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N
由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M=A 1N ∴OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上
（Ⅱ）∵AM=AA 1,2
32133cos =?=π∴AO=AM .223
4csc =
π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,2
9
299=-
∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022
3
45=??
22．（本小题满分10分） 用数学归纳法证明
).
3n 4)(1n (n ]
)1n 2(n 2)n 2)(1n 2[()5443()3221(222222++-=+--++?-?+?-?Λ
证：当n=1时，左边=-14,右边=-1·2·7=-14，等式成立 假设当n=k 时等式成立，即有
).
3k 4)(1k (k ]
)1k 2(k 2)k 2)(1k 2[()5443()3221(222222++-=+--++?-?+?-?Λ
那么 当n=k+1时，
].
3)1k (4][1)1k )[(1k ()7k 4)(2k )(1k (]14k 15k 4)[1k ()]7k 6(2k 3k 4)[1k (]2k 6k 49k 12k 4)[1k (2)3k 4)(1k (k ]
)3k 2)(2k 2()2k 2)(1k 2[(])1k 2(k 2)k 2)(1k 2[()5443()3221(222222222222+++++-=+++-=+++-=++++-=---+++-++-=++-++++--++?-?+?-?Λ
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据以上论证可知等式对任何N n ∈都成立。 23．（本小题满分12分）
已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围。
解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足
??
?
??>->--=-)3(.0a x )2(,
0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解
??
?>--=-)2(,
0ak x )
1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()
k 1(a kx 22+=
当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解。 当k ≠0时，（4）的解是
)5(.k 2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得
.k k
2k 12>+ 解得：.1k 01k <<-<<∞-或
综合得，当k 在集合)1,0()1,(?--∞内取值时，原方程有解。
24．（本小题满分12分）
给定椭圆方程)0b a (1a
y b x 22
22>>=+，求与这个椭圆有公共焦点
的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相
应的四边形的顶点坐标。 解：设所求双曲线的方程是
1y x 22
22-=β
-α 由题设知.b a c 22222-=β+α=
由方程组???????-=α--α
=+1,1222
222
2
22c y x a y b x 解得交点的坐标满足
.c
1|y |,c b |x |),c 1(a y ,c b x 22222
22222
α-α=α=α-=α=即
由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的
四边形是长方形，其面积
22
c
1c ab 4|xy |4S α-α?==
因为S 与)c 1(c 22
22α-α同时达到最大值，
所以当21
)c a (2=时达到最大值2ab
这时),b a (2
1
c 21),b a (21c 2122222222-==β-==α
因此，满足题设的双曲线方程是
.1)b a (2
1y )b a (21x 22
222
2-=--
-
相应的四边形顶点坐标是
).a 2
2,b 22(),a 22,b 22(),a 22,b 22(),a 22,b 22(
----
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
1978年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要 求做第七题） 一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2. 解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积 解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a 则.42,222 2 πππππa a a a r a r =?? ? ??=?==体积 3．求函数)2lg(x y +=的定义域 解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值 解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 2 2 5.化简： 二 .（本题满分14分） 已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指 出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图 解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴= k 2; .254:.)()1.0()4(41 2 12 14323 12 1b b a ab = ??? ? ??----原式解
②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴= k 2，半短轴=2 如图： 2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y 如图 3）k<0时，方程为 这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图： 三．（本题满分14分） （如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 1 442 2=+-y k x
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则
但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
组距 分数 0.0350.0250.0150005 100 9080 70605040全国百套高考数学模拟试题分类汇编 10概率与统计 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试一)6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________。 答案：18 2、(皖南八校高三第一次联考)假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样本时，先将500袋牛奶按000，001，┉，499进行编号，如果从随机数表第８行第４列的数开始按三位数连续向右读取，请你依次写出最先检测的５袋牛奶的编号____________________________________________；答案：163，199，175，128，395； 3、(蚌埠二中高三8月月考)设随机变量ξ的概率分布规律为*,)1()(N k k k c k p ∈+==ξ，则 ) 2 5 21(<<ξp 的值为___________答案：2 3 4、(巢湖市高三第二次教学质量检测)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是. 答案：15 5、(北京市东城区高三综合练习二)从某区一次期末考试中随机抽取了100 个学生的数学成绩，用这100个数据来估计该区的总体数学成绩，各分数段的人数统计如图所示. 从该区随机抽取一名学生，则这名学生的数学成绩及格（60≥的概率为；若同一组数据用该组区间的中点 （例如，区间[60，80)的中点值为70)表示，则该区学生的数学成绩 的期望值为. 答案：0.65，67 6、(北京市宣武区高三综合练习二)某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4， 现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，那么此样本容量n= 答案：72 7、(东北三校高三第一次联考)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1—— 160编号。按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是________。 答案：6 8、(揭阳市高中毕业班高考调研测试)统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不 低于80分为优秀，则及格人数是；优秀率为。 答案：由率分布直方图知，及格率＝10(0.0250.03520.01)0.8?++?=＝80％， 及格人数＝80％×1000＝800，优秀率＝100.020.220?==％.
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4
2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 <
2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)
全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .