《线性代数》第三章练习题
一、思考题
1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解；
（2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。 2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ?矩阵。
（1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解；
（2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。
3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。
4、判断下列命题是否正确？
（1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得
02211=+++m m k k k ααα ；
（2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则
m k k k ,,,21 必不全为零；
(3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关；
（4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关；
（5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关；
（6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组
m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。
二、单项选择题
1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。
2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。
3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。 4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ）
（A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；
（B ）4321,,,αααα 是m ααα,,,21 的一个极大线性无关组；
（C ）m ααα,,,21 的一个部分组如果包含向量个数不超过4，则一定线性无关； （D ）m ααα,,,21 的线性相关部分组一定含有多于4个的向量。
5．设??????? ??=??????? ??=2211021,001k k αα，??
??
???
??=??????? ??=4433513,321k k αα其中4321,,,k k k k 是任意实数，则有 (A) 321,,ααα总线性相关； (B) 4321,,,αααα总线性相关； (C) 321,,ααα总线性无关； (D) 4321,,,αααα总线性无关。 三、解答题
1、求齐次线性方程组的一个基础解系 ?????
??=+--+=+--+=-++-=+--+0
755540433330
20254321
54321
5432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
2、设有线性方程组 ??
???
??=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a
x x x x x x x x x x 54321
54325432154321334536223231
，问 b a ,取何值时有解？当有解时，
求其通解。
3、判断向量组,)2,1,0,3,1(,)5,2,3,1,2(,)1,1,1,3,4(321T
T
T
--=--=--=ααα
T )6,2,2,5,1(4-=α的线性相关性
4、设 T
T T T x )1,6,1(,)8,7,3(,)5,3,2(,),2,7(321-===-=αααβ，问x 为何值时，β可由
321,,ααα线性表示。
5、求向量组T
T
T
T
)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321-===-=αααα
T
)6,5,1,2(5=α的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组表示出来。 6、常数b a ,取何值时，线性方程组??
???-=+=++=-+2
1023034az y b z y x z y x 有唯一解、无解、有无穷解？并在有无穷解时求通解。
7、设A 是34?矩阵，且2)(=A r 。已知321,,X X X 是线性方程组b AX =的三个解向量，
其中T
X X )1,2,1(21=+，T
X X )2,1,0(32=+，求此方程组的通解。
四、证明题
1、已知向量组321,,ααα线性无关，证明：向量组13322134,5,2αααααα+++也线性无关。
2、设B A ,分别是 n r r m ??, 阶矩阵，且0=AB ，求证： （1）B 的列向量是齐次线性方程组0=AX 的解向量； （2）若r A r =)(，则0=B ；
（3）若0≠B ，则A 的各列向量线性相关。
3、设向量组t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，向量β不是方程组
0=AX 的解，即0≠βA ，证明：向量组t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关。
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
设计题目线性方程组理论及其应用 学生姓名陈彦语学号1111124123 专 业 数学与应用数 学（师范类） 一、课题的目的意义： 高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（Cramer's Rule）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组的方法，本文将更加系统的阐述求解线性方程组的几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中的应用。 线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支，其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。线性方程组的求解是数值计算领域十分活跃的研究课题之一，大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化。可以说，线性方程组的求解在现代科学领域占有重要地位。 二、近几年来研究现状： 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有的优点是：需要计算机的存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度的问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速还有待进一步研究。 。三、设计方案的可行性分析和预期目标： 可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组的一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件的学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究的基础上，给出利用matlab软件求解几类常见线性方程组的方法。通过广泛收集线性方程组应用方向的文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域的应用，并实现线性方程组的求解过程。 预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高的角度来审视高等代数，对其中的线性方程组部分有一个更加深刻的理解和认识，锻炼自己的发散性思维和缜密的思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题的能力，从而达到对所学知识的融会贯通。
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
目录 摘要 ........................................................................ I Abstract.................................................................... II 第一章绪论 (1) 1.1 引言 (1) 第二章行列式与线性方程组求解 (1) 2.1 标准形式的二元线性方程组 (1) 2.2 标准形式的三元线性方程组 (2) 2.3 克莱姆法则 (3) 2.3.1逆序数 (3) 2.3.2 克莱姆法则 (4) 第三章线性方程组的理论求解 (6) 3.1 高斯消元法 (6) 3.2 线性方程组解的情况 (7) 3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (8) 第四章求解线性方程组的新方法 (9) 第五章线性方程组的应用 (11) 5.1 投入产出数学模型 (11) 5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (14) 第六章结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
浅析线性方程组的解法及应用 学生：陈晓莉指导教师：余跃玉 摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。 关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式
线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =
1、有限元法是近似求解（连续）场问题的数值方法。 2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（节点）相连。 3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法力法混合法）。 4、以（节点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。 5、以（节点力）为基本未知量的求解方法称为力法。 7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。 8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）、（弯矩）、（轴力）。 9、进行直梁有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）。 10、平面刚架有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）、（？？？）。 11、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是（）。 12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有(15)个。 13、弹性力学平面问题方程个数有（8），未知数（8）个。 15h、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。 16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。 17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。 18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。
19、形函数在单元节点上的值，具有本点为（1），他点为零的性质，并在三角形单元的后一节点上，三个形函数之和为（1）。 20、形函数是（三角形）单元内部坐标的（线性位移）函数，它反映了单元的（位移）状态。 21、节点编号时，同一单元相邻节点的（编号）尽量小。 25、单元刚度矩阵描述了（节点力）和（节点位移）之间的关系。矩形单元边界上位移是（线性）变化的。 从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（ C ）。 力法 B、位移法 C、应变法 D、混合法 下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（ D ）。可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。 解题步骤可以系统化，标准化。 容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。 需要适用于整个结构的插值函数。 几何方程研究的是（ A ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 物理方研究的是（ D ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 平衡方程研究的是（ C ）之间关系的方程式。
线性方程组在现实中的应用 线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。 为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题. 一、 线性方程组的表示 1.按照线性方程组的形式表示有三种 1）一般形式的表示 11112211 2112222211 22............n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=?? +++=?? ? ?+++=? 2）向量形式： 1122...n n x x x αααβ +++= 3）矩阵形式的表示 ： ,AX β=()12,,...,n A ααα=() 12,,...,T n X x x x = 特别地，当0β =时，AX β=称为齐次线性方程组，而当0 β≠时， AX β =称为非齐次线性方程组
2.按照次数分类又可分为两类 1）齐次线性方程组 2）非齐次线性方程组 二、线性方程组的应用 1.在经济平衡中的应用 假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成，每个行业的产出在各个行业中的分配见表1-1，每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。以第二列为例，能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业，10%分配到机械行业，余下的供本行业使用。因为考虑了所有的产出，所以每一列的小数加起来必须等于1。把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格（即货币价值）分别用1 23,,p p p 表示。 试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格。 表1-2 经济系统的平衡 产出分配 购买者 五金化工 能源 机械 0.2 0.8 0.4 五金化工 0.3 0.1 0.4 能源 0.5 0.1 0.2 机械 解：从表1-2可以看出，沿列表示每个行业的产出分配到何处，沿行表示每个行业所需的投入。例如，第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
线性代数练习题 第四章 线性方程组 系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法 一．选择题： 1．设A 是n m ?矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ?矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解 3．设A 是n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题： 设????? ??-+=21232121a a A ，???? ? ??=031b ，????? ??=321x x x x （1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题： 1． 求解非齐次线性方程组?? ? ??=--+=+-+=+-+122241 2w z y x w z y x w z y x 21 3122211112111121001421120011000110211110002000020121122000 .2000r r r r r r y x x y y x z w z z w w w --+--?????? ? ? ?-???→-???→- ? ? ? ? ? ?----?????? -?=?+==-????? -=∴==??????-===??? ? 或
线性方程组在中学数学中的应用 摘要 基于中学数学中的有些问题可以转化为线性方程组来解决，使得复杂的问题变得简单。线性方程组是由几个变量之间组成的相互关系，在中学数学中大多都是两个未知量或三个未知量组成的齐次线性方程组，而求解线性方程组大多进行变形，用消元法进行，一般解都具有唯一性，只有少数部分的解不唯一。本文对线性方程组在中学数学代数和几何中的应用进行了研究。 关键词：线性方程组中学数学消元法线性方程组的解
ABSTRACT Based on some mathematic problems of middle school, those problems can be transformed into linear system of equations to solve and made complex problems become more and more simple .The linear system of equations consists of several variables .In middle school mathematics .most of them are homogenous linear equations with two unknown quantities or three unknown quantities. While the solution of linear system equations is mostly used to the method of elimination .Generally. It has the only solution, only a small number of solutions are not unique. In this paper, we study the application of linear equations in algebra and geometry. Key words: system of linear questions；middle school mathematics；The elimination solution of system of linear equations
课程名称： 工程数学 考试章节： 线性方程组 考生姓名： 一、单选（每题3分，共30分） 1. 1、向量组 ， ， 线性相关，且秩为 ，则（ ） A.s r = B ．s r ≤ C.r s ≤ D ．r s < 2. 已知向量T T )0,3,4, 1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则=β+α（ ） A ．T )1,1,2,0(-- B ．T )1,1,0,2(-- C ．T )0,2,1,1(-- D ．T )1,5,6,2(--- 3. 下列命题中错误的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4. 设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ） A. 21α+α B. 21α-α C. 21α+α+β D. 213 231α+α+β 5. 对于同一矩阵,关于非齐次线性方程组 ()和齐次线性方程组, 下列说法中正确的是( ) A. 无非零解时, 无解 B.有无穷多解时,有无穷多解 C.无解时, 无非零解 D. 有唯一解时, 只有零解 6. 设21,αα是? ? ?=-=-+021 21321x x x x x 的二个解，则__________。 A. 21αα-是???=-=-+02021321x x x x x 的解 B. 21αα+是???=-=-+0 20 21321x x x x x 的解 C. 12α是?? ?=-=-+02121321x x x x x 的解 D. 22α是? ??=-=-+021 21321x x x x x 的解 二、填空(35分) 1.设()0,2,11 =α,()3,0,12-=α,()4,3,23=α，则32132ααα-+=______________ 2. 设 ()0,0,11=α,()0,1,12=α,()1,1,13=α,()3,2,1=β，且有 332211αααβx x x ++=，则=1x ______，=2x ______，=3x ______ 3. 对于m 个方程n 个未知量的方程组0=AX ，若有r A r =)(，则方程组的基础解系中有 ________个解向量。 4. 已知A 是4×3矩阵，且线性方程组B AX =有唯一解，则增广矩阵A 的秩是_________。 三. 计算(20分) 1.(10分) 已知向量组[][][] 123= 1 01,=035,=237T T T ααα，则求该向量 组的秩和一个极大线性无关组。 2. (5分) 设1α=（1，2，4），2α=(-1,-2,y)且1α与2α线性相关，则求y 的值 A =Ax b ≠0b =0Ax =0Ax =Ax b =0Ax =Ax b =Ax b =0Ax =Ax b =0Ax
线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器 班级： 2010-1班 作者：刘颖 学号： 20100310110105
摘要 线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词： 齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。
Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.
1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（ ）A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关； （B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ D ） (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同； （2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关； （3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关； （4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个 4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =； C ．()()(,)R A R B R A B ==； D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。 答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:
第一章 1.有限单元法求得的解为：[ ]3 A.精确解 B.解析解 C.近似解 D.整数解 2.弹性力学问题的基本解法有：[ ] ABD A.按位移求解 B.按应力求解 C.按单元刚度求解 D. 混合求解 E.按整体刚度求解 23.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，按应力求解和[ ]3 A. 按单元刚度求解 B. 按整体刚度求解 C. 混合求解 D.按平衡方程求解 24.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，混合求解和[]4 A. 按平衡方程求解 B. 按单元刚度求解 C. 按整体刚度求解 D. 按应力求解 25.弹性力学问题的基本解法有：按应力求解，混合求解和[ ]2 A. 按整体刚度求解 B. 按位移求解 C. 按单元刚度求解 D. 按平衡方程求解 3.用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难在于：[ ]4 A.对弹性体离散化的复杂性 B.刚度矩阵求解的困难性 C.受力分析的复杂性 D.求解偏微分方程的复杂性 4.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的：[ ]BDE A.弯矩 B.应变 C.扭矩 D.应力 E.结点力 26.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，应力和[ ]3 A. 扭矩 B. 弯矩 C. 结点力 D.外力 27.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，结点力和[ ]4 A.弯矩 B. 外力 C. 扭矩 D. 应力 28. 用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应力，结点力和[ ]4， A. 外力 B. 扭矩 C. 弯矩 D. 应变 5.将各个单元集合成离散化的结构模型进行整体分析，问题最后归结为求解[ ]。2 A.结点位移 B. 以结点位移为未知量的线性方程组 C.整体刚度矩阵 D.单元刚度矩阵 6.对于三角形三结点单元，其结点按照[]顺序进行排列。3 A.从左至右 B. 顺时针 C. 逆时针 D.以上均可 7.对于三角形三结点单元，每个结点位移在单元平面内有[ ]个分量 2 A.1 B.2 C.3 D.4 8.对于三角形三结点单元，共有[ ]个位移分量。4 A.3 B.4 C.5 D.6 9.形函数 N在结点i上的值等于[ ]。2 i A.0 B.1 C. -1 D.2 10.在单元中任意一点，三个形函数之和等于[ ]2 A.0 B.1 C.2 D.3 11.有了单元的位移模式，就可以应用[ ]求得单元的应变3 A.平衡微分方程 B.物理方程 C. 几何方程 D.积分方程 12.单元应力矩阵[S]与弹性矩阵[D]和单元应变矩阵[B]的关系是：[ ]C A. [S]= [D]+ [B] B. [S]= [D]—[B] C. [S]= [D] [B] D. [S]= [D]/ [B] 13.三角形三结点单元中，单元应力矩阵[S]是一个[ ]4 A.对称矩阵 B.零矩阵 C.非常数矩阵 D.常数矩阵 14.三角形三结点单元的应力分量为[ ]1 A.常量 B.变量 C.零 D.不确定
线性方程组求解 习题课
一、给定方程组123211*********x x x -???????????? =? ???????????-?????? 试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。 解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为 -1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-?? ??--?????? 因为3 5 04 J I B λλλ-=+=，得特征值 1230,,22i i λλλ===- 得( )12J B ρ=> ，由定理知 Jacobi 迭代法发散。 对Seidel 迭代法，迭代矩阵为 ()1 S B D L U -=-=1 20001100.50.511000100.50.5112000000.5---?????? ??????-=--?? ??????????--?? ???? 显然，其特征值为1230,0.5λλλ===-
故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。 二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ?????? = ??? ??????? ，11220a a ≠， 112221120a a a a -≠。证明：解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明： 121 1111 122221 21 22 0000 00J a a a a B a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ?-????- ??? ()2 1221 1122det J a a I B a a λλ-=-，故( )J B λ= ( )J B ρ= 。 1211111 1221 2212211122000000S a a a a B a a a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ????? ?? ?
线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．判断下列向量组是否线性无关： （1）????? ??-11 2，????? ??-840，????? ??-311； （2）??????? ??01014，??????? ??1521，??????? ??1202，?????? ? ??7024。 2．讨论下面向量组的线性相关性： ???????? ??12211，???????? ??-15120，???????? ??-141b a 。 3．设????? ??=1111a ，????? ??=3211a ，???? ? ??=t 311a 。 （1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？ （2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？ （3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。 4．设有向量组 ??????? ??+=11111t a ，??????? ??+=22222t a ，??????? ??+=33333t a ，?????? ? ??+=t 44444a 。 问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？ （2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？ 5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？ 6．设m a a a ,,,21 线性无关，作 211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。 判别m b b b ,,,21 的线性相关性。 7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？ 8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。问： （1）1a 能否由32,a a 线性表示； （2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。 9．若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ，T k )1,1,1(2+=a ，T k )1,1,1(3+=a 唯一
目录 摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I 1.1引言 (1) 1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1) 1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1) 第二章线性方程组理论基础 (2) 2.1 线性方程组概念 (2) 2.2 线性方程组的解的情况分析 (2) 2.3 齐次线性方程组解的结构 (4) 2.4非齐次线性方程组解的结构 (4) 第三章线性方程组的数值解 (5) 3.1 迭代法 (5) 3.1.1 Jacobi方法 (6) 3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8) 第四章全文总结和展望 (10) 4.1 全文总结 (10) 4.2 未来展望 (10) 参考文献 (11) 致谢................................................................. 错误！未定义书签。
线性方程组的求解方法 学生：指导教师： 摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。 关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法
一、判断题 10’ 1. 可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E 。 （ ） 2. 若A 可逆，则对矩阵)(E A 施行若干次初等行变换和初等列变换，当A 变为E 时，相应地E 变为1 -A ，故求得A 的逆矩阵。 （ ） 3. 对于矩阵A ，总可以只经过初等行变换把它化为标准形。 （ ） 4. 若A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则A 总可以经过初等行变换化为B 。 （ ） 5. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零。 （ ） 6. 若A ，B 均为n 阶非零方阵且O AB =, 则A 的秩n A R <)(。 （ ） 7 从矩阵n m A ?（1>n ）中划去一列得到矩阵B ，则)()(B R A R >。 ( ) 8. 设B A ,均为n m ?矩阵，若)()(B R A R =，则A 与B 必有相同的标准形。（ ） 9. 在秩为r 的矩阵A 中，有可能存在值为零的r 阶子式。 （ ） 10.设A 为n m ?矩阵，若AY AX =，且n A R =)(，则Y X =。 （ ） 二、 单项选择题30’ 1. 设A ? ??? ??=333231 232221 131211 a a a a a a a a a ，B =????? ??---=323332 31 12131221222322 11222a a a a a a a a a a a a , 1P ????? ??=100001010,2P ???? ? ??=100210001, 则B =（ ） (A) A P P 21 (B) 1211--AP P (C) 21P AP (D) 1 112--AP P 。 2. 若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（ ）. (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C (C)()()R R ≤A B (D)()max{(),()}R R R ≥A B C 3. 设A 为3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得矩阵B ，再把B 的第2列加到第3列得矩阵C ，则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为（ ） (A) ????? ??101001010 (B) ????? ??100101010 (C) ????? ??110001010 (D) ???? ? ??100001110 4. 下列矩阵中不是初等矩阵的矩阵是（ ）