材 料 力 学
·170
· 第8章 应力分析·强度理论
8.1 概 述
前面几章中，分别讨论了轴向拉伸与压缩、扭转和弯曲等几种基本变形构件横截面上的应力，并根据相应的实验结果，建立了危险点处只有正应力或只有切应力时的强度条件
[]max σσ≤或[]max ττ≤
式中：max σ或max τ为构件工作时最大的应力，由相关的应力公式计算；[]σ或[]τ为材料的许 用应力，它是通过直接实验（如轴向拉伸或纯扭），测得材料相应的极限应力，再除以安全因数获得的，没有考虑材料失效的原因。这些强度条件的共同特点是：其一，危险截面的危险点只有正应力或只有切应力作用；其二，都是通过实验直接确定失效时的极限应力。
上述强度条件对于分析复杂情形下的强度问题是远远不够的。例如，仅仅根据横截面上的应力，不能分析为什么低碳钢试样拉伸至屈服时，表面会出现与轴线成45°角的滑移线；也不能分析铸铁圆试样扭转时，为什么沿45°螺旋面断开；根据横截面上的应力分析和相应的实验结果，不能直接建立既有正应力又有切应力存在时的强度条件。
实际工程中，构件受力可能非常复杂，从而使得受力构件内截面上一点处往往既有正应力，又有切应力。对于这些复杂的受力情况，一方面要研究通过构件内某点各个不同方位截面上的应力变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在的截面方位；另一方面需要研究材料破坏的规律，找出材料破坏的共同因素，通过实验确定这一共同因素的极限值，从而建立相应的强度条件。
本章主要研究受力构件内一点的应力状态，应力与应变之间的关系（广义胡克定律）以及关于材料破坏规律的强度理论，从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的理论基础。
8.2 一点的应力状态·应力状态分类
受力构件内一点处不同截面上应力的集合，称为一点的应力状态。为了描述一点的应力状态，在一般情况下，总是围绕这点截取一个3对面互相垂直且边长充分小的正六面体，这一六面体称为单元体。当受力构件处于平衡状态时，从构件内截取的单元体也是平衡的，单元体的任何一个局部也必是平衡的。所以，当单元体3对面上的应力已知，就可以根据截面法求出通过该点的任一斜截面上的应力情况。因此，通过单元体及其3对互相垂直面上的应力，可以描述一点的应力状态。
为了确定一点的应力状态，需要先确定代表这一点的单元体的6个面上的应力。为此，在单元体的截取时，应尽量使其各面上应力容易求得。
第8章 应力分析·强度理论
·171
· 例如，在图8.1（a ）所示轴向拉伸构件内任意一点A 的周围，若以2个横截面和4个纵向截面截取单元体，将其放大为图8.1（b ），其平面图表示为图8.1（c ）。单元体的左右两 侧面是杆件横截面的一部分，面上的应力皆为F A
σ=。单元体的上、下、前、后4个截面都 是纵向截面，面上都没有应力。但若按图8.1（d ）的方式截取单元体，使其4个侧面与纸面垂直但与杆件的轴线不平行也不垂直，成为斜截面，则在这4个截面上，不仅有正应力而且有切应力。显然其应力的确定比图8.1（a ）更困难。
图8.1 围绕受拉构件内任意一点截取的单元体
在图8.1（b ）或图8.1（c ）中，单元体的各个面上均无切应力。这种无切应力作用的平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平面的外法线方向称为主方向。若单元体的各个侧面均为主平面，则该单元体称为主单元体。
可以证明，受力构件内任一点都可找到3对互相垂直的主平面，即一定存在一个由主平面构成的主单元体。因而每一点都有3个主应力，通常用1σ，2σ，3σ来表示，并按它们代数值的大小顺序排列，即123σσσ≥≥，分别称为第一、第二和第三主应力。对轴向拉伸 （或压缩），3个主应力中只有1个不等于零，称为单向或单轴应力状态。若3个主应力中有2个不为零，称为二向或平面应力状态。当三个主应力皆不为零时，称为三向或空间应力状态。前面几种基本变形都只涉及到单向应力状态或纯剪应力状态，它们都属于简单应力状态；而除了纯剪应力状态外的其它二向和三向应力状态都属于复杂应力状态。
【例8.1】 如图8.2（a ）所示承受内压的圆柱形薄壁容器，平均直径为D ，壁厚为δ，承受内压为p （N/m 2）。试计算容器上由纵横截面组成的单元体A 上的应力。
【解】：在内压作用下，容器将产生沿轴向和径向方向的变形，故在容器的横截面和纵截面上均受到拉应力的作用。由于壁很薄，可认为应力沿壁厚均匀分布。
（1）横截面上的应力。
用横截面将容器截开，其受力如图8.2（b ）所示，根据平衡方程
0x F =∑：2ππ04x D D p σδ?=i i
可得 4x pD σδ
= （2）纵截面上的应力
在圆筒中部截取一段（单位长度），再用包含轴线的纵截面将之截开，其受力如图8.2（c ）
材 料 力 学
·172
· 所示，根据平衡方程
0y F =∑：2110y p D σδ?=i i i i
可得 2y pD σδ=
图8.2 例8.1图
因横向和纵向截面上均无切应力，且在单元体的第三个方向（与直径垂直的方向）上，虽然还有作用于内壁的压强p 和作用于外壁的大气压强，但都远小于x σ和y σ，可以忽略不计。故该单元体A 就是其主单元体，其3个主应力为
12pD σσ= 24pD σσ
= 30σ= 由上可见，纵截面上的应力比横截面上的应力大一倍，故容器受内压破裂时，其裂缝常沿纵截面发生。
8.3 平面应力状态·应力分析的解析法
在薄壁圆筒的筒壁上，以纵向和横向截面截取的单元体（图8.2（a ）），其周围各面皆为主平面，应力皆为主应力。但在其他情况下就未必如此。例如圆轴扭转时，横截面上除圆心外，任一点上皆有切应力，可见横截面不是它们的主平面；又如横力弯曲时，梁的横截面上除上、下边缘及中性轴处外，任一点上均有正应力和切应力，所以横截面不是这些点的主平面，弯曲正应力也不是这些点的主应力。本节要讨论的问题是：在平面应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，如何求出通过这一点的其他截面上的应力，从而确定该点的主应力、主平面以及最大切应力。
第8章 应力分析·强度理论
·173
· 8.3.1 任意斜截面上的应力
在图8.3（a ）所示的单元体的各侧面上，设应力分量x σ，y σ，xy τ和yx τ均已知，图8.3（b ）为单元体的正投影。各应力分量的下标具有如下含义：x σ和y σ分别表示垂直于x 轴和y 轴侧面上的正应力；xy τ第一个下标x 表示切应力作用面的法线方向，第二个下标y 表示切应力平行于y 轴。yx τ与之类似。根据切应力互等定理，xy τ=yx τ。应力的正负号规定为：正应力以拉应力为正、压应力为负；切应力对单元体内任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负。按照这一规定，图8.3（a ）和图8.3（b ）中的x σ，y σ，xy τ均为正，而yx τ为负。
欲求与z 轴平行的任意斜截面ef （图8.3（b ））上的应力。设斜截面ef 的外法线n 与x 轴成α 角，称该斜截面为α 斜截面，其上的正应力和切应力分别用ασ及ατ表示。为便于计算，将α 角正负号规定为：从x 轴转至α 斜截面的外法线，逆时针转为正，反之为负。
为了求得α 斜截面上的正应力和切应力，利用截面法，沿斜截面ef 将单元体分成两部分，并研究下半部分aef 的平衡（图8.3（c ））。设截面ef 的面积为d A ，则截面ae 与af 的面积分别为d cos A α与d sin A α，如图8.3（d ）所示。把作用于aef 部分上的力投影于ef 面的外法线n 和切线t 的方向，可得其平衡方程为
()()()()0: d d cos sin d cos cos d sin cos d sin sin 0
n xy x yx y F A A A A A ασταασααταασαα=+?+
?=∑ ()()()()0: d d cos cos d cos sin d sin cos d sin sin 0t xy x y yx
F A A A A A ατταασαασααταα=??++=∑
图8.3 任意斜截面上应力
根据切应力互等定理，xy τ与yx τ在数值上相等，以xy τ代替yx τ，化简上述两个平衡方程，得
（8.1）
（8.2）
由式（8.1）～式（8.2）可知，当x σ，y σ，xy τ为已知时，可以求出α 为任意值时斜截面
材 料 力 学
·174· 上的应力。这种方法称为解析法。
8.3.2 主应力和主平面
公式（8.1）表明斜截面上的正应力ασ随α 的变化而变化，是α 的函数。因此可根据公式（8.1）确定正应力极值，并可确定其所在的平面位置。将式（8.1）对α 求导，得
d 2sin 2cos 2d 2x y αxy σσσαταα???=?+???? （a ）
设当0αα=时，导数
d 0d ασα
=。则在0α所对应的截面上正应力ασ取极值。将0α代入式（a ）并令其等于零，即
00sin 2cos 202
x y xy σσατα?+= （b ） 可得
（8.3）
比较式（8.2）和式（b ）可知，在正应力取极值的平面上，切应力等于零。因切应力为零的平面为主平面，而主平面上的正应力为主应力，所以主应力就是极大或极小正应力。由式（a ）可求出相差90°的两个角度0α，它们就是两个互相垂直的主平面的法线方位角。将0sin 2α，0cos 2α代入式（8.1）式即得两个主应力为
（8.4） 联合使用式（8.3）和式（8.4）时，可先比较x σ和y σ的代数值，若x σ≥y σ，则式（8.3）确定的两个0α中，绝对值较小的一个确定max σ所在的主平面；若x σ＜y σ，则绝对值较大的一个确定max σ所在的主平面。
8.3.3 切应力极值及其所在平面
公式（8.2）表明斜截面上的切应力ατ随α的变化而变化，是α 的函数。因此可根据公式（8.2）确定切应力极值及其所在的平面位置。将式（8.2）对α 求导，得
()d cos 22sin 2d αx y xy τσσαταα
=?? （c ） 设当1αα=时，导数d 0d ατα
=。则在1α所对应的截面上切应力ατ为极值。以1α代入式（c ）并令其等于零，即
()cos 22sin 20x y xy σ
σατα??=
得
第8章 应力分析·强度理论
·175
·
（8.5）
由式（8.5）可求出相差90°的两个角度1α，它们可确定两个互相垂直的平面，将1sin 2α，1cos2α代入式（8.2）式即得平面应力状态下切应力的最大值和最小值
（8.6）
特别注意：不能用上式来求解空间应力状态或特殊空间应力状态下的最大和最小切应力，而应当用后文中的式（8.10）来求解。
比较式（8.3）与式（8.5）可得
01tan 2tan 21αα=?i
故有
10π4αα=± （d ）
式（d ）表明最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°。
【例8.2】 直径为d = 100 mm 的等直圆杆，受轴向力F =
500 kN
及外力偶M = 7 kN ·m 作用，如图8.4（a ）所示。试求：（1）杆表面C 点处由横截面、径向截面和周向截面取出的单元体上各面上的应力，如图8.4（b ）所示；（2）该点处30α=? 斜截面上的应力状况；（3）该点的主应力、主方向。 图8.4 例8.2图
【解】：（1）由轴向拉压和扭转的应力分析可得，C 点处的应力情况为
32
50010N 63.7MPa 1π(100mm)4
x F A σ×===× 63T 710N mm 35.7MPa 1π(100mm)16
xy T W τ×===×i （2）由式（8.1）和式（8.2）可得C 点处30α=? 斜截面上的应力为
材 料 力 学
·176
· ()()3063.7MPa 0MPa 63.7MPa 0MPa cos 6035.7MPa sin 6022
σ?+?=+??? = 78.7 MPa ()()3063.7MPa 0MPa sin 6035.7MPa cos 602
τ??=?+?=? 9.7 MPa （3）由公式（8.6）可得该点处的主应力
max min 79.7MPa 16MPa
σσ??==????? 按主应力记号规定：123σσσ≥≥，得单元体的3个主应力分别为
1σ= 79.7 MPa ，2σ= 0，3σ= ?16 MPa
由公式（8.3）得
()
0235.7MPa tan 2 1.1263.7MPa 0MPa α×=?=??
所以0α= ?24.13°或65.87°。请读者自行绘制主单元体。
【例8.3】
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明圆铸铁试样扭转破坏的主要原因。
图8.5 例8.3图
【解】：在受扭圆轴表面上任选一点A （图8.5（a ）），围绕该点用横截面和纵截面截取一个单元体如图8.5（b ）。由前面章节可知，这一单元体的侧面上只有切应力作用。即圆轴扭转时，其上任一点的应力状态都是纯剪切应力，为
0x y σσ==，t
xy T W ττ== 将上述应力代入式（8.4）和式（8.3），得
max min στσ==± 02tan 2xy x y τασσ=?=?∞? 得045α=±
由此得1στ=，20σ=，3στ=?。所以，纯剪切状态的两个主应力的绝对值相等，都等于切
第8章 应力分析·强度理论
·177
· 应力τ，但一个为拉应力另一个为压应力。以上结果表明：由x 轴，按顺时针方向转45°可确定主应力1σ的主平面，按顺时针方向转135°可确定主应力3σ的主平面。如图8.5（c ）。铸铁圆轴扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即-45°螺旋面）断开的。因此，可以认为铸铁的这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
8.4 平面应力状态·应力分析的几何法
平面应力状态下，除了可用解析法进行应力状态分析外，还可以运用由解析法演变而来的几何法进行应力状态分析。
由式（8.1）和式（8.2）可知：已知一平面应力状态单元体上的应力x σ，y σ和xy τ时，任一斜截面上的应力ασ和ατ均以2α为参变量。从式（8.1）和式（8.2）中消去参变量2α后，即得一圆的直角坐标方程。为此将式（8.1）和式（8.2）改写为
cos 2sin 222
x y x y xy ασσσσσατα+??=? sin 2cos 22
x y xy ασστατα?=+ 将以上二式平方后相加，可得
222222x y x y a a xy σσσσσττ+??????+=+???????
? 由上式可见，当斜截面随方位角α变化时，其应力ασ、ατ在σ－τ直角坐标系内的轨迹是一个
圆，其圆心C 位于横坐标轴（σ轴）上，其横坐标为
2x y σσ+圆称为应力圆或莫尔圆。
以图8.6（a ）所示平面应力状态为例说明应力圆的作法。按一定比例尺建立στ?坐标系，因横截面的外法线沿x 轴方向，故横截面简称x 平面，因纵向截面的外法线沿y 轴方向，故纵向截面简称y 平面。
首先定出两点(),x x xy D στ和(),y y yx D στ，它们的坐标分别代表x 平面和y 平面的应力。
用直线连接x D 、y D 两点，其连线与横坐标轴相交于C 点，以C 点为圆心，x CD 或y CD 为半径作圆。显然，该圆的圆心C 的纵坐标为零，横坐标为
()
()121122x y OC OB OB σσ=+=+
该圆的半径为
=因而，这样作出的圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆。
如要确定单元体α 斜截面上的应力，只须将半径x CD 按方位角α 的旋转2α 至CD α处，则D α点的两个坐标就代表α 斜截面上的正应力ασ与切应力ατ。证明如下：
材 料 力 学
·178
· ()0cos 22OF OC CF OC CD ααα=+=++i
0000cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 22
2x x x y x y xy OC CD CD OC CD CD αααααα
αααασσσσατα=+?=+?+?=
+?i i i i
同理可证 sin 2cos 22x y
xy D F ασσατα?=+
这就证明了D α点的坐标代表法线倾角为α 的斜截面上的应力。
从以上作图及证明可以看出，应力圆上的点与单元体上的截面之间的对应关系如下： （1）点面对应——应力圆上某点的坐标对应单元体某斜截面上的正应力与切应力。 （2）转向一致——应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变；对应地，单元体上斜截面的法线也沿相同方向旋转，斜截面上的应力随之而变。
（3）倍角关系——应力圆上半径转过的角度，为斜截面外法线旋转角度的2倍。
（4）同一基准——利用应力圆与单元体的转向对应关系旋转时，其起始基准位置也应当点面对应。
应力圆直观地反映了一点处平面应力状态下，任意斜截面上应力随截面方位角变化的规律以及一点处应力状态的特征。因此可以利用应力圆来进行一点处的应力状态分析。 利用应力圆求主应力并确定主平面方位。从图8.6（b ）可以看出，1D 和2D 两点的横坐标分别为该单元体各截面上正应力中的最大值和最小值，且这两个截面上的切应力（即1D 和2D 两点的纵坐标）均等于零。故1D 和2D 两点的横坐标分别为单元体的两个不为零的主应力
1σ、2σ，即
1σ2
2??
图8.6 二向应力状态下应力圆与单元体的对应关系
第8章 应力分析·强度理论
·179
· 从图8.6（b ）可以看出，应力圆上半径x CD 按顺时针方向转20α角到半径CD 1，在单元体中横截面的外法线x 也按顺时针方向转0α角，这就确定了1σ所在主平面的法线位置。同理，也可确定2σ所在的主平面位置，它与1σ的主平面相互垂直。 利用应力圆求切应力的极值。由图8.6（b ）不难看出，应力圆上的1G 与2G 两点的纵坐
标即为切应力的极值，其所在截面与主平面成45°角。
【例8.4】 用几何法求图8.7（a ）所示单元体的主应力和主平面的位置。
【解】：按选定比例尺建立στ?坐标系，确定点D x （80，-60）及点D y （?40，60），连接D x D y ，以D x D y 为直径作应力圆、如图8.7（b ）所示。按所用比例尺量出
11105MPa OD σ==，3265MPa OD σ==?
在这里20σ=MPa 。在应力圆上半径CD x 到CD 1为逆时针方向，故∠D x CD 1=20α=45°。所以在单元体中从x 以逆时针方向取0α=22.5°，确定所在主平面的法线，如图8.7（a ）所示。
图8.7 例8.4图（单位：MPa ）
【例8.5】 如图8.8（a ）所示单元体80MPa x σ=，30MPa ασ=，20MPa ατ=。试用几何法求y σ和α。
图8.8 例8.5图（单位：MPa ）
【解】：由80MPa x σ=，0MPa xy τ=，确定点D x （80，0）；由30MPa ασ=，20MPa ατ=确定点D α（30，20）。因为D x 和D α均在应力圆的圆周上，且应力圆的圆心一定位于σ轴上，所以x D D α的垂直平分线和σ轴的交点C 即为应力圆的圆心。以C 为圆心，
材 料 力 学
·180
· x CD （或CD α）为半径画出的圆（图8.8（b ））就是单元体的应力圆。
利用图中应力圆的几何关系，可得
20arctan
21.88030
β==? 2180221.8136.4α=?×=
68.2α=
2029MPa sin sin43.6BD R αγ===
28022922MPa y x σOD R =?=?×= 也可在应力圆上量得22MPa y σ=，68.2α= 。
【例8.4】和【例8.5】均可用解析法求解，请读者自行完成。
*8.5 空间应力状态简介
对于危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算，通常需要确定其最大正应力和最
大切应力。当受力物体内某一点处的3个主应力σ 1，σ 2和σ 3均已知时（图8.9（a ）
），利用应力圆，可确定该点处的最大正应力和最大切应力。可以将这种应力状态分解为3种平面应力状态，分析平行于3个主应力的3组特殊方向面上的应力。现研究平行于σ 3的各个截面上的应力。设想用平行于σ 3的任意截面将单元体切开，任取其中一部分来研究，如图8.9（b ），其垂直于σ 3的平面面积相等，且应力相同，故作用力相互平衡，不会在斜截面上产生应力。即平行于σ 3截面上的应力与σ 3无关，只取决于σ 1和σ 2，相当于二向应力状态。因此，对平行于σ 3截面上的应力，可由σ 1和σ 2所确定的应力圆上的点的坐标来表示。同理，平行于σ 2截面上的应力，可由σ 1和σ 3所确定的应力圆上的点的坐标来表示。平行于σ 1截面上的应力，可由σ 2和σ 3所确定的应力圆上的点的坐标来表示。进一步的研究证明，表示与3个主应力都不平行的任意斜截面上应力的D 点，必位于上述3个应力圆所围成的阴影区域内，如图8.8（c ）所示。从图中可见，最大和最小正应力及最大切应力分别为
max 1σσ=，min 3σσ=
（8.10）
图8.9 三向应力状态下单元体与应力圆的对应关系
第8章 应力分析·强度理论
·181
· 最大切应力所在平面平行于σ 2，与σ 1和σ 3两个主平面各成45°角。上述结论同样适用于单向与二向应力状态，只须将具体问题中的主应力求出，并按代数值123σσσ≥≥的顺序排列。
8.6 广义胡克定律
8.6.1 广义胡克定律
设从受力物体内某点取出一主单元体，其上作用着已知的主应力σ 1，σ 2和σ 3，如图
8.10（a ）所示。该单元体受力作用之后，它在各个方向的长度都要发生改变，而沿3个主应力方向的线应变称为主应变，一般用ε 1，ε 2及ε 3来表示。对于各向同性材料，在线弹性范围内，可将这种应力状态视为3组单向应力状态的叠加来求主应变。 根据轴向拉压时的胡克定律E σ
ε=及横向变形公式εμε′=?可分别计算σ 1，σ 2和σ 3单
独作用时单元体所产生的应变。
在σ 1单独作用下，沿主应力σ 1，σ 2和σ 3方向的线应变分别为
1
1E σε′=，12E σεμ′=?，13E σεμ′=?
同理，在σ 2和σ 3单独作用下，沿主应力σ 1，σ 2和σ 3方向的线应变分别为
21E σεμ
′′=?，22E σε′′=，23E σεμ′′=? 3
1E σεμ′′′=?，32E σεμ′′′=?，33E
σε′′′= 3个主应力共同作用下的分别沿σ 1，σ 2和σ 3方向的主应变可叠加为
（8.11）
在一般情况下，描述一点的应力状态需要9个应力分量，如图8.10（b ）所示。考虑到切应力互等定理，有xy yx ττ=、xz zx ττ=和yz zy ττ=，故原来9个应力分量中独立的只有6个。对于各向同性材料，在线弹性范围内、小变形条件下，正应力不会引起切应变，切应力对线应变的影响也可忽略不计。因此，线应变也可以按叠加法求得，切应变可利用剪切胡克定律求得，于是得到
（8.12）
材 料 力 学
·182
·
图8.10 三向应力状态下的单元体
式中，G 为切变模量（剪切弹性模量）。式（8.11）或式（8.12）称为材料的广义胡克定律。
对于平面应力状态，不防设0z σ=、0xz yz ττ==，故式（8.12）改写为
（8.13）
式（8.13）称为平面应力状态下材料的广义胡克定律。 8.6.2 体积应变
在主应力σ 1，σ 2和σ 3的作用下，单元体的体积也将发生变化。如图8.10（a ），设单元体变形前各边长为d x 、d y 、d z ，变形前单元体的体积为
d d d V x y z =
单元体变形后各棱边的长度分别为()11d x ε+、()21d y ε+及()31d z ε+，于是变形后单元体的体积为
()()()1123111d d d V εεεx y z =+++
展开上式，因为ε 1、ε 2及
ε 3均为小量，略去高阶小量，得
()11231d d d V εεεx y z =+++
所以，单位体积的变化为
（8.14）
式中，θ 称为体积应变（简称体应变）。将式（8.11）带入式（8.14），化简后得
()()123m 123312123E E K μσσσσμθσσσ?++???=++==???? （8.15）
第8章 应力分析·强度理论
·183
· 式中
123
m 3σσσσ++=，()
312E K μ=? σ m 是3个主应力的平均值，K 称为体积模量。式（8.15）称为体积胡克定律。它表明，体积应变θ 只与3个主应力的代数和成比例，所以即便是3个主应力不相等，只要它们的平均应力σ m 相同，θ 仍然是相同的。
【例8.6】 在一体积较大的钢块上开一个贯穿的槽，其宽度和深度都是10 mm 。在这一槽内紧密无隙地嵌入一边长为10 mm 铜质立方块，如图8.11
所示。在铜块上施加均布压力，总压力为F = 7.5 kN ，设
钢块不变形。铜的弹性模量E = 80 GPa ，泊松比μ = 0.32。
试求：铜质立方块的3个主应力及3个主应变（不计立方
块与槽间的摩擦）。
【解】：建立如图8.11所示坐标系。铜块在y 向为轴
向压缩，横截面上应力为 327.510N 75MPa 1010mm
y F A σ×=?=?=?× 铜块垂直于z 轴的侧面为自由表面，所以σ z =0。铜块在x 向受刚性槽限制不能有变形，故沿x 方向的应变等于零，即0x ε=。将σ y 、σ z 和ε x 代入式（8.12）左列第一式，可解得
0.32(75MPa)24MPa x y σμσ==×?=?
于是，铜块的3个主应力为
10σ=，224MPa σ=?，375MPa σ=?
将它们代入式（8.11），求得铜块的主应变为
()()()()()4112332231433123110.3224MPa 75MPa 3.96108010MPa 101175MPa 0.320MPa 24MPa 8.42108010MPa
E E E εσμσσεσμσσεσμσσ????=
?+=×?×??=×??????×??=?+=?
?=?+=×??×?=?×????????× *8.7 复杂应力状态的应变能密度
物体在外力作用下发生弹性变形的同时，物体内将积蓄应变能，它在数值上等于外力所作的功。单位体积内积蓄的应变能称为应变能密度。由2.7节可知单向拉伸或压缩时应变能密度为
12
u σε=
图8.11 例8.6图
材 料 力 学
·184
· 然而对于复杂应力状态，应变能密度将是应力或应变的二次函数，所以不能用3个主应力各自单独作用时的应变能密度进行叠加计算。根据能量守恒原理，物体内的应变能只取决于外力的最终值，而与加载顺序无关。故可以假设各个应力按比例同时由零增加至最终值，而每一个主应力与其相应的主应变之间保持线性关系。这时与每一个主应力相应的应变能密度仍可按上式计算，于是复杂应力状态下的应变能密度为
112233111222
u σεσεσε=++ 将式（8.12）代入上式，化简可得
()222123122331122u E σσσμσσσσσσ??=++?++?? （8.16）
单元体的变形可分为体积改变和形状改变。单元体的应变能密度也可分为体积改变能密度v u 和形状改变能密度（也称畸变能密度）d u ，即
v d u u u =+
（8.17） 根据8.6节的讨论，若在单元体上以主应力的平均应力123
m 3
σσσσ++=代替3个主应力，体积应变θ 不变，这时单元体3个棱边的变形相同，所以只有体积改变，这时的应变能密度就是体积改变能密度v u 。令123m σσσσ===，带入式（8.16），有 ()()2222v m m m m m m m m m m 3121222u E E μσσσμσσσσσσσ???=
++?++=?? =212312()6E
μσσσ?++ （8.18） 将式（8.16）、式（8.18）代入式（8.17）中，经整理得畸变能密度为
()()()222d 12233116u E μσσσσσσ+??=?+?+??? （8.19）
8.8 强 度 理 论
8.8.1 强度理论概述
不同类型的材料因强度不足引起的失效现象不尽相同。根据2.5节的讨论，塑性材料，如低碳钢，以发生屈服现象，出现塑性变形为失效标志。脆性材料，如铸铁，以突然断裂为失效标志。在单向受力情况下，出现塑性变形时的屈服极限σ s 和发生断裂时的强度极限σ b 可由试验来测定。可把σ s 和σ b 统称为失效应力。以安全因素除失效应力便得许用应力[]σ， 从而可建立强度条件
[]σσ≤
可见，在单向应力状态下，失效状态和强度条件都是以试验为基础的。
在工程实际中大多数构件的危险点都处于复杂应力状态，进行复杂应力状态下的试验，
第8章 应力分析·强度理论
·185
· 要比单向拉伸或压缩困难的多。况且，复杂应力状态下单元体的应力组合的方式和比值有各种可能，由于技术上的困难和工作的繁重，要对这些组合一一试验，确定失效应力，建立强度条件是不现实的。因此，解决此类问题的方法通常是依据部分试验结果，经过判断、推理，提出一些假说，推测材料破坏的原因，从而建立强度条件。
大量的关于材料失效的实验结果以及工程构件强度失效的实例表明，尽管材料失效的现象比较复杂，但是经过归纳总结可得由于强度不足引起的失效现象主要是屈服和断裂两种类型。人们经过长期的生产实践和科学研究，针对这两类破坏，提出了不少关于材料破坏的假说。一些假说认为材料之所以破坏，是由某一特定因素（应力、应变或应变能）引起的。按照这类假说，对同一种材料，无论是处于简单还是复杂应力状态，材料破坏的原因是相同的。亦即造成材料失效的原因与应力状态无关。于是便可利用单向应力状态下的试验结果，去建立复杂应力状态下的强度条件。这类假说称为强度理论。至于这些假说是否正确及适用情况如何，则必须由生产实践来检验。
下面只介绍的4种常用强度理论，这些都是常温、静载下的强度理论，适用于均匀、连续、各向同性材料。当然强度理论远不止这几种。而且，现有的强度理论还不能说已经圆满地解决了各种强度问题，仍有待发展。
8.8.2 4种常用的强度理论
前面讲到，材料存在脆性断裂和塑性屈服两种破坏形式。相应地，强度理论也分为两类，一类是解释材料脆性断裂的强度理论，包括最大拉应力理论和最大拉应变理论。另一类是解释材料塑性屈服的强度理论，包括最大切应力理论和畸变能密度理论。
1．最大拉应力理论（第一强度理论） 这一理论认为最大拉应力是引起材料断裂的最主要因素。即认为无论材料处于何种应力状态，只要材料发生脆性断裂，其共同原因都是由于材料的最大拉应力达到了与材料性能有关的某一极限值。
因为最大拉应力的极限值与材料应力状态无关，因此这一极限值便可用单向应力状态下的试验来确定。脆性材料（如铸铁）单向拉伸实验表明，当横截面上的正应力b σσ=时发生脆性断裂。对于单向拉伸，横截面上的正应力，就是材料的最大拉应力，即max b σσ=。
于是，根据这一理论，无论材料处于什么应力状态，只要最大拉应力达到σ b ，材料就将发生脆性断裂。由此可得脆性断裂准则
1b =σσ
将极限应力σ b 除以安全系数，得许用应力[]σ。所以按第一强度理论建立的强度条件是 []1σσ≤ （8.20）
试验表明这一理论与均质的脆性材料（如玻璃、石膏以及某些陶瓷等）的实验结果吻合较好。但是这一理论没有考虑其它两个主应力对断裂破坏的影响，而且当材料处于压应力的状态下也无法应用。
材 料 力 学
·186· 2．最大拉应变理论（第二强度理论） 这一理论认为最大拉应变是引起材料断裂的最主要因素。即认为无论材料处于何种应力状态，只要材料发生脆性断裂，其共同原因都是由于材料的最大拉应变达到了与材料性能有关的某一极限值。
因为1ε的极限值与材料应力状态无关，因此这一极限值可用单向拉伸断裂时的最大拉应变来确定。同时，假定脆性材料从受力到断裂仍然服从胡克定律。由前述可知，单向拉伸时材料的最大拉应力max b σσ=，因此材料单向拉伸断裂时的最大拉应变的极限值0b E εσ=。于是，根据这一理论，无论材料处于什么应力状态，只要最大拉应变达到0ε，材料就将发生断裂。由此可得脆性断裂准则
0b
1E σεε==
将广义胡克定律式（8.11）第一式代入上式，可得
123b ()σμσσσ?+=
将极限应力b σ除以安全系数，得许用应力[]σ。所以按第二强度理论建立的强度条件是 []123()σμσσσ?+≤ （8.21）
试验表明，这一理论能较好解释石料、混凝土等脆性材料在压缩时沿纵向开裂的破坏现象。一般来说，最大拉应力理论适用于脆性材料以拉应力为主的情况，而最大拉应变理论适用于压应力为主的情况。
3．最大切应力理论（第三强度理论） 这一理论认为最大切应力是引起塑性材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于何种应力状态，只要材料发生塑性屈服，其共同原因都是由于材料的最大切应力达到了与材料性能有关的某一极限值。
因为最大切应力的极限值与材料应力状态无关，因此这一极限值可用单向应力状态下的试验来确定。由单向拉伸试验可知，材料发生塑性屈服时，横截面上正应力为σ s ，同时与
轴线成45°
的斜截面上的最大切应力为max s 2τσ=。可见，s 2σ就是导致材料屈服的最大切应力的极限值，即s s 2τσ=。
根据这一理论，无论材料处于什么应力状态，只要max s 2τσ=，材料即发生屈服。由此可得材料的塑性屈服条件为
max s ττ=
由式（8.10）及s s 2τσ=，得材料塑性屈服条件为
13s σσσ?=
将极限应力s σ除以安全系数，得许用应力[]σ。所以按第三强度理论建立的强度条件是
[]13σσσ?≤
（8.22）
第8章 应力分析·强度理论
·187
· 试验表明最大切应力理论比较圆满地解决了塑性屈服现象。例如，低碳钢拉伸时沿与轴线成45°的方向出现滑移线，这是材料内部沿这一方向相对滑移的痕迹，而沿这一方向的斜截面上切应力也恰好为最大值。这一理论的缺陷是忽略了主应力2σ的影响。在二向应力状态下，与试验结果相比，这一理论偏于安全。
4．畸变能密度理论（第四强度理论） 这一理论认为畸变能密度是引起材料屈服的最主要因素。即认为无论材料处于何种应力状态，只要材料发生塑性屈服，其共同原因都是由于材料的畸变能密度达到了与材料性能有关的某一极限值。
因为畸变能密度的极限值与材料应力状态无关，因此这一极限值可用单向应力状态下的试验来确定。由单向拉伸实验可知，材料发生塑性屈服时，1s σσ=，230σσ==，这时的
畸变能密度就是材料发生塑性屈服时极限值0d u ，根据式（8.19）有
()()()()22202d 122331s 11266u E E μμσσσσσσσ++??=?+?+?=?
? （8.23） 按照这一理论，材料发生塑性屈服的条件为 0d d u u = （8.24）
将式（8.19）和式（8.23）代入式（8.24），化简得材料塑性屈服条件
s σ= 将极限应力s σ除以安全系数，得许用应力[]σ。所以按第四强度理论建立的强度条件是
（8.25）
在平面应力状态下，该理论较第三强度理论更符合实验结果。实验表明，这一强度理论与碳素钢和合金钢等韧性材料的塑性屈服实验结果吻合的相当好。大量试验还表明，这一强度理论能够很好地描述铜、镍、铝等大量工程韧性材料的屈服状态。
由于机械、动力行业的载荷往往较不稳定，因而较多地采用偏于安全的第三强度理论；土建行业的载荷往往较为稳定，因而较多地采用第四强度理论。
在工程实际中，如何选用强度理论是个复杂的问题。一般来说，铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料通常以断裂的方式失效，宜采用第一和第二强度理论。碳、钢、铝、铜等塑性材料通常以屈服的方式失效，宜采用第三和第四强度理论。
从式（8.20）～式（8.25）的形式来看，可以把这4个强度理论所建立的强度条件写成统一形式
[]r i σσ≤ ()1234i =、、、 （8.26）
式中，r i σ是构件危险点处3个主应力按一定形式的组合。从式（8.26）的形式上来看，这种主应力的组合r i σ和单向拉伸时拉应力在安全程度上是相当的，因此，通常称r i σ为相当应力。按照式（8.20）～式（8.25）顺序，相当应力分别为
材 料 力 学
·188
· ()
r11
r2123r313
r4σσσσμσσσσσσ==?+=?= （8.27）
【例8.7】 试分析Q 235钢在纯剪切应力状态（图8.12）下的剪切屈服
极限s τ与拉压屈服极限s σ之间的关系。
【解】：由图8.12可知0x y σσ==，xy ττ=，代入式（8.4）可得纯
剪切应力状态下的3个主应力分别为
1στ=，20σ=，3s στ=?
Q 235钢在纯剪切应力状态下发生屈服时，即s xy ττ=时，则有 1s στ=，20σ=，3s στ=?
将它们代入第三强度强度理论的塑性屈服条件，得
s s 2τσ=
即 s s
0.5τσ=
若应用第四强度理论的塑性屈服条件，则可得
s s σ=
即
s s 0.577τσσ= 因此，一些规范对于拉、压屈服极限相同的塑性材料，其许用切应力[]τ通常取为许用
拉应力[]σ的（0.5~0.577）倍。
【例8.8】 图8.13（a ）所示摇臂，用Q 235钢制成。已知载荷F = 3.6 kN ，横截面B 的高度h = 30 mm ，翼缘宽度b = 20 mm ，腹板与翼缘的厚度分别为12mm δ=与4mm δ=，截面的惯性矩429028mm z I =，抗弯截面系数31935.2mm z W =，截面A 与截面B 的间距l = 60 mm ，许用应力[]σ= 160 MPa 。试按第四强度理论校核B 截面的强度。
【解】：（1）问题分析。
由受力情况可知，图示摇臂AB 段可看成悬臂梁，发生平面弯曲变形，横截面B 的剪力与弯矩分别为
3s 3.610N F F ==×
35(3.610N)60mm 2.1610N mm M Fl =?=?××=?×
i
因而该截面上同时存在弯曲正应力与弯曲切应力。在截面的上、下边缘，弯曲正应力最大；在中性轴处，弯曲切应力最大；在腹板与翼缘的交界处，弯曲正应力与弯曲切应力均较大。因此，应对这3处进行强度校核。
图8.12 例8.7图
第8章 应力分析·强度理论
·189
· （2）最大弯曲正应力与最大弯曲切应力作用处的强度校核。
最大弯曲正应力为
[]5max 32.1610N mm 111.62MPa 1935.2mm z
M W σσ×===
()()()()*22s s max
11224283600N 20mm (30mm)20mm 2mm 30mm 24mm 829028mm 2mm z z z F S F bh b h I b I τδδδ??==???????=×???×??××
71.99MPa =
由于最大弯曲切应力的作用点处于纯剪切状态，由【例8.7】可知，对应第四强度理论得Q 235钢相应许用切应力为
[][]0.57792.3MPa τσ==
可见，[]max ττ<。
（3）在腹板与翼缘的交界处的强度校核。
在腹板与翼缘的交界处，弯曲正应力为
542.1610N mm 11mm 81.85MPa 229028mm z M h I σδ×??=?=×=????
i 该点处的弯曲切应力为 ()*s
s 1
4223600N 20mm 4mm 13mm 29028mm 2mm
64.49MPa
z z z F b h F S I b I δδτδ?==×××=×= 可见，交界处具有大小相当的正应力和切应力，其应力状态如图8.13（c ）所示，由公式（8.4）可求得该点处的主应力
图8.13 例8.9图
强度理论四个基本的强度理论 四个基本的强度理论分别为第一强度理论，第二强度理论，第三强度理论和第四强度理论。现将它们的有关知识点对应列于四个强度理论比较表，以便于比较学习。未在表中涉及的内容，此处给出介绍。 第一强度理论--看一下它的强度条件的取得。 在简单拉伸试验中,三个主应力有两个是零，最大主应力就是试件横截面上该点的应力，当这个应力达到材料的极限强度sb时，试件就断裂。因此，根据此强度理论，通过简单拉伸试验，可知材料的极限应力就是sb。于是在复杂应力状态下，材料的破坏条件是 s1=sb(a) 考虑安全系数以后的强度条件是 s1≤[s](1-59) 需指出的是：上式中的s1必须为拉应力。在没有拉应力的三向压缩应力状态下，显然是不能采用第一 强度理论来建立强度条件的。 第二强度理论--看看它的强度条件的取得 此理论下的脆断破坏条件是 e1=ejx =sjx /E (b) 由式(1-58) 可知，在复杂应力状态下一点处的最大线应变为 e1=[s1-m(s2+s3)]/E 代入(b)可得 [s1-m(s2+s3)]/E =sjx /E 或[s1-m(s2+s3)]=sjx 将上式右边的sjx 除以安全系数及得到材料的容许拉应力[s]。故对危险点处于复杂应力状态的构件， 按第二强度理论所建立的强度条件是： [s1-m(s2+s3)]≤[s] (1-60) 第三强度理论--也来看看它的强度条件的取得 对于象低碳钢这一类的塑性材料,在单向拉伸试验时材料就是沿斜截面发生滑移而出现明显的屈服现象的。这时试件在横截面上的正应力就是材料的屈服极限ss，而在试件斜截面上的最大剪应力(即45°斜截面上的剪应力)等于横截面上正应力的一半。于是，对于这一类材料，就可以从单向拉伸试验中得到材料的 极限值txy txy =ss/2 按此理论的观点，屈服破坏条件是 tmax =txy =ss/2(c) 由公式(1-56)可知，在复杂应力状态下下一点处的最大剪应力为 tmax =(s1-s3)/2 其中的s1、s3分别为该应力状态中的最大和最小主应力。故式(c)又可改写为 (s1-s3)/2=ss/2 或(s1-s3)=ss 将上式右边的ss除以安全系数及的材料的容许拉应力[s]，故对危险点处于复杂应力状态的构件，按第 三强度理论所建立的强度条件是：
图8-1 第 8章 应力状态及强度理论 例8-1 已知应力状态如图7-1所示，试计算截 面m-m 上的正应力m σ与切应力m τ 。 解：由图可知，x 与y 截面的应力分别为 MPa x 100-=σ MPa x 60-=τ MPa y 50=σ 而截面m-m 的方位角则为 α= -30o 将上述数据分别代入式（7-1）与（7-2）， 于是得 ()()()()MPa m 5.11460sin 6060cos 250100250100-=?-?+?---++-=σ()()()MPa m 0.3560cos 6060sin 2 50100=?-?-?---=τ 例8-2 试用图解法解例8-1（图8-2a ）。 (a) (b) 图8-2 解：首先，在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-100，-60）与(50，60)分别确定A 和B 点图7-2b ）。然后，以AB 为直径画圆，即得相应的应力圆。 为了确定截面m-m 上的应力，将半径CA 沿顺时针方向旋转α2=60o至CD 处，所得D 点即为截面m-m 的对应点。 按选定的比例尺，量得OE =115MPa （压应力），ED =35MPa ，由此得截面 m-m 的正应力与切应力分别为
MPa m 115-=σ MPa m 35=τ 例 8-3 从构件中切取一微体，各截面的应力如图8-3a 所示，试用解析法与图解法确定主应力的大小及方位。 (a) (b) 图8-3 解：1.解析法 x 和y 截面的应力分别为 MPa x 70-=σ，MPa x 50=τ，0=y σ 将其代入式 (7-3）与 (7-5），得 }{MPa MPa 2696502070207022max min -=+?? ? ??--±+-=σσ ?-=??? ??--=?? ? ??-- =5.6202650arctan arctan max y x o σστα 由此可见， MPa 261=σ，02=σ，MPa 963-=σ 而正应力1σ 的方位角 o α则为-62.5o(图8-3a ）。 2.图解法 按选定的在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-70，50）与(0，-50)分别确定D 和E 点（图8-3b ）。然后，以DE 为直径画圆即得相应的应力圆。 应力圆与坐标轴σ相交于A 和B 点，按选定的比例尺，量得OA =26MPa ，
西南交it 大学应用力*与工程系材#^力学教研i 图示拉伸甄压缩的单向应力状态，材料的破 坏有两种形式： 塑性屈服；极限应力为0■力=<5；或bpO2 腌性斷裂；极限应力为O ■必= CJ\ 此时，4 O>2和偽可由实验测得.由此可建 互如下S 度余件： ^mai 其中n 为安全系数? 2）纯剪应力状态： 图示纯剪应力狀态，材料的破 坏有两 种形式： 塑性屈服：极限应力为 腌性斯裂：极限应力为5 = 5 %和昭可由实验测得.由此可建立如下 =(^■1 it §7.7强度理论及其相当应力 1、概述 1）单向应力状态: a. ＜亠［6 n 其中, ?度条件:
前述a 度条件对材料破坏的原因并不深究.例如 图示低碳钢拉（压）时的强度条件为： r V J - b, b|nw W — — — // n 然而，其屈服是由于 YnurJl 起的,对?示单向 应力状态，有： 「niu 依照切应力强度条件，有： 4）材料破坏的形式 常温、静栽时材料的破坏形式大致可分为: ?腌性斷裂型： 例如：铸铁：拉伸、扭转等； "钢：三向拉应力状态. -塑性屈月艮型： 例如：低碳钢：拉伸、扭转寻； 铸铁：三向压缩应力状态. 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关. , 5）强度理论 根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为强度理论. 常用的破坏判据有： 旎性断裂：5,磁可皿 ?性斷裂：V； 下面将讨论常用的-基于上述四种破坏判据的?虞理论. 材料力学试卷1 一、结构构件应该具有足够的 、 和 。（本题3分） 二、低碳钢拉伸破坏经历了四个典型阶段： 阶段、 阶段、 阶段和 阶段。 衡量材料强度的指标是 、 。 （本题6分） 三、在其他条件不变的前提下，压杆的柔度越大，则临界应力越 、临界力越 ； 材料的临界柔度只与 有关。 （本题3分） 四、两圆截面杆直径关系为：123D D =， 则 1 2Z Z I I =； 1 2Z Z W W =； 1 2P P I I =； 1 2P P W W =； （本 题8分） 五、已知构件上危险点的应力状态，计算第一强度理论相当应力；第二强度理论相当应力；第三强度理论相当应力；第四强度理论相当应力。泊松比3.0=μ。（本题15分） 六、等截面直杆受力如图，已知杆的横截面积为A=400mm 2， P =20kN 。试作直杆的轴力图；计算杆内的最大正应力；材料的弹性模量E =200Gpa ，计算杆的轴向总变形。（本题15分） 七、矩形截面梁，截面高宽比h=2b，l=4米，均布载荷q=30kN/m许用应力[]MPa 100 = σ，1、画梁的剪力图、弯矩图2、设计梁的截面(本题20分)。 八、一圆木柱高l=6米，直径D=200mm ，两端铰支，承受轴向载荷F=50kN，校核柱子 的稳定性。已知木材的许用应力[]MPa 10 = σ，折减系数与柔度的关系为：2 3000 λ ?= 。(本 题15分) 九、用能量法计算结构B 点的转角和竖向位移，EI 已知。（本题15分） 材料力学试卷2 一、（5分）图（a ）与图（b ）所示两个矩形微体，虚线表示其变形后的情况，确定该二微体在A 处切应变b a γγ的大小。 二、（10分）计算图形的惯性矩 y z I I 。图中尺寸单位：毫米。 40 MPa .word 可编辑 . 应力状态强度理论 1. 图示单元体，试求60100 MPa (1)指定斜截面上的应力； (2)主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解： (1) x y x y cos 2x sin 276.6 MPa 22 x y sin 2x cos232.7 MPa 2 3 1 (2)max xy( x y) 2xy281.98MPa39.35 min22121.98 181.98MPa，2 ，3121.98MPa 12 xy1200 0arctan()arctan39.35 2x y240 200 6060 2. 某点应力状态如图示。试求该点的主应力。129.9129.9解：取合适坐标轴令x25 MPa，x 由 120xy sin 2xy cos20 得 y 2 所以m ax x y ( xy ) 2xy 2 m in 22 129.9 MPa 2525 (MPa) 125MPa 50752( 129.9)250 150100 MPa 200 1 100 MPa，20 ，3200MPa 3. 一点处两个互成45 平面上的应力如图所示，其中未知，求该点主应力。 解：y150 MPa，x120 MPa .word 可编辑 . 由得45x y sin 2xy cos 2x 15080 22 x10 MPa 所以max xy(x y) 22 22xy min y x 45 45 45 214.22 MPa 74.22 1214.22 MPa，20 ， 45 374.22 MPa 4.图示封闭薄壁圆筒，内径 d 100 mm，壁厚 t 2 mm，承受内压 p 4 MPa，外力偶矩 M e 0.192 kN·m。求靠圆筒内壁任一点处的主应力。 0.19210 3 解： xπ(0.104 40.14)0.05 5.75MPa t 32 x y pd MPa 50 4t pd MPa 100 2t M e p M e max x y(x y ) 2 xy2 min22100.7 MPa 49.35 1100.7 MPa，249.35 MPa，3 4 MPa 5.受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使 x 100 MPa，x 20MPa40 MPa100 MPa xy x y 12020 MPa 22cos2x sin 2 学号 姓名 2-1 求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A 1=A 2=1150mm 2。 2-2 求下列各杆内的最大正应力。 （3）图(c)为变截面拉杆，上段AB 的横截面积为40mm 2，下段BC 的横截面积为30mm 2，杆材料的ρg =78kN/m 3。 A E C D B 2-4一直径为15mm，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，确定材料的弹性模量E、泊松比ν。 2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100×100mm2；下段为铝制，长300mm，截面尺寸为200×200mm2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了0.4mm，试求F值。已 知E 钢=200GPa，E 铝 =70GPa。 2-7图示等直杆AC，材料的容重为ρg，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位移ΔB。 学号姓名 2-8图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。 2-11图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB 杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。 2-12图示结构中的CD杆为刚性杆，AB杆为钢杆，直径d=30mm，容许应力［σ］=160MPa，弹性模量E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载F。 2-14图示AB为刚性杆，长为3a。A端铰接于墙壁上，在C、B两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住，使AB杆保持水平。在D点作用荷载F后，求两杆内产生的应力。设弹性模量为E，横截面面积为A。 第五章应力状态分析与强度理论 1、内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态 通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。 1.2一点的应力状态的表示方法——单元体 研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。 1.3主平面、主应力 单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应的主应力用、、来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即。是最大主应力，是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。 1.4应力状态的分类 （1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零；（2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。 单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。 2.平面应力状态分析的解析法 在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。 2.1任意斜截面上的应力 当已知、、时，应用截面法，可得 （5-1） 式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；为斜截面外法线与x平面外法线即x 轴间的夹角，角从x轴量起，反时针转向为正，反之为负。 2.2主应力 （5-2） 式中，和分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。三个 7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x ασσσσ σατα+-= + -=sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）max 261.82 x y MPa σσσ+= = min 38.22x y MPa σσσ+== MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 7.2扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 2 στ τ 7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应 变4 100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传 递的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο 60 方向上的正应变4 60101.4-?=ο ε，E=200GPa ，0.3υ=， 试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P=36.2KN ο 材 料 力 学 ·170 · 第8章 应力分析·强度理论 8.1 概 述 前面几章中，分别讨论了轴向拉伸与压缩、扭转和弯曲等几种基本变形构件横截面上的应力，并根据相应的实验结果，建立了危险点处只有正应力或只有切应力时的强度条件 []max σσ≤或[]max ττ≤ 式中：max σ或max τ为构件工作时最大的应力，由相关的应力公式计算；[]σ或[]τ为材料的许 用应力，它是通过直接实验（如轴向拉伸或纯扭），测得材料相应的极限应力，再除以安全因数获得的，没有考虑材料失效的原因。这些强度条件的共同特点是：其一，危险截面的危险点只有正应力或只有切应力作用；其二，都是通过实验直接确定失效时的极限应力。 上述强度条件对于分析复杂情形下的强度问题是远远不够的。例如，仅仅根据横截面上的应力，不能分析为什么低碳钢试样拉伸至屈服时，表面会出现与轴线成45°角的滑移线；也不能分析铸铁圆试样扭转时，为什么沿45°螺旋面断开；根据横截面上的应力分析和相应的实验结果，不能直接建立既有正应力又有切应力存在时的强度条件。 实际工程中，构件受力可能非常复杂，从而使得受力构件内截面上一点处往往既有正应力，又有切应力。对于这些复杂的受力情况，一方面要研究通过构件内某点各个不同方位截面上的应力变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在的截面方位；另一方面需要研究材料破坏的规律，找出材料破坏的共同因素，通过实验确定这一共同因素的极限值，从而建立相应的强度条件。 本章主要研究受力构件内一点的应力状态，应力与应变之间的关系（广义胡克定律）以及关于材料破坏规律的强度理论，从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的理论基础。 8.2 一点的应力状态·应力状态分类 受力构件内一点处不同截面上应力的集合，称为一点的应力状态。为了描述一点的应力状态，在一般情况下，总是围绕这点截取一个3对面互相垂直且边长充分小的正六面体，这一六面体称为单元体。当受力构件处于平衡状态时，从构件内截取的单元体也是平衡的，单元体的任何一个局部也必是平衡的。所以，当单元体3对面上的应力已知，就可以根据截面法求出通过该点的任一斜截面上的应力情况。因此，通过单元体及其3对互相垂直面上的应力，可以描述一点的应力状态。 为了确定一点的应力状态，需要先确定代表这一点的单元体的6个面上的应力。为此，在单元体的截取时，应尽量使其各面上应力容易求得。 ANSYS后处理中应力 查看总结 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- SX：X-Component of stress;SY： Y-Component of stress;SZ：Z-Component of stress，X,Y,Z轴方向应力 SXY：XY Shear stress;SYZ：YZ Shear stress;，SXZ：XZ Shear stress，X，Y,Z三个方向的剪应力。 S1：1st Principal stress;S2： 2st Principal stress;，S3：3st Principal stress 第一、二、三主应力。区分：首先把一个微元看成是一个正方体，那么假设三个主应力分别是F1 F2 F3，那么如果三个力中哪个力最大，就是F1,也是最大主 应力，也叫第一主应力，第二大的叫第二主应力，最小的叫第三主应力，因此，是根据大小来定的。 SINT：stress intensity（应力强度），是由第三强度理论得到的当量应力，其值为第一主应力减去第三主应力。 SEVQ:Von Mises是一种屈服准则,屈服准则的值我们通常叫等效应力。Ansys后处理中 'Von Mises Stress'我们习惯称Mises等效应力，它遵循材料力学第四强度理论(形状改变比能理论)。 我们分析后查看应力，目的就是在于确定该结构的承载能力是否足够。那么承载能力是如何定义的呢？比如混凝土、钢材，应该就是用万能压力机进行的单轴破坏试验吧。也就是说，我们在ANSYS计算中得到的应力，总是要和单轴破坏试验得到的结果进行比对的。所以，当有限元模型本身是一维或二维结构时，通过查看某一个方向，如plnsol,s,x等，是有意义的。但三维实体结构中，应力分布要复杂得多，不能仅用单一方向上的应力来代表结构此处的确切应力值——于是就出现了强度理论学说。 第七章 应力和应变分析 强度理论 §7.1应力状态概述 过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态 §7.2二向和三向应力状态的实例 §7.3二向应力状态分析—解析法 1．任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。 在外法线n 和切线t 上列平衡方程 αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+ 0s i n )s i n (c o s )s i n (=-+αασαατdA dA y yx αασαατ τsin )cos (cos )cos (dA dA dA x xy a -- 0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y 根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22 α ααα-=+= ， ααα2sin cos sin 2= 简化两个平衡方程，得 ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += xy τyx τn α t ατασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= 2．极值应力 将正应力公式对α取导数，得 ?? ????+--=ατασσασα 2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数 0=α σα d d ，则 02cos 2sin 2 00=+-ατασσxy y x y x xy tg σστα-- =220 上式有两个解：即0α和 900±α。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= ??? 0α代入剪力公式，0ατ为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平 面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。 将切应力公式对α求导，令 02sin 22cos )(=--=ατασσα τα xy y x d d 若1αα=时，能使导数0=α τα d d ，则在1α所确定的截面上，剪应力取得极值。通过求导可得 02sin 22cos )(11=--ατασσxy y x xy y x tg τσσα221-= 求得剪应力的最大值和最小值是： 2 2min max )2 ( xy y x τσσττ+-±=??? 与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方 知识点9：应力状态理论和强度理论 一、应力状态理论 （一）应力状态的概念 １．一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截面上应力也不相同。过构件内某一点不同方位上总的应力情况，称为该点的应力状态。 ２．研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单元体）来考虑。单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时，可通过截面法确定该点任一截面上的应力。截取单元体时，应尽可能使其三个互相垂直截面的应力为已知。 ３．单元体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元 体，称为主单元体。它的三个主应力通常用σ １，σ ２ 和σ ３ 来表示，它们按代数值 大小顺序排列，即σ １＞σ ２ ＞σ ３ 。 ４．一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况可分为三类：只有一个主应力不等于零时，称为单向应力状态；有两个主应力不等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时，称为三向应力状态。其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态，单向应力状态称为简单应力状态。 5．研究一点的应力状态是对构件进行强度计算的基础。 （二）平面应力状态的分析 １．分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值，从而求得任一斜截面上的应力。 ２．应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面，应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。应力圆一点的坐标为单元体相应截面上的应力值；单元体两截面夹角为α，应力圆上两对应点中心角为２α；应力圆与σ轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径为单元体的最大切应力值。 ３．在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一对与主平面夹角为４５?的最大（最小）切应力截面。 ４．在平面应力状态中，任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。 图9-1（a ）所示单元体为平面应力状态的一般情况。单元体上，与x 轴垂直的平面称为x 平面，其上有正应力σx 和切应力τxy ；与y 轴垂直的平面称为y 平面，其上有正应力σy 和切应力τyx ；与z 轴垂直的z 平面上应力等于零，该平面是主平面，其上主应力为零。平面应力状态也可用图9-1（b ）所示单元体的平面图来表示。设正应力以拉应力为正，切应力以截面外法线顺时针转90?所得的方向为正，反之为负。 （a ） （b ） （c ） 图9-1 图9-1（c ）所示斜截面的外法线与x 轴之间的夹角为α。规定α角从x 轴逆时针向转到截面外法线n 方向时为正。α斜截面上的正应力和切应力为： ??? ??? ? +-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 最大正应力和最小正应力 2 2 min max 22xy y x y x τσσσσσσ+??? ? ? ?-±+= 第八章 应力状态和强度理论 授课学时：8学时 主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。 $8.1应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力 1．应力状态 过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态 2．单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力 A N =σ 斜截面上的应力 ασα cos cos ===A P A P p a a 斜截面上的正应力和切应力为 ασασ2cos cos ==a a p ασ ατ2sin 2 sin = =a a p 可以得出 0=α时 σσ=max 4 π α= 时 2 m a x σ τ= 过A 点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，即为321σσσ≥≥。 P P a a α $8.2二向应力状态下斜截面上的应力 1． 任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。 在外法线n 和切线t 上列平衡方程 αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+ 0sin )sin (cos )sin (=-+αασαατdA dA y yx αασααττ sin )cos (cos )cos (dA dA dA x xy a -- 0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y 根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22 α ααα-=+= ， ααα2sin cos sin 2= 简化两个平衡方程，得 ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += ατασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= 2．极值应力 将正应力公式对α取导数，得 ?? ????+--=ατασσασα 2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数 0=α σα d d ，则 02cos 2sin 2 00=+-ατασσxy y x y x xy tg σστα-- =220 上式有两个解：即0α和 900±α。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取 xy τyx τn α t // 学号 姓名 2-1 求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A 1=A 2=1150mm 2。 2-2 求下列各杆内的最大正应力。 （3）图(c)为变截面拉杆，上段AB 的横截面积为40mm 2，下段BC 的横截面积为30mm 2，杆材料的ρg =78kN/m 3。 A E C D B -2- 2-4 一直径为15mm ，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm ，直径缩小了0.022mm ，确定材料的弹性模量E 、泊松比ν。 2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm ，截面尺寸为100×100mm 2；下段为铝制，长300mm ，截面尺寸为200×200mm 2。当柱顶受F 力作用时，柱子总长度减少了0.4mm ，试求F 值。已知E 钢=200GPa ，E 铝=70GPa 。 2-7 图示等直杆AC ，材料的容重为ρg ，弹性模量为E ，横截面积为A 。求直杆B 截面的位移ΔB 。 // 学号姓名 2-8图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。 2-11图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB 杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。 学号姓名 2-1求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2。 2-2求下列各杆内的最大正应力。 （3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为40mm2，下段BC的横截面积为30mm2， 杆材料的ρg=78kN/m3。 A E C D B 2-4一直径为15mm，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，确定材料的弹性模量E、泊松比ν。 2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100×100mm2；下段为铝制，长300mm，截面尺寸为200×200mm2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了0.4mm，试求F值。已 知E 钢=200GPa，E 铝 =70GPa。 2-7图示等直杆AC，材料的容重为ρg，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位移ΔB。 学号姓名 2-8图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。 2-11图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB 杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。 2-12图示结构中的CD杆为刚性杆，AB杆为钢杆，直径d=30mm，容许应力［σ］=160MPa，弹性模量E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载F。 2-14图示AB为刚性杆，长为3a。A端铰接于墙壁上，在C、B两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住，使AB杆保持水平。在D点作用荷载F后，求两杆内产生的应力。设弹性模量为E，横截面面积为A。 第8章作业参考解答 本章主要公式： 五种强度理论的强度条件统一形式： σr ≤［σ］ 式中σr 称为相当应力 (equivalent stress), 五种强度理论的相当应力分别为: 第一强度理论：11s s =r 第二强度理论：)(3212s s n s s +-=r 第三强度理论：313s s s -= 第四强度理论：= 4r s ])()()[(2 1 213232221s s s s s s -+-+- 莫尔强度理论：31] [] [s s s s s c t rM - = 8-3 炮筒横截面如图所示。在危险点处，σt =60MPa ，σr =-35MPa ，第三主应力垂直于纸面为拉应力，其大小为40MPa ，试按第三和第四强度论计算其相当应力。 解：第三强度理论相当应力313r s s s =- 第四强度理论相当应力4r s = 这里160MPa s =，240MPa s =，335MPa s =- 故31395MPa r s s s =-= 486.75MPa r s = = 8-6 已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力σ1=-650MPa ，σ2=-700MPa ，σ3=-900MPa 。如钢轨的容许应力［σ］=250MPa ，试用第三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。 解：第三强度理论相当应力313r s s s =- 第四强度理论相当应力4r s = 这里1650MPa s =-，2700MPa s =-，3900MPa s =- 故313250MPa=[]r s s s s =-= 4229MPa<[]r s s = = 所以该点满足强度要求。 8-7 受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A 处的应力状态如图(b)所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得：εx =1.88×10-4，εy =7.37×10-4。已知钢材弹性模量E =2.1×105MPa ，横向变形系数v =0.3，［ σ］=170MPa 。试用第三强度理论对A 点处作强度校核。 解：该点处于平面应力状态，由广义胡克定律 1()1()x x y y y x E E e s ns e s ns ì=-??í ?=-?? 第七章 应力状态和强度理论习题 一、单项选择题 1、第三强度理论和第四强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料 C 、金属材料， D 、非金属材料 2、第一强度理论和第二强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料， C 、金属材料， D 、非金属材料。 二、 填空题 1、 对于单元体，切应力等于零的平面叫做 ，该平面上的正应力叫做 。 2、第一、二强度理论适合于 材料；第三、四强度理论适合于 材料。 3、第三强度理论的相当应力为 。 4、单元体上只有一对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。 5、单元体上只有二对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。 6、单元体上三对主应力数值都不等于零的应力状态称为 应力状态。 三、填空题 1、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。 答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa, σ3= Mpa, τmax = Mpa 。 2、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。 答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa, 图 7.3.1 图 7.3.2 σ3= Mpa, τmax = Mpa 。 3、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。 4、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 。 试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。 1、A 2、B 二、填空题 1、主平面 主应力 2、 脆性 塑性 3 、r313s s s =- 4、单向 5、二向 6、三向 二、填空题 1、 2、 3、解： （1）应力分量 50020x y x MPa MPa σστ===- max min 57.0507.022x y MPa MPa σσσσ+??===??-?? MPa MPa 0.70 0.57321-===∴σσσ （2）最大剪应力 MPa 0.3220 .70.572 3 1max =+= -= σστ 第七章 应力状态和强度理论习题答案 一、单项选择题 1、A 2、B 二、填空题 1、主平面 主应力 2、 脆性 塑性 3、主平面 主应力 4 、eq313 s s s =- 5、主平面 主应力 6、单向 7、二向 8、三向 二、填空题 1、解： （1）应力分量 MPa MPa xy y x 200 50-===τσσ max min 57.0507.022x y MPa MPa σσσσ+??==±=??-?? MPa MPa 0.70 0.57321-===∴σσσ （2）最大剪应力 MPa 0.3220 .70.572 3 1max =+= -= σστ 2、解： （1）应力分量 MPa MPa MPa xy y x 253060-===τσσ max min 74.2603015.822x y MPa MPa σσσσ+??+=±= ±=???? 08 .152.74321===∴σσσMPa （2）最大剪应力 MPa 1.3720 2.742 3 1max =-= -=σστ 三、计算题 1、 解 简化力系 () ()() [] 200m m d 32 109.11025.1W T M m 25KN .12 1 5.22D F -2F M 9.5KN 522.52F F F F 3 2 62 6Z 2 Max 2Max r3P ≈≤?+?= +=?=?===++=++=解出总σπσd 2、解 由题 () ()() [] σπσ≤≈?+?= +=-=??=??=?=≤≤?-==??=??=?=∑MPa d W T M M T m m N L X X F Z r AB 12932 104.1105.1105.1150101L F M 0M 0M mm N 104.1140101L F M 3 2 52 52 2353AB Max 1A 53BC 所以符合强度 3、解： （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F1、F2向轴线简化，结果如图 传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ， 此力使轴在竖向平面内弯曲。 附加力偶为： ()()m kN 8.16.03621?=?-=-=R F F M e ， 此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。 （2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图。 危险截面上的弯矩m kN 2.4?=M ，扭矩m kN 8.1?=T （3）强度校核 第十章强度理论 同济大学航空航天与力学学院顾志荣 一、教学目标 掌握强度理论的概念。 了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。 了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。 掌握常用的四个强度理论的相当应力。 了解莫尔强度理论的基本观点。 会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。 二、教学内容 讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。 讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。 介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。 简单介绍莫尔强度理论。 三、重点难点 重点：强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。 难点：常用四个强度理论的理解；危险点的确定及其强度计算。 四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、计划学时 2学时 六、实施学时 七、讲课提纲 (一)为什么需要强度理论及强度理论的概念？ 1、为什么需要强度理论(回顾基本变形下强度条件的建立） 2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？ 3、强度理论的概念 4、四个强度理论及其相当应力 (二)四个强度理论 第一强度理论——最大拉应力理论 第二强度理论——最大拉应变理论 第三强度理论——最大剪应力理论 第四强度理论——?????形状改变比能理论 均方根剪应力理论 (三)相当应力 11σσ=r -=12σσr μ)(32σσ+ 313σσσ-=r 2132322214)()()(2 1 σσσσσσσ-+-+-= r (四)复杂应力状态下强度条件的表达式 σr ≤[σ] (一)为什么需要强度理论？强度理论的概念 1、回顾构件处于简单变形下的强度条件的建立 [拉、压] （单向） 图10-1 强度条件： []n A F o N σσσ=≤=，b S o σσσ由试验得材料力学试题及答案解析7套
材料力学B试题7应力状态_强度理论.docx
河海大学材料力学习题册解答解析
应力状态分析与强度理论
第7章应力状态和强度理论(答案)
8章应力分析·强度理论
ansys后处理各种应力解释
第三强度理论.
知识点应力状态理论和强度理论
应力状态分析和强度理论
河海大学材料力知识学习进步题册规范标准答案解析
河海大学材料力学习题册答案解析
第8章强度理论作业参考解答
第七章应力状态和强度理论习题
第七章应力状态和强度理论习题答案
第十章强度理论(讲稿)材料力学教案(顾志荣).
相关主题
文本预览