9 强度理论
1、 脆性断裂和塑性屈服
脆性断裂:材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
塑性屈服:材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
2、四种强度理论
(1)最大拉应力理论（第一强度理论）
材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,即：0
1σσ= (2)最大伸长拉应变理论（第二强度理论）：
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达 到极限值导致的,即： 0
1εε=
(3)最大切应力理论（第三强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了某一极限 值,
即：
0max ττ=
(4)形状改变比能理论（第四强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值,即：u u 0
d
d =
强度准则的统一形式 [] σσ≤*
其相当应力: r11σ=σ
r2123()σ=σ-μσ+σ
r313
σ=σ-σ
222
r4122331
1
()()()
2
??
σ=σ-σ+σ-σ+σ-σ
??
3、摩尔强度理论的概念与应用；
4、双剪强度理论概念与应用。
9.1图9.1所示的两个单元体，已知正应力σ=165MPa，切应力τ=110MPa。试求两个单元体的第三、第四强度理论表达式。
图9.1
[解]（1）图9.1（a）所示单元体的为空间应力状态。注意到外法线为y及－y的两个界面上没有切应力，因而y方向是一个主方向，σ是主应力。显然，主应力σ对与y轴平行的斜截面上的应力没有影响，因此在xoz坐标平面可以按照平面应力状态问题对待。外法线为x、z轴两对平面上只有切应力τ，为纯剪切状态，可知其最大和最小正应力绝对值均为τ,则图9.1（a）所示单元体的三个主应力为：
τ
σ
τ
σ
σ
σ-
=
=
=
3
2
1
、
、
,
第三强度理论的相当应力为
()
eq313
165110275
a
σσσστ
=-=+=+=
MPa
第四强度理论的相当应力为：
()()()
222
()
eq4122331
1
2
a
σσσσσσσ
??
=-+-+-
??
()()()
222
1
2
σττττσ
??
=-+++--
??
()()()
222
1
1651102110110165252.0
2
??
=-+?+--=
??
MPa
解题范例
(2)图9.1(b)所示单元体,其主应力为
第三强度理论的相当应力为：
()
eq31322055275b σσσ=-=+=MPa
第四强度理论的相当应力为：
()
eq4a σ=
252.0=
=MPa
9.2一岩石试件的抗压强度为[]σ=14OMPa,E=55GPa, μ=0.25, 承受三向压缩。己知试件破坏时的两个主应力分别为1σ=-1.4MPa 和2σ= -2.8MPa ，试根据第四强度理论推算这时的另一个方向的主应力为多少？
[解] 设另一个方向的主应力为σ,则根据第四强度理论可得
[]4σσ=
≤
228.4639188.240σ+-=
解得
138MPa σ=-
所以,另一个方向的主应力为-138MPa.
9.3薄壁圆筒容器,筒壁材料处于二向应力状态,按第三强度理论建立的强度条件是什么?
[解] 第一强度理论认为最大拉应力1σ是引起材料脆性断裂破坏的主要因素,这一理论强度条件为[]11r σσσ=≤;
第二强度理论认为最大伸长线应变是引起材料脆性断裂破坏的主要因素,其强度条件为()[]1123r σσμσσσ=-+≤;
第三强度理论认为最大切应力max τ是引起材料塑性屈服破坏的主要因素,
其强度条件
123220.011165,0
55.022
σσσσ??=±=±==??-a a 220MP 55MP -
为
[]313r σσσσ=-≤;
第四强度理论认为另外的两个主应力也影响材料的塑性屈服,其强度条件
()()()[]222
412233112r σσσσσσσσ??=
-+-+-≤?
?； 其中,可以直接根据破坏情况不同,来选择强度理论,例如铸铁,砖石与混凝土一类塑性材料,一般发生脆性断裂破坏,通常采用第一强度理论;而钢材一类塑性材料的破坏形态多为塑性屈服通常采用第二或第四强度理论。
9.4 图9.2示的薄壁圆筒受最大压时,测得εx =1.88?10-4, εy =7.37?10-4,已知钢的E=210GPa ，[σ]=170MPa,泊松比μ=0.3，试用第三强度理论校核其强度。
[解] 由广义虎克定律得
所以 123183.1MPa ,94.4MPa ,0σ=σ=σ= 用第三强度理论 []r313a
183.1MP σ=σ-σ=σ
因为
[]
[]
r300181.3170
7.7170
σ-σ-=
=σ
所以，此容器不满足第三强度理论，不安全。
=+-=)(12x y y E μεεμ
σMPa 1.18310)88.13.037.7(3.011.27
2=??+-=+-=
)(12y x x E μεεμσMPa 4.9410)37.73.088.1(3.011.272
=??+-图 9.2
A
9.1对于等直杆的截面形状,危险点应力状态及变形形式来说,按第三强度理论建立的
强度条件,则[]
r313
σσσσ
=-≤适用于拉伸,压缩屈服极限相同;[]
22
3
4
r
σστσ
=+≤适用于单向拉伸或纯剪切; []
22
3
n
r
M M
σσ
+
=≤适用于弯扭组合。
9.2第一和第二强度理论只适用于脆性材料, 第三和第四强度理论只适用于塑性材料。这种说法是否正确? 为什么?
[答]这种说法完全正确.因为材料的脆性和塑性不是绝对的.例如:石这样的材料,在常温静载下,承受单向压缩时,显示出脆性断裂,但在三向压缩时,却可以有很好的塑性;有如,象低碳钢这样塑性很好的材料,在低温或很高的加载速度下,却显示出脆性破坏.因而,把塑性材料和脆性材料理解为材料处于塑性状态或脆性状态更为确切些。
9.3试用第三强度理论分析图9.3 所示四种应力状态中哪种最危险(应力单位为MPa)。
图9.3
[解]（a）三个主应力
123
90MPa,30MPa,10MPa
σ=σ=σ=
按第三强度理论
13
80MPa
σ-σ=
(b)
123
90MPa,0,10MPa
σ=σ=σ=-
13
100MPa
σ-σ=
(c)
12
90MPa,90MPa,0
σ=σ=σ=
13
90MPa
σ-σ=
(d) 123
90MPa,0
σ=σ=σ=
习题解析
1390MPa σ-σ= 所以,四种应力状态中(b)危险。
9.4一脆性材料制成的圆管 , 径 d=0.lm, 外径 D=0.15m, 承受扭矩 Mn=70kN ·m, 轴向压力 P 。如材料的拉伸强度极限为 10OMPa, 压缩强度极限为 25OMPa, 试用第一强度理论确定圆管破坏时的最大压力 P 。
[解] 在扭矩的作用下,圆管产生扭转,横截面上的最大切应力为
()
MPa
d W M p n 132116
11070433
max =-?==απτ 在轴向压力作用下, 横截面上的应力 A
P x -
=σ
主应力
()
[]
2
212
2
x x
x σσστσ=
+
+≤
即
()
2
22
132100
2
x x
σσ+
+≤
所以
MPa x 24.74-≤σ , ()kN d D A P x 5.7284
1
24.7422=-?=≤πσ
9.5 如图 9.4 所示,在船舶螺旋桨轴的 F-F 截面上,由于主机扭矩引起的切应力
τ=14.9MPa, 由推力引起的压应力 σ‘x=-4.2MPa, 由螺旋桨等重力引起的最大弯曲正应
力'
x σ= 士 22MPa ,试求截面 F-F 上危险点 C 的主应力大小及其方位,并求出最大切应
力。若轴的材料许用应力 [σ]=10OMPa, 试按第三强度理论校核该轴的强度。
图9.4
[解] 根据题意可知, x y 4.22226.2MPa,0σ=--=-σ=,
x 14.9MPa
τ=
1、主应力
MPa x x x
74.69.141.131.1322222
2
1=++-=+??? ??+=τσσσ
MPa x x x
94.328.191.13222
2
3-=--=+??
? ??-=τσσσ , 20σ=
设最大主应力方位角为?,即
2214.9
2 1.14
26.2
x x y tg τ?σσ?=-
=-=--
2?是第三象限的角,即
2228.7,114?=??=?
最大切应力
()MPa 84.192
1
31max =-=
σστ 2、按第三强度理论校核
()[]MPa MPa 10068.3931=≤=-σσσ 强度满足。
9.6 如图 9.5 所示,(1)用钢钉联接的薄壁容器,在同样的长度,纵向的娜钉数比横向的
多一倍,为什么?(2) 冬天自来水管会因结冰时受压而被涨破,显然水管中的冰也受到同样的反作用力,为何冰不破坏而水管破坏?试解释之。
图9.5
[答] (1)用截面法可得，薄壁容器横纵向截面上的正应力分别是，横向正应力是纵向正应力的2倍,往往沿纵向拉裂，因此在同样的长度,纵向的铆钉数比横向的多一倍。
(2)在冬天,水管水结冰后体积会膨胀,水管与冰之间产生作用力与反作用力,当周向应变达到最大值时，即达到水管的强度极限时会产生脆性断裂。
9.7 如图 9.6 所示,已知
MPa
MPa x y x 80,40-==-=σττ。
(1)画出单元体的主平面,并求出主应力; (2)画出切应力为极值的单元体上的应力;
(3)若材料是低碳钢,试按第三、四强度理论计算单元体的相当应力。
图 9.6
[解] (1)主应力
MPa
x x
56.166.562802222
1=+-=+???
??+=τσσσ MPa x x
6.966.562802222
3-=--=+??
? ??-=τσσσ
所以 12316.56MPa ,0,96.56MPa σ=σ=σ=- 最大主应力方位
240
tg2180
-??=
=-
2?是第三象限的角,即
2225,112.5?=??=?
（2）最大切应力
()()MPa 6.562
6.9656.1621
21max =--=-=
σστ 与最大主应力作用面之夹角为45?，参看下图。
x
τy
τ