机器人动力学研究的典型方法和应用
（燕山大学 机械工程学院）
摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。
前 言：机器人动力学的目的是多方面的。机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。
报告正文：
（1）机器人动力学研究的方法
1）牛顿—欧拉法
应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。
若刚体的质量为m ，为使质心得到加速度a 所必须的作用在质心的力为F ，则按牛顿方程有：ma F =
为使刚体得到角速度ω、角加速度εω= 的转动，必须在刚体上作用一力矩M ，
则按欧拉方程有：εωI I M +=
式中，F 、a 、M 、ω、ε都是三维矢量；I 为刚体相对于原点通过质心并与刚
体固结的刚体指标系的惯性张量。
牛顿—欧拉方程法是利用牛顿定律和欧拉方程建立动力学模型的方法。此法物理意义清晰，适合进行并联机构的正动力学问题和逆动力学问题。但此法需要考虑每个关节的约束反力，建模过程比较繁琐。
2）拉格朗日法
机器人动力学分析过程中采用拉格朗日方程法一般为二阶拉格朗日方程，是一种比较适合计算机计算方法。拉格朗日函数L 被定义为系统的动能k E 和位能p E 之差，即：L=k E -p E
系统动力学方程式，及拉格朗日方程日下：
式中，表示动能和位能的坐标，为相应的速度，而为作用在第i 个坐标上的力或是力矩。是力或是力矩，由为直线坐标或角坐标所决定。这些力、力矩和坐标称作广义力、广义力矩和广义坐标，n 为连杆数目。
拉格朗日法是基于能量平衡原理的建模方法。该方法通过求系统的动能和势能，建立拉格朗日函数，最终可以得到标准的拉格朗日方程。在求解过程中，避免了运动学加速度和角加速度的求解，推导过程相对简单。利用矩阵表示动力学模型，便于对机器人进行动力学控制。但是建模过程过于复杂，运算量较大一般在进行动力学分析时，常将机器人简化或忽略惯性影响，已达到简化模型提高运算效率的目的。
3）凯恩法
凯恩法是用达郎倍尔原理及虚位移原理建立动力学方程，它是建立机器人机构动力学模型的一种普遍方法，其基本思想是以广义速率代替广义坐标作为系统的独立变量。
凯恩动力学方程为：0F F r r =+*
）（）（ ，r=1,2，…，n 意为广义动力与广义惯性力之和等于零。
凯恩方程法在动力学建模中的突出优点是只需要计算矢量点积、叉积运算，避免了求导运算。因此计算效率高，便于计算机控制。
4）虚功原理法
虚功原理法是利用虚功原理建立动力学模型的方法，该方法避免了对关节力的计算，具有较高的运算效率。
除了以上方法外，还有高斯法、微分几何原理法、旋量对偶数法等。
（2）机器人动力学的应用
研究机器人动力学模型主要应用于机器人的设计和离线编程。在设计中需根据
连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算实际方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。
动力学研究物体的运动和受力之间的关系。机器人动力学有两个问题需要解决：动力学正问题，即根据关节驱动力矩或者力计算操作臂的运动（关节位移、速度和加速度）；动力学逆问题，即已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或者力。
例：基于动力学的PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构设计
1、机构介绍
PTl300型码垛机器人
虚拟样机如图1所示。
PTl300型码垛机器人的基
本结构由底座、主臂、前
臂、前臂驱动臂、前臂驱
动连杆、水平保持连杆、
水平保持三角臂、末端手
腕支架及平衡弹簧缸组
成。各关节依次称之为腰
关节、肩关节、肘关节以
及腕关节。平衡弹簧缸一
端固定
在距底座一定高度处，另
一端固定在主臂顶端，主
臂倾动时，平衡弹簧缸(即
平衡弹簧)由于被拉伸而
在肩关节产生转矩，以此达到
平衡主臂关节驱动力矩的目
的。
2计问题描述
PT1300型码垛机器人主臂弹
簧平衡机构如图2所示。
PTl300型码垛机器人主臂弹
簧平衡机构的平衡弹簧缸一
端固定在距底座高d处，另一端固定在主臂顶端，当主臂偏离竖直初始位置时平衡弹簧缸产生的作用力作用在肩关节上。如当主臂由初始位置转过角度如时弹簧缸与主臂之间就产生夹角0。，此时，处于拉伸状态下的弹簧在连接点处就产生拉力F，平衡弹簧缸在点O对机器人主臂产生平衡力矩肘，从而达到平衡目的。图2中，P 为前臂自重与末端负载在主臂顶端的作用力，G为主臂自重，Z：为主臂长度。
弹簧产生的拉力F为：F= KΔX
式中：K为弹簧刚度系数；ΔX为弹簧变形量。
拉力F的力臂，为：
（2）
式中：Z：为主臂长度；0：为主臂由初始竖直位置OY转过的角度；d为弹簧底端固定处距机器人底座的高度。弹簧产生的平衡力矩肘为：
M= （3）2．1优化对象与约束条件
由式(2)和式(3)知平衡力矩M的大小与弹簧的刚度系数K、弹簧变形量缸以及弹簧底端距机器人底座的高度d有关，而弹簧刚度系数K是影响弹簧拉力的重要参数，故选取弹簧刚度系数K作为优化对象，即Xo=K，给定弹簧初始长度=1230mm，d=280mm。K取值应在一定范围内，即，建议取。
2．2 目标函数
弹簧平衡机构主要作用是平衡主臂关节驱动力矩，改善机器人动力学性能，因此本文选取未平衡前的主臂关节驱动力矩最大值经平衡力矩M平衡后的值()最小及主臂关节驱动力矩波动量最大值最小作为动力学性能优化目标，构造多目标优化问题。由于多目标优化问题，可能存在多个目标函数之间的矛盾情况，即一般不存在公共最优解，为此，考虑利用加权法将多目标优化问题转化成单目标优化问题进行求解，取目标函数加权系数均为0．5，构造评价函数，为：
（4）
式中：7-：为未经平衡弹簧平衡前的主臂关节驱动力矩。至此，PT1300型码垛机器人平衡机构优化设计可
归结为如下单目标优化问题：
3、力学分析
由式(4)、式(5)可知，优化目标与主臂关节驱动力矩：息息相关，因此本文运用基于凯恩(Kane)方程的动力学算法建立码垛机器人刚体逆动力学模型，该方法是在拉格朗日引入的广义坐标基础上，导出系统的数学模型后经过后推，得出其显式表
达的动力学方程，进一步得出机器人各关节驱动力矩。
式(6)为基于凯恩(Kane)方程的动力学算法递推公式：
（6）
式中：分别为杆角速度及偏角速度；为杆i一1坐标系原点到杆i坐标系的旋转变换矩阵；为杆i广义角速度；为杆i坐标系的单位向量；为j；号广义速率；为非j 号广义速率；分别为杆i线速度及质心线速度；为杆i—I坐标系原点到杆i坐标系原点的距离向量；为杆i质心相对于，的偏线速度；为杆i坐标系原点到杆i质心的距离向量；为杆i相对于质心Ci的惯性张量；为杆i质量；为向质心Ci简化后的
合力；为质心Ci简化后的合力矩；、分别为杆i的加速度及质心加速度；为杆i相对于的偏线速度；为相对于所需的力矩。
3．1确定主、从动关节关系
PTl300型码垛机器人机构如图3所示。图3中，为主动关节，为从动关节，由于关节受水平保持连杆约束，为了使末端执行器一直保持水平，亦将看作主动关节，由于忽略末端水平保持连杆，原四自由度局部闭链机器人转化为五自由度。在不影响机器人动力学建模精度的前提下，结合机构运动特性，将负载连同末端执行器直接固定在前臂末端(靠近负载一端)，忽略末端执行器旋转动作。图4所示为PTl300型码垛机器人等效开链机构，将机器人闭链结构拆分成左、右两路开链。由机器人结构条件得，，和=且左、右支链通过机器人运动学正解所得末端执行器位姿应保持
一致，故易得从动与主动关节关系为=。
3．2码垛机器人动力学方程令为关节i的驱动力矩，得到系统的刚体逆动力学方程为：
式中：分别为关节驱动力矩中的惯性项、速度项和重力项。
3．3轨迹规划
码垛机器人主要是应用在pick—and-place场合，即码垛机器人从传送带上抓取物料，沿运动路径将其放置在托盘指定位置的动作循环。图5所示为机器人运动路径，根据机器人在完成码垛作业时其与物料传送带以及托盘的位置关系，综合考虑
运动过程障碍物情况，选用
“门”字形运动轨迹加弧线过
渡，给定路径上各关键点坐标
值(mm)为：物料抓取点，运动
路径转折点及，物料码放点。
机器人运动规律选择修正梯
形，末端负载设定为300kg，采
用MATLAB软件编程方法得到
机器人主臂关节按指定路径及
运动规律下的位移、速度及加
速度曲线，如图6所示。
3．4优化结果
利用穷举法将弹簧刚度系数K的取值范围按间隔1等分，采用MATLAB软件编程方法得到目标函数f与弹簧刚度系数K的变化曲线，如图7所示。目标函数f在K取等分序列第16项时达到最小，即弹簧刚度系数K=26时，目标函数，值最小。弹簧变形量曲线如图8所示，弹簧平衡前、后主臂关节驱动力矩曲线如图9所示。由图8所示可知，弹簧在机器人抓取物料后的提升段(0～1．1s左右)及物料码放时的下降段(2．5—3．3s左右)变形较大。由图9所示可知，经过弹簧平衡后，主臂
关节驱动力矩曲线峰值明显降低，由5232N·m降至4566N·m，降幅达到12．73％，弹簧平衡效果明显。同时，平衡前、后主臂关节驱动力矩波动量亦伴随主臂关节驱动力矩峰值下降而减小。
4、结语
本文采用动力学方法建立了弹簧平衡机构优化模型，并将其应用于PTl300型码垛机器人样机，PTl300型码垛机器人样机如图10所示，得如下结论。
1)提出一种基于动力学的弹簧平衡机构优化设计方法，以主臂关节驱动力矩最大
值最小及主臂关节驱动力矩波动量最大值最小作为动力学性能优化目标，构造多目标优化问题。在此基础上，完成平衡弹簧机构的设计。
2)采用Kane法建立的机器人逆动力学方程，在给定机器人运动路径及运动规律的前提下，结合PTl300型码垛机器人搬运需求，得到机器人主臂关节驱动力矩的变化规律。
3)该方法与静力学层面上弹簧平衡机构的设计方法相比，平衡实时性强，为同类型码垛机器人上弹簧平衡机构的优化设计提供了依据。
结论：
（1）主要工作和结果
4）机器人动力学分析研究的是机器人的运动和各关节驱动力（力矩）之间的关系。这种关系通过建立的机器人系统动力学方程模型来描述。本文介绍了各种动力学研究的方法，并通过实际应用的实例来分析各个研究方法。在各个分析方法中都能解决动力学的分析，但由于牛顿—欧拉法没有多余信息，计算速度快；凯恩法计算效率高，便于计算机控制；拉格朗日法基于能量平衡原理，更适合比较复杂的机器人
系统的建立，并且具有显式结构。
（2）心得体会
通过本次课程讨论，我们更好的理解了基础理论知识，并且使我们深入了解了如何将理论知识应用于实际解决问题的方法和思路，提高了我们主动学习、积极思考以及实践能力。在此次课程讨论中，我们小组积极发言，共同完成，培养了我们团队协作的能力，同时也增进了同学间的友谊。此次课程讨论使我们进一步了解了工程实践。
参考文献：
[1]新版机器人技术手册[日]日本机器人学会编科学出版社2007
[2]论文《基于动力学的PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构设计》于新海，硕士研究生， 2013
[3]论文《6—PSS并联机器人动力学建模方法研究》马丽，硕士，河北大学2010
机器人的动力学控制 The dynamics of robot control 自123班 庞悦 3120411054
机器人的动力学控制 摘要：机器人动力学是对机器人机构的力和运动之间关系与平衡进行研究的学科。机器人动力学是复杂的动力学系统，对处理物体的动态响应取决于机器人动力学模型和控制算法。机器人动力学主要研究动力学正问题和动力学逆问题两个方面，需要采用严密的系统方法来分析机器人动力学特性。本文使用MATLAB 来对两关节机器人模型进行仿真，进而对两关节机器人进行轨迹规划，来举例说明独立PD 控制在机器人动力学控制中的重要作用。 Abstract: for the robot dynamics is to study the relation between the force and movement and balance of the subject.Robot dynamics is a complex dynamic system, on the dynamic response of the processing object depending on the robot dynamics model and control algorithm.Kinetics of robot research dynamics problem and inverse problem of two aspects, the need to adopt strict system method for the analysis of robot dynamics.This article USES MATLAB to simulate two joints, the robot, in turn, the two joints, the robot trajectory planning, to illustrate the independent PD control plays an important part in robot dynamic control. 一 动力学概念 机器人的动力学主要是研究动力学正问题和动力学逆问题两个方面，再进一步研究机器人的关节力矩，使机器人的机械臂运动到指定位臵，其控制算法一共有三种：独立PD 控制，前馈控制和计算力矩控制，本文主要介绍独立PD 控制。 动力学方程：)()(),()(q G q F q q q C q q M +++=? ????τ
二自由度机械臂动力 学分析
平面二自由度机械臂动力学分析 姓名：黄辉龙 专业年级：13级机电 单位：汕头大学 摘要：机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过分析，得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。 关键字：平面二自由度 动力学方程 拉格朗日方程 相关介绍 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler ）法、拉格朗日 (Langrange)法、高斯（Gauss ）法等，但一般在构建机器人动力学方程中，多采用牛顿-欧拉法及拉格朗日法。 欧拉方程又称牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程，欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。 在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立机器人的动力学方程，这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可以建立比较方便且有效的动力学方程。 在求解机器人动力学方程过程中，其问题有两类： 1)给出已知轨迹点上? ??θθθ、及、 ，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩矢量τ。这对实现机器人动态控制是相当有用的。 2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩矢量τ，求机器人所产生的运动? ??θθθ、及、 。这对模拟机器人的运动是非常有用的。 平面二自由度机械臂动力学方程分析及推导过程 1、机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下： 1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量n r ,,2,1,r ???=θ。 2) 选定相应关节上的广义力r F ：当r θ是位移变量时，r F 为力；当r θ是角度变量时，r F 为力矩。 3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。 2、下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
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实验二自由度机器人的位置控制 一、实验目的 1. 运用Matlab语言、Simulink及Robot工具箱，搭建二自由度机器人的几何模 型、动力学模型， 2. 构建控制器的模型，通过调整控制器参数，对二自由度机器人的位姿进行控 制，并达到较好控制效果。 二、工具软件 1.Matlab软件 2.Simulink动态仿真环境 3.robot工具箱 模型可以和实际中一样，有自己的质量、质心、长度以及转动惯量等，但需要注意的是它所描述的模型是理想的模型，即质量均匀。这个工具箱还支持Simulink的功能，因此，可以根据需要建立流程图，这样就可以使仿真比较明了。 把robot 工具箱拷贝到MATLAB/toolbox文件夹后，打开matalb软件，点击file--set path，在打开的对话框中选add with subfolders，选中添加MATLAB/toolbox/robot，保存。这是在matlab命令窗口键入roblocks就会弹出robot 工具箱中的模块（如下图）。
三、实验原理 在本次仿真实验中，主要任务是实现对二自由度机器人的控制，那么首先就要创建二自由度机器人对象， 二自由度机器人坐标配置 仿真参数如下表1： 表1 二连杆参数配置
1.运动学模型构建二连杆的运动学模型，搭建twolink模型在MATLAB命令窗口下用函数drivebot(WJB)即可观察到该二连杆的动态位姿图。 %文件名命名为自己名字的首字母_twolink %构造连杆一 L{1}=link([0 0.45 0 0 0],'standard') ; L{1}.m=23.9 ;
平面二自由度机械臂动力学分析 [摘要] 机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。 [关键字] 平面二自由度 一、介绍 机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 机器人动力学问题有两类： (1) 给出已知的轨迹点上的，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q r。这对实现机器人动态控制是相当有用的。 (2) 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动。这对模拟机器人的运动是非常有用的。 二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程 机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下： (1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量θr ，r=1, 2,…, n。 (2) 选定相应关节上的广义力F r：当θr是位移变量时，F r为力；当θr是角度变量时， F r为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。 下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析 3.1 引言 在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。要对工业机器人进行合理的设计与性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。 在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。 工业机器人作业时，在工业机器人与环境之间存在着相互作用力。外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力与外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。工业机器人静力学就是分析手部上的作用力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。 关节的驱动力与手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。 工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。 研究工业机器人动力学的目的是多方面的。动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。 工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。在离线编程时，为了估计工业机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。这些都必须以工业机器人动力学模型为基础。 工业机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。