第十四章 向量自回归模型
本章导读：前一章介绍了时间序列回归，其基本知识为本章的学习奠定了基础。这一章将要介绍的是时间序列回归中最常用的向量自回归，它独有的建模优势赢得了人们的广泛喜爱。
14.1 VAR 模型的背景及数学表达式
VAR 模型主要应用于宏观经济学。在VAR 模型产生之初，很多研究者（例如Sims ，1980
和Litterman ，1976；1986）就认为，VAR 在预测方面要强于结构方程模型。VAR 模型产生的原因在于20世纪60年代一大堆的结构方程并不能让人得到理想的结果，而VAR 模型的预测却比结构方程更胜一筹，主要原因在于大型结构方程的方法论存在着更根本的问题，并且结构方程受到最具挑战性的批判来自卢卡斯批判，卢卡斯指出，结构方程组中的“决策规则”参数，在经济政策改变时无法保持稳定，即使这些规则本身也是正确的。因此宏观经济建模的方程组在范式上显然具有根本缺陷。VAR 模型的研究用微观化基础重新表述宏观经济模型的基本方程，与此同时，对经济变量之间的相互关系要求也并不是很高。
我们知道经济理论往往是不能为经济变量之间的动态关系提供一个严格的定义，这使得在解释变量过程中出现一个问题，那就是内生变量究竟是出现在方程的哪边。这个问题使得估计和推理变得复杂和晦涩。为了解决这一问题，向量自回归的方法出现了，它是由sim 于1980年提出来的，自回归模型采用的是多方程联立的形式，它并不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
向量自回归通常用来预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动项对变量系统的动态影响。向量自回归的原理在于把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型，从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。一般的VAR(P)模型的数学表达式是。
11011{,}t t p t p t t q t q t
y v A y A y B x B x B x t μ----=++???++++???++∈-∞+∞ （14.1）
其中1t t Kt y y y =??????（）表示K ×1阶随机向量， 1A 到p A 表示K ×K 阶的参数矩阵， t x 表示M ×1阶外生变量向量， 1B 到q B 是K ×M 阶待估系数矩阵，
并且假定t μ是白噪声序列；即，
()0,t E μ= '(),t t E μμ=∑并且'()0,t s E μμ=)t s ≠（。
在实际应用过程之中，由于滞后期p 和q 足够大，因此它能够完整的反映所构造模型的
全部动态关系信息。但这有一个严重的缺陷在于，如果滞后期越长，那么所要估计的参数就会变得越多，自由度就会减少。因此需要在自由度与滞后期之间找出一种均衡状态。一般的准则就是取许瓦咨准则（SC ）和池此信息准则(AIC)两者统计量最小时的滞后期，其统计量见式(14-2)与式（14-3）。
2/2/AIC l n k n =-+ （14.2）
2/log /SC l n k n n =-+ （14.3）
式（14-2）与（14-3）中()k m qd pm =+表示待估参数个数，n 表示观测样本个数，同时满足：
'(1log 2log[det(/)]22
t t t nm n
l n πεε∧∧=-+-∑） （14.4）
14.2 VAR 模型的估计
在对VAR 模型进行估计时，首先必须对变量进行单位根检验。具体操作步骤见本书前
面章节，在此不多加阐述了。
14.2.1 VAR 模型输入
在Eviews 里面设定VAR 模型之前必须创建VAR 系统，选择quick/Estimate VAR 或者直接在命令窗口内输入var 。此时会出现var 对话框，你必须在对话框中填入适当的信息,如下图14.1。
(1)选择VAR 估计的类型：Unrestricted VAR （非限制性向量自回归）或者Vector Error Correct （向量误差修正模型），现在所谓的VAR 是指Unrestricted VAR （非限制性向量自回归），Vector Error Correct （向量误差修正模型）将在下一步做进一步介绍。
(2)设定需要估计的样本跨度。
(3)在对话框（Lag Intervals for Endogenous ）键入适当的滞后期间隙，滞后期间隙必须是成对键入：每一对数字都定义了滞后期的区间，例如右图中：1 4表示Eviews 使用内生变
图14.1 VAR 设定的对话框
量滞后第1期至第4期来估计系统中的（gdp cpi m1 r ）变量。你可以键入任何成对滞后数字。滞后期的设定如下：
2 4 6 9 12
上面数字意味着使用滞后2-4，6-9和12-12。
(4)在对话框中键入需要估计的内生变量和外生变量名称，此处我们把gdp ，cpi ，m1和r 作为内生变量序列，同时把常数项c 作为一个外生变量键入对话框内。剩下来的对话标签（Cointegration 和VEC Restrictions ）仅仅和我们下一步需要介绍的向量误差修正模型
有关。
14.2.2 VAR 模型输出
如果设定好var 模型以后，就可以点击ok ，在var 窗口中会显示估计的结果。如图14.2。
图14.2 VAR 模型估计结果
图中每一列代表相应VAR 模型中每一个内生变量的方程。每一个变量的右端Eviews 汇
报了待估系数，标准差（圆括号内）以及t 统计量（中括号内）。例如在方程GDP 中GDP(-1)的系数为0.848803，标准差为0.13700，t 统计量为6.19545，根据t 统计量分布表，可知在5%的显著水平下，该系数是显著不为0的。
在系数估计表的下端，Eviews 汇报了一些额外的信息，如图14.3。
图14.3 VAR 模型回归统计量
在图14.3中，第一部分表示的是每一个方程标准的OLS 统计量。根据各自的残差分别计算每一个方程的结果，并显示在对应的每一列中。
输出的第二部分表示的是整个VAR 系统的回归统计量。残差的协方差行列式值（自由度进行调整以后）的计算原理是
'1
det()t t t
T m εε∧∧∧∑=-∑ （14.5） 在式（14-5）中m 表示的是VAR 系统中每一个方程待估参数的个数，非调整的估计可
以忽略m 。通过假定服从多元正态分布（高斯分布）的似然对数值的计算如下：
{(1log 2)log }2
T
l k π∧=-++∑ （14.6）
AIC 和SC 两个信息准则的计算原理如下：
2/2/AIC l T n T =-+ （14.7）
2/log /SC l T n T T =-+ （14.8）
其中()n k d mk =+表示VAR 模型中待估参数的总数，根据这些准则可以决定VAR 模型适当的滞后期长度，这些准则的值越小，那么模型的滞后期就越合适。
14.3 VAR 模型的诊断
如果完成了VAR 模型的估计，那么Eviews 会提供各种视窗来反映估计的VAR 模型是否恰当。在这一节中我们将要讨论VAR 模型的设定，并对VAR 模型进行诊断。在VAR 系统视窗的View/Lag Structure 和 View/Residual Tests 菜单下提供了一系列帮助我们进行VAR 模型诊断的视图。
14.3.1 VAR 模型滞后期的确定
对于VAR(1)，11t t t Y c Y μ-=+∏+模型稳定的条件是特征方程10I λ∏-=的根都在单位圆以内，或相反的特征方程10I L -∏=的根都要在单位圆以外。
对于k>1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)模型形式。
1Y C AY t t t μ-=++ （14.9）
模型稳定的条件是特征方程0A I λ-=的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程 |I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。所以也可以通过估计得到相应()VMA ∞模型的参数。 这一小节主要介绍的是如何给VAR 模型确定去合适的滞后期，在滞后结构中提供许多确定滞后期的方法，见图14.4。
图14.4 VAR滞后结构视窗对话框
1)AR根的图表
关于AR特征根多项式的倒数可以参考：Lütkepohl (1991)。如果VAR系统中所有根的模的倒数小于1，即位于单位圆内，那么VAR系统就是稳定的。如果VAR系统不是稳定的，即部分根的模的倒数位于单位圆外，那么估计的某些结果(例如，脉冲响应的标准误差)就可能无效，估计过程中存在kp个根，其中k表示内生变量的个数，p表示最大滞后期。如果估计一个带有r个协整关系的向量误差修正模型，那么必须有k-r个根的模等于1。
根据这一原则，我们得到的估计结果如表14.1。
表14-1 AR根表
Roots of Characteristic Polynomial
Endogenous variables: GDP CPI M1 R
Exogenous variables: C
Lag specification: 1 4
Root Modulus
0.992091 0.992091
0.965850 0.965850
-0.413574 - 0.711282i 0.822779
-0.413574 + 0.711282i 0.822779
0.814673 0.814673
0.698590 - 0.408019i 0.809016
0.698590 + 0.408019i 0.809016
0.356653 - 0.683437i 0.770901
0.356653 + 0.683437i 0.770901
-0.168418 - 0.667357i 0.688281
-0.168418 + 0.667357i 0.688281
-0.535191 0.535191
0.478679 0.478679
-0.255845 - 0.372175i 0.451632
-0.255845 + 0.372175i 0.451632
0.290012 0.290012
No root lies outside the unit circle.
VAR satisfies the stability condition.
从表14.1估计的结果可知，所有根的模的倒数都小于1，所以估计的VAR系统满足稳定性条件，为了更加直观的所有根的模的倒数在单位圆中的位置，我们根据AR根图来判断VAR系统的稳定性。见图14.5。
图14.5 AR根图
根据图14.5可知，所有AR根的模的倒数都位于单位圆内，由此可以判断VAR系统是稳定的。如果VAR系统是稳定的，那么进一步进行VEC估计的结果就是有效的，否则某些估计的结果可能不是有效的。
2)Granger因果检验（Pairwise Granger Causality Tests）
格兰杰因果检验主要是用来检验一个内生变量可否作为一个外生变量对待。对于VAR 系统中的每一个方程，Eviews将会输出每一个内生变量与其他内生变量滞后期的联合
2
χ(Wald)统计量，在表格的最后一行(All)报告了在这个方程中检验所有滞后内生变量联合χ(Wald)统计量数值。具体见表14.2。
的2
表14.2 VAR格兰杰因果检验
VAR Granger Causality/Block Exogeneity Wald Tests
Sample: 1999M01 2006M12
Included observations: 92
Dependent variable: GDP
Excluded Chi-sq df Prob.
CPI 3.724384 4 0.4446
M1 59.05509 4 0.0000
R 1.446873 4 0.8360
All 77.94171 12 0.0000
Dependent variable: CPI
Excluded Chi-sq df Prob.
GDP 20.78732 4 0.0003
M1 26.63175 4 0.0000
R 2.464658 4 0.6510
All 68.51009 12 0.0000 Dependent variable: M1
Excluded Chi-sq df Prob.
GDP 72.08928 4 0.0000
CPI 33.05300 4 0.0000
R 4.744682 4 0.3145
All 93.10340 12 0.0000 Dependent variable: R
Excluded Chi-sq df Prob.
GDP 5.450381 4 0.2441
CPI 0.603649 4 0.9627
M1 2.754376 4 0.5997
All 8.353899 12 0.7569 从表14.2汇报的结果可以看出内生变量CPI(物价水平)的滞后期不能很好的解释内生变量GDP（国内生产总值），因此CPI不是GDP 的格兰杰原因；同理可以解释其他内生变量。
3)滞后排除检验（Lag Exclusion Tests）
滞后排除检验是用来检验VAR系统中每一个滞后期。对每一个滞后期，所有内生变量
(Wald)统计量被分别单独列出，最后一列是联合在特定显著水平下的对于每一个方程的2
的显著性检验。具体估计结果见表14.3。
表14.3 滞后排除检验结果
VAR Lag Exclusion Wald Tests
Sample: 1999M01 2006M12
Included observations: 92
Chi-squared test statistics for lag exclusion:
Numbers in [ ] are p-values
GDP CPI M1 R Joint Lag 1 55.14276 130.6234 80.80588 83.62508 377.5179
[ 3.02e-11] [ 0.000000] [ 1.11e-16] [ 0.000000] [ 0.000000] Lag 2 6.610822 13.77340 13.61024 4.540688 45.89505
[ 0.147940] [ 0.008055] [ 0.008649] [ 0.337750] [ 0.000101] Lag 3 28.54094 3.554922 46.93112 3.605451 70.88551
[ 9.69e-06] [ 0.469577] [ 1.58e-09] [ 0.462026] [ 6.98e-09] Lag 4 4.828657 20.93722 29.99224 1.837606 57.63659
[ 0.305334] [ 0.000326] [ 4.91e-06] [ 0.765595] [ 1.30e-06] df 4 4 4 4 16
从表14.3汇报的结果可以看出，对于滞后1期来说所有内生变量在0.01显著水平下的每一个方程的都是显著的。
4)滞后长度准则（Lag Length Criteria）
在理想状态下，我们希望选择VAR的随机扰动项服从向量白噪音。所以从理论上说，如果能够通过某一种方法选择滞后期数能够使得扰动项满足向量白噪音过程，那么滞后期的选择问题就很好解决了。在Eviews里面提供了五种准则来确定滞后期的选择。在选择时，我们需要设定一个最大滞后期数，当然它的设定存在一定的主观性。但是通常可以根据数据的频率来进行确定。例如，对于月度数据一般选择最大滞后期为6，12和18。对于季度数据
一般选择4或者8。需要注意不同的准则或者检验的统计量选择的滞后期可能会有所不同。在这种状况下，一般根据多数原则来确定最优滞后期。这个过程实际上就是所谓的稳健性检验过程。所有滞后期选择准则的原理可以参见Lütkepohl (1991, Section 4.3)。由具体估计结果如表14.4。
表14.4 VAR模型滞后期选择结果
VAR Lag Order Selection Criteria
Endogenous variables: GDP CPI M1 R
Exogenous variables: C
Sample: 1999M01 2006M12
Included observations: 90
Lag LogL LR FPE AIC SC HQ
0 312.3743 NA 1.24e-08 -6.852762 -6.741659 -6.807959
1 763.3624 851.8665 7.87e-13 -16.51917 -14.96365 -16.29514
2 804.8764 74.72508 4.48e-1
3 -17.0861
4 -16.08622 -16.68291
3 828.9678 41.22313 3.76e-13 -17.26595 -14.82162 -16.68351
4 859.8364 50.07563 2.73e-13 -17.59636 -14.70762 -16.83471
5 925.3564 100.4641 9.23e-14 -18.69681 -16.36365* -17.75594
6 959.7743 49.71468* 6.29e-14* -19.10609* -16.32853 -17.98602* * indicates lag order selected by the criterion
LR: sequential modified LR test statistic (each test at 5% level)
FPE: Final prediction error
AIC: Akaike information criterion
SC: Schwarz information criterion
HQ: Hannan-Quinn information criterion
从表14.4汇报的结果可知LR、FPE、AIC和HQ都指向同样的6阶滞后期，因此应该选择VAR(6)进行后续分析。
14.3.2 VAR模型残差检验
VAR模型估计出来以后，还必须对其残差进行检验，以确保估计的结果符合VAR的经典假设。Eviews提供各种检验办法，下面一一进行介绍。
1)相关图
Eviews可以显示VAR模型在指定的滞后阶数的条件下得到残差成对交叉相关图（样本自相关）。交叉相关图有三种显示方式，其中有两种表格形式显示：一是根据变量的顺序显示（以变量为序的表格形式）；另一种是根据滞后阶数的顺序显示（以滞后阶数的表格形式）。最后一种是曲线图显示的交叉相关图矩阵形式。这些点线图表示的是加上或者减去滞后性渐进标准误差的两倍（计算原理是
。没有超出两本滞后性渐进标准误差的两倍，就说明
VAR模型估计的残差不存在交叉相关。具体操作见图14.5。
图14.5
通过点击Corrlograms 以后，会出现如图14.6的对话框。
图14.6
为了更加直观，选择用曲线图显示的形式，选择好滞后阶数以后（这里选择滞后阶数为6期）就可以直接点击OK ，然后会报告残差交叉相关情况。具体见图14.7。
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(GDP,GDP(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(GDP,CPI(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(GDP,M1(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3456
Cor(GDP,R(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(CPI,GDP(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(CPI,CPI(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(CPI,M1(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3456
Cor(CPI,R(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(M1,GDP(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(M1,CPI(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(M1,M1(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3456
Cor(M1,R(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(R,GDP(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(R,CPI(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3
4
5
6
Cor(R,M1(-i))
-.3
-.2-.1.0.1.2.31
2
3456
Cor(R,R(-i))
Autocorrelations with 2 Std.Err. Bounds
图14.7
从图14.7汇报的结果来看，各变量之间残差不存在交叉相关的情况。如果存在就必须重新修正设定的模型。
2)混合自相关检验
计算与指定阶数所产生的残差序列自相关的多变量Box-Pierce/Ljung-Box Q 的统计量(详细了解参见： L ütkepohl, 1991, 4.4.21 & 4.4.23)，同时计算出Q 统计量和调整的Q 统计量（带小样本修正）。在滞后h 期不存在序列相关的原假设情况下，两个统计量近似的
服从自由度为2()k h p -的卡方分布，其中p 为VAR 模型的滞后阶数。这种渐进分布是近似的，在某种意义上，它要求当滞后阶数i>h-p 时，移动平均项（MA ）的系数为0，因此如果AR 多项式的根越接近于1并且h 很小时，那么这种渐进分布就不在近似了，实际上当h
3)自相关检验 Breusch-Godfrey LM 检验的原假设是，待检验的序列不存在最多至m 期的序列相关性，即：
0120m H φφφ==???==：
而备选假设是：
A H ： 至少存在一个01,2,j j m φ==???，，
Breusch-Godfrey LM 检验的统计量等于有效样本的大小乘以回归得到的拟合优度，即： LM 检验统计统计量=2
T mR -
在原假设的情况下，Breusch-Godfrey LM 检验统计量服从自由度为m 的卡方分布，一般情况下，Breusch-Godfrey LM 检验统计量实际上服从渐进卡方分布，LM 也在渐进条件下有效。
4)正态检验
这是J-B 残差正态检验在多变量情况下的扩展，这种检验主要是比较残差的第三阶、第四阶残差矩与来自正态分布的矩。在进行多元正态分布检验之前，需要选择相互正交的k 个残差的因式分解。
令p 为k ×k 阶的因式分解矩阵，即：
(0,)t t k v P N I μ=: （14.10） 其中t μ表示衰减残差，定义三阶、四阶矩向量33/t
t
m v
T =
∑和44/t t
m v T =∑，则
34600,0243k k I m N I m ??
???→ ????
-?????
在原假设服从正态分布的情况下，因为每一个残差成分都是相互独立的，所以任何三
阶矩和四阶矩的平方和服从卡方分布。
Eviews 里面提供了许多因式分解矩阵p 的选项，在此不做一一介绍(详细情况参加L ütkepohl 1991, p. 145-148，Doornik and Hansen 1994 ，Urzua 1997)。
5)怀特异方差检验
这些检验是针对系统方程的white ’s 检验的扩展，由Kelejian （1982）和Doornik （1995）提出。这个回归检验是通过残差序列对每一个回归量及回归量交叉项乘积的回归来实现的，并且检验回归的显著性。
14.4 VAR 模型具体案例操作及原理
14.4.1 协整检验
.协整的概念最早是由加州大学圣地亚哥分校计量经济学家Granger 于1981年提出来
一、Var模型的基本介绍 向量自回归模型（Vector Autoregressive Models，VAR）最早由Sims（1980）提出。他认为，如果模型设定和识别不准确，那么模型就不能准确地反应经济系统的动态特性，也不能很好地进行动态模拟和政策分析。因此，VAR模型通常使用最少的经济理论假设，以时间序列的统计特征为出发点，通常对经济系统进行冲击响应（Impulse-Response）分析来了解经济系统的动态特性和冲击传导机制。由于VAR模型侧重于描述经济的动态特性，因而它不仅可以验证各种经济理论假设，而且在政策模拟上具有优越性。 VAR模型主要用于替代联立方程结构模型，提高经济预测的准确性。用联立方程模型研究宏观经济问题，是当前世界各国经济学者的一种通用做法，它把理论分析和实际统计数据结合起来，利用现行回归或非线性回归分析方法，确定经济变量之间的结构关系，构成一个由若干方程组成的模型系统。联立方程模型适合于经济结构分析，但不适合于预测：联立方程模型的预测结果的精度不高，其主要原因是需要对外生变量本身进行预测。与联立方程模型不同，VAR模型相对简洁明了，特别适合于中短期预测。目前，VAR模型在宏观经济和商业金融预测等领域获得了广泛应用。 二、VAR模型的设定 VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。 一个VAR(p)模型可以写成为： 或： 其中：c是n × 1常数向量，A i是n × n矩阵，p是滞后阶数，A(L)是滞后多项式矩阵，L是滞后算子。是n × 1误差向量，满足： 1. —误差项的均值为0 2. Ω—误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n正定矩阵） 3.（对于所有不为0的p都满足）—误差项不存在自相关 虽然从模型形式上来看比较简单，但在利用VAR模型进行分析之前，对模型的设定还需要意以下两点： 一是变量的选择。理论上来讲，既然VAR模型把经济作为一个系统来研究，那么模型中
第十四章 向量自回归模型 本章导读：前一章介绍了时间序列回归，其基本知识为本章的学习奠定了基础。这一章将要介绍的是时间序列回归中最常用的向量自回归，它独有的建模优势赢得了人们的广泛喜爱。 14.1 VAR 模型的背景及数学表达式 VAR 模型主要应用于宏观经济学。在VAR 模型产生之初，很多研究者（例如Sims ，1980 和Litterman ，1976；1986）就认为，VAR 在预测方面要强于结构方程模型。VAR 模型产生的原因在于20世纪60年代一大堆的结构方程并不能让人得到理想的结果，而VAR 模型的预测却比结构方程更胜一筹，主要原因在于大型结构方程的方法论存在着更根本的问题，并且结构方程受到最具挑战性的批判来自卢卡斯批判，卢卡斯指出，结构方程组中的“决策规则”参数，在经济政策改变时无法保持稳定，即使这些规则本身也是正确的。因此宏观经济建模的方程组在范式上显然具有根本缺陷。VAR 模型的研究用微观化基础重新表述宏观经济模型的基本方程，与此同时，对经济变量之间的相互关系要求也并不是很高。 我们知道经济理论往往是不能为经济变量之间的动态关系提供一个严格的定义，这使得在解释变量过程中出现一个问题，那就是内生变量究竟是出现在方程的哪边。这个问题使得估计和推理变得复杂和晦涩。为了解决这一问题，向量自回归的方法出现了，它是由sim 于1980年提出来的，自回归模型采用的是多方程联立的形式，它并不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。 向量自回归通常用来预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动项对变量系统的动态影响。向量自回归的原理在于把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型，从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。一般的VAR(P)模型的数学表达式是。 11011{,}t t p t p t t q t q t y v A y A y B x B x B x t μ----=++???++++???++∈-∞+∞ （14.1） 其中1t t Kt y y y =??????（）表示K ×1阶随机向量， 1A 到p A 表示K ×K 阶的参数矩阵， t x 表示M ×1阶外生变量向量， 1B 到q B 是K ×M 阶待估系数矩阵， 并且假定t μ是白噪声序列；即， ()0,t E μ= '(),t t E μμ=∑并且'()0,t s E μμ=)t s ≠（。 在实际应用过程之中，由于滞后期p 和q 足够大，因此它能够完整的反映所构造模型的 全部动态关系信息。但这有一个严重的缺陷在于，如果滞后期越长，那么所要估计的参数就会变得越多，自由度就会减少。因此需要在自由度与滞后期之间找出一种均衡状态。一般的准则就是取许瓦咨准则（SC ）和池此信息准则(AIC)两者统计量最小时的滞后期，其统计量见式(14-2)与式（14-3）。 2/2/AIC l n k n =-+ （14.2）
第8章V AR模型与协整 1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。 8.1向量自回归（V AR）模型定义 8.1.1 模型定义 V AR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型 y1, t= f (y1, t-1, y1, t-2, …) y2, t= f (y2, t-1, y2, t-2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。V AR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。 以两个变量y1t，y2t滞后1期的V AR模型为例，
y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1) 其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是， ??????t t y y 21=12c c ??????+??????1.221 .211.121.11ππππ??????--1,21,1t t y y +?? ? ???t t u u 21 (8.2) 设， Y t =??????t t y y 21, c =12c c ?????? , ∏1 =??????1.221.211.121.11ππππ, u t =??? ???t t u u 21, 则， Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (8.3) 那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下： Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω) (8.4) 其中， Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )' c = (c 1 c 2 … c N )' ∏j = ???? ?? ????????j NN j N j N j N j j j N j j ..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππΛ M O M M ΛΛ, j = 1, 2, …, k u t = (u 1 t u 2,t … u N t )',
向量自回归 预测是计量经济分析的重要部分，宽泛的说，依据时间序列数据进行经济预测的方法有五种：（1）指数平滑法；（2）单一方程回归模型；（3）联立方程回归模型；（4）单整自回归移动平均模型；（5）向量自回归模型（V AR ，vector autoregression ）。 一、V AR 的估计 V AR 方法论同时考虑几个内生变量，它看起来类似于联立方程模型。但是，在V AR 模型中，每一个内生变量都是由它的滞后或过去值以及模型中所有其他内生变量的滞后或过去值来解释。通常模型中没有任何外生变量。在联立方程模型中，我们把一些变量看作内生的，而另一些变量看作外生的或预定的，在估计这些模型之前，必须肯定方程组中的方程是可识别的，而为达到识别的目的，常常要假定某些预定变量仅出现在某些方程之中，这些决定往往是主观的，因此这种方法受到C.A.西姆斯（Christopher Sims ）的严厉批评，他认为如果在一组变量中有真实的联立性，这些变量就应该平等对待，而不应事先区分内生和外生变量，以此思路，其推出了V AR 模型。 例我们想考虑中国的货币（M1）与利率（R ）的关系。如果通过格兰杰因果关系检验，我们无法拒绝两者之间有双向因果关系的假设，即M1 影响R ，而R 反过来又影响M1，这种情形是应用V AR 的理想情形。假定每个方程都含有M1 和R 的k 个滞后值作为回归元，每个方程都可以用OLS 去估计，实际模型如下： 11111k k t j t j j t j t j j M M R u αβγ--===+++∑∑
2111k k t j t j j t j t j j R M R u αθλ--=='=+++∑∑ 其中u 是随机误差项，在V AR 术语中称为脉冲值（impulses ）。在估计以上方程时，必须先决定最大滞后长度，这是一个经验问题，包括过多的滞后项将消耗自由度，而且会引入多重共线性的可能性，而包含过少的滞后值将导致设定误差，解决这个问题的方法之一就是使用赤池、施瓦茨或汉南—奎因准则中的某一个准则，并选择准则最低值的模型，因此，这个过程中试错法就不可避免。 值得注意的是，向量自回归模型中同时引入同一变量的几个滞后项，可能因多重共线性而使每个估计系数在统计上都不显著，但基于F 检验它们可能是联合显著的。 二、V AR 建模的一些问题 V AR 的倡导者强调此法有如下的优点：（1）方法简单，无需决定哪些变量是内生的，哪些变量是外生的，V AR 中的全部变量都是内生的。（2）估计简单：常用的OLS 法可以用于逐个估计每一个方程。 （3）在许多案例中，此方法得到的预测优于用更复杂的联立方程模型得到的预测。 但V AR 建模的批评者指出如下的一些问题： 1、不同于联立方程模型，V AR 利用较少的先验信息，所有是缺乏理论支撑的，因为在联立方程中排除或包含某些变量，对模型的识别起到关键性作用。 2、由于重点放到预测，V AR 模型不适合用于政策分析。 3、实际上，对V AR 建模最大的挑战在于选择适当滞后长度。假