2006学年高三数学训练题(由课本例、习题选编或改编)
(九) 导数及其应用
A 组
(1)设曲线在某点的切线斜率为负数,①则此切线的倾斜角( ),
②曲线在该点附近的变化趋势是( )
①(A) 小于
90 (B) 大于
90 (C) 小于或等于
90 (D) 大于或等于
90 ②(A)单调递增 (B)单调递减 (C)无变化 (D)以上均有可能
(2) ①()21)(x x x f -?= 有( )个极值点; ②x x x x f 33)(23+-=有( )个极值点
(A) 0 (B)1 (C)2 (D) 3
(3)如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的关系,
(1) (4)
A .(1) (c) (2) (a) (3) (b) (4) (d)
B . (1) (c) (2) (b) (3) (a) (4) (d)
C .(1) (c) (2) (d) (3) (a) (4) (b)
D . (1) (c) (2) (a) (3) (d) (4) (b) (4)一个距地心距离为r ,质量为m 的人造卫星,与地球之间的万有引力F 由公式2
r GMm
F =给出,其中M 为地球质量,
G 为常量,求F 对于r 的瞬时变化率为 .
(5)一杯C
80的热红茶置于C
20的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T (单位C
)与时间t (单位:min )之间的关系由函数)(t f T =给出,则①)(t f '的符号为 ; ②4)3(-='f 的实际意义是 .
(6) 已知圆面积为2r S π=,利用导数的定义求()S r ',试解释其意义.
(7)①求函数x
e y =在e x =处的切线的方程;②过原点作曲线y =e x 的切线,求切线的方程.
(8)已知函数x x x f 12)(3+-=,①求函数的单调区间;②求函数的极值,并画出函数的草图;③当[]1,3-∈x 时,求函数的最大值与最小值.
(9)欲制作一个容积为π2立方米的圆柱形储油罐(有盖),问它的底面半径与高分别为多少时,
才能使所用的材料最省?
(10)利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图像直观验证:)0(ln >< B 组(其中14,15,16,17为理科题) (11)函数()2 2)(x x f π=的导数是( ) (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' (12)函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是 (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 (13)如图,直线l 和圆C ,当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 90)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数,这个函数图象大致是(画草图) C l S O 0l O t (14)(理科)弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离按胡克定律kl F =计算.如果N 10的力能使弹簧压缩cm 1,那么把弹簧从平衡位置压缩cm 10(在弹性限度内),要做的功为 (15)(理科)利用定积分的几何意义求 dx x ? -2 24 (16)(理科)有一质量非均匀的木棒,已知其线密度为3 )(x x =ρ(取细棒所在的直线为x 轴,细棒的一端为原点),棒长为1,用定积分表示细棒的质量为M= (17)(理科)求由曲线2 x y =与2 2x y -=围成的平面图形的面积. (18)用长为 90cm ,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90 度角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? (19)有一印刷品的排版面积(矩形)为400cm 2,版心的左右各留4 cm 2的空白,上下各留4 cm 的空白,①怎样确定版心的高与宽的尺寸,才能使印刷品所用纸张面积最小? ②若实际情况要求版面的高不超过16cm ,又应当怎样确定版心的高与宽的尺寸,才能使印刷品所用纸张面积最小? (20)已知函数()x x x f -+=1ln )(,若,证明:()x x x ≤+≤+-1ln 1 1 1 (九) 导数及其应用A 组参考答案或提示: (1)①A ,②B (2)①C ,②A ;导函数值恒大于或等于零,函数总单调递增(图略) (3)D (4)3 2r GMm F - =' (5)①,0)(<'t f 因为红茶的温度在下降; ②4)3(-='f 的实际意义是在min 3附近红茶温度约以min /4C 的速率下降. (6)由定义得:()2S r r π'=,半径为r 的圆面积的瞬时变化率为其周长。 (7)解:①切点为(,),|,e e e x e e e y e k e ='=∴= ,由点斜式得()e x e e y e e -=-, 即e e e e e x e y +-=+1. ②设切点为( )0 000 0,,| ,,x x x x x x e y e k e ='=∴= 由点斜式得()000 x x e e y x x -=-, 切线过原点,∴=∴>-=-∴,1,0),0(000000x e x e e x x x 切点为),,1(e ,e k =∴由点斜式,得:),1(-=-x e e y 即:.ex y = (8)解:①()(),223123)(2+--=+-='x x x x f 由0)(>'x f ,得()2,2-∈x ,(),2,2-∈∴x 函数单调递增;同理,(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x 函数单调递减. )(,2x f x -=∴极小值=-16,)(,2x f x =∴极大值=16. 由f (-x )=-f (x ),知f (x )是奇函数,得草图如图所示: (9)解:设圆柱的底面半径为r ,高为h ,表面积为y ,则由题意有:2 2r h ππ=,2 2h r ∴=, 且2 2 4222y r rh r r ππππ=+=+ ,则244y r r ππ'=-,令2440y r r π π'=-=,得1r =. 当01r <<时,0y '<,函数单调递减,当1r >时,0y '>,函数单调递增, 所以,当1r =时,函数有极小值也是最小值6π(平方米), 答:当底面半径为1米,高为2米时,所用材料最省. (10)证明:(1)构造函数)0(ln )(>-=x x x x f x x x x f -=-= '111)( )0(>x ,当,1=x ()01='f ,得下表 ,0>∴x 总有,01)1()(<-=≤f x f ,0ln ≤-∴x x .ln x x ≤∴ (2)构造函数)0()(>-=x x e x g x ,)0(1)(>-='x e x g x ,当 ())(,0,0x g x g x >'>单调递增,()(),0)(,010,0>∴>=>>∴x g g x g x 即:x e x e x x >∴>-,0. 综上,不等式)0(ln >< 成立, 如右图. x y ln = x y = x e y = B 组略解或提示: (11)()∴==,42)(222x x x f ππ=?='x x f 242)(πx x f 28)(π='; 或()()=?='??='ππππ24222)(x x x x f x 28π(理科要求:复合函数求导) (12)∴=?=-.)(x x e x e x x f [] =?-?='21)(x x x e e x e x f , ()[] 1,012 <∴>?-x e e x x x 选(A) 或(),0.0)1(11)(∴>>?-=-??+?='----x e e x e x e x f x x x x (理科要求:复合函数求导) (13) (14)J 5 解:由kl F =,得0 1 .021*******,1000,1000,01.01021 .00 l ldl W l F k k ?== ∴=∴==? 5= (15)利用导数的几何意义:24x y -=与x =0,x =2所围图形是以(0,0)为圆心,2为半径的四 分之一个圆,其面积即为 ππ=?= -? 4 242 2 2 dx x (图略) (16)dx x M ? = 1 3.由定积分的定义得. (17)由?????-==22 2x y x y ,得()() ???----=--=∴???=±=11111122 222211dx x dx x dx x S y x 38 113223=-???? ? ?-=∴x x S (图略) (18)解:设容器的高为xcm ,则长方体的长为(90-2x )cm ,宽为(48-2x )cm , 容器的体积为3Vcm , ()()()() x x x x x x x x x x V 1080694432027642402482902323+-=+-=<<--=∴ () )36)(10(12)36046(1210806923422--=+-=+?-='x x x x x x V ,且240< ,10.0,2410,0,100=∴<'<<>'<<∴x V x V x V 有极大值,此极大值即为最大值. 所以当x =10cm , V 有最大值()() 3 196010cm V = 答:该容器高为10cm 时,容积最大为() .19603 cm (19)解:①设版心的高为xcm ,则版面的宽为 0,400 >x cm x , 设印刷品所用纸张面积为y 3 cm , 则()=?? ? ??+?+=84008x x y 46432008++x x , ()(),202083200822x x x x y +-=-=' 当y y x ,0,200<'<<单调递减,当y y x ,0,20>'>单调递增, y x y x ,20,0,20=∴='=极小=784)20(min ==y y 另法:()=?? ? ??+?+=84008x x y ,78446432008246432008=+?≥++x x 当且仅当,3200 8x x = 即:20,4002==x x 时,所用纸张面积最小. ②若实际情况要求版心的高不超过16cm ,则只能考虑函数的单调性, 由①知,y y x ,0,20160<'<≤<单调递减(草图略),.792,16min ==∴y x 答:①当版心设计高为20cm 时,印刷品所用纸张面积最小; ②若实际情况要求版心的高不超过16cm ,则版心设计高为16cm 时,印刷品所用纸张面积最小. (20)证明:(1)11)(-=-= 'x x f )1(->x ,当,0=x ()00='f ,得下表 ,1->∴x 总有,0)0()(=≤f x f (),01ln ≤-+∴x x ().1ln x x ≤+∴ 另解1 111)(+-=-+= 'x x x x f )1(->x ,当,0=x ()00='f , 当01<<-x ,())(,0x f x f >'单调递增,,0)0()(,01=<<<-∴f x f x ……① 当0>x ,())(,0x f x f <'单调递减,,0)0()(,0=<>∴f x f x ………………② 当,0=x ()00=f …………………………………………………………③ 综合①②③得:当1->x 时,,0)(≤x f (),01ln ≤-+∴x x ().1ln x x ≤+∴ (2)构造函数,111)1ln()(-++ +=x x x g ()()2 211111)(+=+-+='x x x x x g , 当,0=x ()00='g ,当,01<<-x ())(,0x g x g <'单调递减; 当,0>x ())(,0x g x g >'单调递增;)(,0x g x =∴极小值=[]0)0()(min ===g x g , ,1->∴x 总有∴=≥,0)0()(g x g ,0111)1ln(≥-++ +x x 即:)1ln(1 11x x +≤+-. 综上(1)(2)不等式()x x x ≤+≤+-1ln 1 1 1成立. x 年高三第一次高考诊断 数 学 试 题 考生注意: 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分为150分,考试时间120分钟。 所有试题均在答题卡上作答,其中,选择题用2B 铅笔填涂,其余题用0.5毫米黑色墨水、签字笔作答。 参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么它在n 次独立重复试验中恰好发 生k 次的概率P n (k )=k n k k n P P C --)1((k=0,1,2,…,n )。 球的体积公式:3 3 4R V π= (其中R 表示球的半径) 球的表面积公式S=4πR 2(其中R 表示球的半径) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.(理科)如果复数2()1bi b R i -∈+的实部和虚部互为相反数,则b 的值等于 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 (文科)设全集{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3},{6,7,8}U A B ===集合,则 ()() U U C A C B = ( ) A .φ B .{4,5} C .{1,2,3,6,7,8} D .U 2.已知4(,),cos ,tan()254 π π απαα∈=--则等于 ( ) A . 17 B .7 C .17 - D .-7 3.在等差数列{}n a 中,若249212,a a a ++=则此数列前11项的和11S 等于 ( ) A .11 B .33 C .66 D .99 4.(理科)将函数3sin(2)y x θ=+的图象F 1按向量( ,1)6 π-平移得到图像F 2,若图象F 2 关于直线4 x π=对称,则θ的一个可能取值是 ( ) A .23 π - B . 23 π C .56 π- D . 56 π (文科)将函数cos 2y x =的图像按向量(,2)4 a π =-平移后的函数的解析式为 ( ) A .cos(2)24 y x π =+ + B .cos(2)24 y x π =- + C .sin 22y x =-+ D .sin 22y x =+ 5.(理科)有一道数学题含有两个小题,全做对者得4分,只做对一小题者得2分,不做或 全错者得0分。某同学做这道数学题得4分的概率为a ,得2分的概率为b ,得0分的 概率为c ,其中,,(0,1)a b c ∈,且该同学得分ξ的数学期望12 2,E a b ξ=+则 的最小值是 ( ) A .2 B .4 C .6 D .8 (文科)某高中共有学生2000名,各年级男、女生人数如表所示。已知 在全校学生中随机抽取1名,抽到高三年级男生的概率是0.16,现用分 层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在高一年级抽取的学生人数 为 ( ) A .19 B .21 C .24 D .26 6.在ABC ?中,若(2),(2)A B A B A C A C A C A B ⊥-⊥-,则ABC ?的形状为 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .等腰直角三角形 7.上海世博园区志愿者部要将5名志愿者分配到三个场馆服务,每个场馆至少1名,至多 2名,则不同的分配方案有 ( ) A .30种 B .90种 C .180种 D .270种 8.已知α,β是两个不同的平面,l 是一条直线,且满足,l l αβ??,现有:①//l β;②l α⊥; 高三数学选择题专题训练(一) 1.已知集合{}1),(≤+=y x y x P ,{ }1),(22≤+=y x y x Q ,则有 ( ) A .Q P ?≠ B .Q P = C .P Q P = D .Q Q P = 2.函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是( ) A .)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B .)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C .)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D .)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,369-=S ,10413-=S ,等比数列{}n b 中,55a b =,77a b =, 则6b 的值 ( ) A .24 B .24- C .24± D .无法确定 4.若α、β是两个不重合的平面, 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分而非必要 条件是 ( ) A . αα??m 且 ∥β m ∥β B .βα??m 且 ∥m C .βα⊥⊥m 且 ∥m D . ∥α m ∥β 且 ∥m 5.已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(,若n a a a n -=+++-509121,则n 的 值 ( ) A .7 B .8 C .9 D .10 6.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点,则)1(λλ-+=,)2,1(∈λ,则( ) A .点M 在线段A B 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线 7.若A 为抛物线24 1x y = 的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点,则AC AB ?等于 ( ) A .31- B .3- C .3 D .43- 8.用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色,要求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法 ( ) A .24种 B .72种 C .96种 D .48种 9.若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称,那么a 的值 ( ) A .2 B .2- C .1 D .1- 2007—2008学年崇雅中学高三考试 理科数学综合测试题(一) 本卷满分150分 试卷用时120分钟 第一部分 选择题(共40分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列语句不属于基本算法语句的是( ) A .赋值语句 B .运算语句 C .条件语句 D .循环语句 2.已知i 是虚数单位,那么=-+2 )11( i i ( ) A .i B .-i C .1 D .-1 3.已知A 、B 是两个集合,它们的关系如图所示,则下列式子正确的是( ) A .A ∪ B =B B .A ∩B =A C .(A B )∪B =A D .(A B )∩A =B 4.空间四点A 、B 、C 、D 共面的一个充分不必要条件是 ( ) A .A B ∥CD B . ABCD 构成四边形 C .AB=C D D . AC ⊥BD 5.关于数列3,9,…,729,以下结论正确的是( ) A .此数列不能构成等差数列,也不能构成等比数列 B .此数列能构成等差数列,但不能构成等比数列 C .此数列不能构成等差数列,但能构成等比数列 D .此数列能构成等差数列,也能构成等比数列 6.甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如右面的茎叶图所示,若甲x 、乙x 分别表示甲、乙两人的平均成绩,则下列结论正确的是( ) A .甲x >乙x ,乙比甲稳定 B .甲x >乙x ,甲比乙稳定 C .甲x <乙x ,乙比甲稳定 D .甲x <乙x ,甲比乙稳定 7.以双曲线19 162 2=-x y 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) A .191622=+y x B .116922=+y x C .192522=+y x D .125 922=+y x A B 甲 乙 4 7 7 7 8 8 2 8 6 5 1 9 2 数学检测卷(理) 姓名----------班级----------总分------------ 一. 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 . 1.若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥,则A B = ( ) (A )[1,0]- (B )[0,)+∞ (C ) [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2.直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为( ) (A )0543=++y x (B )0543=-+y x (C )0543=-+-y x (D )0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, 其参考数据如下: 那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)为( )。 A .1.2 B .1.3 C .1.4 D .1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于( ) (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中,1815296a a a ++=则9102a a -= A .24 B .22 C .20 D .-8 6. 执行如图的程序框图,如果输入11,10==b a ,则输出的=S ( ) (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. .直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D .1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥,{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥,若向区 (第6题) 数列 20.(本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 满足:22,5642=+=a a a ,数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ,设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 (Ⅰ)求数列{}{}n n b a ,的通项公式; (Ⅱ)求满足1413< (1)求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率; (2)以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数,求ξ的分布列及其数学期望E ξ. 18.解:(1)设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼,()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼,()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 (2)QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为(必须写出分布列, 否则扣1分) ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=,所求期望值为5. (12) 20.∵a 2=5,a 4+a 6=22,∴a 1+d=5,(a 1+3d )+(a 1+5d )=22, 解得:a 1=3,d=2. ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得:b 1=a 1=3, 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=(n+1)a n+1, ∴2n b n+1=(n+1)a n+1一na n . ∴2n b n+1=(n+1)(2n+3)-n (2n+1)=4n+3, 高三数学综合测试题 一、选择题 1 、设集合{}U =1,2,3,4,{} 25M =x U x x+p =0∈-,若{}2,3U C M =,则实数p 的值 为( B ) A .4- B . 4 C .6- D .6 2. 条件,1,1:>>y x p 条件1,2:>>+xy y x q ,则条件p 是条件q 的 .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 }2,1,0,1.{-B }3,2,0,1.{-C }3,2,1,0.{D 3. 设函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( C ) (A )1+-=x y (B )1+=x y (C )x y -= (D )x y = 4.设a =12 0.6,b =12 0.7,c =lg0.7,则 ( C ) A .c <b <a B .b <a <c C .c <a <b D .a <b <c 5.函数f (x )=e x -x -2的零点所在的区间为 ( C ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(2,3) 6、设函数1()7,02(),0 x x f x x x ?- =??≥?,若()1f a <,则实数a 的取值范围是 ( C ) A 、(,3)-∞- B 、(1,)+∞ C 、(3,1)- D 、(,3) (1,)-∞-+∞ 7.已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是( D ) 8.函数y =log a (x +1)+x 2-2(0<a <1)的零点的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .无法确定 解析:选C.令log a (x +1)+x 2-2=0,方程解的个数即为所求函数零点的个数.即考查图象y 1=log a (x +1)与y 2=-x 2+2的交点个数 9.若函数f (x )=-x 3+bx 在区间(0,1)上单调递增,且方程f (x )=0的根都在区间[-2,2]上,则实数b 的取值范围为 ( D )高三数学试题及答案
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