function x_out= MSB(Aop,y_vec,s_x,lambda1,rnk,iter) % function [x_out obj_func]= MSB(Aop,y_vec,[m n],lambda1,rnk) % This code solves the problem of recovering a low rank matrix from its % lower dimensional projections % Minimize ||X||* (nuclear norm of Z) % Subject to A(X) = Y %formulated as an unconstarined nuclear norm minmization problem using Split bregman algorithm % Minmimize (lambda1)||W||* + 1/2 || A(X) - y ||_2^2 + eta/2 || W-X-B1 ||_2^2 %W is auxillary variable and B1 is the bregman variable %INPUTS %Aop : Linear operator %y_vec : Vector of observed values %s_x : size of the data matrix to be recovered (in form of [m n]) %lambda1:regularization parameter %rnk : rank estimation for X %iter : maximum number of iterations to be carried out %OUTPUTS %x_out : recovered matrix if nargin < 6 error('Insufficient Number of arguments'); end %Variable and parameter initialization eta1=.001; % Regularization parameter s_new=s_x(1)*s_x(2); W=zeros(s_new,1); % proxy variable B1=ones(s_new,1); % bregman variable % create operator for least square mimimization I=opDiag(s_new,1); Aop_concat = opStack([1 eta1],Aop,I);
§4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个复矩阵可以分解为两个与的秩相同的矩阵之积的问题。定义4.3.1设复矩阵的秩为，如果存在两个与的秩相同的复矩阵与，使得，则称此式为复矩阵的满秩分解。 当是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）可以分解为单位矩阵与自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设复矩阵的秩为，则有满秩分解。 证：因为，对施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵， 其中为矩阵，并且；因此存在着有限个阶初等矩阵之积， 记作，有，或者，将矩阵分块为，其中为矩阵，为矩阵，并且，。 则有，其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵。▌ 但是，矩阵的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个阶非奇异矩阵，则有 。 例1、求矩阵的满秩分解。 解：对矩阵进行初等行变换 其中所以，；而，其中 由此可见，所以有。 定义4.3.2设复矩阵的秩为，并且满足以下条件： 1）矩阵的前行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后行的元素均为零； 2）如果矩阵的第行的第一个不为零的元素1在第列， 则； 3）矩阵的列是单位矩阵的前列； 则称矩阵为Hermite标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为的复矩阵，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形，而且矩阵的前列元素组成的列向量组线性无关。 定义4.3.3以阶单位矩阵的个列向量为列构成的阶矩阵叫做置换矩阵。其中是的一个全排列。 定理4.3.2设复矩阵的秩为，矩阵的Hermite标准形为，则在矩阵的满秩分解中，可以取矩阵为的列构成的列矩阵，为的前行构成的列矩阵。例2、求矩阵的满秩分解。 解：先求出矩阵的Hermite标准形
Sparse and Low-Rank Matrix Decompositions 摘要：我们考虑如下的基本问题：给定一个由未知稀疏矩阵和未知的低秩矩阵的和的矩阵，能够精确的恢复他们吗？这种恢复的能力有很大的用处在许多领域，一般情况下，这个目标是病态的和NP难的。本文提出了如下的研究：（a）一个新的矩阵不确定性原则；（b）一个简单的基于凸优化的精确分解方法。我们的不确定规则是一个量化的概念，即矩阵不可能稀疏当有漫行列空间时。他决定了什么时候分解问题是病态的，并形成了我们的分解方法和分析基础。我们提出决定条件—在稀疏和低秩元素上—在这种条件下我们的方法可以精确的恢复。 1、引言 给定一个由未知稀疏矩阵和未知低秩矩阵加和的矩阵，我们研究如何把矩阵分开为稀疏成分和低秩成分。这样的问题在很多领域得到应用，比如：统计模型选择，机器学习，系统鉴别，计算复杂度理论，及光学等。本文我们提出在何种条件下这个分解问题是适定的，例如，稀疏和低秩成分在根本上是可识别的，目前的凸松弛精确的恢复稀疏和低秩成分。 主要结果：令，是一个稀疏矩阵，是一个低秩矩阵。给定矩阵C后，目标是在不知道的稀疏模式和的秩或奇异值的情况下恢复和。在没
有额外条件下这个问题是完全不适定的。在很多条件下，一个特定的解是不存在的；比如说低秩矩阵本身就稀疏，这就使得很难从另一个稀疏矩阵中唯一的区别出来。为了知道何时精确解所示可能的，我们定义了新的秩-稀疏不相关概念，他通过一个不确定原则将矩阵的稀疏模式和矩阵的行或列空间联系到一起。我们的分析是几何形式的，并且从切空间到稀疏和低秩矩阵代数簇扮演了重要的角色。 解决这样的分解问题是NP难的。一个合理的首要方法是最小化，满足约束条件A+B=C，式中，作为稀疏和秩的折中。这个问题在解决上是复杂且顽固的；我们提出一个较好的凸优化问题，目标是 的凸松弛。我们松弛 通过用L1范数来代替他，他表示矩阵A中所有元素绝对值的和。我们松弛通过用核范数来代替他，核范数是矩阵B的奇异值的和。注意到核范数可以被看作是‘L1范数’施加到奇异值上（即矩阵的秩是非零奇异值的个数）。L1范数和核范数是 非常好的替代品，并且一些结果给出在一些条件下这些松弛可以恢复稀疏和低秩对象。因此，我们得目的是把C分解为，用如下的凸松弛：
《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月
Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015
中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用
Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application
§矩阵的满秩分解 本节讨论一个n m ?复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。 定义设n m ?复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。 当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。 证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵???? ??=0G B ， 其中G 为n r ?矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积， 记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ?矩阵，S 为)(r n m -?矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。 则有()FG G S F B P A =??? ? ??==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有 G F G D FD FG A ~~))((1===-。 例1、 求矩阵???? ? ??----=122211212101A 的满秩分解。 解：对矩阵A 进行初等行变换
()???? ??==???? ? ??--→????? ??----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中???? ??-=30202101G 所以????? ??-=000030202101B ，???? ? ??-=111011001P ；而()S F P =????? ??--=-1120110011 ，其中???? ? ??--=121101F 由此可见，所以有()???? ? ??--==???? ??==-12110101FG G S F B P A ???? ??-30202101。 定义设n m ?复矩阵H 的秩为r ()0>r ，并且满足以下条件： 1）矩阵H 的前r 行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后r m -行的元素均为零； 2）如果矩阵H 的第i 行的第一个不为零的元素1在第i j 列()r i ,,2,1 =， 则r j j j <<< 21； 3）矩阵H 的r j j j ,,,21 列是单位矩阵m I 的前r 列； 则称矩阵H 为Hermite 标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为r 的n m ?复矩阵A ，均可以经过初等行变换将其化为Hermite 标准形H ，而且矩阵H 的前r 列元素组成的列向量组线性无关。 定义以n 阶单位矩阵n I 的n 个列向量n e e e ,,,21 为列构成的n 阶矩阵() n j j j e e e P ,,,21 =叫做置换矩阵。其中n j j j ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列。 定理设n m ?复矩阵A 的秩为r ()0>r ，矩阵A 的Hermite 标准形为H ，则在矩阵A 的满秩分解FG A =中，可以取矩阵F 为A 的r j j j ,,,21 列构成的
目录 0 引言 (1) 1 预备知识 (1) 2 几类特殊矩阵满秩分解 (2) 2.1酉对称矩阵的满秩分解 (2) 2.2行（列）对称矩阵的满秩分解 (3) 2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解 (4) 2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解 (4) 2.5广义延拓矩阵的满秩分解 (5) 3 矩阵的满秩分解的应用 (6) 3.1利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵 (6) 3.1.1 利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵-A (6) 3.1.2 利用矩阵A的满秩分解求M-P广义逆矩阵 A (7) 3.2线性方程组的极小最小二乘问题 (8) 参考文献 致谢
赵爱霞 （天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001） 摘要介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用. 关键词酉对称矩阵;行（列）对称矩阵; 行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解. Full Rank Decomposition and Application for some kinds of Special Matrix ZHAO Aixia (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001) Abstract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition in finding generalized inverse of matrix, Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition.
109 §4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个n m ?复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。 定义4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。 当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。 证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵??? ? ??=0G B ， 其中G 为n r ?矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积， 记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ?矩阵，S 为)(r n m -?矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。 则有()FG G S F B P A =??? ? ??==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有 G F G D FD FG A ~~))((1===-。 例1、 求矩阵???? ? ??----=122211212101A 的满秩分解。 解：对矩阵A 进行初等行变换 ()???? ??==???? ? ??--→????? ??----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中???? ??-=30202101G 所以????? ??-=000030202101B ，???? ? ??-=111011001P ；而()S F P =????? ??--=-1120110011 ，其中???? ? ??--=121101F 由此可见，所以有()???? ? ??--==???? ??==-12110101FG G S F B P A ???? ??-30202101。