目录
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摘要...............................................................................................................................................I Abstract..........................................................................................................................................II 目 录............................................................................................................................................IV 第一章绪论.. (1)
§1.1课题的研究意义与发展概况 (1)
§1.2本文所做的主要工作与创新点 (3)
§1.3本文常用的引理与符号 (4)
第二章 广义相关系数矩阵低秩逼近 (6)
§2.1引言 (6)
§2.2问题的等价描述 (6)
§2.3 求解等价问题的非线性共轭梯度算法 (9)
§2.4数值实验 (10)
§2.5本章小结 (17)
第三章 相关系数矩阵Q-加权低秩逼近 (18)
§3.1引言 (18)
§3.2问题的等价转化 (18)
§3.3 求解等价问题的非单调谱投影梯度算法 (25)
§3.4 数值实验 (28)
§3.5 本章小结 (31)
第四章 半正定Hankel矩阵加权低秩逼近 (33)
§4.1 引言 (33)
§4.2 问题的等价转化与求解 (33)
§4.3 数值实验 (36)
§4.4 本章小结 (40)
第五章 总结与展望 (41)
§5.1 全文研究工作总结 (41)
§5.2 全文研究工作展望 (41)
参考文献 (42)
致 谢 (45)
作者在攻读硕士学位期间取得的成果 (46)
IV
第一章 绪论
1
第一章 绪论
§1.1 课题的研究意义与发展概况
随着信息技术的快速发展，人们面临各种大数据处理，比如雷达观测实时处理的大规模信号，投资组合中需要分析的各种股票价格的动态数据，以及高光谱图像处理中的像点信息等等. 在处理这类信息时，人们经常会遇到结构矩阵低秩逼近问题. 研究结构矩阵低秩逼近问题具有很高的应用价值，它已广泛应用于资产配置[1,2]、图像处理[3,4]、潜在语义分析[5]和机器学习[6,7]等学科与领域.
本硕士论文将系统研究如下三类结构矩阵广义低秩逼近问题：
问题I (广义相关系数矩阵低秩逼近问题) 给定(1)m m ≥个相关系数矩阵(1)(1)(),,,m n n A A A R ×∈ ，和一个正整数(1)k k n ≤<，求一个秩小于等于k 的相关系数矩阵Y 使得
22()(),(),()1111min 22n m m d d F F Y S diag Y e rank Y k d d A Y A Y +∈=≤==?=?∑∑.
问题II (相关系数矩阵Q-加权低秩逼近问题) 给定矩阵n n A R ×∈和Q-加权范数Q ?，其中Q 是给定的22n n ×阶对称正定矩阵，求一个低秩逼近解矩阵Y 使得
2
2,()min n Q Q Y S diag Y e A Y A Y +∈=?=?.
问题III (半正定Hankel 矩阵加权低秩逼近问题) 给定非零矩阵,,n n A B R n n ×∈×阶Hankel 矩阵C ，和一个正整数(1)k k n ≤<，求一个秩等于k 的半正定Hankel 矩阵
n X H +∈使得
2
2,()min n F F X H rank X k AXB C AXB C +∈=?=?.
问题I 和问题II 是两种不同类型的相关系数矩阵低秩逼近问题，主要来源于资产配置和投资组合. 例如根据历史统计数据计算不同时期股票价格之间的相关系数矩阵时，由于各种因素导致所得到的相关系数矩阵不是对称半正定的，需要求一个与其最接近的相关系数矩阵进一步预测分析(详见[1，8，9]). 问题III 来源于控制理论和信号处理，例如在处理脉冲反应序列构成的Hankel 矩阵时，由于各种噪音的影响导致原来的矩阵是秩亏损的，且不是半正定的，需要找一个低秩半正定Hankel 矩阵反馈原信号的主要信息(详见[10]). 下面对相关系数矩阵逼近和Hankel 矩阵逼近问题的一些研究成果进行系统的归纳和总结.
对于相关系数矩阵逼近问题，其研究成果主要集中在两个方面：带秩约束和不带秩约束的相关系数矩阵逼近问题. 对于不带秩约束的相关系数矩阵逼近问题，即相关系数矩阵最佳逼近问题(简称NCMP ). 由于问题的可行集
{}
,()n Y Y S diag Y e +Ω=∈=