一．解答题（共40小题）
1．已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）解该方程组；
（2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by=2的一组解，求代数式6b﹣4a的值．
2．已知关于x，y的方程组的解满足x+y=2k．
（1）求k的值；
（2）试判断该方程组的解是否也是方程组的解．
3．已知和都是方程ax+y=b的解，求a与b的值．
4．已知和是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解，求k，b的值．5．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？
6．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程组的解，试计算a2010+的值．
7．已知甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解出，而乙把c抄错了，结果解得，求a、b、c的值．
8．已知方程组与的解相同，试求a+b的值．
9．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的解．
10．已知二元一次方程组的解是，求4a﹣3b的值．
11．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y=4，求m的值．12．已知方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解是；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解．若按正确的a，b计算，求原方程组的解．
13．已知方程组的解能使等式4x﹣6y=2成立，求m的值．14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x与y之和为2，求a的值．
15．已知关于x，y的方程组和的解相同，求（2a﹣b）2的值．
16．解方程组．
17．解二元一次方程组：．
18．解方程组．
19．解方程组．
20．解方程组：．
21．解方程组：．
22．解方程组．
23．解方程组：．
24．解方程组．
25．解方程组：．
26．解方程组：．
27．附加题：已知y=x2+px+q，当x=1时，y的值为2；当x=﹣2时，y的值为2，求当x=﹣3时，y的值．
28．解方程组：．
29．解下列方程组：
（1）
（2）．
30．解方程：．
31．解方程组：．
32．解方程组
（1）
（2）．
33．解下列方程组
（1）；
（2）．
34．解下列方程组：
（1）
（2）．
35．解方程组：
列方程（组）解应用题（复习课） 锦绣实验学校何晓英 2009.06.16 教学目标： 1.学会解决实际问题,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 2.培养分析、解决问题的能力，体会方程组的应用价值，感受数学文化。 重点：数学思想方法. 难点：实际应用问题中的等量关系. 教学方法：自主探索——合作交流——提炼升华 课型：复习课 教具：多媒体（或投影仪） 教学过程： 一、导入： 一切问题都可以转化为数学问题， 一切数学问题都可以转化为代数问题， 而一切代数问题又可以转化为方程问题， 因此，一旦解决了方程问题， 一切问题都将迎刃而解！ ------笛卡儿[Descartes, Rene du Perron, 1596-1650 ] （有数学家把方程称为“好数学”，它是我们学习、研究、解决数学问题的良好工具。今天让我们再来体会一番方程在解决实际问题中的应用吧！请看下面一段对话： 在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到天目山旅游，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图所示）． （1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由． （分析：列方程解应用题的关键是分析数量关系，找出等量关系，从而恰当的设出未知数，列出方程（组），此题的主要等量关系：成人+学生=11人；成人门票费+学生门票费=360元。）-----------------审 解：设小明他们中有x 个成人，y个学生。--------设 由题意，得 x+y=11 40x+20y=360-------------------列 解得 x=7 y=4-----------------------------解 经检验，x=7 y=4 适合方程组且符合题意。-------检 答：小明他们中有7个成人，4个学生。-----------答 （体会生活中处处有数学，同时通过此例复习列方程解应用题的一般步骤:） 1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.检:有两次检验. 6.答:注意单位和语言完整. 二、典型例题 （生活中处处有数学，下面我们再一起看看一些实际问题的常见类型） （一）行程问题：相遇：二者路程之和=全程 追及：慢者先走路程(或相距路程) +慢者后走路程 =快者路程 例1.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行。如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小
蓬溪外国语实验学校数学学案模板课题：7.2.二元一次方程组的解法班级：姓名： 一、学习目标： 1、会借助二元一次方程组解决简单的实际问题 2、会检验解题结果是否正确，知道用二元一次方程解决实际问题的基本过程四、试一试 1、有大小两种货车，若2辆大车与3辆小车可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。问：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？ （提示：先求出一辆大车和一辆小车每次分别可以运货多少吨） 2、某班师生56人到某旅游景点参观，教师每张门票8元，学生每门票5元，共 付304元.问教师学生各多少人？ 3、篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某 队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 4、哥哥弟弟两人相距48米，两人同时出发相向而行，16秒相遇；同时出发同向而行，哥哥120秒可追上弟弟.两人的速度各是多少？ 5、把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？这些图书共有多少本？ 6*、（提升）木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？ 二、学一学： 1、回忆：我们已学习了如何列一元一次方程解决实际问题，其中列方程解应用题的关键步骤是：审题；设未知数；列方程；解方程；检验并作答。 2、请认真看P34至P35的例6，试试： (1)找出能反映题意的两个等量关系： ①__________________ + _________________=_______ ②__________________ + _________________=_______ (2)若设精加工天数为x天，粗加工天数为y天，完成下列表格 精加工粗加工合计加工天数x y 加工蔬菜（吨） 解： 三、想一想 总结解二元一次方程组应用题的步骤有哪些？ 1、审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，并用x,y表示 2、找到能表示应用题全部含义的两个等量关系 3、根据两个等量关系，列出方程 4、解方程组 5、检验并作答
*基础知识 "2x - y = 5 1、方程组＜ y"'的解是() x + y =1 卩x-6y =1, \x = -3 y +5; !3x+5y =5, I 3x —4y =23; {3m = 5n, gm —3 n =1; 消元---- 二元一次方程组的解法 x=0 y=1 C. a ：2 D. [y =1 "x = 2 — 2、下列二元一次方程组以 x = 0, y=7 为解的是( ) A. fx"7, X +2y =14. B. j x + y = -7, X - y = 7. C p x + 2y=14, .：x-3y = —21. 3、将方程5x-2y+12=0写成用含 D. [5x + y = 7, i 3x -2y =14. 的代数式表示y 的形式 「2x-7y =8, (1) 4、 用代入消元法解方程组I y '，可以由 得 [y -2x = 4.⑵ —— ，把(3)代入 ___________ 中，得一元一次方程 _____________________ ，解得 求得的值代入(3)中，求得 ___________ ，从而得到原方程组的解为 __________ 5、 用代入法解下列方程组： (3) ，再把 (1) |x=2y, I x + y =3; y = 1-x, i3x + 2y =5; |x-4y =-1, I 2x + y =16;
(3)， *能力提升 二、加减消元法 *基础知识 l x - y =3(1) 2、方程组Q y 八丿 若用加减消元法解，可将方程(1)变形为 3 4 i x +y=2； 12 3 ； (8) 『X y +1 1 gw 1, [3x + 2y =0. 」-7、”m, 3m -2n 6、已知 7x y 和一 3x 2n_2 y 是同类项，求m,n 的值. 7、如果(2x *探索研究 8、已知方程组 [ax + by =2 jCx-7y =8 中 y - 2| = 0，求 10x — 5y + 1 的值. I x = 3 I x = —2 '的解为I "'而小明粗心地把C 看错了，解得I "'请 2. l y = 2. 你求出正确的 a,b,c 的值. 1、方程组戸+4厂5,中， 3x-7y =6 x 的系数的特点是 「2x + 5y = 1 ，方程组? y '中y 的系 i3x -5y = 4 数特点是 ，这两个方程组用 法解较简便。
列一元二次方程解应用 题教案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
第二十二章一元二次方程 第十课 初三（）班姓名：_________ 学号： 一、学习内容：列一元二次方程解应用题。 二、学习目标：会根据题意列方程，并解方程； 三、学习过程： 解应用题的关键是：能够理解题目中所给条件的关系，找出题目中的等量关系，列出方程。 例1：穗园小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为875m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，那么绿地的长和宽各为多少 分析：利用面积来列方程 解：设宽为x m，则长为（）m，根据题意，得： x ()＝875 整理得－875＝0 解这个方程，得 x 1= , x 2 =-35 ∵ x 2 =-35<0，不合题意，舍去。 ∴ x+10= 答：绿地得长和宽分别为，。 例2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到万册.求这两年的年平均增长率. 分析：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5(1＋x) (1＋x)＝5(1＋x)2万册 5(1＋x)2= 整理可得 5x2＋10x－=0 解得：x 1= , x 2 = ∵ x 2 =-35<0，不合题意，舍去。 答：这两年的年平均增长率为。
例3 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四 角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为 800平方厘米.求截去正方形的边长. 分析：设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式. 解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得 (60－2x)（）＝800 解得：x 1= , x 2 = 答：截去正方形的边长为。 在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答. 四、分层练习 A组：根据题意设未知数，并列出方程 1、两个连续整数的积是210，求这两个数。 2、已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数。 3、要做一个容积是750cm2,高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底 面的长和宽应该是多少
列二元一次方程组解应用题专项训练 1、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用去了1700元，获纯利2600元；种西红柿每亩用去了1800元，获纯利2600元，问王大伯一共获纯利多少元？ 2、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 25、初三（2）班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况.根据他们的对话，请你分别求出A，B两个超市今年“五一节”期间的销售额. 3、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。 （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 4、某玩具工厂广告称：“本厂工人工作时间：每天工作8小时，每月工作25天；待遇：熟练工人按计件付工资，多劳多得，计件工资不少于800元，每月另加福利工资100元，按月结算；……”该厂只生产两种玩具：小狗和小汽车。熟练工人晓云元月份领工资900多 小狗件数（单位：个）小汽车个数（单位： 个） 总时间（单位：分）总工资（单位：元） 1 1 35 2.15 2 2 70 4.30 3 2 85 5.05 为：k月份每个工人每月生产的小狗的个数不少于生产的小汽车的个数的k倍（k＝2,3,4,……，12），假设晓云的工作效率不变，且服从工厂的安排，请运用所学数学知识说明厂家广告是否有欺诈行为？ 5用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制成盒身25个，或制盒底40个，一个盒身和两个
三元一次方程组的解法举例 1）．三元一次方程组的概念： 三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程。 注：（1）“未知项”与“未知数”不同。（2）每个方程不一定都含有三个未知数。 它的一般形式是 未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。 2）．解三元一次方程组的基本思想方法是： 【例1】解方程组 分析：方程①只含x，z，因此，可以由②，③消去y，再得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组． 解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．（4） ①与④组成方程组 解这个方程组，得 把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9， ∴．
∴ 【例2】解方程组 分析：三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z。 解：①+③，得5x+6y=17 ④ ②+③×2，得，5x+9y=23 ⑤ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得把x=1，y=2代入③得： 2×1+2×2-z=3，∴z=3 ∴ 另解：②+③-①，得 3y=6，∴y=2 把y=2分别代入①和③，得 解这个方程组，得： ∴ 注：①此题确定先消去z后，就要根据三个方程消两次z（其中一个方程要用两次），切忌消一次z，再消一次其他未知数，这样得不到一个二元一次方程组，达不到消元的目的。
②此题的“另解”是先同时消去两个未知数，直接求出一个未知数的值，然后把所求得的未知数的值代入方程组中的两个方程组中，得到一个二元一次方程组，再求出另两个未知数的值。这种解法是一种特殊解法，只有认真观察，才能做出。 简单的二元二次方程组的解法举例 （1）二元二次方程及二元二次方程组 观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2. 定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程. 二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项. 定义②：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组 由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组. 例如：都是二元二次方程组. （2）二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.
特殊方程组得解法 特殊方程组 不定方程组 含参方程组 模块一:假期知 识您还记得么 1. 二元一次方程 组:由几个一次方程组成,含有两个未知数得方程组叫做二元一次方 程组、 2. 二元一次方程组得解:一般地,二元一次方程组得两个方程得__________叫做二元一次方程组得解,它 必须同时满足方程组中得每一个方程,一般表示为x a y b =??=? 得形式、 3. 二元一次方程组得解得检验:要检验一对未知数得就是否为一个二元一次方程组得解,必须将这对未 知数得值_____________方程组中得每一个方程进行检验、 4. 解二元一次方程组得方法:_____________,______________、 1. 用代入消元法解方程组: 222312n m m n ?-=???+=? 3252 2(32)117x y x x y x +=+??+=+? 2. 用加减消元法解方程组: 2535x y x y +=?? +=? 433 344 x y x y 基础知识思维导图 复习导航 典题回顾
3、已知方程组 2.2 3.5113.5 5.633x y x y -=??+=?得解为x m y n =??=?,则方程组()()()()2.22 3.5111 3.52 5.6133x y x y ?+--=??++-=??得解就是_________ 4、解方程组274ax y cx dy +=??-=?时,一学生把a 瞧错后得到51x y =??=?,而正确得解就是3 1 x y =??=-?a c d 、、得值为 ( ). A.不能确定 B.3a =,1c =,1d = C.c ,d 不能确定,3a = D.3a =,2c =,2d =- 模块二:特殊方程(组) 199319941995200720082009x y x y + =??+=? (1) 141516 171819 x y x y (2)200520062007 200820092010 x y x y +=?? +=? 您发现了什么规律,猜测关于x,y 得方程组()(m 1)y m 2 nx (n 1)y n 2 mx m n ++=+?≠? ++=+?得解就是什么,并用 方程组得解加以证明。 【例1】 解方程组: 199519975989199719955987 x y x y 【练习1】 ⑴361463102 463361102 x y x y 【例2】 已知123451234512 3451234 51 2 3 4 5 26 212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ,求4532x x 得值、 (1)236236326x y z x y z x y z ++=?? ++=??++=? (2) 323232y z x a z x y b x y z c 典题精练 知识导航 解一些特殊得方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)需要观察方程组下系数特点,着眼于整体上解决问题,常用到: 整体叠加、整体叠乘、整体代入、先消常数、设元引参、对称处理、换元转化、巧取倒数等方法技巧。
《列方程解应用题》教学设计及评析 四年级数学教案 教学目的 ： 1、使学生学会用方程解答“已知比一个数的几倍多（少）几是多少，求这个数”的应用题。 2、使学生能根据应用题的具体情况灵活选择解题方法，培养学生主动获取知识的能力和习惯。 3、通过解决问题激发学生热爱新校的情感。 教学重点 ： 分析题中数量间的相等关系，并列方程，提高用方程解应用题的能力。 教学难点 ： 根据不同的数量间的相等关系，列出多种不同的方程，体会列方程解应用题的优越性。 教学准备 ：课前调查老校与新校各方面的变化的数据；多媒体课件。 教学过程：
●一、课前谈话 激发兴趣 师：同学们，这个学期我们搬进了新的学校，你的心情怎样？ 通过调查你发现新校与老校相比有什么不同？（学生自由说） (评析：学生刚刚搬进漂亮的新校，充满了好奇，让他们课前调查, 他们当然是乐开花，调查中，学生进一步地认识、了解了自己的新学校，而且用他们调查的数据作为下面的学习的材料，使学生感受到我们生活的每一个角落都有数学,我们学的是有用的数学。) ●二、展示信息 提出问题 师：的确，就象同学们所说的，新校与老校相比发生了非常大的变化。 根据学生的交流选择信息出示下表： 信息 1 信息 2 问题 老校有电脑
40台 新校的电脑比老校的 6倍多35台 新校有 1550人在校就餐 比老校的 3倍多200人 新校有图书 49500册 比老校的 4倍多1500册 新校的人均绿化面积是13.5平方米 比老校的 4倍少2.5平方米
师：你能根据上面的信息，提出数学问题吗？ 根据学生的回答逐步出示问题。 （ 1）新校有多少台电脑？ （ 2）老校有多少人在校就餐？ （ 3）老校的人均绿化面积多少平方米？ （ 4）老校有多少万册？ 师：刚才同学们给每一组信息提出了一个问题，组成了四道应用题。 第一个应用题应该怎样解答？（学生口答） （评析：突破传统的应用题的呈现方式，通过选择学生调查的信息，请学生提出问题的方式使复习题、例题和练习题整体呈现，促使学习内容在动态中生成，激活了学生的认知需求与思维热情，使其积极主动地参与到下面的学习活动中。） 三、体验交流 探索新知
解线性方程组的直接解法 一、实验目的及要求 关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。 二、相关理论知识 求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解 线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法 程序流程图： 输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。 根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行； 对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行； 消元计算； 回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组 （1）LU分解 调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A） 注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。 （2）平方根法
调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ） 输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。 三、研究、解答以下问题 问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答： 程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b
方程组解法综合 教学目标 1.学会用带入消元和加减消元法解方程组 2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题 知识精讲 知识点说明： 一、方程的历史 同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元263 年，数学家刘徽所著《九章算术》一书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出的“方程”如图所示。 方程的英语是equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把equation 译成“相等式”，到清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。 二、学习方程的目的 使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。 三、解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。 消元方法：代入消元法和加减消元法 代入消元法： ⒈取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①； ⒉将①代入另一个方程，得一元一次方程； ⒊解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ⒋将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 加减消元法： ⒈变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）； ⒉将两条方程相加或相减消元； ⒊解一元一次方程； ⒋代入法求另一未知数． 加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入．
二元一次方程组应用探索 二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下： 一、数字问题 例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数． 分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示： 解方程组 109 101027 x y x y y x x y +=++ ? ? +=++ ? ，得 1 4 x y = ? ? = ? ，因此，所求的两位数是14． 点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之． 二、利润问题 例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？ 分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10. 解方程组 0.920% 0.810 x y y x y -= ? ? -= ? ，解得 200 150 x y = ? ? = ? ，
〈〈列一元一次方程解应用题》教学设计 -----探索日历中的奥秘【教学目标】 一、知识与技能： 1. 使学生初步掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程. 2. 能分析应用题中的数量关系，并找出等量关系. 二、数学思考： 1. 能将实际问题转化为数学问题，寻找等量关系并通过列方程解决. 2. 通过用方程解实际问题让学生体会数学应用的价值. 三、解决问题： 1. 能根据题设设未知数和把握不变量列出相应的方程. 2. 能通过移项、合并同类项解一元一次方程.进一步了解用方程解决实际问题的基本步骤. 四、情感与态度： 通过用一元一次方程解决生活中的实际问题，让学生感受到数学和我们的生活息息相关，从而增强学生使用数学的意识和对数学的兴趣。 【教学重、难点】 重点：用一元一次方程解决应用题的基本过程. 难点：将实际问题转化为数学问题，寻找其中的等量关系 . 【教学方法】 采用探究、合作、交流等教学方式完成教学。 【教学手段】 多种媒体辅助教学. 【教学流程】 一、创设情境（师生互动） 同学们，日历是我们生活中必不可缺的。我们几乎每天都会看日历，你们知道日历中有什么奥秘吗？今天让咱们一起来探索一下日历中的奥秘，了解列一元一次方程解应用题的基本步骤。 如果在日历上一个竖向相邻的三个日期之和60,谁能告诉我这三天分别是 几号吗？ （教师提问，找学生回答） 教师分析： （审题）由生活常识有在日历上横着每两个数的差为1,竖着的差为7且等 价关系为：三天的日期之和为60。 解：（设未知数）设中问一个数为x ,则其余两个分另IJ为x 7和x 7。 （列方程）依题意得：（x 7） x （x 7） 60 （解方程）解方程得：3x 60 x 20 （检验）由常识可知解符合题意。
含有参数的方程的解法 6 1211312)2()2(33)121--+=+-+--=-+x x x x x x 、（、 剖析： 当a ≠0时，方程有唯一的解，x=b/a 解关于x 的方程ax=b 当a=0,b ≠0时，方程无解 当a=0,b=0,方程有无数个解，且解 为任意数 分类讨论： 解关于x 的方程 例如：1、mx-m=nx 移项，得mx-nx=m 当m-n ≠0,即m ≠n 时，x=m/(m-n) 合并，得（m-n ）x=m 当m-n=0,m ≠0时，方程无解 当m-n=0,m=0时，方程有无穷多 解 反之： 有唯一解时，则a ≠0 关于x 的方程ax=b 无解时a=0,b ≠0 无穷多解时a=0,b=0 1、 已知关于x 的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b 有无穷多解，则 a,b 的值分别是多少？ 2、 已知等式2a(x-1)=(5-a)x+3b,对于任意x 均成立，试求 a,b 的值； 3、 若关于x 的一元一次方程（a+b ）x 2+ax+b=0有唯一解，
则x的值？（提示：a,b互为相反数） 含有绝对值方程的解法： 1、解可化为︱x︱=a(a≥0)的绝对值方程 19-︱x︱=100-10︱x︱ 2、解形如︱ax+b︱=c的绝对值方程（讨论：ax+b=c或ax+b=-c） ︱2x+3︱=5 ︱3x-1︱-︱2x+1︱=0 ︱3x+1︱-︱4x-1︱=0 ︱7x-3︱-︱5x+1︱=0 3(-2︱x︱-1)=︱x︱ /5-5 4(︱x︱-1)=︱x︱/2+1 3(︱x︱-1)=︱x︱/5+1 (2︱x︱-1)/3+1=(︱x︱+2)/2 3、解形如︱ax+b︱=cx+d的绝对值方程（检验：x的值要满足cx+d≥0） ︱3x+2︱=5x-10 (提示：x的值要满足5x-10≥0,否舍去) 利用方程的解求字母的值： 1、如果x=-2是方程a(x+3)=1/2a+x的解，求a2/2-a+1的 值； 2、若方程2x+1=3x的解与关于x-3a=4的解相同，求关于
第２章 解线性方程组的直接解法 §0 引言 11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??? ?+++=?L L L L 1112121 22212112,(,,,),()n n T T n n n n nn a a a a a a A x x x x b b b a a a ??????===??? ??? ? ?L L L L L L L Ax b = 若A 非奇异，即det()0A ≠，方程组Ax b =有唯一解。由 Cramer 法则，其解 det(),1,2,,det() i i A x i n A = =L 其中i A 为用b 代替A 中第i 列所得的矩阵。当n 大时， 1n +个行列式计算量相当大，实际计算不现实。 121212(,)12det()(1)n n n i i i i i i n i i i A a a a τ=-∑L L L §1 Gauss 消去法 （I ）Gauss 消去法的例子 （1）1231123 212336 ()123315()18315() x x x E x x x E x x x E ++=??-+=??-+-=-? 2131()12(),()(18)()E E E E -?--? （2） 12312342356 ()15957()211793()x x x E x x E x x E ++=?? --=-??+=?
方程组13()()E E -与方程组145(),(),()E E E 同解 541 ()21( )()15 E E --得 （3）1231234366()15957()3() x x x E x x E x E ++=?? --=-??=? 由（3）得3 213,2,1x x x === 123(,,)(1,2,3)T T x x x = （3）的系数矩阵为11 10159001????--?????? ，上三角 矩阵。 （II ）Gauss 消去法，矩阵三角分解 Ax b = 1112 11,12122 22,112 ,1 n n n n n n nn n n a a a a a a a a A b a a a a +++????????=?????????? L M L M L L M M L M 令(1) ,1,2,,;1,2,,,1ij ij a a i n j n n ===+L L (1)(1)A b A b ??=?? ???? 第1次消去 (1) 110a ≠, 令 (1)1 1(1)11 , 2,3,,i i a l i n a ==L 作运算：11()()i i i l E E E -+→ i E 表示第i 个方程（第i 行） 2,3,,i n =L (2)(1)(1) 111110 2,3,,i i i a a l a i n =-==L
一．解答题（共40小题） 1．已知关于x，y的二元一次方程组． （1）解该方程组； （2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by=2的一组解，求代数式6b﹣4a的值． 2．已知关于x，y的方程组的解满足x+y=2k． （1）求k的值； （2）试判断该方程组的解是否也是方程组的解． 3．已知和都是方程ax+y=b的解，求a与b的值． 4．已知和是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解，求k，b的值．5．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？ 6．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程组的解，试计算a2010+的值． 7．已知甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解出，而乙把c抄错了，结果解得，求a、b、c的值． 8．已知方程组与的解相同，试求a+b的值． 9．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为． （1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的解． 10．已知二元一次方程组的解是，求4a﹣3b的值． 11．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y=4，求m的值．12．已知方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解是；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解．若按正确的a，b计算，求原方程组的解． 13．已知方程组的解能使等式4x﹣6y=2成立，求m的值．14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x与y之和为2，求a的值． 15．已知关于x，y的方程组和的解相同，求（2a﹣b）2的值． 16．解方程组． 17．解二元一次方程组：． 18．解方程组． 19．解方程组． 20．解方程组：． 21．解方程组：． 22．解方程组． 23．解方程组：． 24．解方程组． 25．解方程组：．
学习资料 《列二元一次方程解应用题》教案设计 广东省东莞市厚街湖景中学冯明雄 前言：本教案是我在学校开展“读、议、展、点、练”高效课堂教学模式精心设计的教案。“读、议、展、点、练”高效课堂教学模式是以学生合作学习小组为基础，重视学生自主、合作、探究学习，重视学生的团队意识。这种教学模式转变教师的教学方式和学生的学习方式，依托“师生共用教学案”，把“教”的过程真正转变为“学”的过程，打造快乐高效课堂课堂。“读”其实质是独立学习，学生根据老师发放教学案的时间不同,选择不同的时间,学习方式,学习环境进行学习。“议”即合作学习，是指在教学过程中，以学习小组为教学基本组织形式，教师与学生之间，学生与学生之间，彼此通过协调的活动，共同完成学习任务，并以学习小组总体表现为主要奖励依据的一种教学策略。“展”是学习小组经过读和议后把学习成果进行展示、交流，让学生通过读、说、谈、演、写等形式把学习成果呈现给老师和同学。“点”是在读、议、展的基础上针对学习过程中的重点、难点、易错点等进行精点巧拨。“点”的最终目的是知识引申，学法导引，难点突破，帮助学生不断地探索。“练”是反馈、矫正，完善知识、能力、目标之手段，是检验主体探究学习之标尺。这种模式充分体现了学生课堂主体性，强调学生的课堂参与，积极思考，从而达到课堂的最大效率。这是我在全镇公开课的教案，取得了预定的成功，得到同行的一致好评。 教学目标：通过学生自主探究合作学习，把握题目中的等量关系语句，恰当设未知数并能把等量关系表示出来，解方程组，检验并作答。 重点：从题目中找出等量关系的语句，并设未知数表示出等量关系。 难点：找出等量关系语句，并用未知数代数式表示出来。
第4章 线性方程组的直接解法 本章主要内容 线性方程组的直接解法——消元法（高斯消元法、主元消元法）. 矩阵的三角分解法（ Doolittle 分解、Crout 分解、 LDU 分解） 紧凑格式 改进平方根法. 本章重点、难点 一、消元法（高斯消元法、列主元消元法） 本章求解的是n 阶线性方程组Ax=b 的（即方程的个数和未知量的个数相等的线性方程组） ?????????=+???++????????????? ??=+???++=+???++n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 3222212111212111 1. 高斯消元法 ①高斯消元法的基本思想：通过对线性方程组Ax=b 的进行同解消元变换（也可以用矩阵的初等行变换法进行线性方程组的消元变换），将线性方程组化为上三角形方程组，然后用回代法求出此线性方程组的解。 ②高斯消元法计算公式： ????? ? ? ????????--=-=--==? ????? ????? ???? +=-=-=====-+=------------∑)1,..., 2,1()1,..., 2,1(,...,1,,,,...,2,1) ,...,2,1,(,) 1(1)1()1()1() 1() 1()1() 1()1()() 1()1()1()1()(,)0()0(n n i a x a b x n n i a b x n k j i b a a b b a a a a a n k n j i b b a a i ii n i j j i ij i i i n nn n n n k k k kk k ik k i k i k kj k kk k ik k ij k ij i i ij ij 对回代公式： 消元公式：
1、解形如X±a=b的方程 X+a=b X-a=b 解：X+a-a=b-a 解：X-a+a=b+a X=b-a X=b+a 2、解形如a-X=b的方程※ a-X=b 解：a-x+x=b+x a=b+x a-b=b-b+x x=a-b 3、解形如ax=b的方程 aX=b 解; ax÷a=b÷a X=b÷a 4、解形如a÷x=b的方程※ a÷X=b 解：a÷X×X=b×X a=b×X a÷b=b÷b×X X=a÷b 5、解形如x÷a=b的方程※ X÷a=b 解：X÷a×a=b×a X=b×a 6、解形如ax±b=c(a≠0)的方程 aX-b=c(a≠0)把“ax”看作一个整体 解：ax-b+b=c+b ax=c+b ax÷a=(c+b) ÷a x=(c+b) ÷a aX+b=c(a≠0) 解：ax+b-b=c-b 把“ax”看作一个整体方程的两边同时减去b ax=c-b ax÷a=(c-b)÷a x=(c-b)÷a 7、解形如ax±ab=c(a≠0)的方程 可以转化为：a(x±b)=c 再解 8、解形如a(x+b)=c (a≠0)的方程 把“x+b”看作一个整体,方程的两边同时除以a 书写格式 例如 80-X=60 解：80-X+X=60+X 检验：x=20代入原方程 80=60+X 方程左边=80-X 80-60=60-60+X =80-20 X=20 =60 =方程的右边 所以x=20是方程的解
定律、公式 1、加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 2、乘法交换律：a ×b=b ×a 乘法结合律：(a ×b)×c=a ×(b ×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a ×c+b ×c 或 (a-b)×c=a ×c-b ×c 3、减法性质：a-b-c=a-(b+c) a-b-c=a-c-b 4、除法性质： a ÷ b ÷c=a ÷(b ×c) a ÷b ÷c=a ÷ c ÷b 5、去括号： a+(b-c)=a+b-c a-(b-c)=a-b+c a ÷ b ×c= a ÷(b ÷c) 6、长方形： a 长方形周长 =(长+ 宽)×2 字母公式：C=(a+b)×2 长方形面积=长×宽 字母公式：S=ab 7、正方形： 正方形周长=边长×4 字母公式：C=4a 正方形面积=S=a ×a 8、平行四边形 字母公式：S=ah 9、三角形 a 三角形的面积=底×高÷2 字母公式：S=ah ÷2 三角形的 底=面积×2÷高； 三角形的 高=面积×2÷底） 10、梯形 上底a 下底b
二元二次方程组解法与应用题 【知识梳理】 一、二元二次方程和方程组 1、仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 2、关于x,y 的二元二次方程的一般形式是: 22 ax bxy cy dx ey f 0+++++=(a,b,c,d,e,f 为常数)其中,22ax ,bxy,cy 叫做这个方程的二次项,a,b,c 分别叫做二次项系数; dx,ey 叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f 叫做这个方程的常数项. 3、使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解 4、由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组 5、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解 6、解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程. 7、对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法 二、应用题 1、在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解. 2、通过列方程来解某些实际问题,应注意检验,不仅要检验求得的解是否适合方程,还要检验所得得解是否符合实际意义. 【热身练习】 1. 将y 2x 1=-代入方程22y 2x 2-=后,整理成关于x 的整式方程是__________ 2. 将方程22x 2xy 3y 0+-=分解为两个二元一次方程为_____________与______________ 3. 二元二次方程组(x 2y)(2x y)0(x 3y 1)(2x y 1)0 --=??-++-=?的解有________组. 4. 已知03x y =??=?和11 x y =-??=?是二元二次方程220x y dx ey +++=的两个解,则d=_________, e=_________ 5. 下列不是二元二次方程组的是（ ） A. 2235024x y x xy y --=??-+=? B. 2121 x y y -=???=?? C. 03x y xy +=??=? D. 222 x y x y ?-=??+=??