含有函数记号“()f x ”有关问题解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 (
)211x
f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u
x u
=
- ∴2()2111u u
f u u u -=+=
-- ∴2()1x
f x x
-=-
2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3
311()f x x x x +=+，求()f x
解：∵22
211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-
又∵11
||||1||
x x x x +=+
≥ ∴23
()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2
(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2
ax bx c ++，则
22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+
=2
2
222()24ax bx a c x x +++=++
比较系数得2()4
1321
,1,2222
a c a a
b
c b +=??
=?===??=?
∴213()22
f x x x =
++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
∵-x >0,
∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，
∴lg(1)()()x f x f x -=-=- ∴当x <0时()lg(1)f x x =--
∴lg(1),0
()lg(1),0x x f x x x +≥?=?--
例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1
g x x =-， 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数， ∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换()f x +()g x =1
1x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1
()1
g x x =-+……②
显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1
x
g x x =-
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式
例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x
解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,
∴(2)f =(1)f +2, (3)(2)3f f =+
……
()(1)f n f n n =-+
以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =
(1)
2
n n + ∴1
()(1),2
f x x x x N =
+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题
1.判断函数的奇偶性：
例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0 ∴(0)f =1
∴()()2()f y f y f y +-= ∴()()f y f y -=
∴()f x 为偶函数。 2.确定参数的取值范围
例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2
(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2
(1)(1)0f m f m -+-<得2
(1)(1)f m f m -<--， ∵()f x 为函数， ∴2
(1)(1)f m f m -<- 又∵()f x 在（-1，1）内递减，
∴2
21111110111m m m m m -<--?
3.解不定式的有关题目
例9：如果()f x =2
ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小
解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-
∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上
∴f (2)最小，f (1)=f (3) ∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3) 二次函数中的符号问题 一、基本知识： （1）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的. 抛物线的开口向上 抛物线的开口向下 抛物线的形状相同 （2）抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点的位置是由 决定的. 抛物线与y 轴相交于正半轴上； 抛物线与y 轴相交于原点； 抛物线与y 轴相交于负半轴上. （3）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴的位置是由 决定的. 对称轴在y 轴的左侧； 对称轴在y 轴的右侧； 对称轴就是y 轴. （4）抛物线与x 轴交点的个数由 决定的. 抛物线与x 轴有2个交点； 抛物线与x 轴有1个交点； 抛物线与x 轴有0个交点. （5）二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒大于0（或恒小于0）的条件是: y 恒大于0 y 恒小于0 （6）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是（ ， ） 顶点在x 轴上 顶点在y 轴上 二、例题： 例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0，b__0，c___0，（2）a+b+c_____0，a －b+c______0， （3） 例2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0；a －b+c______； （2） 练习： 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a_____0，b____0，c_____0； （2）a+b+c_____0，a －2b_____0，9a －3b+c_____0 c_____0b 21a 41+-1_____0b 2 1a 41-- 第二十二章二次函数 22.1.4二次函数y= a x2+bx+c的图像和性质 第2课时：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,△的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确 定a,b,c,△等式子的符号。 【学情分析】 学生之前已经系统学习了二次函数的定义，图像及性质等基本知识，但是缺乏对知识之间内在联系的再认知，本节课内容的复习既是旧知识的再现，又是知识内部联系规律的生成，考虑到本节课要应用图像分析系数，要运用规律综合解决一些问题，所以在设计教学时有意识的注重思路、方法、规律的总结，重视原理的建构和方法的应用。 【教学重、难点】 教学重点是：掌握二次函数y=a x2+bx+c的图像与系数符号之间的关系。 教学难点是：运用数形结合思想，选用恰当的数学关系式解决不同类型的二次函数符号问题。 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三 【教学过程】 一、知识链接温故而知新 （一）回味知识点： 1、抛物线y=a x2+bx+c的开口方向与什么有关？ 2、抛物线y=a x2+bx+c与y轴的交点是。 3、抛物线y=a x2+bx+c的对称轴是。（二）归纳知识点： 抛物线y=a x2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定： 开口向上a>0 开口向下a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方c>0 交点在x轴下方c<0 经过坐标原点c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧a、b同号 对称轴在y轴右侧a、b异号 对称轴是y轴b=0 简记为：左同右异（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定: 二次函数：图象位置与a, b, c, (1)a决定抛物线的开口方向：?| . (2)C决定抛物线与尸轴交点的位置，心aDq抛物线交尸轴于； =抛物线交轴于；—0Q. (3)ab决定抛物线对称轴的位置， 当儿"同号时Q对称轴在F轴；对称轴为；以片异号匕对称轴在〉轴，简称为? 一、通过抛物线的位置判断a, b, c, △的符号. y 例1 .根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b 2 -4ac的符号 2.看图填空 (1) a+ b+ c _____ 0 (2) a—b+ c ______ 0 (3) 2a— b ______ 0 (4) 4a+ 2b+ c _______ 0 二、通过a, b, c, △的符号判断抛物线的位置： 例1 .若，则抛物线y=ax 2 +bx+c的大致图象为（） 例2.若a>0, b>0, C>0,A> 0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限. 例 3.已知二次函数y=ax2+bx+c 且a v 0, a-b+c >0;则一定有b2-4ac 0 例4.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（） B D C A 1.若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线尸血山经过象限. y 2 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是（ A、甬* “ > 山匕v 0 B、tr - 4ac< 0 C、山十&十° D、 y （b ac 3 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图，则点心〃丿在.（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y 4 .二次函数y=ax2 +bx+c与一次函数一在同一坐标系中的图象大致是（ 函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减） 3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有 有关二次函数的符号判断 前面，我们已经学过二次函数c bx ax y ++=2的一些基本性质，现在我们简单地回顾一下这些性质： 二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ,应用配方法可将其化为=y ．其中=h ， =k ．其图象与函数2ax y =的图象的 相同，开口方向相同， 那么，我们今天一起来学习抛物 线的位置与?,,,c b a 之间的关系．上面讲过，对于抛物线来说： （1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置： 0>c ?抛物线交y 轴于 ； 0 课题：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,?的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确定a,b,c,?等式子的符号。 【教学重点】数形结合思想的熟练运用 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三 【教学过程】 一、知识链接温故而知新 自学：抛物线y=a x 2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 a>0；开口向下 a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 ；交点在x轴下方 c<0 经过坐标原点 c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定：简记为：左同右异 对称轴在y轴左侧 a、b同号；对称轴在y轴右侧 a、b异号；对称轴是y轴b=0 （4）b 2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点b 2-4ac>0；与x轴有一个交点 b 2-4ac=0 ；与x轴无交点 b 2-4ac<0； （5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定,利用以上知识主要解决以下几方面问 题： （1）由a,b,c,?的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置； （2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,?等符号及有关a,b,c的代数式的符号； 二、（探究活动）典例学习温故而知新 【活动一】若二次函数c bx ax y+ + =2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴 的正半轴; 则点 ? ? ? ? ? b c a P,在（） . (A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 【变式训练1】 如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【变式训练2】 二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。 （小组交流自学成果并展示） 【活动二】 已知：二次函数y=a x 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0； ②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c) 2＜b 2，其中正确的个数是 （ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 三 、 教学互动 效果检测 1.（2008甘肃兰州）已知二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；② b ＜a ＋c ；③4a ＋2b+c ＞0；④b 2－4a c ＞0；其中正确的结论有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2.（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 O 二次函数中的符号问题专题复习 挑战中考中考链接： 1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M （，a）在（ D ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 第3题第4题 2、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一 坐标系中的大致图象是图中的（C） (A) (B) (C) (D) 3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0， 正确的个数是（C） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 4、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c)2＜b2， 其中正确的个数是（B）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 突破中考： 1．(2012年)如图1，在平面直角坐标系中，有两条位置确 定的抛物线，它们的对称轴相同， 则下列关系不正确的是（ A ） A．k=n B．h=m C．k ＜n D．h＜0，k＜0 2．(2013年)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图 4所示，下列说法错误 ．．的是( D ) （A）图象关于直线x=1对称 （B）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是-4 （C）-1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根 （D）当x<1时，y随x的增大而增大 3. (2014年)如图3，已知二次函数y =x x2 2+ -，当1 - 二次函数判断符号问题大全 1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++- x C 、y=12 1 212+-- x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论： 0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增 大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3题图 4题图 5题图 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6、二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ） x y O 1 B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y O 专题2：二次函数中的系数符号问题 2-的符号与谁有关： (一) a、b、c、△=ac b4 1、抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定，当开口向上时，则 ; 当开口向下时，则； 若交点在y轴的正半轴上则 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（），若交点在y轴的负半轴上则 若交点经过坐标原点则 若对称轴在y轴左侧，则a、b符号 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，若对称轴在y轴右侧，则a、b符号 若对称轴是y轴，则 与x轴有两个交点，则 4、抛物线与x轴的交点个数由决定，与x轴有一个交点，则 与x轴无交点，则 （二）抛物线y=ax2+bx+c的其他符号问题： 点在x轴上方，则a+b+c 。 1.a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a+b+c 。 点在x轴上，则a+b+c 。 点在x轴上方，则a－b+c 。 2.a-b+c的符号：由x= －1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a－b+c 。 点在x轴上，则a－b+c 。 3.2a±b的符号：由对称轴与x=1或x=-1的位置相比较的情况决定 （三）常用方法 1、图象上的其他点的纵坐标与顶点纵坐标比较 2、作差法比较 3、数形结合方法：二次函数c + =2，若 x=m时，y<0，当x=n时，y>0,则，则 y+ ax bx + =2和x轴必有交点 y+ ax bx c （四）你还可以补充： 练习Ⅰ 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，2 40b ac -> 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( ) 图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系1 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，240b ac -> y x 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( ) 8、已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示，则下列结论 正确的是（ ） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，c ＞0 D ．a ＞0，c ＜0 9、二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列说法不正确的是（ ） A ．2 40b ac -> B ．0a > C ．0c > D ．02b a - < 10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是 （ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜－2b ． A ．1 B 2 C .3 D. 4 11、已知二次函数的图象如图所示，有下列5 个结论：① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ，（ 的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． A ②④ B ①④ C ②③ D ①③ 二次函数abc组合的符号判断（一）（通用版） 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) A. ②③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线 ，则下列结论正确的是( ) A. B. a+b=0 C. D. 6.(本小题16分)如图，二次函数图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的有( ) A. 1个 B. 4个 D. 2个 7.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④；⑤．其中正确的是( ) A. ②③⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 二次函数abc组合的符号判断（二）（通用版） 单选题(本大题共6小题，共100分) 1.(本小题15分)二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线x=-1，且过点 （-3，0）．下列说法：①；②2a-b=0；③；④若， 是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) 专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系： 一、选择题 1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 2．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图2－ZT －1所示，则下列关系式错误的是( ) 图2－ZT －1 A ．a ＜0 B ．b ＞0 C ．b 2 －4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜0 3．以x 为自变量的二次函数y ＝x 2 －2(b －2)x ＋b 2 －1的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是( ) A ．b ≥5 4 B ．b ≥1或b ≤－1 C ．b ≥2 D ．1≤b ≤2 4．2017·威海已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －2所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝ a － b －c x 在同一坐标系中的大致图象是( ) 图2－ZT －2 图2－ZT －3 5．2017·安徽已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与反比例函数y ＝b x 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( ) 图2－ZT －4 6．2017·烟台二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －5所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①ab ＜0；②b 2 ＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中正确的是( ) 图2－ZT －5 A ．①④ B ．②④ C ．①②③ D ．①②③④ 7．2017·鄂州如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和 专题2：二次函数中的系数符号问题 (一)a 、b 、c 、△=ac b 42-的符号与谁有关： 1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向由决定， 当开口向上时，则; 当开口向下时，则 ； 若交点在y 轴的正半轴上则 2、抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点坐标是（），若交点在y 轴的负半轴上则 若交点经过坐标原点则 若对称轴在y 轴左侧，则a 、b 符号 3、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 ， 若对称轴在y 轴右侧，则a 、b 符号 若对称轴是y 轴，则 与x 轴有两个交点，则 4、抛物线与x 轴的交点个数由 决定， 与x 轴有一个交点，则 与x 轴无交点，则 （二）抛物线y=ax 2+bx+c 的其他符号问题： 点在x 轴上方，则a+b+c 。 1.a+b+c 的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定 点在x 轴下方，则a+b+c 。 点在x 轴上，则a+b+c 。 点在x 轴上方，则a －b+c 。 2.a-b+c 的符号：由x= －1时抛物线上的点的位置确定 点在x 轴下方，则a －b+c 。 点在x 轴上，则a －b+c 。 3.2a ±b 的符号：由对称轴与x=1或x=-1的位置相比较的情况决定 （三）常用方法 1、图象上的其他点的纵坐标与顶点纵坐标比较 2、作差法比较 3、数形结合方法：二次函数c bx ax y ++=2，若 x=m 时，y<0，当x=n 时，y>0,则，则 c bx ax y ++=2和x 轴必有交点 （四）你还可以补充： 练习Ⅰ 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac - 二次函数的图象与a,b,c 的符号问题 【学习目标】 【课前自学】 22 2. 抛物线31-+-=x y 的图象开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 3. 抛物线342 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 把它转化为顶点式是： ，则顶点坐标是 . 【课堂学习】 一、自主探索： 1.观察c bx ax y ++=2 的图象，你能得到关于c b a 、、的哪些信息？ 2.归纳： ⑴a 的符号由 决定： ①开口方向向 ? a 0；②开口方向向 ? a 0⑵b 的符号由 决定； ① 在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ② 在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③ 是y 轴 ?b 0. ⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c ）在原点 ?c 0； ③点（0，c ）在y 轴负半轴 ?c 0. ⑷ac b 42 -的符号由 决定： ①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. ⑸特别的，当x =1时，y = ，对应的点的坐标记为： ； 当x =-1时，y = ，对应的点的坐标记为： . 【课堂练习】 二次函数的图象与性质具体如下图所示： 【典型例题】 例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b 二次函数系数符号的确定 活动一：复习引入： 1.复习用“>”“<”填空 ①，反比例函数x k y = k 0 ② ,b kx y +=一次函数k 0, b 0. 2.思：二次函数c bx ax y ++=2呢 a 0, b 0, c 0 活动二 a.c 符号 1.开口方向向上，则a 开口方向向下，则a 2.抛物线与x 轴的交点在x 轴上方，则c 0, 与x 轴交点在下方，则c 0, 练习： 活动三:b 的符号 1.对称轴：a b x 2-= 分析图1 学生练习图2 x y O x y O y O x y 2.思考：a.b 同号，则对称轴在y 轴 侧；a.b 异号，则对称轴在y 轴 侧。 3.练习：快速说出b 的符号。（图略） 活动4： 1.看图填空 （1）a ＋b ＋c_______0（2）a －b ＋c_______0 （3）2a －b _______0（4）4a ＋2b ＋c_______0 2.练习： ②（稍难二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2） 和（1,0），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 ①.（2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 活动5：画草图 1. 4-22x x y += 4-2-2x x y += 2. 归纳：①开口方向 ②与y 轴交点，x 轴交点， ③顶点坐标 活动6.达标测评 1．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) 2（岳阳2013）.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④ b ＋2a ＝0；⑤a ＋b ＋ c ＜0.其中正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 O A x y O B x y O C x y O D x y 一、选择题 1. (2010 天津市) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2. (2011 甘肃省兰州市) 如图所示的二次函数 2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）2 40b ac ->；（2）1c >；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<．你认为其中错误．．的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3. (2011 湖北省孝感市) 如图，二次函数 2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交， 其顶点坐标为112?? ??? ，，下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③2 44ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (2012 山东省威海市) 已知二次函数 ()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论错误的是 （ ）． （A ）0abc > （B ）32a b > （C ）()m am b a b +-≤（m 为任意实数） （D ）42 0a b c -+< 5. (2012 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，它与x 轴的 两个交点分别为 ()()1030.-，，，对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③240a b c -+<；④ 二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：? >0 a；? <0 a．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，0 > c?抛物线交y轴于； < c?抛物线交y轴于；0 = c?． （3）ab决定抛物线对称轴的位置， 当b a,同号时?对称轴在y轴；0 = b?对称轴为；b a,异号?对称轴在y轴，简称为． 一、通过抛物线的位置判断a，b，c，△的符号． 例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号 （1）a＋b＋c_______0（ 2）a－b＋c_______0 （ 3）2a－b _______0（4）4a＋ 2b＋c_______0 二、通过a，b， c，△的符号判断抛物线的位置： 例 1．若0 ,0 ,0< > A 、0,0,0<> 10 A B C D 二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：a>0?；a<0?．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，c>0?抛物线交y轴于； c<0?抛物线交y轴于；c=0?． （3）ab决定抛物线对称轴的位置， 当a,b同号时?对称轴在y轴；b=0?对称轴为；a,b异号?对称轴在y轴，简称为． 一、通过抛物线的位置判断a，b，△c，的符号． 例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号 y x 2.看图填空 （1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0 （3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0 二、通过a，b，△c，的符号判断抛物线的位置： 例1．若a<0,b>0,c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（） y y y y O x O x O x O x A B C D 例2．若a＞0，b＞0，c＞△0，＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1 的大致图象是（） y y y 1 x0x-1x 0-10 1．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线y=ax+3经过象限． 2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是() y O x 3．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点 , ? 在．（ ） ? b 2 - 4ac b ? y y A 、 a < 0, b > 0, c < 0 B 、 b 2 - 4ac < 0 C 、 a + b + c < 0 D 、 a - b + c > 0 ? a + b ac ? y A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 O 4．二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y = ax + c 在同一坐标系中的图象大致是 ( ) y y O x O x O x O x A B C D 5．二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象，如图，下列结论① c < 0 ② b > 0 ③ 4a + 2b + c > 0 ④ (a + c )2 < b 2 其中正确的有（ ） A 、1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个 6．已知函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，关于系数 a, b , c y O x x = 1 y 有下列不等式① a < 0 ② b < 0 ③ c > 0 ④ 2a + b < 0 ⑤ a + b + c > 0 其 中正确个数为 ． 7．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线 y = ax 2 + bx 一定经过（ ） A ．第一、二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限 8. 如图所示的抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图 象，那么 a 的值是__． - O 1 x二次函数中的符号问题
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