奥数专题——除法中的巧算
（一）学习方法指导
我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。
一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=?÷?
或 ()()
()=÷÷÷≠a n b n n 0
如：()()123122322464÷=?÷?=÷=
或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷=
例1. 用简便方法计算下列各题。
（1）82525÷
（2）47700900÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）82525÷ ()()
=?÷?=÷=8254254330010033
想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。
（2）47700900÷
()()
=÷÷÷=÷=47700100900100477953
看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。
在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。
一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷
()a b c a c b c -÷=÷-÷
如：()126212262639+÷=÷+÷=+=
()126212262633-÷=÷-÷=-=
这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。
例2. 用简便方法计算。
（1）()2501655+÷
（2）()7022134143--÷
分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。
（1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷
=÷+÷=+=25051655
503383
=÷-÷-÷=--=7023213341432347113825
除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：
（1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。
一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷
如：12321223÷÷=÷÷
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。
一般有：a b c a c b ?÷=÷?
或=÷?b c a
如：1262122636?÷=÷?=
或：1262621236?÷=÷?=
例3. 计算下面各题。
（1）52575÷÷
（2）12858?÷
分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。
（1）52575÷÷ （2）12858?÷
=÷÷=÷=52557
105715
=÷?=?=1288516580
在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质：
1. 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。
一般公式：()a b c a b c ÷?=÷÷
如：()126212621÷?=÷÷=
例5. 简便计算下面各题。
（1）()75679÷?
（2）126079÷÷
分析：利用以上公式计算，发现（1）被除数÷两个数的积，可以用下面公式计算：
（1）()75679÷? （2）126079÷÷
=÷÷=÷=75679
108912
()=÷?=÷=126079126063
20
2. 一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。 一般的有：()a b c a b c ?÷=?÷
如：()12621262?÷=?÷
例6. 简便计算。
（1）720124?÷
（2）()12582?÷
分析：以上两题可以利用乘除混合运算“去括号”，或“添括号”的性质进行巧算。
（1）720124?÷ （2）()12582?÷
()
=?÷=?=72012472032160
=?÷=÷=1258210002500
3. 一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。 一般有：()a b c a b c ÷÷=÷?
如：()126212624÷÷=÷?=
例7. 简便计算下面各题。
（1）216246÷?
（2）()87500010008÷÷
分析：这两题即根据小③性质去做，可“添括号”。
（1）216246÷? （2）()87500010008÷÷
()
=÷÷=÷=216246216454
=÷?=?=8750001000887587000
以上6题都是利用乘除混合运算去括号，或添括号的性质解决的。但要注意：我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。如果商有余数，在使用这些运算性质时，余数是会发生变化的。如：
()
3249732463
59÷?=÷=…… ()3249732497367
51
÷?=÷÷=÷=…… 例8. 巧算下面各题。
（1）132639÷
（3）248681724824848?-?+? （2）520125? （4）999999??
分析：以上4题，有些算式表面看起来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或转化，从而使计算简便。另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。
（1）132639÷
()
=÷?=÷÷=÷=13261331326133
1023
34
这题我们将39分解为39133=?，然后按性质去做。
（2）520125?
()
=?÷=?÷=÷?=?=5201000852010008
52081000651000
65000
此题将125转化为10008125÷=
（3）248681724824848?-?+?
()=?-+248681748
=?24899………………这一步将99转化为()1001-
()
=?-=?-=248100124810024824552
此题直接利用乘法分配律计算就可以。
（4）999999??
()=-??10001999
()=-?99000999………………再次转化为()101-
()
=?-=-=9890110198901098901890109
对接近100的两位数相乘的速算。
接近100的两位数，用被乘数减去，100减乘数的差，所得的结果作积的前两位；再用100减去被乘数的差与100减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。或用乘数减去，100减被乘数的差，所得的结果作积的前两位，再用100减去被乘数的差与100减去乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。我们用这种方法计算。
例9. 计算：9891?
分析：因为100982-=……<1>差对98而言
100919-=……<2>差对91而言
所以98989-= 或91289-=
2918?= 2918?=
所以98918918?= 98918918?=
用这种方法，有两种特例需要注意：
特例1. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积不足10时，要在这个一位数前添0，否则积变成三位数就错了。
如：9698?速算为：
10096410098212-=-=<><>…………差
差
96294428-=?= ∴?=96989408
（注意8前添0）
发现：差<1>、差<2>，用第一个因数－差<2>，再用差<2>×差<1>，最后结果是第一个因数×差<2>的结果做为前两位数，差<2>×差<1>的结果做为后两位数。如果结果为一位数，前面要添0。
特例2. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积大于10时，要将百位作为向前进位的数，否则积变成五位数就错了。
如：9384?速算为：
100937100841612-=-=<><>……差……差
931677167112-=?= ∴?=93847812（注意百位上的1要向前进位）
［答题时间：30分钟］
练习：
（1）9796?
（2）9593? （3）9897? （4）9992? （5）8889? （6）9585?
【试题答案】
（1）9796? 10097310096412-=-=<><>……差
……差 97493
341297969312-=?=∴?=
（2）9593? 10095510093712-=-=<><>……差
……差 95788
573595938835-=?=∴?=
（3）9897? 10098210097312-=-=<><>……差
……差 98395
23698979506-=?=∴?=
（4）9992? 10099110092812-=-=<><>……差
……差 99891
188********-=?=∴?=
（5）8889? 1008812100891112-=-=<><>……差
……差 881177
111213288897832-=?=∴?=
（6）9585? 100955100851512-=-=<><>……差
……差 951580
1557598858075-=?=∴?=
乘除法巧算技巧
乘除法巧算技巧 1、两位数（三位数）×11 方法：两头一拉，中间相加。注意在相加时，哪一位满10要向前一位进一。 例：23×11=253 78×11=858 358×11=3938 2、两位数×99 方法：将与99相乘的两位数减1写在前边，后边写上这个乘数的补数。 例：63×99=6237 3、二十以内的两位数乘法。 方法：尾乘尾（有进位的要向前一位进）；所得的的数写在个位。 尾加尾（在计算中个位有进上来的数要一并加上，本位有进位 再向前一位进）所得的的数写在十位 头乘头（有前一位进上来的数要加上）所得的数写在百位 例：16×14=224 4、个位都是1的两位数乘法。 方法：尾乘尾，所得的的数写在个位 头加头（有进位的要向前一位进）所得的的数写在十位 头乘头（有前一位进上来的数要加上）所得的数写在百位
例：71×81=5751 5、任意两位数×101，三位数×1001 方法：将这个两位数（三位数）直接排两遍写在结果上。例：26×101=2626 368×1001=368368 6、个位数互为补数，十位数相同的两位数乘法。 方法：个位乘个位，所得的数写在结果的后边（不足两位的在十位上补“0”） 十位其中一个数加1后十位乘十位，结果写在前边 例：62×68=4216 7、个位数相同十位数互为补数的两位数乘法。 方法：个位乘个位，所得的数写在结果的后边（不足两位的在十位上补“0”） 十位数相乘的积再加上一个个位数，结果写在前边。 例：26×86=2236 8、两位数乘两位数，其中一组数为相同数，另一组数互为补 数。 方法：同6. 例：66×37=2442
除法中的巧算 （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=?÷? 或 ()() ()=÷÷÷≠a n b n n 0 如：()()123122322464÷=?÷?=÷= 或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷= 例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）82525÷ （2）47700900÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）82525÷ ()() =?÷?=÷=8254254330010033 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。 （2）47700900÷ ()() =÷÷÷=÷=47700100900100477953 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。 在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷
如：()126212262639+÷=÷+÷=+= ()126212262633-÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例2. 用简便方法计算。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ 分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ =÷+÷=+=25051655 503383 =÷-÷-÷=--=7023213341432347113825 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223÷÷=÷÷ （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。 一般有：a b c a c b ?÷=÷? 或=÷?b c a 如：1262122636?÷=÷?= 或：1262621236?÷=÷?= 例3. 计算下面各题。 （1）52575÷÷
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习除法中的巧 算(含答案) （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变. 一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=?÷? 或 ()() ()=÷÷÷≠a n b n n 0 如：()()123122322464÷=?÷?=÷= 或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷= 例1. 用简便方法计算下列各题. （1） （2）82525÷47700900÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算. （1）82525÷ ()() =?÷?=÷=8254254330010033 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100. （2）47700900÷ ()() =÷÷÷=÷=47700100900100477953 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍.
在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差. 一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷ 如：()126212262639+÷=÷+÷=+= ()126212262633-÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况. 例2. 用简便方法计算. （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ 分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质. （1） （2）()2501655+÷()7022134143--÷ =÷+÷=+=25051655 503383 =÷-÷-÷=--=7023213341432347113825 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数. 一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223÷÷=÷÷
除法中的巧算 （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：()() a b a n b n ÷=?÷? 或 ()() () =÷÷÷≠a n b n n 0 如：()()123122322464 ÷=?÷?=÷= 或 ()()12612262632 ÷=÷÷÷=÷= 例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）（2）82525÷47700900 ÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）82525 ÷ ()() =?÷?=÷=8254254330010033 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。 （2）47700900 ÷ ()() =÷÷÷=÷=47700100900100477953 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。 在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷ 如：()126212262639 +÷=÷+÷=+= ()126212262633 -÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例2. 用简便方法计算。 （1）()2501655 +÷
（2）()7022134143 --÷ 分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。 （1）（2）()2501655+÷()7022134143 --÷ =÷+÷=+=25051655503383=÷-÷-÷=--=7023213341432347113825 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223 ÷÷=÷÷ （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。 一般有：a b c a c b ?÷=÷? 或=÷?b c a 如：1262122636?÷=÷?= 或：1262621236?÷=÷?= 例3. 计算下面各题。 （1）52575÷÷ （2）12858 ?÷ 分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。 （1）（2）52575÷÷12858 ?÷ =÷÷=÷=52557105715 =÷?=?=1288516580 在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质： 1. 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。 一般公式：()a b c a b c ÷?=÷÷ 如：()126212621 ÷?=÷÷= 例5. 简便计算下面各题。 （1）()75679÷?
除法中的巧算
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 除法中的巧算 （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=?÷? 或 ()()()=÷÷÷≠a n b n n 0 如：()()123122322464÷=?÷?=÷= 或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷= 例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）82525÷ （2）47700900÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）82525÷ ()() =?÷?=÷=8254254330010033 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。 （2）47700900÷ ()() =÷÷÷=÷=47700100900100477953 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷ 如：()126212262639+÷=÷+÷=+= ()126212262633-÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例2. 用简便方法计算。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ 分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ =÷+÷=+=25051655 503383 =÷-÷-÷=--=7023213341432347113825 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223÷÷=÷÷
第二讲速算与巧算（二） 一、乘法中的巧算 1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特 殊的等式： 5×2=10 25×4=100 125×8=1000 例1计算①123×4×25 ② 125×2×8×25× 5×4 解：=123×（4×25） =（125×8）×（25×4） ×（5×2） =123×100＝12300 =1000×100× 10=1000000 2.分解因数，凑整先乘。 例2计算①24×25②56×125 ③ 125×5×32×5 =6×（4×25） =7×8×125=7×（8×125） =125 ×5×4×8×5 =6×100 =7×1000 = （125×8）×（5×5×4） =600 =7000 =1000×100=100000
3.应用乘法分配律。 例3计算① 175×34＋175×66 ②67×12+67×35＋67×52+6 解： =175×（34+66） =67×（12＋35＋52＋1） =175×100 ＝ 67×100 =17500 ＝6700 例4计算① 123×101 ② 123×99 解： =123×（100＋1）=123×100＋123 =123×（100-1） ＝12300＋123 =12300-123 =12423 =12177 4.几种特殊因数的巧算。 例5一个数×10，数后添0； 一个数×100，数后添00； 一个数×1000，数后添000； 以此类推。 如：15×10=150 15×100=1500 15×1000＝15000 例6一个数×9，数后添0，再减此数； 一个数×99，数后添00，再减此数；
?第六讲简算与巧算(3)除法里的巧算 在整数除法中，有许多题目我们可以利用除法的意义及各部分间的关系进行简便运算，提高计算的速度与正确率，这儿给同学们介绍几种常见的速算方法。 一、除变连除。当除数可以拆成两个因数相乘的形式时，可以变除法为连除，达到口算的目的。 如：560÷35＝560÷7÷5＝80÷5＝16 1476÷18＝1476÷2÷9＝738÷9＝82 13156÷26＝13156÷13÷2＝1012÷2＝506 二、带号移动。没有括号的连除或乘除混合运算，可以通过带符号移动，改变运算顺序，实现速算的目的。 如：7500÷4÷15＝7500÷15÷4＝500÷4＝125 2107×12÷7＝2107÷7×12＝301×12＝3612 三、添去号变号。有括号的乘除混合运算，如果括号前面是除号，添、去括号，括号里的符号都要改变，从而达到局部凑整进行速算的目的。 如：4500÷25÷4＝4500÷(25×4)＝4500÷100＝45(添括号) 4500÷(9×4)＝4500÷9÷4＝500÷4＝125(去括号) 需要说明的是，这种乘除混合运算，如果括号前是乘号，添括号或者去括号都不需要改变运算符号。 如：324×36÷9＝324×(36÷9)＝324×4＝1296(添括号) 48×(2700÷12)＝48×2700÷12＝48÷12×2700＝4×2700＝10800
四、双扩或双缩。也就是利用商不变的性质，当除数是15、25、35、 45、125等数时，我们把被除数和除数同时扩大或同时缩小相同的倍数， 达到速算的效果。 如：910÷35＝(910×2)÷(35×2)＝1820÷70＝26 2400÷25＝(2400×4)÷(25×4)＝9600÷100＝96 87200÷160＝(87200÷8)÷(160÷8)＝10900÷20＝545 正确掌握这几种方法，并在学习过程中注意合理使用，可以使自己的计算越来越快捷。如1260÷45我们可以用以下多种方法速算。 ①1260÷45＝(1260×2)÷(45×2)＝2520÷90＝28(双扩) ②1260÷45＝(1260÷9)÷(45÷9)＝140÷5＝28(双缩) ③1260÷45＝1260÷9÷5＝140÷5＝28(除变连除) 需要注意的是，如果是有余数的除法，余数也跟着同时扩大或同时缩小相同的倍数，计算时要特别注意。 教你一招： “同头无除”巧定商和余数 象230÷24，被除数和除数的首位数字相同（都是2），我们简称之为“同头”，但被除数前两位23要比24小，不够商1，就需要看被除数的前三位，我们简称之为“无除”。象这种“同头无除”的除法题一般商9或者是8。那么到底商9还是商8，又怎样很快写好余数呢？
奥数专题——除法中的巧算 （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=?÷? 或 ()() ()=÷÷÷≠a n b n n 0 如：()()123122322464÷=?÷?=÷= 或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷= 例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）82525÷ （2）47700900÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）82525÷ ()() =?÷?=÷=8254254330010033 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。 （2）47700900÷ ()() =÷÷÷=÷=47700100900100477953 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。 在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷ 如：()126212262639+÷=÷+÷=+=
()126212262633-÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例2. 用简便方法计算。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ 分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ =÷+÷=+=25051655 503383 =÷-÷-÷=--=7023213341432347113825 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223÷÷=÷÷ （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。 一般有：a b c a c b ?÷=÷? 或=÷?b c a 如：1262122636?÷=÷?= 或：1262621236?÷=÷?= 例3. 计算下面各题。 （1）52575÷÷ （2）12858?÷ 分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。 （1）52575÷÷ （2）12858?÷
乘除法巧算 一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不久，三个徒弟摘完桃子高高兴兴回来。唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子? 八戒说：我们每人摘的一样多。我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数。数到最后还剩1个。 沙僧说：我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。 悟空说：我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。 你知道他们每人摘了多少个桃子吗? 同加减法速算一样，乘除法速算大部分也是通过“化零为整”的思想来实现的。但更多地，乘除法速算是利用对数的拼、拆及改变运算顺序与符号等方法，使得某些数成为整十、整百、整千……的数。 为了更好地“凑整”，同学们要牢记这样几个性质： 乘法的性质： 1．乘法交换律：两个或几个数相乘，任意改变乘数的位置，其积不变。 用字母表示为：a × b ×c = b × a × c = a × c × b = c × b × a。 2．乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。 用字母表示为：a × b × c =（a × b）× c = a ×（b × c）。 3．乘法分配律：两个数之和（或差）与一数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这两个积相加（或减）。 用字母表示为：（a + b）× c = a × c + b × c；（a–b）× c = a ×c–b × c。 除法的性质： 1．商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变。 用字母表示为：a ÷ b =（a × c）÷（b × n）（n ≠ 0）；a ÷ b =（a ÷ m）÷（b ÷ m）（m ≠ 0）。 2．两数之和（或差）除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和（或差）。 用字母表示为：（a ± b）÷ c = a ÷ c ± b ÷ c。 注意，此性质可以推广到多个数之和（或差）的情形。 乘、除法混合运算的性质： 1．在乘、除法混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如：a × b ÷ c = a ÷ c × b = b ÷ c × a。 2．在乘、除法混合运算中，去括号时，当括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变，即a ×（b × c） = a × b × c，a ×（b ÷ c）= a × b ÷ c。当括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”，即a ÷（b × c）= a ÷ b ÷ c，a ÷（b ÷ c）= a ÷ b × c。 添加括号时，当括号前添“×”时，原符号不变；当括号前添“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”，即“a × b × c = a ×（b × c），a × b ÷ c = a ×（b ÷ c）；a ÷ b ÷ c = a ÷（b × c），a ÷ b × c = a÷（b ÷ c）。 3．两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即（a × b）÷（c × d） = （a ÷ c）×（b ÷ d） =（a ÷ d）×（b ÷ c）。 此外，还有一些乘除算式有一些特殊的计算方法，这就需要同学们平时注意观察积累。
巧算除法 本讲内容： 1、除法的巧算。 2、利用除法运算律、凑整思想等解决问题。 例1计算：2832÷59÷8 10÷25×75 112000÷125 分析 乘法混合运算中留意（1）带符号搬家：每个数连同它前面的符号可以一起移动，第一个数前的符号是乘号；（2）添/去括号：在除号后添/去括号，括号例的数要变号，而在乘号后面添/去括号，括号里的符号不变号；（3）商不变性质：被除数和除数同时乘（或除以）同一个非零数，商不变。 例2计算：19000÷8÷125 11100÷4÷3÷25÷37 分析 除法的基本性质：一个数连续除以几个数，可以先除以后几个数大积，也可以先除以第一个数，再连续除以后几个数。 练习1 2520÷28÷5÷6 72÷25×50 5600÷25 例3 1650÷（11×5×3） 56000÷（125×7） 分析 主要考查在除号后面添上/去括号，括号里的符号要变号。
例4 （55+66+88）÷11 (72000-56-24) ÷8 分析 除法中有类似于乘法中的“分配率”，但只针对除数才有效，即（a±b）÷c=a ÷c±b÷c 。 注意：c÷（a±b）≠c÷a±c÷b 例5 1÷7+2÷7+3÷7+4÷7+5÷7+6÷7 856÷8+23÷8+121÷8 分析 观察本题均由一些除法算式通过“+”号连接，而且除数相同，那么可以用类似于乘法中的“提取公因数”，将共同的除数提取出来。 练习2 (1200+240) ÷12 (16000-56) ÷8 15÷30+25÷30+35÷30+45÷30 巩固练习 130÷26÷5 32000÷125÷16
三年级数学《除法的简便运算》 2、通过观察、猜测、举例验证得出除法简便运算的方法。 3、能用得出来的方法进行正确地计算。 4、通过自己观察、猜测、验证得出简便运算的方法，体验到成功的喜悦。 教学重点：理解除法简便运算的算理且能正确地进行计算。 教学难点：自己得出简便算法，且能灵活地进行简便计算。 教学过程： 一、引入 1、谈话：我们前几课所学的应用题有什么特点？ （进行了两次平均分） 2、能举个例子吗？（生举例） 1、用两种不同的方法解答：我们来看看这个应用题是不是这样的情况呢？ 饲养场养了6窝小猪，每窝有6只，现把360克防病药粉掺入饲料喂养。每只小猪平均服药多少克？ 2、汇报：（1）36066 （2）360（66） =606 =36036 =10（克） =10（克） 二、展开 1、观察两种解法的两个算式有什么相同与不同之处？ 2、猜测：根据36066=360（66）你有什么想说的？
生发表意见：一个数除以两个数的积，等于这个数连续除以积里的各个因数。 3、验证：是不是所有的算式都这样呢？你能举几个例子来验证吗？生举例子验证 得出我们所观察出来的是正确的。 4、用处：我们所观察出来并经过验证的规律有什么用呢？ 可以使一些除法计算简便 3、应用：用上面的规律算一算。 28035 36045 （1）独立做、个别板演。（可能有这样不同的意见） 28035 28035 36045 36045 =28057 =28075 =36059 =36095 =567 =405 =729 =405 =8 =8 =8 =8 （2）全班交流：板演的小朋友说自己的想法。 比较这几种解法有什么相同之处呢？ 用这样的方法来做跟以前的比在做的过程中你有什么想说的呢？ 针对上面的这几种做法你还有什么想说呢？ （得出：分的时候怎么简便就怎么分） 6、试一试：70028 25632 独立做、个别板演。 7、小结：今天学了什么？采用怎样的简便方法进行计算呢？
- - -总奥数专题——除法中的巧算 （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=?÷? 或 ()() ()=÷÷÷≠a n b n n 0 如：()()123122322464÷=?÷?=÷= 或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷= 例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）82525÷ （2）47700900÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）82525÷ ()() =?÷?=÷=8254254330010033 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。 （2）47700900÷ ()() =÷÷÷=÷=47700100900100477953 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。 在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷
- - -总 如：()126212262639+÷=÷+÷=+= ()126212262633-÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例2. 用简便方法计算。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ 分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ =÷+÷=+=25051655 503383 =÷-÷-÷=--=70232133414323471138 25 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的 性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223÷÷=÷÷ （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。 一般有：a b c a c b ?÷=÷? 或=÷?b c a 如：1262122636?÷=÷?= 或：1262621236?÷=÷?= 例3. 计算下面各题。 （1）52575÷÷
几种除法的巧算方法 1．利用商不变性质的简便运算 我们已经学过，如果被除数和除数同时乘以或除以相同的数（这个数不等于零），所得的商不变。这就是商不变的性质。根据这个性质，可以使一些除法算式计算简便。 例1 计算： （1）12400÷25 （2）374000÷125 解：（1）原式＝（12400×4）÷（25×4） ＝49600÷100 ＝496 计算熟练后可直接列式为：原式＝124×4＝496 （2）原式＝（374000×8）÷（125×8） ＝2992000÷1000 ＝2992 计算熟练后，可直接列式为：原式＝374×8＝2992 2．连除式题的巧算 我们已经学过乘法交换律。交换因数的位置积不变。在连除式题中也同样可以交换除数的位置，商不变。在连除运算中有这样的性质： 一个数除以另一个数所得的商，再除以第三个数，等于第一个数除以第三个数所得的商，再除以第二个数。用字母表示为： a÷b÷c＝a÷c÷b 利用这个性质可以使连除运算简便。 例2 45000÷125÷15
解：原式＝45000÷15÷125 ＝3000÷125 ＝3×8 ＝24 3．连除运算中利用添括号法则的巧算 在连除算式中，一个数除以另一个数所得的商再除以第三个数，等于第一个数除以第二、三两个数的积。即添上括号后，因为括号前面是除号，所以括号中的运算符号要变为乘号。用字母表示为：a÷b÷c＝a÷（b×c） 利用这个法则可以把两个除数相乘。如果积是整十、整百、整千，可以使计算简便。 例3 计算： （1）4900÷4÷25 （2）24024÷4÷6 解：（1）原式＝4900÷（4×25） ＝4900÷100 ＝49 （2）原式＝24024÷（4×6） ＝24024÷24 ＝1001 4．利用乘除混合运算性质的巧算 在乘除混合运算中，可以把乘数、除数带符号“搬家”。也可以“去括号”或“添括号”。当“去的括号”（或“添的括号”）前面是乘号时，则“要去的括号”（或“要添的括号”）内运算符号不变；当“要去的括号”（或“要添的括号”）前面是除号时，则“要去的括号”（或“要添的括号”）内运算符号要改变。原来乘号变为除号，原来的除号变为乘号。用字母表示为： a×b÷c＝a÷c×b＝a×（b÷c） a÷b÷c＝a÷（b×c）
1、乘除法巧算 这一讲介绍的是乘除法巧算的一些基本方法，同加减法一样，通过“带符号搬家”来适当改变运算顺序。 例题1 计算：（1）2×13×5 （2）51÷17×17÷51 （3）12×7÷3÷7 分析：仔细观察算式，如何改变运算顺序来使得计算简单些呢？ 练习 1、计算：（1）4×7×25 （2）21×19÷7÷19 . 在乘法巧算时，有三组乘法在巧算时经常用到：2×5=10,4×25=100, 8×125=1000 . 还有许多两位数乘法中的乘数，十位相同，个位相加得10，例如：47和43,72和78、65和65等，我们把这样的情况称为“头同尾合十”。 对于“头同尾合十”的两个数可以这样进行计算：把“尾×尾”的结果作为得数的末两位，“头×（头＋1）”的结果作为得数的头。 例题2 计算：（1）25×28 ；125×24 ； （2）300÷25 ；8000÷125 ； （3）45×45 ；41×49 . 分析：前两个小题中都有25或者125，这两个数能够如何巧算呢？第3小题的每组数有什么特点？
练习： 2、计算：（1）25×24 ；（2）2000÷125 ；（3）88×82 . 在计算连续乘除法运算时，式子中经常会出现括号。在乘除法中去括号同在加减法中去括号类似，要注意变号的问题，具体来说，乘除法中去括号的法则是： 例题3 计算：（1）（126÷9）×（9÷3）÷（6÷3）； （2）512÷（512÷16×8）. 分析：在去括号的时候要注意些什么？去括号后算式变成了什么样？能够如何巧算？ 练习 3、计算：（10÷7）×（7÷6）×（6÷5） 例题4 计算：（1）23×70×22÷11÷7 ； （2）300×13÷4÷25 分析：（1）算式中有几个数有倍数关系，该如何计算？ （2）看到4和25，能不能让它俩相乘呢？
分数乘除法简便运算100题（有答案） （1）（8 9 + 4 27 ）×3 ×9 （2）（ 3 8 - 3 8 ）× 6 15 （3）1 6 ×（7 - 2 3 ）（4） 5 6 × 5 9 + 5 9 × 1 6 （5）2 9 × 3 4 + 5 27 × 3 4 （6） 6 13 × 7 5 - 6 13 × 2 5 （7） 7 12 ×6 - 5 12 × 6 （8） 3 8 + 3 8 × 4 7 + 3 8 × 3 7 （9） 37× 3 35 （10） 6 25 × 24 （11）15 21 × 3 4 + 10 21 × 3 4 - 3 4 （12） 7 10 ×101- 7 10
（13） 89 ×89 —89 ×89 （14） 35 × 99 + 3 5 （15）( 47 + 89 )×7 ×9 （16）34 5 ×25 （17） 36×3435 （18） ( 56 - 59 )×18 5 （19）2623 × 15 （20）3225 ×5 6 （21） ??? ??+÷5121101 （22） 5 7535÷??? ??+ (23)87748773÷+÷ （24）91929197÷ -÷
（25） ??? ??+?652053 （26）12 5 9412595÷+÷ （27)38 - 38 ×47 - 38 ×37 （28）6237 63? （29） 31÷76＋32÷76 （30）229 ×(15×2931 ) （31） 58 ×23 ×815 （32）253 4 ×4 （33）54×（89 - 56 ) （34）721245187 1211÷??? ? ?++ （35) 3831162375.011583÷ -?+? (36)192521 4251975?+?+ (37) 4818365÷??? ? ?+ (38) 241 241343651211÷ ??? ??-+-
乘除法中的速算与巧算 教学目标 1、速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。 2、乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。 教学重难点 1、乘除法的运算法则。 2、通过对算式进行变形，将其中的数转化成整十、整百、整千… 的 数。 教学内容 例1 :计算325- 25 分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。 325-25 =(325X 4) + ( 25 X 4) = 1300 - 100
=13 计算下面各题。 1,450-25 2 , 525+ 25 3,3500- 125 4 , 10000-625 5, 49500-900 6 , 9000-225 例2:计算25x 125X 4X 8 分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。 25x 125X4x 8 =(25x 4)x( 125X 8) =100 x1000 =100000 练习二计算下面各题。 125X 15x 8x 4 25 x 24 25 x 5x 64x 125 125X 25 x 32 75 x 16 125 x 16 例3:计算(1)( 360+108)+ 36 (2)( 450- 75)- 15 分析与解答：两个数的和(或差)除以一个数，可以用这个数分别去
乘除法巧算（一） 一、运算性质 1. 带符号搬家 2. 添去括号 二、巧算方法： 1. 拆积凑整（好朋友数）：5×2、25×4、125×8 2. 找钱法：出现了末尾是9的乘法，就会变的比较简单！ 3. 乘法分配律：56×11=56×(10+1)=56×10+56×1=616 提取公因数：23×48+23×52=23×(48+52)=23×100=2300 补充：除法的性质：23÷5+52÷5=(23+52)÷5=75÷5=15，正确但是，注意：18÷3+18÷6≠18÷(3+6) 4. 头同尾和十：头×(头+1)；尾× 尾，例如：84×86=7224，995×995=990025 尾同头和十：头×头+尾；尾× 尾，例如：83×23=1909 5. 特殊数字巧算： （1）叠数：abc×1001001=abcabcabc abababab=ab×1010101, abcdabcd=abcd×10001 （2）11、111、111、111…111的巧算：错位叠加！ 11×11=121,111×111=12321,11111×11111=123454321…… （3）1001=7×11×13、111=37×3、999=27×37等. 6. 多位数的巧算，其实就是上述方法的综合运用！！！
题型一：利用带符号搬家和添去括号解题 1. 1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6) 2. (1÷2)÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷(7÷8) 3.121×32÷872×27×88÷(9×11×12) 题型二：拆积凑整（好朋友数） 1. 25×83×32×125 2. 75×16×125×6 题型三：末尾是9的巧算 1. 723×99938×9999 2. 11×11×3×61111×1111×6×6
三年级奥数-乘除法的巧算及练习
乘除法的巧算 计算： 8×4×125×25＝ 分析： 进行四则运算前一定要仔细观察题目的数字特征及运算符号的特征。 熟记：5×2＝10 25×4＝100 125×8＝1000 37×3＝111 观察8×4×125×25＝？的特征，因为8×125＝1000 25×4＝100，所以，可先将8和125，4和25乘起来，再把他们的积相乘。即：8×4×125×25＝（8×125）×（4×25）＝1000×100＝100000 试试身手 1、用简便方法计算下面的题目 8×6×125＝ 4×7×25×10＝ 2、巧算 10×3×37 32×25×125 3、计算 37×25×3×4 3×5×4×37×25×2
知识向导： 计算： 125×32×25 分析由数字“125，25”及符号“连乘”的特征，可以想到“8，4”，结合上章所学，因为他们的乘积是整千、整百数。而32＝4×8，所以，可以将一个乘数“32”拆成需要的几个因数。即： 125×32×25＝125×8×4×25＝（125×8）×（25×4）＝1000×100＝100000 试试身手 用简便方法计算下面各题 1、25×8×2 2、37×9×10 3、25×64×125×5 4、125×125×64 知识向导 计算： 1200÷25÷4 分析：
观察题目发现有两个显著的特征：一是连除；二是25和4的积是100 所以我们有两种方法： 一、可以用25去除以被除数1200，也可以先用4除以被除数1200，即 1200÷25÷4＝48÷4＝12 或 1200÷4÷25＝300÷25＝12 二、一个数连续除以几个数，等于这个数除以这几个数的积 1200÷25÷4＝1200÷(25×4）＝1200÷100＝12 试试身手 用简便方法计算下面的题目 6000÷125÷8 5200÷4÷25 用两种以上的方法来运算，比一比哪一种更简便 250÷5÷25 500÷5÷25 巧算： 333÷37÷3 1000000÷8÷125÷25÷8÷5 知识向导 计算： 12÷5+13÷5 32÷3－20÷3
计算中的提取公因数法是近几年来数学解题能力展示、希望杯和小升初中经常考的题目，但是通过分析我们发现在考试中不仅仅是只考提取公因数这样简单的题。这类题目往往是同和、差、积和商不变的性质进行解题。 常用的提取公因式的方法有三种： ⑴直接提取公因数 例如：35?8-35+3?35 ⑵逐步提取公因数 例如：计算：2000?1999-1999?1998+1998?1997-1997?1996+1996?1995-1995?1994 ⑶利用和、差、积和商不变性质 和不变性质：如果一个加数增加(减少)一个数，另一个加数减少(增加)相同的数，它们的和不变； 差不变性质：如果被减数增加(减少)一个数，减数也增加(减少)相同的数，则它们的差不变； 积不变性质：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，它们的积不变；(零除外) 商不变性质：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，它们的商不变。(零除外) 例如：81?15+57?5 【例1】计算：(2?5-9)+(2?6-8)+…+(2?9-5) 乘除法巧算之提取公因数与组合思想
【拓展】计算：7816?145+314?2184+169?7816=_________。 【例2】计算：⑴(873?477-198)÷(476?874+199) ⑵512?81+11?925+537?19 【拓展】计算：314?36+64?439 【例3】计算：⑴(迎春杯初赛)53?57-47?43 ⑵19945?79+12?158+2449 【拓展】计算：197?63+4792+409?21+9521?479
【例4】计算：2008?20072006-2006?20072008 【拓展】计算：2008?20072006-2006?20072008 【例5】计算：333?332332333-332?333333332=____________。【拓展】计算：1991?199219921992-1992?199119911991
2. 乘除法巧算 教学目标： 掌握巧算中经常要用到的一些运算定律，如乘法交换律、结合律、分配律以及除法分配律等变式定律与性质。 1. 乘法中常用的几个重要式子 2×5=10；4×25=100；8×125=1000；4×75=300；4×125=500； 2. 乘法的几个重要法则 ⑴去括号和添括号原则 在只有乘除运算的算式里，如果括号的前面是“÷”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都要改变，即“×”号 变“÷”，“÷”变“×”；如果括号的前面是“×”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都不改变。 例题. ① a×(b÷c) ＝a×b÷c ②a÷(b÷c) ＝ a÷b×c ⑵带符号“搬家” 在只有乘除运算的算式里，每个数前面的运算符号是这个数的符号。不论数移动到哪个位置，它前面的运算符号不变。 ⑶乘法交换律 a×b＝b×a ⑷乘法结合律 a×（b×c）＝(a×b) ×c ⑸乘法分配律 a×（b＋c）＝a×b＋a×c；a×（b-c）＝ a×b-a×c ⑹逆用乘法分配律 a×b＋a×c ＝a×（b＋c）；a×b-a×c＝a×（b-c） 3. 除法的几个重要法则 ⑴商不变性质 被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即 a÷b＝（a×n）÷（b×n） (n≠0) a÷b＝（a÷m）÷（b÷m） (m≠0) ⑵当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除 以这个数；反之也成立（也可称为除法分配律）。如：
（a±b）÷c＝a÷c±b÷c； a÷c±b÷c ＝（a±b）÷c 例1. 计算下列各题 ⑴【05年吉林省小学毕业试题】 ⑵【06年浙江省夏令营试题】 37×4×25 2×4×5×8×25×125 练习：⑴ 17×4×25 ⑵ 125×19×8 ⑶456×2×125×25×5×4×8 例2. 分解因数，凑整先求。 ⑴【2000年武汉一中初中招生试题】 ⑵【06年广东省“育苗杯”试题】 25×32×125 937×125×25×64×5