开放性问题
填空题：
1．（2013?徐州，13，3分）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．
考点：中心对称图形．
专题：开放型．
分析：常见的中心对称图形有：平行四边形、正方形、圆、
菱形，写出一个即可．
解答：平行四边形是中心对称图形．故答案可为：平行四
边形．
点评：本题考查了中心对称图形的知识，同学们需要记忆
一些常见的中心对称图形．
2．（2013上海市，15，4分）如图3，在△ABC和
△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，
AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线）
3.（2013四川巴中，14，3分）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是CA=FD．（只需写出一个）
考点：全等三角形的判定．
专题：开放型．
分析：可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加．
解答：解：添加CA=FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF．
故答案可为CA=FD．
点评：本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答
案不唯一． 4．（2013江西南昌，15，3分）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一个．．符合题意的一元二次方程 ． 【答案】x 2－5x +6=0
【解析】先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程． 【方法指导】本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为3（直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保证方程的根为整数），如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3，以2、3为根的一元二次方程为2560x x -+=；也可以以1、6为直角边长，得方程为2760x x -+=.
5．（2013山东菏泽，12，3分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线
叫做该平面图形的“面线”. “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”) .已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是______(写出1个即可).
(写出1个即可).
【解析】1）根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高h ，31222=-=h ；（2）
与一边平行的线段（如图），设DE=x ，因为△ADE 与四边形 DBCE 面积要相等，根据三角形相似性质，有2
12
2
=
）（x
.
解得综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系.
【方法指导】根据规定内容的定义，思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分的直线存在有两种情形：（1）高（中线、角平分线）所在线；（2）与一边平行的线.要把一个三角形面积进行两等份，这样的直线有无数条，都过这个三角形三边中线的交点（重心）.经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形.
解答题
1.（2013山西，25，13分）（本题13分）数学活动——求重叠部分的面积。 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D 与边AB 的中点重合，DE 经过点C ，DF 交AC 于点G 。 求重叠部分（△DCG ）的面积。
（1）独立思考：请解答老师提出的问题。 【解析】解：∵∠ACB=90°D 是AB 的中点,
∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB
G
E
F
C
B A D
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC 又∵DC=DA,∴G是AC的中点,
∴CG=1
2
AC=
1
2
×8=4,DG=
1
2
BC=
1
2
×6=3
∴S DCG=1
2
×CG·DG=
1
2
×4×3=6
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程。【解析】解法一：
∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1
3
2
1
G
H
E
F C
B
A D
∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°, ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2
∴GH=GD
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°
∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH
∴点G是AH的中点，
在Rt△ABC中，AB= 10
∵D是AB的中点，∴AD=1
2
AB=5
在△ADH与△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB, ∴AD
AC=
DH
CB,
5
8=6
DH
,∴DH=
15
4,
∴S△DGH＝1
2
S△ADH＝
1
2
×
1
2
×DH·AD=
1
4
×
15
4
×5=
75
16
（25题（1））
（25题（2））
解法二：同解法一，G 是AH 的中点，
3
2
1G H E
F
C B
A
D
连接BH ，∵DE ⊥AB ，D 是AB 的中点，∴AH=BH ，设AH=x 则CH ＝８-ｘ 在Rt △BCH 中，CH2+BC2=BH2，即（8-x ）2+36=x2，解得x= ∴S △ABH=AH·BC=
12×254×6=75
4
∴S △ＤＧＨ=
12S △ADH =12×1
2
S △ABH =14×754=7516.
321
N
M
G
H
E
F
C
B
A
D
解法三：同解法一，∠1=∠2
连接CD ，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB ，△DGH ∽△BDC, 作DM ⊥AC 于点M ，CN
⊥AB 于点N ，∵D
是AB 的中点，∠ACB=90°
∴CD=AD=BD ，∴点M 是AC 的中点，∴DM=12BC=12×6=3
在Rt △ABC 中，=10，
12AC·BC=1
2
AB·CN ， ∴CN ＝
8624
105
AC BC AB 创==
. ∵△DGH ∽△BDC, ∴2
DGH BCDC S DM S CN ??
= ???
,
∴2DGH
BCDC DM S S CN ??
=? ?
??
=2
12DM BD CN CN ???? ??? （25题（2））
（25题（2））
∴2
31257552524164DGH
S ?? ?=???= ? ???
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF 绕点D 旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将△DEF 绕点D 旋转，DE ，DF 分别交AC 于点M ，N ，使DM=MN 求重叠部分(△DMN)的面积、
任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN 的面积是
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。
N
M
E
F
C
B
A
D
N
M E
F
C
B
A
D
【答案】①
7516
②注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得1分，画图正确得1分，重叠部分未涂阴影不扣分。示例：如图，将△DEF 绕点D 旋转，使DE ⊥BC 于点M ，DF 交AC 于点N ，求重叠部分（四边形DMCN ）的面积。
2．（2013·潍坊，24，13分）如图，抛物线c bx ax y ++=2
关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ，点??
? ??
232，D 在抛物线上，直线是一次函数
（25题（3））
（25题（4））
()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值．
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． 答案：（1）因为抛物线关于直线x ＝1对称，AB ＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)， 由点D(2，1．5)在抛物线上，所以?
??=++=+-5.1240
c b a c b a ，所以3a ＋3b ＝1．5，即a ＋b ＝0．5，
又12=-
a b
，即b ＝－2a ，代入上式解得a ＝－0．5，b ＝1，从而c ＝1．5，所以2
3212++-=x x y ．
（2）由（1）知2
3
212++-
=x x y ，令x ＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB ， 令kx －2＝1．5，得l 与CD 的交点F(23
,27k )，
令kx －2＝0，得l 与x 轴的交点E(0,2
k
)，
根据S 四边形OEFC ＝S 四边形EBDF 得：OE ＋CF ＝DF ＋BE ，
即
,5
11),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 （3）由（1）知,2)1(2
1
232122+--=++-=x x x y
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为2
2
1x y -
=
假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO ＝∠NPO ，所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1， 所以
1
1
11PN PM NN MM =，………………(1) 不妨设M(x M ，y M )在点N(x N ，y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 则（1）式变为
N
M
N M y t y t x x --=-，又y M ＝k x M －2， y N ＝k x N －2， 所以（t ＋2）(x M ＋x N )＝2k x M x N ，……(2) 把y ＝kx －2(k ≠0)代入2
2
1x y -
=中，整理得x 2＋2kx －4＝0， 所以x M ＋x N ＝－2k ， x M x N ＝－4，代入（2）得t ＝2，符合条件， 故在y 轴上存在一点P （0，2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称．
考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大．
点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。
3．（2013江西南昌，18，6分）先化简，再求值：122442
22+-÷+-x
x
x x x x ，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．
【思路分析】先将分式的分子分母因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，约分后得到
212x -+，可通分得22212222
x x x
--+=+=，也可将22x -化为12x -求解． [解]原式=x
x 2)2(2
-·)2(2-x x x +1
=
12
+-x
x
=
2
x ． 当x =1时，原式=
2
1 【方法指导】本题考查的是分式的化简求值，涉及因式分解，约分等运算知识，要求考生具有比较娴熟的运算技能，化简后要从三个数中选一个数代入求值，又考查了考生的细心答题的态度，这个陷阱隐蔽但不刁钻，看到分式，必然要注意分式成立的条件．
4．（2013山东德州,22,10分）设A 是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或
某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”。 （1）数表A 如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）
（2）数表A 如表2所示，若经过任意．．一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的值。
【思路分析】1）根据提供信息，理解题目要达到要求，答案不唯一，属于开放题（2）分析各行、各列上数字和情况，同时注意其和要符合非负数（≥0）. 【解】（1）法1：
法2：
（写出一种即可）
（2）每一列所有数之和分别为2,0,-2,0,每一行所有数之和分别为-1,1. ①如果操作第三列，则
则第一行之和为2a-1，第二行这和为5-2a ， 2a-1≥0, 5-2a ≥0 解得2
521≤≤a 又∵a 为整数，
∴a=1 ，或a=2
②如果操作第一行，
则每一列之和分别为2-2a,2-2a2,2a-2,2a2,
2-2a≥0,
2a-2≥0 解得a=1,此时2-2a2=0, 2a2=2.
综上可知a=1
【方法指导】本题考查了新定义阅读题、分类讨论思想.本题是一道以数列为素材的新定义阅读理解题，解这类题的关键是顺着题意，理解题目的告诉了什么，要做什么？模仿或拓展运用相关知识内容解决. 本题中运用了分类讨论思想，发挥解题的多样性与严谨性.