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第一章基本初等函数（Ⅱ）
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义
学 1. 掌握任意角的三角函数的定义；
习 2. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
目 3. 记住三角函数的定义域、值域.
标 4. 会判断三角函数在各象限的符号；预
习：
1. 三角函数的定义：（1）正弦：；（ 2）余弦：；
（3）正切：；（ 4）余切：；
（5）正割：；（ 6）余割：；
2、三角函数的定义域：
三角函数定义域
课sin
前cos
准tan
备
3、三角函数在各象限的符号
sin cos
tan
思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示
锐角三角函数吗？
新
课结论：在引 C对边为Rt △ABC中，设 A 对边为 a，B 对边为b，c，锐角 A 的正弦，余弦，正切依次为：
入a b a
sinA, cosA,tanA
c c b
锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数
探究一：角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图 , 设锐角的顶点与原点O 重合,始边与x轴的正半轴重合, 那么它的终边在第
新一象限 .在的终边上任取一点P( a, b) , 它与原点的距离课
导
r 2 2
0 .过 P 作x轴的垂线,垂足为 M ,则线段
学
a b
OM 的长度为a,线段 MP 的长度为 b .
则 sin MP
b
; cos OM
a
; tan MP b .
OP r OP r OM a
Y
P(a,b)
x
O M
新知 1：任意角的三角函数的定义
如图 , 设是一个任意角, 它的终边上任一点P( x, y) ,那么: OM x, MP y, R OPx 2 y2 0
（ 1）x
叫做r
（ 2）y
叫做r
（ 3）y
叫做x
r
（4）叫做
r （5）叫做
x （6）叫做的余弦 , 记作cos , 即cos
x
；
r
的正弦 , 记作sin , 即sin
y
；
r
的正切 , 记作tan , 即tan y x 0 .
x
的正割 , 记作secc , 即sec r x 0 ；
x
的余割 , 记作csc , 即csc r y 0 ；
y
的余切 , 记作cot , 即cot x y 0 ；
y
y
P
r
y
O x M x
探究二：在上述三角函数定义中, 自变量是什么?函数的定义域是什么?
新知 2：
三角函数定义域
sin
cos
tan
说明 : 当k (k Z ) 时，的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于2
0 ，所以tan y
x
无意义 ,除此情况外，对于确定的值，上述各值都是唯一确定的实
数.
探究三：三角函数值在各象限的符号的什么？新知 3：三角函数在各象限的符号
sin cos
tan
结论：一全正，二正弦，三两切，四余弦
例1．已知角的终边经过点P（ 2，－３），求的六个三角函数值．典
型
例
题
训练 1．已知角的终边经过点P 1, 3 ，求的六个三角函数值．
例 2．求下列各角的六个三角函数值：
3
（1）０；（2）；（3）
2
训练 2．求下列各角的六个三角函数值：
5
（1）2；（2）
2
例3．确定下列各三角函数值的符号：
10
（ 1）cos260°；（2） sin ；（ 3） tan（－ 672° 20’）；（ 4） tan
3 3
训练 3．确定下列各三角函数值的符号：
（ 1） sin( － 120° )；（ 2） cos 5 ；（ 3）tan672° 20’；（ 4）sin3400cos2650
4
例 4．设 sin
0 且 tan 0 ，确定 是第几象限角．
训练 4．设 cos
0 且 tan 0 ，确定 是第几象限角．
小 1．任意角的三角函数的定义；
结 2．三角函数的定义域及三角函数值的符号．
1．已知角
的终边过点 P 0 ( 3, 4) ，求角
的正弦 , 余弦和正切值 .
当
2．确定下列各三角函数值的符号：
堂
检 （1） cos2500 （ 2） sin(
) （ 3） tan( 6720 )
（ 4） tan3
测
4
3．（ 1）若 sin α >0 且 （ 2）若 tan α>0 且
cos α <0 ，则 α 是第
sin α <0 ，则 α 是第
象限的角；
象限的角．
课 1．求下列三角函数值：
后
25 tan( 15 ) （1） cos 思
3 4
考
（2） sin 4200 cos7500
sin( 6900 )cos( 6600 )
2．求函数 y sin a tan a 的定义域
作 教材第 17页练习 A 第 4题，练习 B 第 3题、第 4题． 业
预习教材 19-20 页“ 1.2.2 单位圆与三角函数线”
课后作业：
A 组
一、选择题1．以下四个命题中，正确的是
( )
A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等
B ．｛ ｜ ＝ k ＋
， k ∈ Z ｝≠｛ ｜ ＝ - k ＋ ， k ∈ Z ｝
6
6
C ．若 是第二象限的角，则 sin2 ＜ 0
D ．第四象限的角可表示为｛
｜ 2k ＋
3
＜ ＜ 2k ， k ∈ Z ｝
2
2．若角 的终边过点 (- 3， - 2)，则 ( )
A ． sin tan ＞0
B ． cos tan ＞ 0
C ． sin cos ＞0
D ． sin cot ＞ 0 3．角 的终边上有一点 P( a ， a)， a ∈ R ，且 a ≠ 0，则 sin 的值是 (
)
A ．
2
B ． 2
C ．±
2
D ．1
2
-
2
2
4.α是第二象限角，其终边上一点
P （ x ，
5
），且 cos α＝
2
x ，则 sin α的值为（
）
4
10
6
2
10
A ． 4
B ． 4
C ． 4
D ．－ 4
5. 使 lg cos
tan 有意义的角 θ是（
）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第二象限角
D ．第一、二象限角或终边在 y 轴上
6. 设角 α是第二象限角，且 |cos
2 | ＝－ cos
，则角
是（
）
2
2
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
二、填空题
7．已知角 的终边落在直线 y ＝ 3x 上，则 sin ＝ ________．
8．已知 P(-
3 ， y)为角 的终边上一点，且 sin ＝
13
，那么 y 的值等于 ________．
13
9．已知锐角 终边上一点 P(1， 3 )，则 的弧度数为 ________．
10．（ 1） sin 9
tan
7
_________
4
3
三、解答题
11．已知角 的终边过 P(- 3 ， 4)，求 的六种三角函数值
12．已知角 的终边经过点 P(x ， - 3 )(x>0) ．且 cos ＝ x
，求 sin 、 cos 、 tan 的值．
2
B 组
一、选择题
. 设 角属于第二象限，且
cos
cos ，则
角属于（ ）
1
2
2 2
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
sin
7
cos
2. 给出下列各函数值： ① sin( 1000
)
；② cos( 20 0
) ；③ tan( 10) ；④
10
. 其
17
tan
9
中符号为负的有（
）
A. ①
B. ②
C. ③
D.
④
3.
2
）
s i n 1 2 0 等于（
A.
3
B.
3
C.
3 D.
1
2
2
2
2
4.
已知 sin
4
是第二象限的角，那么
tan
的值等于（
）
，并且
4 5
3
A . B.
C.
3
D.
4
3
4
4
3
5π
3π
5．若 θ∈（ 4 ， 2 ），则 1－ 2sin θ cos θ 等于
A.cos
θ － sin θ
B.sin θ
θ
＋cos
C.sin θ－ cos θ
D.－ cos θ－ sin θ
6．若 tan θ＝ 1
2
＋ sin
θ cos 的值是 3 ，则 cos θ
θ
6
4
4
6
A. －5
B.－5
C. 5
D. 5
二、填空题
7. 设
分别是第二、三、四象限角，则点
P(sin ,cos ) 分别在第 ___、 ___、 ___象限 .
8．若角 α的终边在直线 y ＝－ x 上，则
sin
1 cos
2
.
＝
1 sin
2
cos
9．使 tanx－
1
有意义的 x 的集合为.
sin x
α
＝－ 4 ，则
α
象限的角 .
10．已知α是第二象限的角，且 cos 是第
2 5 2
三、解答题
11. 已知 tan ，1
是关于 x 的方程 x2 kx k 2 3 0 的两个实根，且 3 7 ，求
tan 2 cos sin 的值.
m－ n
12.设 cosθ＝m＋n（ m＞ n＞ 0)，求θ的其他三角函数值 .
C组：
1＋ 2sinθcosθ1＋ tanθ
1．证明 (1)22＝
cos θ－ sin θ1－ tanθ
(2)tan2θ－ sin2θ＝ tan2θsin2θ
2. 已知sin x cosx m, ( m 2,且 m 1) ，
求（ 1）sin3x cos3 x ；（2） sin 4 x cos4 x 的值.
课后作业参考答案：
A 组：
一， 1.c 2.c 3.A 4.A 5.C 6.C
3 10 1 9.
6 二. 7.
10
8.
10.
2
3
2
三． 11. 4 3 4 ， cot a
3 5 5 sin a
cosa
， tana
， seca
3
， csca
5
5
3
4
4
12.
sin
3
,cos
1
, tan
3
2
2
B 组：
一、选择题
1. C
2k
2
2k
,( k Z ), k
4 2
k
,( k Z ),
2
当 k 2n,( n
Z)时，
在第一象限；当 k 2n 1,(n
Z) 时， 在第三象限；
2
2
而 cos
cos cos 0 ， 2 在第三象限；
2
2
2
2. C
sin( 10000 )
sin 800 0 ； cos( 2200 0 ) cos( 400 ) cos 400
sin
7
cos
sin
7
0,tan
17
tan( 10) tan(3 10) 0 ；
10
10 ,sin
7
17
tan 17
10
9
tan 9
9
3. B
sin 2 1200 sin120 0
3
2
4. A
sin
4
,cos
3
,tan
sin
4
5
5
cos
3
5. A
6. D 二、填空题
7.
四、三、二 当 是第二象限角时，
sin0,cos 0 ；当 是第三象限角时，
sin
0,cos 0；当 是第四象限角时， sin
0,cos0 ；
8.
1 7 1 7 O M
② s i n
M P 0 , c o s
18
1 8
9． { x|x∈ R 且 x≠k
，k∈Z}
2
10．三
三、解答题
11．解：tan 1 k2 3 1, k 2，而3 7 ，则 tan 1 k 2, tan 2 tan
得 tan 1，则sin cos
2
cos sin 2 .
，
2
m－ n
12.解：∵ m＞ n＞ 0，∴ cosθ＝m＋n＞ 0
∴ θ是第一象限角或第四象限角.
当θ是第一象限角时：
2
(m n) 2 (m n) 2 (m n)2 2
sinθ＝1 cos 1
(m n) 2
＝
(m n) 2 m n mn
sin 2
mn tanθ＝
cos m n
当θ是第四象限角时：
sinθ＝－ 1 cos2 2
n mn
sin 2
m mn
tanθ＝
m
cos n C 组：
1. （ 1）证明：左＝sin 2 cos2 2sin cos (cos sin )(cos sin )
(sin cos )2 ＝ cos sin cos sin
＝＝cos (cos sin )(cos sin ) cos sin cos sin
cos (∵ cos θ ≠ 0，∴分子、分母可同除以cosθ )
＝ 1＋ tanθ
1－ tanθ
＝右，证毕.
还可用其他证法 .
(2)证明：左＝sin 2 2 sin 2 sin 2 cos2 cos2
－ sin θ＝
cos2
＝ sin 2 (1 cos2 ) ＝ sin 2 sin 2 ＝ tan2θ sin 2θ＝右，证毕 .
cos2 cos2
2. 解：由 sin x cosx m, 得 1 2sin x cos x m2 , 即 sin x cos x m2 1 ,
2
（ 1）sin3 x cos3 x (sin x cos x)(1 sin x cos x) m(1 m2 1) 3m m3
2 2
（ 2）sin4 x cos4 x 1 2sin 2 x cos2 x 1 2( m2 1)2 m4 2m2 1
2 2
5，则 b的值。 3的终边上，且｜OP｜=2，则点P的坐标？ 2 ,-3),，则定义：叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα＝； α=- 5 2，则sin α，tanα的值分别为（另外，角α的正割：secα＝ 1 cosαx 角α的余割：cscα＝ 1 sinαy 角α的余切：cotα＝ 1 2C- 3 A 1 高一数学学案 必修四第一章第3节三角函数的定义（1） 制作人：适用范围：高一使用日期：4.17 【教学目标】 1、三角函数定义； 2、利用定义求角的六个三角函数； 3、特殊角的三角函数值。 4、通过角定义的学习，进一步体会数形结合的思想方法 【教学重难点】 1、用定义求三角函数值； 2、特殊角三角函数值。 【教学内容】 1．任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义 如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直 角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点． 变式训练2：若角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=- 3 例2、求下列各角的六个三角函数值： （1）0;(2)π；（3） 3π 2 变式训练3：若点P在角 π 【课堂练习】 1、（1）已知角α终边经过点p( 1 cosα=______，sinα=______，tanα=______， cotα=______，secα=______，cscα=______。 其中，r＝OP＝x2＋y2>0． x x r r y y r叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα＝r； 2、设π A、-1；不存在 B、1；不存在 C、-1；0 D、1；0 ）。 y y x叫做角α的正切，记作tanα，即tanα＝x． r ＝； r ＝； x tanα＝y． 例1、已知角α终边过点P（2，-3），求角α的六个三角函数值。 3、如果角α的终边过点（2sin30°，-2cos30°）,则sinα的值等于（） 13 2 B- 2 D 2 4、若角α的终边经过点M（0，m）（m≠0），则下列式子无意义的是（） A、sinα B、cosα C、tanα D、cotα 15．已知角 α的终边上一点的坐标为( 3 ,- 1 ),则角α的最小正值为( 22)变式训练1：设角α的终边经过点P（3x，-4x）（x＜0），则sinα-cosα的值？
1.2.1任意角的三角函数（A层学案） 学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点：任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y； ②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x； ③y x 叫做α的________，记作______，即tanα＝ y x (x≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r=,那么任意角α的三角函数的定义为： sinα＝ cosα＝ tanα＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀：。 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________， tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z. 角α0π 6 π 4 π 3 π 2 2 3 π 3 4 π 5 6 ππ 3 2 π2π sin αcos αtan α
二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1： （1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值． 知识点二：三角函数值的符号问题 例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.
学习目标：理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等，掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域，会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。 课前预习 阅读课本P14—P17，填充下列空格 1.三角函数的定义（如图所示） 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是r （=r ），如上图所示，那么 ①比值 叫做α的正弦，记作 ，即 ； ②比值 叫做α的余弦，记作 ，即 ； ③比值 叫做α的正切，记作 ，即 ； ④比值 叫做α的余切，记作 ，即 ； ⑤比值 叫做α的正割，记作 ，即 ； ⑥比值 叫做α的余割，记作 ，即 。 2.三角函数的定义域 3.三角函数在各象限的符号 合作探究展示 角的终边 x y 0 αsin x y 0 αcos x y α tan
探究一 .已知角α的终边经过点P(4,－3)，求sin α、cos α、tan α的值； 变式一 已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值； 探究二 求下列各角的六个三角函数值：⑴0； ⑵π； ⑶2 3π。 求 43π和56 π角的正弦、余弦和正切值． 引申 填表：
探究三 确定下 列各三角函数值的符号： ⑴516cos π； ⑵?? ? ??-34sin π； ⑶21556tan ' 已知点p （tan tan ,cos αα ）在第四象限，则角α 在第 象限 当堂练习 （一）选择题 1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－ 55 B ．－ 5 C ．552 D ．2 5 2、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α= 4 2 x ，则sin α的值为 （ ） A ． 410 B ．46 C ．4 2 D ．－410 3.若0sin <α且0tan >α，则α是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 4.设角θ终边上一点()()06,8<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（ ） A. 52 B.52或52- C.52 - D.与a 无关 二．填空题
《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？
三角函数的概念学案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案41 三角函数的概念、弧度制 一、课前准备： 【自主梳理】 ．任意角 （1）角的概念的推广： （2）终边相同的角： 2．弧度制： ， 弧度与角度的换算： ， ， ． 3．弧长公式： ， 扇形的面积公式： ． 4．任意角的三角函数
（1）任意角的三角函数定义 ， ， ， （2）三角函数在各象限内符号口诀是 ． 5．三角函数线 【自我检测】 ． 度． 2．是第 象限角． 3．在上与终边相同的角是 ． 4．角的终边过点,则 ． 5．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 ． 6．若且则角是第 象限角． 二、课堂活动：
【例1】填空题： （1）若则为第 象限角． （2）已知是第三象限角，则是第 象限角． （3）角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为的圆）交于第二象限的点，则 ． （4）函数的值域为_____ _________． 【例2】（1）已知角的终边经过点且，求的值； （2）为第二象限角，为其终边上一点，且求的值． 【例3】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是． （1）若求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； （2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积． 课堂小结 三、课后作业 ．角是第四象限角，则是第 象限角． 2．若，则角的终边在第 象限．
3．已知角的终边上一点，则 ． 4．已知圆的周长为，是圆上两点，弧长为，则 弧度． 5．若角的终边上有一点则的值为 ． 6．已知点落在角的终边上，且，则的值为 ． 7．有下列各式：①②③④，其中为负值的序号为 ． 8．在平面直角坐标系中，以轴为始边作锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知两点的横坐标分别为，则 ． 9．若一扇形的周长为，则当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?最大值是多少? 的正弦、余弦和正切值． 四、纠错分析 错题卡 题号 错题原因分析 学案41
一、学习目标 1、让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系； 2、会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力； 3、领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 二、学习重点 倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。 三、学习难点 倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。 四、学习过程 问题1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？ 问题2：若β=α，结果会如何，你能得出什么结论？ α2S ： α2C ： α2T ： 问题3：你能利用同角三角函数公式对α2C 进行变形吗？ 总结：公式α2S 、α2C 、α2T 叫做 ，简称 。 注意：（1）这里的“倍角”，实际上专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名称时，“三”字等不能省去。 （2）倍角公式是和角公式的特例。 （3）倍角公式中的“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α 的二倍角。 （4）倍角公式的公式特征：“倍角”与“二次”的关系。 试一试：不查表，求值： （1）sin 2230cos 2230''?= ； （2）=-π18cos 22 ； （3）=π-π8 cos 8sin 22 ；（4）= 40cos 20cos 10sin 。 例1：已知)0,2 (135cos παα-∈=且，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。
例2：化简απ απ α222sin )3(cos )3(cos -++-。 例3：证明下列恒等式 （1）θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+； （2）1)10tan 3(40sin =- 。 例4：求函数2sin (sin cos )y x x x =+的最小正周期，以及最值。 例5：在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取使这个矩形面积最大？ 五、巩固练习 1、化简（1； （2； （3； （4。
5.1.1任意角的概念 教学目标：（1）引导学生用运动变化的观点了解角的概念的推广 （2）明白“任意角”、“象限角”的概念 教学重点：“任意角”、“象限角”的概念 教学难点：“象限角”的判断 预习案： 一、复习： 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、新知： 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3、角的表示 （1）常用字母A 、B 、C 等表示 （2）用字母αβγ?θ、、、、等表示 （3）当角作变量时可用字母x 表示 4．象限角、轴线角（非象限角）的概念 我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。 合作探究： 1.在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。 00000030,150,60,390,390,120---
1.2.2同角的三角函数的基本关系 课前预习学案 预习目标： 通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。 预习内容： 复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线： 提出疑惑： 与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？ 课内探究学案 学习目标： ⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 学习过程： 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化． 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构 成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=, 因此221x y +=,即 . 根据三角函数的定义,当()2a k k Z π π≠+∈时,有 . 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切. 【例题讲评】 例1化简： 440sin 12- 例2 已知α ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 例3求证：α αααcos sin 1sin 1cos +=- 例4已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ， ，
4.1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义 一、教学内容分析 直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. 二、学生学习情况分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 四、教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。 5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
5.2.1 三角函数的概念 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义； 2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一； 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。 一、设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 二、三角函数的定义域。 三角函数 定义域 αsin =y αcos =y αtan =y 三、诱导公式 =+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ； =+)2(tan παk 。Z k ∈ 一、探索新知 探究一.角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。当πα=时，点P 的坐标是什么？当
322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 探究二 ：一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？ 1.任意角的三角函数定义 设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。 叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 通常将它们记为：正弦函数 R x x y ∈=,sin 余弦函数 R x x y ∈=,cos 正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ 探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设)2 ,0(π ∈x ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为1z ，并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为1y 。1z 与1y 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
C B A C B A C B A B 课题：28．1锐角三角函数（1） 【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 二、合作交流： 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是 一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边 的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系． 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形
高中数学学案：三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析：因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6), 所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值
“任意角三角函数的概念”教学设计 陶维林 （江苏南京师范大学附属中学，210003） 一．内容和内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础． 角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便． 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念． 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数． 任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与 实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义． 在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．
高三数学一轮复习 24.三角函数的性质学案 【学习目标】 1．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期． 2．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题． 预 习 案 2. y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝ 2π|ω|. y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π |ω| . 3. (1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式． (2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数单调性，应利用复合函数单调性研究． (3)注意各性质应从图像上去认识，充分利用数形结合解决问题． 【预习自测】 1．若函数y ＝cos(ωx －π6)(w >0)的最小正周期为π 5 ，则w ＝________. 2．比较下列两数的大小． (1)sin125°________sin152°；(2)cos(－π5)________cos 3π 5 ；(3)tan(－ 3π5)________tan 2π 5 . 3．(1)函数y ＝sin(x ＋π 4 )的单调递增区间是________ ； 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 对称性 对称轴 x ＝ π 2 ＋k π x ＝k π 无 对称中心(k π，0) ( π 2 ＋k π，0) ( k π 2 ，0)
(2)函数y＝tan(1 2 x－ π 4 )的单调递增区间是________ ． 4．若y＝cos x在区间[－π，α]上为增函数，则α的取值范围是________． 5．函数f(x)＝sin x cos x＋ 3 2 cos2x的最小正周期和振幅分别是 ( ) A．π，1 B．π，2、 C．2π，1 D．2π，2 探究案 题型一：三角函数的周期性 例1. 求下列函数的周期． (1)y＝2|sin(4x－π 3 )|； (2)y＝(a sin x＋cos x)2(a∈R)； (3)y＝2cos x sin(x＋π 3 )－3sin2x＋sin x cos x. 拓展1. (1)f(x)＝|sin x－cos x|的最小正周期为________． (2)若f(x)＝sinωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是_____． 题型二：三角函数的奇偶性 例2.判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos(π 2 ＋2x)c os(π＋x)； (2)f(x)＝x sin(5π－x) （3）f(x)＝sin(2x－3)＋sin(2x ＋3)； （4）f(x)＝cos x－sin x 1－sin x ；（5）y＝sin(2x＋ π 2 )；（6）y＝tan(x－3π)
§1-3 三角函数的有关计算 学习目标 1.经历用由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义. 2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算. 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习重点 1.用计算器由已知三角函数值求锐角. 2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习难点 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习过程 一、引入新课 已知tanA ＝56.78，求锐角A. （ 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的 结果.） 二、习题训练 1.根据下列条件求锐角θ的大小： (1)tan θ＝2.9888； (2)sin θ=0.3957； (3)cos θ＝0.7850； (4)tan θ＝0.8972； (5) tan θ=22.3 (6) sin θ＝0.6； (7)cos θ＝0.2 （8）tan θ= 3； (9) sin θ＝ 2 3 2.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角. 解：sin α＝ 100 4 =0.04，α＝2°17′33″. 3.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. [例1]如图，工件上有-V 形槽.测得它的上口宽加20 mm 深19.2mm 。 求V 形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°) 分析：根据题意，可知AB ＝20 mm ，CD ⊥AB ，AC ＝BC ，CD=19.2 mm ， 要求∠ACB ，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可. 解：tanACD= 2 .1910 =CD AD ≈0.5208∴∠ACD ＝27.5°∠ACB ＝2∠ACD ≈2×27.5°＝55°. [例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度。 解：如图，在Rt △ABC 中， AC ＝6.3 cm ，BC=9.8 cm ， ∴tanB= 8 .93 .6=BC AC ≈0.6429. ∴∠B ≈32°44′13″. 因此，射线的入射角度约为32°44′13″. 小结：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根 据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题.
高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计 一、教学内容解析 这是一节关于任意角的三角函数的概念课。 三角函数是高中范围内即指数函数、对数函数和幂函数之后的最后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幂函数属于同一抽象（概括）层次。它是一种重要的基本初等函数，是解决实际问题的重要工具，也是学习数学中其他知识内容的基础。 在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想，由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数，再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数，直至得到任意角的三角函数的定义，体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的概念是本节课的重点，能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键 一、教学目标设置 1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角函数的定义： （1）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示锐角三角
函数； （2）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示任意角的三角函数； 2、借助单位圆理解任意角三角函数的定义： （3）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数； （4）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示任意角的三角函数； 3、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 4、在借助单位圆认识任意角三角函数概念的过程中，体会数学结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。 三、学生学情分析 1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角函数时可能存在障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的，要克服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有过边长的比值的联系。 2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角函数的表达式变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触
三角函数的概念 【第1课时】 【学习目标】 （1）借助单位圆理解任意角的三角函数定义． （2）掌握三角函数在各象限的符号． （3）掌握诱导公式一并会应用． （4）会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切. 【学习重难点】 三角函数的概念。 【学习过程】 一、自主学习 状元随笔三角函数的定义 （1）三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合（弧度数）到一个比值的集合的函数． （2）三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合． 知识点二：正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
知识点三：三角函数线 状元随笔（1）三角函数线的方向． 正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点． （2）三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值． 知识点四：三角函数值在各象限的符号 状元随笔对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知： （1）正弦值符号取决于纵坐标y的符号； （2）余弦值的符号取决于横坐标x的符号； （3）正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
知识点五：诱导公式一 （1）语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等． （2）式子表示??? sin α＋k ·2π＝sin α，cos α＋k ·2π＝cos α，tan α＋k ·2π＝tan α， 其中k ∈Z . 状元随笔诱导公式一 （1）实质：是说终边相同的角的三角函数值相等．即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次． （2）结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. （3）作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值．体现了“大化小”“负化正”的数学思想． 教材解难： 正确认识三角函数线 （1）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，凡与x 轴或y 轴同向的为正值，反向的为负值． （2）三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角a 的三角函数线的画法，即先找到P ，M ，T 点，再画出MP ，OM ，AT ． （3）三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础． 基础自测： 1．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ） A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT
三角函数的概念 〖考纲要求〗理解三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；掌握任意角三角函数定义、符号. 〖复习要求〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义 和符号处理问题；了解三角函数线. 〖复习建议〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义 和符号处理问题；熟记特殊的三角函数值. 〖双基回顾〗⑴角的定义： . ⑵叫正角；叫负角；叫零角. ⑶终边相同角的表示：或者 . ⑷1弧度的定义是 .弧度与角度换算关系是 .⑸任意角三角函数定义为： sin= cos= tan= · P(x,y) x y O 任意角三角函数的符号规则：在扇形中： .S扇 = 。 形
l r ⑹两个特殊的公式： 如果∈，那么sin＜＜推论：＞0则sin＜ 如果∈，那么1＜sin+cos≤ 一、知识点训练： 1、终边在y轴上的角的集合是 . 2、终边在Ⅱ的角的集合是 . 3、适合条件|sin|=－sin的角是第象限角. 4、在－720o到720o之间与－1050o终边相同的角是 . 5、sin2·cos3·tan4的符号是………………………………………………………………………（） (A)小于0 (B)大于0 (C)等于0 (D)不确定 6、已知角的终边过点P(－4m,3m)，则 2sin+cos=…………………………………………（） (A)1或者－1 (B)或者－ (C)1或者－ (D)－1或者 二、典型例题分析： 1、确定的符号
2、角终边上一点P的坐标为(－,y)并且，求cos与tan的值. 3、如果角的终边在直线y=3x上，求cos与tan的值. 4、扇形的周长为20cm，问其半径为多少时其面积最大？ 三、课堂练习： 1、角终边上有一点（a，a） 则sin=…………………………………………………………（） (A) (B) －或 (C) － (D)1 2、如果是第二象限角，那么－是第……………………………………………（）象限角 (A)Ⅱ或Ⅲ (B) Ⅰ或Ⅱ (C) Ⅰ或Ⅲ (D) Ⅱ或Ⅳ 3、“=2k+（k是整 数）”是“tan=tan”的…………………………………………………（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分条件也不必要条件 4、如果角与的终边关于y轴对称，则cos+cos= . 5、在（－4，4）上与角终边相同的所有角为 . 四、课堂小结： 1、要熟悉任意角的概念，掌握角度与弧度的转化方法，熟练掌握任意角三角函数的定义方法. 2、已知角的一个三角函数值求其它三角函数值时，必须对讨论角的范围 3、知道所在的象限能熟练求出所在象限. 五、能力测试：姓名得分 1、下列结果为正值的是……………………………………………………………………………（） (A)cos2－sin2 (B)tan3·sin2 (C)cos2·sin2 (D) sin2·tan2 *2、已知锐角终边上有一点（2sin3，－2cos3），那么=………………………………………（）
课题：三角函数的定义 目标要求： 1． 理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． 2． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义． 知识原理 1． 与角α终边相同的角{α|β=α＋2kπ，k ∈Z } 2． 终边在坐标轴上的角：{β|β= 2 πk ，k ∈Z } 3． 象限角：{β| 2πk ＜β＜2)1(π+k ，k ∈Z }，当k 被4除的余数为r 时，集合表示第r ＋1象限的角（r =0，1，2，3，）． 4． 弧度制：圆周上等于半径的弧所对的圆心角称为1弧度的角． 5． 弧度制与角度制的换算：弧度=180o ． 6． 若点P （x ，y ）是角的终边与单位圆x 2＋y 2=1的交点，则sinα=y ，cosα=y ，tanα= x y ．等价地，若点P （x ，y ） 是角α终边上任意一点，r 是则sinα=r y ，cosα=r x ，点P 到原点的距离，tanα=x y ． 7． 三角函数的符号： 例题选讲 例1 如图，点P 是半径为1的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置A 点出发，按照逆时针方向，以3πrad/s 的角速度作匀速圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求它运动了4s 时的位置． 例2（1）角α的终边上一个点P （4t ，－3t ）（t ≠0），求2sinα＋cosα的 值． （2）已知角β的终边在直线y =3x 上，用三角函数定义求sinβ和tanβ的值． 例3 已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R ．
（1） 若α＝60o ，R ＝10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； （2） 若扇形的周长是一定值C （C ＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面 积？ 例4 已知函数f (x )=2sin 2(4π＋x )－3cos2x ，x ∈[4π，2 π]． （1）求f (x )的最大值与最小值 （2）若不等式| f (x )－m |＜2在x ∈[ 4π，2π]上恒成立，求实数m 的取值范围． 巩固练习 一、选择题 1.对任意的锐角α，β下列不等关系中，正确的是（ ） A ．sin(α＋β) ＞sinα＋sinβ B ．sin(α＋β) ＞cosα＋cosβ C ．cos(α＋β) ＜sinα＋sinβ D ．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ 2.已知α为第三象限角，则2 α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 3.若函数f (x )=sin x ＋2|sin x |（ x ∈）的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ） A ．1≤k ≤3 B ．1≤k ＜3 C ．1＜k ≤3 D ．1＜k ＜3 4.已知cosθtanθ＜0，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第三或第四象限 D ．第一或第四象限 二、填空题 5.已知集合A ＝{x |kπ＋3π≤x≤kπ＋2 π ，k ∈Z }，B ＝{ x ｜4－x 2≥0}，则A ∩B ＝ 6.若sin x ＋cos x =k ，且sin 3x ＋cos 3x ＜0，则实数k 的取值范围为 三、解答题 7.设全集U ＝R ． （1）解关于x 的不等式|x －1|＋a －1 ＞0（a ∈R ）； （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合B ＝{x |sin(πx － 3π)＋3cos(πx －3 π)=0}，若A C U ∩B 中恰有三个元素，求a 的取值范围．