向量线性相关的条件
向量a1，a2，……，an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。n+1个n维向量总是线性相关。
两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关;三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关;对于s个向量而言，其线性相关的充要条件是：存在s个常数，使得以此s 个常数为系数的该组向量的代数和等于零。
对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。
向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。
包含零向量的任何向量组是线性相关的。
含有相同向量的向量组必线性相关。
增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】
减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的)【整体无关，局部无关】
一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。【无关组的加长组仍无关】
一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。【相关组的缩短组仍相关】
若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关;否则是线性无关的。
含有零向量的向量组一定线性相关 答案： 是对的 如:0,a2,a3 有:1*0 + 0*a2 +0*a3 = 0 即有上组不全为零的数1,0,0使得那个线性组合等于0 故0,a2,a3 线性相关. 首先，如果向量组线性相关，那就是存在一组不全为0的数k1...kn，使得k1a1+...+knan=0，其中a1...an是列向量。 现在如果a1...an里面有一个零向量，比如说a3是零向量其他的不是，那么k3就可以带任何不为0的数，什么k3乘a3都得0，而其他的k 就放0，显然条件就达成了，不全为0的k1...kn使得k1a1+...+knan=0成立。 几何意义上，显然一个非零向量的向量组必定无关；而两个向量共线时线性相关；三个向量共面时线性相关。那现在想想在两个向量中如果有一个是零向量，那这两个向量必定共线。而在三个向量中有一是零向量，那三个向量肯定共面，这是因为空间中任意两个向量必定共线/共面，你加一个零向量不影响什么。
含有零向量的向量组显然线性相关，例如向量组（1，0），（0,1），（0,0） 则0*（1，0）+0*（0,1）+k*（0,0）=0, K为不等于0的任意数 是不是找到一组不全为零的数0，0, k,使上式为零。 你说的情况，都乘以0，只有0解，所以线性无关，但是它并不是只有0解啊，还有其他解。 必须加上"当且仅当"k1,k2,k3都等于0，使k1*a1+k2*a2+k3*a3=0,才是线性无关的。 向量组中含有零向量就一定呈线性相关吗? 向量组中含有零向量一定呈线性相关。 向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。
分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使 ,02211=+++s s k k k αααΛ (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要 条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s . 推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法
（安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a , ,a n a 所组成的数组12(a ,a , )n a 或12(a ,a , )T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ⨯矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使 ,02211=+++s s k k k αααΛ (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =???? ??? ??=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要 条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .
第三章 课后习题及解答 将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合： 1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 14321=+++k k k k 24321=--+k k k k 14321=-+-k k k k 14321=+--k k k k 解得.41 ,41,41,454321-=-=== k k k k 所以43214 1 414145ααααα--+= . 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 02321=++k k k ，04321=+++k k k k ， 0342=-k k ，1421=-+k k k . 解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.
判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解： 3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即 ⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=++=+0650320321 32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关. 4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=++=++=+-=+0 142407203033213212 131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件. 解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性 无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是 0=α. 6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，
向量组的线性相关性 1.1向量组的线性相关性的概念与判定 1.1.1向量组的线性相关性概念 定义1： 给定向量组12(,,)m A ααα=???,如果存在不全为零的数 12,,,m k k k ???,使 11220m m k k k ααα++???+= 则称向量组A 是线性相关的, 否则称它是线性无关的. 定义2：若向量组A 中每一个向量(1,2,,)i i t α= 都可由向量组{}1,,s B ββ= 线性表示，则称A 可由B 线性表示。若两个向量组可互相线性表示，则称这两个向量组等价. 性质：向量组的等价具有1）反射性；2）对称性；3）传递性. 定义3： 向量组{}s αα,,1 称为线性无关，若它不线性相关，或：由 11220s s k k k ααα+++= ， 则必021====s k k k 。即：11220s s x x x ααα+++= 只有唯一零解. 定义6：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）.所得的部分向量组都线性相关. 定义7：一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数. 性质：1.向量组{ }r αα,,1 线性无关?{}r αα,,1 秩r =. 向量组{ }r αα,,1 线性相关?{}r αα,,1 秩r <. 2.等价向量组的秩数相同.n P 中向量组的极大线性无关组的求法. 注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 注意2: 若12,,m ααα???线性无关, 则只有当120m λλλ==== 时, 才有
线性代数基本定理 行列式 1、对于线性方程组，若系数行列式的值D≠0，则方程组有唯一解。 2、若线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组有唯一解。 3、若线性方程组无解或有无穷多个解，则它的系数行列式必为零。 4、若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组只有0解，没有非零解。 5、若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零，即D=0。 矩阵 1、方阵为满秩矩阵的充分必要条件是|A|≠0；（方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵）。 2、设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组A x=0有非零解得充分必要条件为R（A）＜n。 向量组的线性相关性 1、一个向量线性相关的充分必要条件是α=0；α是线性无关的充分必要条件是α≠0。两个向量线性 相关的充分必要条件是它们对应的分量成比例。 2、向量b能由向量组α1，α2，…，αn线性表示的充分必要条件是：线性方程组x1α1+ x2α2+… + x nαn=b有解。 3、向量组α1，α2，…，αn线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有（无）非零解。 阐述：根据向量线性相关的定义，若向量组α1，α2，…，αn线性相关，则存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λn，使λ1α1+λ2α2+…+λnαn=0,即齐次线性方程组x1α1+ x2α2+…+ x nαn=0有非零解。反之，若齐次方程组有非零解，则向量组线性相关。向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组仅有零解。 4、n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们排成的n阶行列式的值等于零。 5、当m＞n时，m个n维向量一定线性相关。 6、向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该向量组所含向量的个数；向量组线性相关的 充分必要条件是向量组的秩小于该向量所含向量的个数。 7、向量组与它的任意一个极大无关组等价。 8、一个向量组的任意两个极大无关组等价。 9、若向量组A能由向量组B线性表示，则R(A)≤R(B)，即“秩小的可以表示秩大的”。 如何求行向量组的一个极大无关组？ 把行向量组转置变成列向量组，组成一个矩阵A，再对A进行初等行变换化成行阶梯形矩阵B，则B所对应的非零行中第一个不等于0的数所在的列对应的列向量组就是它的一个极大无关组。 方法二：可以直接作为行组成矩阵，此时要进行初等列变换才行。——百度知道
向量的线性相关性及其应用 摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。同时给出了线性相关性的一些应用。 关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵 一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念 1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量 空间中向量之间的关系。在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为 向量组12,, s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。特 别地,零向量是任一向量组的线性组合。于是,就引出了线性相关和线性无关的定义: 定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得 1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组 12,,s ααα线性无关 。即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++ = 0 ,就称为 线性无关。 定义2：对于向量组12,, s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得 1122s s k k k ααα++=β 则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合 二． 关于线性相关性的几种判定 1. 利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用 的一种方法。具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++ = 0 ,其中12,s k k k 为常数; ⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12 ,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全
线性相关的证明的方法 1.0αα=⇔线性相关 2.α与β的对应分量成比例⇔α与β线性相关 3.含零向量的向量组线性相关 4.向量组12,,,n ααα⋯(M ≥2)线性相关⇔该组中至少有一个向量可由其余的m-1向量线性表示 5.部分线性相关则整体线性相关 6.设向量组12,,,n ααα⋯可由向量组12,,,n βββ⋯线性表示 （1）如果r>s,则12,,n ααα⋯线性相关 （2）如果12,,n ααα⋯线性无关，则r
例3.1.1判断β能否由1234,,,αααα线性表示，若可以，给出线性表示式。其中1,2,1,1β=()，11,1,1,1α=()， 21,1,-1,-1α=()， 31,-1,1,-1α=()， 41,-1,-1,1α=()。 解：考虑1234,,,αααα为系数列向量，β为常数列向量的非其次线性方程组 1234123 12341234+++=1,+4=2,+=1,+=1. X X X X ⎧⎪X X X X ⎪⎨ X X X X ⎪⎪X X X X ⎩－－－－－－ 易求得1234-16,-20,D -4,4, 4.D D D D =====由克拉默法则，得到上述方程组的唯一解 为1X =1D D ＝542X ＝2D D ＝1 4 3X ＝3D D ＝—14 4X ＝4D D ＝—1 4 故β＝12345111 +4444 αααα－－ 例 3.1.3 设向量组 1,2s ααα，，，（s ≥2）线性相关，且 1122231=+,=+,,=+,s s βααβααβαα讨论向量组12,, s βββ的线性相 关性。 证明 设1122++ +=0,s s βββK K K 即 ()()()1122231++++++=0,s s ααααααK K K 亦即 ()()()11122-1++++++=0.s s s s αααK K K K K K 由题设12,, ,s ααα线性无关，可知必有
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第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分 量,第i 个数i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯- (0,1,2)T = 定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ + 则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.
向量组线性相关性判定
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：
如果向量组A 中有某个向量(不妨设m a )能由其余1m -个向量线性表示, 即有 121,,,,m λλλ-使112211,m m m a a a a λλλ--=++ 于是112211(1)a 0.m m m a a a λλλ--+++-= 因为121,, ,,1m λλλ--不全为0, 所以向量组A 线性相关. 反过来，如果向量组A 线性相关，则有11220,m m k a k a k a +++= 其中12,k ,,k m k 不全为0, 不妨设10k ≠, 于是12211()(k ),m m a a k a k =-+ + 即1a 能由2, ,a m a 线性表示. 例2 判断向量组123(2,1,3,1),(4,2,5,4),(2,1,4,1)ααα=-=-=--是否线性相关. 解：可取123,,χχχ为未知数，建立下列方程式 1122330,χαχαχα++= 看它是否有123,,χχχ的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组 123123 1231232420,20,3540,40. χχχχχχχχχχχχ++=⎧⎪---=⎪⎨ ++=⎪⎪+-=⎩ 前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故123,,ααα线性相关.特别的一组解，可取为 123(,,)(3,1,1),χχχ=--即12330ααα--=或3123.ααα=- 定理2向量组12a ,a , ,a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵12(a ,a ,)m A a =的秩 小于向量个数m ; 向量组线性无关的充分必要条件是(A)m R = 这是因为, 向量组12:a ,a , ,a m A 线性相关11220m m x a x a x a ⇔++ += 即Ax =0有非零解 (A)m.R ⇔< 向量组12a ,a ,,a m 线性无关12(a ,a ,,a )m.m R ⇔= 例3 证明n 维单位坐标向量组12(1,0,,0),e (0,1, ,0), ,e (0,0, ,1)T T T n e ===线性无关. 证明 我们直接利用定义证明.如果存在一组数12,k , ,k ,n k 使得
向量的线性相关性及其应用 一、引言 向量(linear vector)是线性代数中一个重要的概念。在物理、数学以及经济等领域都有广泛的应用。本文将深入探讨向量的线性相关性及其应用，为读者展开一个全新的世界。 二、向量的定义与线性相关性 向量通常由对应的有序数列表示，例如： $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3,...,v_n)$，其中$n$为该向量的维度。在这里我们着重介绍三维向量的线性相关性。 定义：给定向量空间$V$中的$n$个向量 $\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}$，如果存在一组不全为0的系数$c_1,c_2,...,c_n$使 $$c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+...+c_n\vec{v_n}=\vec{0}$$ 则称$\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}$是线性相关的，否则称它们是线性无关的。 三、线性相关性的判断
接下来我们将介绍两种判断线性相关性的方法 1.行列式判断法 判断向量 $\vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1),\vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2),\vec{v_3}=(a_3,b _3,c_3)$是否线性相关，先将三个向量组成一个矩阵： $$ A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$$ 计算矩阵$A$的行列式$\mid A\mid$，如果$\mid A\mid=0$，则三个向量线性相关，否则线性无关。 2.列向量线性组合法 该方法适用于任意维度的向量$V$中，以三维向量为例，判断向量
n 维向量的线性关系 前面，我们学习了三维的几何向量，把平面中的问题扩展为空间的数学问题。但是，这还是远远不够的。许多实际问题中，向量的构成通常是由许多不同的因素共同作用的结果。因此，我们有必要引入n元数构成的n维向量的概念。从而，把空间分成更高维的。 1.定义：数域F内的n个数a1,a2,…，a n组成的有序数组a叫做数域F上的n维向量，记作：a=(a1,a2,…，a n). 其中，a i称为n维向量的第i个分量。记R n为实数域上n维向量的全体构成的集合。 2.运算：八条性质： (1) a+b=b+a; (2) (a+b)+c= a+(b+c); (3) a+0=a; (4) a+(-a)=0; (5) 1a=a, (-1)a=-a, 0a=0 ; (6) k(l a)=(kl)a; (7) k(a+b)=k a+k b; (8) (k+l)a=k a+l a; 3.向量之间的线性关系: 简单说，线性是指一次函数关系，这里是指数乘之后向量间的彼此关系。定义：对于n维向量b，a1,a2,…，a m, 如果有一组数k1,k2,…，k m使得 b=k1 a1+k2 a2+…+k m a m, 则说向量b是a1,a2,…，a m的线性组合，或者说向量b可由a1,a2,…，a m线性表示；并称k1,k2,…，k m是表示系数或组合系数。 例1： a1=(1,0)T, a2=(0,1)T, a3=(1,1)T,则有a3= a1+ a2 即a3可以由a1,a2线性表示，而且表示方法唯一。此外，a1,a2, a3中任何一个都可以由其余两个表示。例2： 设 e1=(1,0,0), e1=(0,1,0), e1=(0,0,1), b=(b1,b2,b3),
向量组的线性相关性 （杨威 郭乔） ● 教学目的与要求 通过学习，使学生理解向量组的线性相关、线性无关概念，掌握判定向量组线性相关性 的方法。 ●教学重点与难点 教学重点：线性相关，线性无关的概念 教学难点：线性相关性的判定 ●教学方法与建议 先从简单的例子出发，使学生看到在解线性方程组的时候，有的方程是多余的，从向量 的角度来看，就是其中的一些向量是其余向量的线性组合。从而引出线性相关、线性无关的概念，并给出判别方法。 ● 教学过程设计 1. 问题的提出 方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧=-+=+-=-+0403202z y x z y x z y x 用向量的形式表示出来⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛000111132421z y x ， 不难看出，其中第3个方程是多余的，我们从向量的角度来讨论这个问题。 此方程组对应着三个向量T )4,2,1(1=α，,)1,3,2(2T -=αT )1,1,1(3--=α，所谓的第三个方程是多余方程反映到他们对应的向量上就是1137 3 71ααα- -=或073321=++ααα， 即3α可由1α和2α线性运算得到，此时称3α是21,αα的线性组合。 2. 线性相关和线性无关 定义4.1 对于向量,,,...,,21ααααm 如果有数m k k k ,...,,21使 m m k k k αααα+++= 2211，则称向量α是向量m ααα,...,,21的线性组合，或α可由 向量m ααα,...,,21线性表示。 定义4.2 设有n 维向量m ααα,...,,21，如果存在不全为零的数,,...,,21m k k k 使 02211=+++m m k k k ααα 则称此向量m ααα,...,,21线性相关的，否则称为线性无关。