2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合{0A =，1，2}，1
{1,}B x
=，若A
B B =，则实数x 的值为( )
A ．
12
B ．0
C ．1
D ．2
2．（5分）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步 1.5=米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( ) A ．135平方米
B ．270平方米
C ．540平方米
D ．1080平方米
3．（5分）已知tan 2α=，则sin cos αα的值是( ) A ．25
-
B ．
25 C ．85-
D ．85
4．（5分）已知m 是函数()22x f x x =-+的零点，则实数(m ∈ ) A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
5．（5分）已知角α的终边经过点13
(3,4tan )4
P π-，则sin α的值为( ) A ．35
-
B ．35
C ．45
-
D ．
45
6．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为( ) A ．60万元
B ．160万元
C ．200万元
D ．240万元
7．（5分）在平面直角坐标系中，AB 是单位圆上的一段弧（如图），点P 是圆弧AB 上的动点，角α以Ox 为始边，OP 为终边．以下结论正确的是( )
A ．tan cos sin ααα<<
B ．cos tan sin ααα<<
C ．sin cos tan ααα<<
D ．以上答案都不对
8．（5分）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -<时，2().f x x =若函数()()||g x f x a x =-有5个不同零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)3
B ．1
(3，1)
C ．1
[3，1]
D ．1
(2
，1)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分 9．（5分）下列命题中的真命题是( ) A ．x R ?∈，120x -> B ．*x N ?∈，2(1)0x ->
C ．x R ?∈，2lgx <
D ．x R ?∈，tan 2x =
10．（5分）已知函数()2sin(4)4f x x π=+，将()f x 的图象向右平移16
π个单位长度，再把得
到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列命题正确的是(
)
A ．()y g x =是偶函数
B ．函数()g x 的单调递减区间为3[,]()4
4
Z π
π
ππ++
∈
C ．直线()4
x Z π
π=+
∈是函数()g x 的图象的对称轴
D ．函数()g x 在5[0,
]8
π
上的最小值为11．（5分）设1a >，1b >，且()2ab a b -+=，那么( )
A ．a b +有最小值1)
B ．a b +有最小值21)
C ．ab 有最小值4+
D ．ab 有最大值4+12．（5分）函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”．下列对应法则f 满足函数定义的有( ) A ．(|2|)f x x -=
B ．2(sin )2cos 1f x x =-
C ．(sin )f x x =
D ．2(2)|1|f x x x +=+
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡指定位置上. 13．（5分）函数2()log (21)f x x =+的定义域为 ． 14．（5分）已知正数x ，y 满足1x y +=，则
11
x y
+的最小值是 ． 15．（5分）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730
002
(t
N N N -=?表示碳14
原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 .；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的
37至1
2
，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到 年之间．（参考数据：20.3lg ≈，70.84lg ≈，30.48)lg ≈
16．（5分）如图，直线l 是函数y x =的图象，曲线C 是函数12
log y x =图象，1P 为曲线C 上
纵坐标为1的点．过1P 作y 轴的平行线交l 于2Q ，过2Q 作y 轴的垂线交曲线C 于2P ；再过2P 作y 轴的平行线交l 于点3Q ，过3Q 作y 轴的垂线交曲线C 于3P ；?，设点1P ，2P ，3P ，?，n P 的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，?，.n x 若201812
log x a =，则2020x = （用a 表示）
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（13a a
=，求1a a -+的值；
（2）计算：255
24log 5log 48
lg lg ++?．
18．（12分）已知集合{|1216}x A x =，{|2}B x m x m =+． （1）若3m =，求A
B ；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求m 的取值范围．
19．（12分）已知函数()sin()(0,0)6f x A x A π
ωω=+>>只能满足下列三个条件中的两个：①
函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 的图象可由3sin()4y x π
=-的图象平移得到；③函数
()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为
2
π． （1）请写出满足()f x 的这两个条件序号，并说明理由； （2）求出()f x 的解析式；
（3）求方程()10f x +=在区间[π-，]π上所有解的和．
20．（12分）已知函数2()21x x a
f x +=+为奇函数．
（1）求a 的值；
（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）解关于m 的不等式2(2)(3)0f m f m +-．
21．（12分）随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后
的
直
角
转
弯
处
的
平
面
设
计
示
意
图．
（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD 的值．（精确到0.1)m （下列数据提供参考：sin200.3420?=，cos200.9397?=，tan 200.3640)?=
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD ，它的宽AD 为1.8米，直线CD 与直角车道的外壁相交于E 、F ．
①若小汽车卡在直角车道内（即点A 、B 分别在PE 、PF 上，
点O 在CD 上）()PAB rad θ∠=，求水平截面的长（即AB 的长，用θ表示）
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？ 备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．
结论1 sin cos )4
π
θθθ+=+；
结论2 若函数()f x 和函数()g x 都在区间I 上单调递增，则函数()()f x g x +在区间I 上单调递增．
22．（12分）已知函数2()2(0)g x ax ax b a =-+>在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．函数()
()g x f x x
=
． （1）求函数()g x 的解析式；
（2）若存在[x e ∈，2]e 使得不等式()0f lnx lnx -成立，求实数的取值范围； （3）若函数3()(|31|)2|31|
x x F x f =-+--有三个零点，求实数的范围．
2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合{0A =，1，2}，1
{1,}B x
=，若A
B B =，则实数x 的值为( )
A ．
12
B ．0
C ．1
D ．2
【解答】解：
A
B B =，B A ∴?，
{0A =，1，2}，1
{1,}B x
=
∴12x =，解得12
x =． 故选：A ．
2．（5分）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步 1.5=米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( ) A ．135平方米
B ．270平方米
C ．540平方米
D ．1080平方米
【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为 1124
45270222
S lr ==??=（平方米）
． 故选：B ．
3．（5分）已知tan 2α=，则sin cos αα的值是( ) A ．25
-
B ．
25 C ．85-
D ．85
【解答】解：tan 2α=，则222sin cos tan 2
sin cos sin cos tan 15
αααααααα===
++， 故选：B ．
4．（5分）已知m 是函数()22x f x =+的零点，则实数(m ∈ ) A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
【解答】解：由()220x f x =+=22x =，
结合幂函数及指数函数的性质可知，当x 无限增加时，指数函数爆炸式增加，当01x <<时，
()0f x >恒成立，没有零点，
因为f （1）10=>，f （2）220=-<，故在(1,2)上有零点， 结合图象可知，当2x >时，22x x +<即2y x =+恒在2x y =的下方． 故(1,2)m ∈． 故选：B ．
5．（5分）已知角α的终边经过点13
(3,4tan )4
P π-，则sin α的值为( ) A ．35
-
B ．35
C ．45
-
D ．
45
【解答】解：13tan
14
π
=， (3,4)P ∴-，
根据三角函数定义可知，22
4sin 5
(3)4α=
=
-+， 故选：D ．
6．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为( ) A ．60万元
B ．160万元
C ．200万元
D ．240万元
【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：6003600
6424240x x x x
?+??（万元）
． 当且仅当30x =时取等号． 故选：D ．
7．（5分）在平面直角坐标系中，AB 是单位圆上的一段弧（如图），点P 是圆弧AB 上的动