第三章：统计推断 第3章第7题 分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值：6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672； （2）用铂球测定观察值：6.661，6.661，6.667，6.667，6.664。 σ），u，2σ均为未知。试就1，2两种情况分别求u的置信度为设测定值总体为N（u，2 σ的置信度为0.9的置信区间。 0.9的置信区间，并求2 （1）金球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下： ①打开SAS软件②打开solution-analysis- analyst输入数据并保存 ③打开analyst，选择jingqiu文件，打开： ④Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量jq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：
⑤结果输出：金球u的置信度为0.9的置信区间为(6.67,6.68)。 （2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下： ①打开solution-analysis- analyst输入数据并保存②打开analyst，选择Bq文件，打开： ③Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量bq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%： ④结果输出：铂球u的置信度为0.9的置信区间为(6.66,6.67)。
第六章 方差分析与正交试验设计 在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。 要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。 §6.1 单因素方差分析 仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，在水平i A 下进行i n 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表： 并设在水平i A 下的数据i in i i x x x ,,21来自总体),(~2 i i N X ，),,2,1(r i 。 检验如下假设： r H 210:， r H ,,,:211 不全相等 检验统计量为 ),1(~) /() 1/(r n r F r n S r S F e A 其中2 1 2 11)()(x x n x x S i r i i r i n j i A i ，称为组间差平方和。 211 )(i r i n j ij e x x S i ，称为组内差平方和。
这里 r i i n n 1 ， i n j ij i i x n x 1 1 ， r i n j ij i x n x 111。 对于给定的显著性水平)05.001.0(或 ，如果),1(r n r F F ，则拒绝0H ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。 实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： b a x x ij ij 再进行计算，不会影响F 值的大小。 例1 试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？ 解：30,11,9,10,3321 n n n n r 16.6,27.7,22.7,4321 x x x x 43.70)()(21 2 11 x x n x x S i r i i r i n j i A i ， 74.137)(211 i r i n j ij e x x S i 49.5)27,2(90.601.0 F F ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。 §6.2 双因素方差分析 同时考察两个因素A 和B 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平： r A A A ,,,21 ，让B 取s 个水平：s B B B ,,,21 ，在各种水平配合),(j i B A 下进行试验， 称为双因素试验。 一、无交互作用的双因素方差分析 在每一种水平配合),(j i B A 下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表：
第六章正交试验设计 （I）教学内容与要求 （1）了解正交试验设计的优点，掌握正交表的表示符号、基本结构和特点，掌握正交试验设计的基本步骤。 （2）掌握单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的直观分析法； （3）理解单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的方差分析法。 （4）了解Ecxel在正交试验设计中应用。 （II）教学重点 正交试验的直观分析法。 （III）教学难点 正交试验的方差分析。 6.1 概述 6.1.1 正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。我国60年代开始使用，70年代得到推广。这一方法具有这样的特点：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。因此日益受到科学工作者的重视，在实践中获得了广泛的应用。 例6-1:某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表6-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻找最适宜的操作条件。 表6-1 因素水平表 对此实例该如何进行试验方案的设计呢？ 很容易想到的是第一方案：（全面搭配法方案） A2——… A3——…
此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33=27次。（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）想节省费用而又快出成果的人提出了第二方案：（简单比较法方案）。 先固定A和B，只改变C，观察因素C不同水平的影响。作了如下的三次实验： 发现C=C2的那次实验的效果最好，合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素C应取C2水平。 固定A和C，改变B的三次实验为： 发现B=B3的那次实验效果最好，因此认为因素B宜取B3水平。固定B和C，改变A 的三次实验为： 发现因素A宜取A2水平。因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为A2B3C2。与第一方案相比，第二方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，第二方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变C值（或B值，或A值）的三次实验中，说C2（或B3或A2）水平最好是有条件的。在A≠A1，B≠B1时，C2水平不是最好的可能性是有的。②在改变C的三次实验中，固定A=A2，B=B3应该说也是可以的，是随意的，故在第二方案中，数据点分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据，进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。 第三方案是用正交试验设计方法，用正交表来安排试验。 对于例6-1适用的正交表L9（34）及其试验安排见表6-2。所有的正交表与L9（34）正交表一样，都具有下面两个特点： 9 4 试验号 列号 1 2 3 4 因素温度／℃压力／（N/m2）加碱量／kg 符号 A B C 1 1(A1) 1(B1) 1(C1) 1 2 1(A1) 2(B2) 2(C2) 2 3 1(A1) 3(B3) 3(C3) 3 4 2(A2) 1(B1) 2(C2) 3 5 2(A1) 2(B2) 3(C3) 1 6 2(A2) 3(B3) 1(C1) 2 7 3(A3) 1(B1) 3(C3) 2 8 3(A3) 2(B2) 1(C1) 3 9 3(A3) 3(B3) 2(C2) 1
\ 第7章 正交试验设计的极差分析 正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。 单指标正交试验设计及其极差分析 极差分析法简称R 法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。 & 图7-1 R 法示意图 — 图中，K jm 为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和，K jm 为K jm 的平均值。由K jm 的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差： R j =max(jm j j K K K ,,,21 )-min(jm j j K K K ,,,21 )
R j反映了第j列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。R j越大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据R j的大小，就可以判断因素的主次。 极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例６-２来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。 一、确定因素的优水平和最优水平组合 例6-2 为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。 在例６-２中，不考虑因素间的交互作用（因例６-２是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表），表头设计如表６-５所示，试验方案则示于表６-６中。试验结果的极差分析过程，如表７-１所示. ( 表6-4 因素水平表 酶解温度 (C) ( C 表6-6 试验方案及结果
第四节混合水平的正交试验设计 为了使试验设计简化和数据处理的方便，前面所介绍的正交试验设计问题，其各因素都取相同的水平数，但在实际问题中，有些因素会受到某些条件的限制，其水平数不能选取太多，而有些因素则是准备在试验中着重考察的，为了更好的了解这些因素与试验指标之间的关系，需要多取几个水平。因此，在试验设计中常常要考虑所谓混合水平的正交试验设计问题。 一、直接套用混合水平正交表 下面通过例子说明： 例4．1 为了探索某胶压板的制造工艺，考虑的因素和水平如下表 根据所给因素和水平，此问题的试验方案可以直接套用混合水平正交表L8(41×24)来安排试验。试验的结果见表4 -1 1.极差分析法
表4-1 试验方案及计算结果表
当因素水平完全相同时，因素的主次关系完全由极差R 的大小来决定。当水平数不完全一样时，无法进行直接的比较，这是因为当因素对指标有同等影响时，水平多的因素极差应大一些。因此需要利用折算系数对极差进行折算。 折算系数表 折算后，则可借助于R ′的大小来衡量因素的主次顺序。 R ′的计算公式为： 由上计算可知因素主次顺序为： ????→A;C,B 主次 相应地胶压板的制造工艺条件为 A 1 B 2 C 1 ' '''(41) 2.70.45 3.40.90.71 2.61.10.71 3.1 A B C R R R R R =-=??==??==??=所以：
2.方差分析法 平方和的计算: 已知: n =8, s =4, r 1=4, r 2= r 3=2, m 1=2, m 2= m 3=4, T=Σy i =113 , C=T 2 /32=399.03 (1)2(1)2(1)2(1)2 1234122221(K )(K )(K )+(K )1(41)(24)(19)+(27)399.03243347399.0319.35 8A S C m s ??=++-????=++-???=-= (2)2(2)2 122221(K )(K )1(48)(63)399.03446273399.03 6.96816B S C m s ??=+-????=+-???=-=-
第六章 正交试验设计 课后作业参考答案 6.1某实验考察因素A 、B 、C 、D ，选用表4 9(3)L ，将因素A 、B 、C 、D 依次排在第1，2， 3，4列上，所得9个实验结果依次为： 45.5，33.0，32.5，36.5，32.0，14.5，40.5，33.0，28.0 试用极差分析方法指出较优工艺条件及因素影响的主次，并作因素-指标图。 解：下表中Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 表示对第j 列而言，把9个试验结果分为三组对应各列的“1”、“2”、“3”水平，然后将每组的3个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 三个数据的极差。
从表中和图中可以看出，Rb>Ra>Rd>Rc,最优工艺条件为:B1,A1,D1,C3 6.2 某四种因素二水平试验，除考察因素A,B,C,D 外，还需要考察C B B A ??,,今选用表 ()7 82L ,将A,B,C,D 依次排在第1、2、4、5列上，所得8个实验结果依次为： 12.8 28.2 26.1 35.3 30.5 4.3 33.3 4.0 试用极差分析法指出因素(包括交互作用)的主次顺序及较优工艺条件。 解：下表中Ij 、IIj 表示将第j 列，把8个试验结果分为两组对应各列的“1”、“2”水平，然后将每组的4个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ij 、IIj 三个数据的极差。
A?,由上表知，因素从主到次的顺序为：D, C, A, B,B 分别将A与B、B与C的各种搭配结果列出如下： A与B最好的搭配是A2B1,其次是A1B1,A2B2,最后是A1B2 B与C最好的搭配B2C1,其次是B1C1,B2C2,最后是B1C2
JMP试验设计 1.试验设计方法及其在国内的应用 (2) 2.试验设计(DOE)就在你身边试验设计(DOE)就在你身边 (7) 3.初识试验设计(DOE) (13) 4.多因子试验设计(DOE)的魅力 (18) 5.用DOE方法最优化质量因子配置 (26) 6.顾此不失彼的DOE (32) 7.试验设计(DOE)五部曲 (39) 8.稳健参数设计的新方法 (45) 9.JMP的试验设计优势——为什么用JMP做试验设计 (50)
试验设计方法及其在国内的应用 随着改革开放的深入，以市场经济为代表的西方先进文明及其方法论越来越多被国内企业界所接纳。在质量管理、产品（医药，化工产品，食品，高科技产品，国防等）研发、流程改进等领域，统计方法越来越多成为企业运营的标准配置。 试验设计作为质量管理领域相对复杂、高级的统计方法应用，也开始在国内被逐渐接受，推广。其实试验设计对于我国学术界来说并不陌生。比如均匀设计，均匀设计是中国统计学家方开泰教授(下图左)和中科院院士王元首创，是处理多因素多水平试验设计的卓有成效的试验技术，可用较少的试验次数，完成复杂的科研课题开发和研究。国内一些大学的数学系和统计系近年来已经逐渐开始开设专门的试验设计课程，比如清华大学，电子科技大学、复旦大学等高校。国内一些行业领先的企业，比如中石化，华为科技，中石油，宝钢等企业，也开始在质量管理和产品研发、工艺改进等领域采用DOE方法。尽管DOE越来越多的被国内产、学、研领域所接受，但是我们还是看到，国内对于DOE的研究和推广仍旧停留在比较浅的层次。以上述企业为例，中石化下属的石化科学研究院和上海石化研究院应该是我国石油化工研究领域的王牌单位了，不过不管是北京的石科院，还是上海石化研究院，在油品研发、工艺改进、质量管理等领域，对于DOE的使用还仅仅停留在部分因子和正交设计层面。笔者在网络
第7章 正交试验设计的极差分析 正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。 7.1 单指标正交试验设计及其极差分析 极差分析法简称R 法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。 图7-1 R 法示意图 图中，K jm 为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和， jm 为K jm 的平均 值。由K jm 的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差： R j =max( )-min( ) R j 反映了第j 列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。R j 越大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据 R 法 1.计算 2.判断 ○1K jm , ○2R j ○1因素主次 ○2优水平 ○3最优组合
R j的大小，就可以判断因素的主次。 极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例６-２来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。 一、确定因素的优水平和最优水平组合 例6-2 为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。 在例６-２中，不考虑因素间的交互作用（因例６-２是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表），表头设计如表６-５所示，试验方案则示于表６-６中。试验结果的极差分析过程，如表７-１所示. 表6-4 因素水平表 表6-6 试验方案及结果
第8章正交试验设计的方差分析 前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法(即直观分析法)对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著. 为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法. 8.1 正交试验方差分析的基本步骤 在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和(S T)分解为因素的偏差平方和(S A、S B)和误差的偏差平方和(S e)，然后将偏差平方和除以相对应的自由度(f)得到方差(V A、V B)，最后利用因素方差与误差方差之比(V A/V e，V B/V e)，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析. 一、计算 1.偏差平方和与自由度的计算
方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L 4(23)正交表上安排的试验为例来说明(见表8-1，板书).不考虑哪些因素安排在哪些列上(即表头设计时)，设试验结果为x 1、x ２、x 3和x 4. 总的偏差平方和: 4 )(2 4 1 221 212 _T x n T x x x S i i n i i n i i T - =- =-=∑∑∑=== T=∑=n i i x 1 =(x 21+x 22+x 23+x 24)-4 1 (x 4321x x x +++)2 整理后可得 43 = (24232221x x x x +++) 2 1 - (434232413121x x x x x x x x x x x x +++++) 第1列各水平偏差平方和为 S 1=22 _ 21_ 2 _11_ )(2)(x K x K -+- =2[221211)4 2()42( T K T K -+-] =2[T K T K T K T K 2111222122114 1 41164164--+++] =22 2121141)(21T K K -+ )(211141 K K x T i i +==∑= =24321243221)(41])()[(21x x x x x x x x +++-+++ =)(2 1)(414321423241312 42322 21x x x x x x x x x x x x x x x x --+++-+++ 表8-1 L 4(23)正交表及计算表
第三章:统计推断 第３章第7题 分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值:6。683,６.681，６.676，６。678，6.679,6．６72; （2）用铂球测定观察值:6．661,６。661,6.667，6。667，６。664． σ），ｕ，2σ均为未知。试就1,２两种情况分别求u的置信度为０。设测定值总体为N(u，2 σ的置信度为0.9的置信区间。 9的置信区间,并求2 (1)金球均值置信度为0．9的置信区间,SAS程序如下: ①打开ＳAＳ软件②打开solutioｎ—aｎaｌｙsｉs- analyst输入数据并保存 ③打开anａｌyｓt，选择jiｎgqiu文件,打开: ④Ｓtatｉstics -—Ｈypoｔhｅｓis Teｓｔs——One-Samplｅt-tｅst foｒa Meａn,将待分析变量jq送入Variaｂle中，在单击Ｔests，选中Inteｒval,设置confｉdｅnｃeｌeｖｅl 设置为90.0％:
⑤结果输出：金球u的置信度为０。9的置信区间为(6。67,6.68）。 （2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SＡS程序如下： ①打开ｓｏlution—analysis－analyst输入数据并保存②打开anａlyｓt，选择Bq文件,打开： ③Ｓtatｉstiｃs——HypothｅｓiｓTests ——One-Sample t-test for ａMeａn，将待分析变量ｂq送入Vａｒiabｌe中,在单击Tｅsts,选中Inteｒｖal，设置confidｅnce leｖel设置为9０.0%：
④结果输出:铂球u的置信度为0。9的置信区间为(6。６6,6。6７）. (3）金球方差置信度为０。9的置信区间，SAS程序如下： ①打开analyst,选择Bq文件,打开数据： ②Staｔiｓｔｉcs ——Ｈypothesｉs Tesｔs ——One－Ｓaｍple Teｓt for a Ｖariance，将待分析变量jq送入Variable中,并在Nulｌ:Vａr中设置一个大于０的数，再单击Interｖaｌｓ,选中Iｎterval，设置ｃonfidｅｎｃｅlevel设置为９０.0％： ③结果输出:金球σ2的置信度为０。9的置信区间为(676E—8,０。0００1）