2014 年几何难题专题训练四边形
一．选择题（共 7 小题）
1．如图，ABCD、CEFG 是正方形，E 在 CD 上且 BE 平分∠DBC，O 是 BD 中点，直线 BE、DG 交于 H．BD，AH 交于 M， 连接 OH，下列四个结论： ①BE⊥GD；②OH=1/2BG；③∠AHD=45°；④ GD=√ 2AM， 其中正确的结论个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．如图，E 是?ABCD 内一点，已知 DE⊥AD，∠CBE=∠CDE，∠BCE=45°， CE 的延长线交 AD 于 F，连接 BF，下列结论： ①BE⊥AB；②BE=CD；③四边形 BCDF 为等腰梯形； ④AF=√2CE，其中正确的是（ ）
A．只有③④ B．只有①②③
C． 只 有 ① ② ④
D． ① ② ③ ④
3．如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为边 AD、DC 上的点，且 AE=FC，
过 F 作 FH⊥BE，交 AB 于 G，过 H 作 HM⊥AB 于 M，
若 AB=6，AE=2，则下列结论中：①∠BGF=∠CFB；②
√2DH=EH+FH；③HM/BC=1/4，其中结论正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①③
C． 只 有 ② ③
D． ① ② ③
4．如图，在正五边形 ABCDE 中，对角线 AD，AC 与 EB 分别相交于点 M，N．有下列结论 ①四边形 EDCN 是菱形
②四边形 MNCD 是等腰梯形 ③△AEM 与△CBN 相似 ④△AEN 与△EDM 全等 其中正确的有（ ）个．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．如图，点 F 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点，E 为 BC 上一点，M 为
EF 上一点，且 D、M 关于 AF 对称，B、M 关于 AE 对称，
∠CFE 的平分线交 AE 的延长线于 G，交 BC 于 N，连
CG，下列结论：①△AFG 为等腰直角三角形；②CG=2
√2CN；③S△CEF=S△ABE，其中正确的有（
）
A． 只 有 ①
B． 只 有 ②
C． ① ②
D． ① ② ③
6．如图，如图正方形 ABCD 内一点 E，满足△CDE 为正三角形，直线 AE 交 BC 于 F 点，过 E 点的直线 GH⊥AF，交 AB 于 点 G，交 CD 于点 H．以下结论：①∠AFC=105°；② GH=2EF；③√2CE＝ EF+EH；④AE/EH=2/3 其中正确的有（ ）
A． ① ② ③
B． ① ③ ④
C． ① ④
D． ① ② ③ ④
7．如图，四边形 ABDM 中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以 AB 为 边作等边△ABC，BE 平分∠ABD 交 CD 于 E，连 ME；下列结论： ①∠BEC=60°；②MA+MD= √2ME；③若 BD=√6，则 EC= √3?1．
其中正确的结论（ ）
A． 只 有 ① ②
B． 只 有 ② ③
C． 只 有 ① ③
D． ① ② ③
二．填空题（共 4 小题）
8．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．点 P 从点 A 出 发沿 AC 以 1.5cm/s 的速度向点 C 匀速运动，到达点 C 后立刻以原来的速 度沿 CA 返回；点 Q 从点 B 出发沿 BA 以 1cm/s 的速度向点 A 匀速运动．伴 随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 PC-CB-BQ 于点 E．点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 A 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0），则当 t= _________ 秒时，四边形 BQDE 为直角梯形．
9．如图，直角梯形 OABC 的直角顶点是坐标原点，
边 OA，OC 分别在 X 轴，y 轴的正半轴上．OA ∥BC，D 是 BC 上一点，BD=1/4,OA=√2，AB=3， ∠OAB=45°，E，F 分别是线段 OA，AB 上的两 个动点，且始终保持∠DEF=45°，如果△AEF 是 等腰三角形时．将△AEF 沿 EF 对折得△A′EF 与五边形 OEFBC 重叠部分 的面积为 _________ ． 10．如图，在梯形 ABCD 中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，过点 B 作 BH⊥AD 于 H，BC=BH=2，动点 F 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DH 运动到 点 H 停止，在运动过程中，过点 F 作 EF⊥
AD 交折线 D→C→B 于点 E，将纸片沿直线 EF 折叠，点 C、D 的对应点 分别是点 C1、D1，设运动时间是 x 秒（x＞0）． （1）当点 E 和点 C 重合时，运动时间 x 的值为 _________ 秒； （2）当△BCD1 是等腰三角形时，此刻 x 为 _________ 秒． 11．如图，四边形 ABCD 为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC，翻折纸片 ABCD，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF．连接 CE、 CF、BD，AC、BD 的交点为点 O，AC、EF 的交 点为点 G．如果 CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结 论中，正确的序号是 _________ ． ①EF⊥AC； ②BD∥EF；③连接 FO，则 FO∥AB；④S 四边形AECF=AC?EF； ⑤EF=(25√2/7)．
三．解答题（共 19 小题）
12．在一个边长为 a（单位：cm）的正方形 ABCD 中，点 E、M 分别是 线段 AC，CD 上的动点，连结 DE 并延长交正方形的边于点 F，过点 M 作 MN⊥DF 于 H，交 AD 于 N． （1）如图 1，当点 M 与点 C 重合，求证：DF=MN； （2）如图 2，假设点 M 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动， 点 E 同时从点 A 出发，以√ 2cm/s 速度沿 AC 向点 C 运动，运动时间为 t （t＞0）； ①判断命题“当点 F 是边 AB 中点时，则点 M 是边 CD 的三等分点”的真假， 并说明理由． ②连结 FM、FN，△MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出 a，t 之间的
关系；若不能，请说明理由．
13．某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图 1，正方形 ABCD 中，AB=6，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点与 D 点 重合．三角板的一边交 AB 于点 P，另一边交 BC 的延长线于点 Q． （1）求证：DP=DQ； （2）如图 2，小明在图 1 的基础上作∠PDQ 的平分线 DE 交 BC 于点 E， 连接 PE，他发现 PE 和 QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以 证明； （3）如图 3，固定三角板直角顶点在 D 点不动，转动三角板，使三角板 的一边交 AB 的延长线于点 P，另一边交 BC 的延长线于点 Q，仍作∠PDQ 的平分线 DE 交 BC 延长线于点 E，连接 PE，若 AB：AP=3：4，请帮小 明算出△DEP 的面积．
14．如图 1，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F 是 AC 边上的一 个动点（点 F 与 A、C 不重合），以 CF 为一边在等腰直角三角形外作正 方形 CDEF，连接 BF、AD． （1）①猜想图 1 中线段 BF、AD 的数量关系及所在直线的位置关系，直 接写出结论； ②将图 1 中的正方形 CDEF，绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任 意角度 α，得到如图 2、图 3 的情形．图 2 中 BF 交 AC 于点 H，交 AD 于 点 O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2 证明你的判断． （2）将原题中的等腰直角三角形 ABC 改为直角三角形 ABC，∠ACB=90°， 正方形 CDEF 改为矩形 CDEF，如图 4，且 AC=4，BC=3，CD=4/3，CF=1， BF 交 AC 于点 H，交 AD 于点 O，连接 BD、AF，求 BD2+AF2 的值．
15．已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点 D 为直线 BC 上 一动点（点 D 不与点 B，C 重合）．以 AD 为边作正方形 ADEF，连接 CF （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时．求证：CF+CD=BC； （2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接 写出 CF，BC，CD 三条线段之间的关系； （3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A，F 分别在直 线 BC 的两侧，其他条件不变；
①请直接写出 CF，BC，CD 三条线段之间的关系； ②若正方形 ADEF 的边长为 2 √2，对角线 AE，DF 相交于点 O，连接 OC．求 OC 的长度．
16．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD
是“友好三角形”，并且
S =S ． △ACD
△BCD
应用：如图②，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 在 AD 上，点 F
在 BC 上，AE=BF，AF 与 BE 交于点 O．
（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；
（2）连接 OD，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形 CDOF 的
面积．
探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点 D 在线段 AB 上，连接 CD，△
ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿 CD 所在直线翻折，得到△
A′CD，若△A′CD 与△ABC 重合部分的
面积等于△ABC 面积的 1/4，请直接写
出△ABC 的面积．
17．在矩形 ABCD 中，点 P 是边 AD 上
的动点，连接 BP，线段 BP 的垂直平分线交边 BC 于点 Q，垂足为点 M， 联结 QP（如图）．已知 AD=13，AB=5， 设 AP=x，BQ=y． （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出 x 的取值范围； （2）当以 AP 长为半径的⊙P 和以 QC 长为半径的⊙Q 外切时，求 x 的值； （3）点 E 在边 CD 上，过点 E 作直线 QP 的垂线，垂足为 F，如果 EF=EC=4， 求 x 的值． 18．问题探究： （1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要 求其中一条直线必须过点 M）使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，并说 明理由． 问题解决： （3）如图 ③，在四边 形 ABCD 中，AB∥CD，AB+CD=BC，点 P 是 AD 的中点，如果 AB=a， CD=b，且 b＞a，那么在边 BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直线将四 边形 ABCD 的面积分成相等的两部分？如若存在，求出 BQ 的长；若不存 在，说明理由．
19．在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，过 E 作 EF⊥AC 于 F，G 为线
段 AE 的中点，连接 BF、FG、GB．设 AE/BC=k．
（1）证明：△BGF 是等腰三角形；
（2）当 k 为何
值时，△BGF 是等边三角形？
（3）我们知
道：在一个三角形中，等边所对的
角相等；反过
来，等角所对的边也相等．事实上，
在一个三角形
中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．
利用上述结论，探究：当△BGF 分别为锐角、直角、钝角三角形时，k 的
取值范围．
20．小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题情境：如图 1，四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 为 DC 边的中点，
连接
AE
并延长交
BC
的延长线于点
F，求证：S
=S （S 四边形 ABCD
△ABF
表示面积）
问题迁移：如图 2：在已知锐角∠AOB 内有一个定点 P．过点 P 任意作一 条直线 MN，分别交射线 OA、OB 于点 M、N．小明将直线 MN 绕着点 P 旋转的过程中发现，△MON 的面积存在最小值，请问当直线 MN 在什么 位置时，△MON 的面积最小，并说明理由．
实际应用：如图 3，若在道路 OA、OB 之间有一村庄 Q 发生疫情，防疫 部门计划以公路 OA、OB 和经过防疫站 P 的一条直线 MN 为隔离线，建 立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠ POB=30°，OP=4km，试求△MON 的面积．（结果精确到 0.1km2）（参 考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，√ 3≈1.73） 拓展延伸：如图 4，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A、B、C、 P 的坐标分别为（6，0）（6，3）（4.5，4.5）、（4、2），过点 p 的直 线 l 与四边形 OABC 一组对边相交，将四边形 OABC 分成两个四边形，求 其中以点 O 为顶点的四边形面积的最大值．
21．如图 1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 ABCD 的顶点 A 重 合，将此三角板绕点 A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的 两边 BC，DC 于点 E，F，连接 EF． （1）猜想 BE、EF、DF 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图 1 中，过点 A 作 AM⊥EF 于点 M，请直接写出 AM 和 AB 的数 量关系； （3）如图 2，将 Rt△ABC 沿斜边 AC 翻折得到 Rt△ADC，E，F 分别是 BC，CD 边上的点，∠EAF=1/2∠BAD，连接 EF，过点 A 作 AM⊥EF 于
点 M，试猜想 AM 与 AB 之间的数量关系．并证明你的猜想．
22．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对称中心为点 P，点 F 为 BC 边上一个动点，点 E 在 AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影 部分图形关于直线 AC 成轴对称，设它们的面积和为 S1． （1）求证：∠APE=∠CFP； （2）设四边形 CMPF 的面积为 S2，CF=x，y＝ S1/S2 ①求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范 围，并求出 y 的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时，求 y 的值． 23．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为 a（a＞2）的正方形 ABCD 各 边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠ DEP=45°时，求正方形 MNPQ 的面积． 小明发现，分别延长 QE，MF，NG，PH 交 FA，GB，HC，ED 的延长线 于点 R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE 是四个全等
的等腰直角三角形（如图 2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠）， 则这个新正方形的边长为 a； （2）求正方形 MNPQ 的面积． （3）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D，E， F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边△RPQ．若 S△RPQ=√3/3，则 AD 的 长为 2/3．
24．我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为 “准等腰梯形”．如图 1，四边形 ABCD 即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．
（1）在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直 线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰 三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；
（2）如图 2，在“准等腰梯形”ABCD 中∠B=∠C．E 为边 BC 上一点，若 AB∥DE，AE∥DC，求证：AE/DC=BE/EC； （3）在由不平行于 BC 的直线 AD 截△PBC 所得的四边形 ABCD 中，∠ BAD 与∠ADC 的平分线交于点 E．若 EB=EC，请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时（即图 3 所示情形），四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？ 若点 E 不在四边形 ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必 说明理由） 25．【观察发现】 如图 1，F，E 分别是正方形 ABCD 的边 CD、DA 上两个动点（不与 C、 D、A 重合），满足 DF=AE．直线 BE、AF 相交于点 G，猜想线段 BE 与 AF 的数量关系，以及直线 BE 与直线 AF 的位置关系．（只要求写出结论， 不必说出理由） 【类比探究】 如图 2，F，E 分别是正方形 ABCD 的边 CD、DA 延长线上的两个动点（不 与 D、A 重合），其他条件与【观察发现】中的条件相同，【观察发现】 中的结论是否还成立？请根据图 2 加以说明． 【深入探究】 若在上述的图 1 与图 2 中正方形 ABCD 的边长为 4，随着动点 F、E 的移动，线段 DG 的长也随之变化．在变化过程中，线段 DG 的长是否存 在最大值或最小值，若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说
明理由．（要求：分别就图 1、图 2 直接写出结论，再选择其中一个图形 说明理由）
26．如图 1，正方形 OABC 与正方形 ODEF 放置在直线 l 上，连结 AD、 CF，此时 AD=CF．AD⊥CF 成立．
（1）正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断 AD 与 CF 还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，使点 E 旋转至直线 l 上，如图 3， 求证：AD⊥CF． （3）在（2）小题的条件下，AD 与 OC 的交点为 G，当 AO=3，OD=√ 2 时，求线段 CG 的长． 27．在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，M 是 AD 边的中点，P 是 AB 边上 的一个动点（不与 A、B 重合），PM 的延长线交射线 CD 于 Q 点，MN ⊥PQ 交射线 BC 于 N 点．
（1）若点 N 在 BC 边上时，如图 1． ①求证：PN=QN； ②请问 PM/PN 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例 说明； （2）当△PBN 与△NCQ 的面积相等时，求 AP 的值．
28．已知正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，点 M、N 分别在 射线 AC、BD 上）点 M、N 与 A、B、C、D、O 各点均不重合）且 MN∥ AD，连接 DM、CN． （1）如图 1，当点 M、N 分别在线段 AO、DO 上时，探究：线段 DM 和 CN 之间的数量关系为 _________ ；（直接写出结论，不必证明） （2）如图 2，当点 M、N 分别在线段 OC、OB 上时，判断（1）中的结论 是否成立？若成立给出证明；若不成立说明理由； （3）如图 3，当点 M．N 分别在线段 OC、OB 的延长线上时，请在图 3 中画出符合题意的图形，并判断（1）中的结论是否成立，不必说明理由．
29．如图，四边形 ABCD、A1B1C1D1 是两个边长分别为 5 和 1 且中心重合 的正方形．其中，正方形 A1B1C1D1 可以绕中心 O 旋转，正方形 ABCD 静 止不动． （1）如图 1，当 D、D1、B1、B 四点共线时，四边形 DCC1D1 的面积为
_________ ； （2）如图 2，当 D、D1、A1 三点共线时，请直接写出 CD1/DD1 = _________ ； （3）在正方形 A1B1C1D1 绕中心 O 旋转的过程中，直线 CC1 与直线 DD1 的 位置关系是 _________ ，请借助图 3 证明你的猜想．
30．已知，AC 是正方形 ABCD 的对角线，一个直角三角尺按如图所示方 式放置，该三角尺的直角顶点 E 始终在 AC 上，一条直角边与 AD 相交于 点 F，另一条直角边与 CD 交于点 G． （1）如图 1，当点 E 是 AC 的中点时，猜想 EF 与 EG 的数量关系并说明 理由． （2）①如图 2，把（1）中的三角尺沿 CA 方向平移，当点 E 是 AC 的三 等分点时，猜想 EF 与 EG 的数量关系并说明理由． ②图 2 中的正方形改为矩形，如图 3，其他条件不变．①中的结论还成立 吗？如果成立，请证明．如 果不成立，请直接写出当∠ ACD=30°时，EF 与 EG 的数 量关系．
几何练习题精选 题型一、相似三角形的判定与性质 1、 如图1、在ABC ?中， 90=∠BAC ，BC 边的垂直平分线EM 与AB 及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ， 求证：EM DM AM ?=2 2、 如图2，已知梯形ABCD 为圆内接四边形，AD//BC ，过C 作该圆的切线，交AD 的延长线于E ，求证：ABC ?相似于EDC ? 3、 如图3，D B ∠=∠，AE ⊥BC ， 90=∠ACD ，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE 的长。
4、 如图4，O Θ和O 'Θ相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点， 连接DB 并延长交O Θ于点E ，证明：（1）AB AD BD AC ?=?；（2）AC=AE 题型二、截割定理与射影定理的应用 1、 如图5，已知E 是正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN//AE 于 N ，求证：MN=MB 2、 如图6，在ABC Rt ?中， 90=∠BAC ，AD 是斜边BC 上的高，若AB ：AC=2：1， 求AD ：BC 的值。
3、 如图7，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上异于A 、B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已 知AD=2，CB=34，求CD 的长。 4、 如图8，在ABC ?中，DE//BC ，EF//CD ，若BC=3，DE=2，DF=1，求AB 的长。 题型三、圆内接四边形的判定与性质 1、 如图9、AB ，CD 都是圆的弦，且AB//CD ，F 为圆上一点，延长FD ，AB 相交于点E ， 求证：BD=AC ；（2）DE AF AC AE ?=?
特殊四边形动点问题专题训练及答案解析 （一）已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形， （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？ 证明：（1）因为四边形BCED是平行四边形， 所以BD=CE且BD∥CE， 又因为D是△ABC的边AB的中点， 所以AD=BD，即DA=CE， 又因为CE∥BD， 所以四边形ADCE是平行四边形． （2）当△ABC为等腰三角形且AC=BC时，四边形ADCE是矩形 理由：∵AC=BC，D是△ABC的边AB的中点 ∴CD⊥AD，即∠ADC=90°， 由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是矩形． （二）如图，已知E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE． （2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
（三）如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交 ∠ACB的内、外角平分线于点E、F。 （1）求证：OE=OF （2）若CE=12，CF=5，求OC的长 （3）当点O在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论 （4）在（3）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并说明你的理由。 （1）证明：∵CE平分∠ACB ∴∠ACE＝∠BCE ∵MN∥BC ∴∠OEC＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠OEC， ∴OE＝OC， 同理：OF＝OC ∴OE＝OF （2）∵CE平分∠ACB ∴∠ACE＝∠ACB/2 ∵CF平分∠ACD ∴∠ACF＝∠ACD/2 ∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝900 在Rt△ECF中，EF2= CE2+ CF2= 122+ 52=169 ∴EF=13 由（1）可知OE＝OF ∴OC=EF/2=13/2 (3)、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形 证明： ∵O是AC的中点 ∴AO＝CO ∵OE＝OF ∴四边形AECF是平行四边形 由（2）可知∠ECF＝900 ∴四边形AECF是矩形 3、△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形 证明： ∵∠ACB＝900，MN∥BC ∴∠AOM＝∠ACB＝900，
中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形
立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．
不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .
R P D C B A E F F E A D B C M N C A D B F B C D E P F E A B C 平行四边形专题练习 一、选择： 1、如图,D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点,AH 是高,如果5ED cm =,那么HF 的长( ) (A )5cm (B )6cm (C )4cm (D )不能确定 第1题图 第2题图 第3题图 2 、如图,任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H,若对角线AC 、BD 的长都为20cm,则四边形 EFGH 的周长是 ( )? A.80cm B.40cm C.20cm D.10cm 3、如图,已知四边形ABCD 中,R 、P 分别是BC 、CD 上的点,E 、F 分别是AP 、RP 的中点,当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时,那么下列结论成立的是( ) A.线段EF 的长逐渐增大 B.线段EF 的长逐渐减小 C.线段EF 的长不变 D.线段EF 的长与点P 的位置有关 二、解答题： 1、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 分别为BD 、AC 的中点。 求证：()12 EF BC AD =- 2、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，M 、N 分别为AB 、DC 的中点，DE ⊥BC ，垂足为点E 。求证：MN=BE 。 3、正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 为BD 上任一点，若AB=4。 求（1）PA+PE 的最小值；（2）PA －PF 的最大值。
A B B 4、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD ，若AC=2cm ，求ABCD S 梯形 5、菱形ABCD 中，∠DAB=50°，DE 是高交AC 于点P ，求∠CPB 的度数。 6、四边形ABCD 中，∠ADB=∠ACB=90°，O 、E 分别为AB 、CD 的中点。 求证：OE ⊥CD 。 7、如图，BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，E 为AC 的中点。 （1）求证：DE ∥BC ； （2）求证：DE= 1 ()2 BC AB 8、△ABC 中，∠B=2∠C ，E 为BC 的中点，AD ⊥BC 。 求证：DE= 12 AB
初中几何综合测试题 一.填空题 1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为_______. 2.△ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是 10，则△A′B′C′的面积是_________. 4.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面 积为8cm，则△AOB的面积为________. 5.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为 . 6.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为________. 7.如图，分别延长四边形ABCD两组对边交于E、F，若DF=2DA， 8.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°， 那么AD等于_________. 二．选择题 1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角是 [ ] A.30° B.45° C.60° D.75° 2.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 3.如图，DF∥EG∥BC,AD=DE=EB,△ABC被分成三部分的 面积之比为 [ ]
A.1∶2∶3 B.1∶1∶1 C.1∶4∶9 D.1∶3∶5 4.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°, 则∠BCF的度数是 [ ] A.160° B.150° C.70° D.50° 5.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和 BC相交于E，图中全等三角形共有 [ ] A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 6.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.线段 三.解答题
特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC
！ 平行四边形专项练习题 一．选择题（共12小题） 1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组对角相等 C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 （ 2．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180° 3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两 张等腰直角三角形纸片的面积都为S 1，另两张直角三角形纸片的面积都为S 2 ，中间一张 正方形纸片的面积为S 3 ，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（） A．4S 1 B．4S 2 C．4S 2 +S 3 D．3S 1 +4S 3 4．在?ABCD中，AB=3，BC=4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（） ①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD． A．①②③B．①②④C．②③④ D．①③④ ！ 5．如图，在?ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（） A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图，在?ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（） ？ A． B．4 C．2 D． 8．如图，在?ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（） A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 9．如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（） A．66° B．104° C．114°D．124°10．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（） )
学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。 六年级几何专题复习 如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接 而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)
平行四边形专项练习题 一．选择题( 共12小题) 1．在下列条件中, 能够判定一个四边形是平行四边形的是( ) A．一组对边平行, 另一组对边相等 B．一组对边相等, 一组对角相等 C．一组对边平行, 一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等, 一条对角线平分另一条对角线 2．设四边形的内角和等于a, 五边形的外角和等于b, 则a与b的关系是( ) A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形, 相邻纸片之间互不重叠也无缝隙, 其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1, 另两张直角三角形纸片的面积都为S2, 中间一张正方形纸片的面积为S3, 则这个平行四边形的面积一定能够表示为( ) A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3 4．在?ABCD中, AB=3, BC=4, 当?ABCD的面积最大时, 下列结论正确的有( ) ①AC=5; ②∠A+∠C=180°; ③AC⊥BD; ④AC=BD． A．①②③B．①②④C．②③④ D．①③④ 5．如图, 在?ABCD中, AB=6, BC=8, ∠C的平分线交AD于E, 交BA的延
长线于F, 则AE+AF的值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图, 在?ABCD中, BF平分∠ABC, 交AD于点F, CE平分∠BCD, 交AD于点E, AB=6, EF=2, 则BC长为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图, 在?ABCD中, AB=12, AD=8, ∠ABC的平分线交CD于点F, 交AD 的延长线于点E, CG⊥BE, 垂足为G, 若EF=2, 则线段CG的长为( ) A． B．4 C．2 D． 8．如图, 在?ABCD中, AB＞AD, 按以下步骤作图: 以点A为圆心, 小于AD的长为半径画弧, 分别交AB、 AD于点E、 F; 再分别以点E、 F为圆心, 大于EF的长为半径画弧, 两弧交于点G; 作射线AG交CD于点H, 则下列结论中不能由条件推理得出的是( ) A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH
专题八圆
8．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角n ，边数n；公式举例： (1) n = n 360 ；
（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. (2) n 1802n ? = α 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角 三 公式： 1.有关的计算： （1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L= 180 R n π；（3）圆的面积S=πR 2 . （4）扇形面积S 扇形 =LR 2 1 360R n 2=π； （5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 圆柱侧（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21 =πrR. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形.2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.
A B C 第5 A B C 第6 O E 4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径） 直线与圆相交 d ＜r ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 d ＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ） 两圆外离 d ＞R+r ； 两圆外切 d=R+r ； 两圆相交 R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 d=R-r ； 两圆内含 d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 圆中考专题练习 一：选择题。 1. （2010红河自治州）如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的 度数为（ ） ° ° ° ° 2、（11哈尔滨）．如上图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）． （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 3、（2011陕西省）9.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 4、（2011），安徽芜湖）如图所示，在圆O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ） A ．19 B ．16 C ．18 D ．20 5、（11·浙江湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝3， BC ＝5，若把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周，则所 得圆锥的侧面积等于 （ ）
特殊四边形综合题 1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设y=S ，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出 △OPB y的最大值． 2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE 上一定点（其中EP＜PD） （1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G． ①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA 于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b． （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值； （3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由． 4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：=； （2）求证：AF⊥FM； （3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．
(902)截一个几何体专项练习30题(有答 案)o k
截一个几何体专项练习30题（有答案）1．用平面去截正方体，在所得的截面中，边数最少的截面是（）A ． 六边形B ． 五边形C ． 四边形D ． 三角形 2．如图所示，用一个平面去截一个圆柱，则截得的形状应为（） A ． B ． C ． D ． 3．如下图，一正方体截去一角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别为（） A ． 6，14 B ． 7，14 C ． 7，15 D ． 6，15 A ． 圆柱B ． 圆锥C ． 长方体D ． 正方体 A ． 8 B ． 6 C ． 7 D ． 10 6．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是（） A ． B ． C ． D ． 7．给出以下四个几何体，其中能截出长方形的几何体共有（） A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 8．请指出图中几何体截面的形状（）
A ． B ． C ． D ． 9．如图是一个长方形截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方形的八个角，那么新的几何体的棱有（） A ． 26条B ． 30条C ． 36条D ． 42条 A．用一个平面去截一个圆锥，可以是椭圆 B．棱柱的所有侧棱长都相等 C．用一个平面去截一个圆柱体，截面可以是梯形 D．用一个平面去截一个长方体截面不能是正方形 A．长方体的截面一定是长方形B．正方体的截面一定是正方形 C．圆锥的截面一定是三角形D．球体的截面一定是圆 A．圆柱的截面可能是三角形B．球的截面有可能不是圆 C．圆锥的截面可能是圆D．长方体的截面不可能是六边形 13．如图所示，几何体截面的形状是（） A ． B ． C ． D ． A ． 七边形B ． 六边形C ． 五边形D ． 四边形
图1 A B C D 初二数学平行四边形专题练习 1．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方 形的边长为______cm． 2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 3.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD是菱形． 4．在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17， AB＝6，那么对角线AC＋BD＝ 5．以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数 为 . 6．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD ＝2那么AP的长为． 7．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形 ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是． 二、选择题（每题3分，共30分） 8．如图2在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结 EF，则∠E＋∠F＝( ) A．110° B．30° C．50°D．70° 图2 图3 图4 9．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A．对角相等B．四边相等 C．对角线互相平分D．四角相等 10．如图3所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的 中点．若OE=3 cm，则AB的长为 ( ) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 11．已知：如图4，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边 AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A．8 B．6 C．4 D．3 12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形 （不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 E A F D C B H G
C A B C D E P 图 ⑴八年级上册几何题专题训练100题 1、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900 ，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。 C B 2、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900 ，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。 3、 已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。 4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ．
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。 6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE 7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。 8. 如图，已知△EAB≌△DCE，AB，EC分别是两个三角形的最长边，∠A＝∠C＝35°，∠CDE＝100°，∠DEB＝10°，求∠AEC的度数． A B C O M N
截一个几何体专项练习30题（有答案） 1．用平面去截正方体，在所得的截面中，边数最少的截面是（） A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形 2．如图所示，用一个平面去截一个圆柱，则截得的形状应为（） A．B．C．D． 3．如下图，一正方体截去一角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别为（） A．6，14 B．7，14 C．7，15 D．6，15 4．用平面去截一个几何体，如截面为长方形，则几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．长方体D．正方体 5．一块豆腐切三刀，最多能切成块数（形状，大小不限）是（） A．8B．6C．7D．10 6．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是（） A．B．C．D． 7．给出以下四个几何体，其中能截出长方形的几何体共有（） ①球；②圆锥；③圆柱；④正方体． A．4个B．3个C．2个D．1个
8．请指出图中几何体截面的形状（） A．B．C．D． 9．如图是一个长方形截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方形的八个角，那么新的几何体的棱有（） A．26条B．30条C．36条D．42条 10．下列说法中，正确的是（） A．用一个平面去截一个圆锥，可以是椭圆 B．棱柱的所有侧棱长都相等 C．用一个平面去截一个圆柱体，截面可以是梯形 D．用一个平面去截一个长方体截面不能是正方形 11．下列说法上正确的是（） A．长方体的截面一定是长方形B．正方体的截面一定是正方形 C．圆锥的截面一定是三角形D．球体的截面一定是圆 12．下列说法中正确的是（） A．圆柱的截面可能是三角形B．球的截面有可能不是圆 C．圆锥的截面可能是圆D．长方体的截面不可能是六边形 13．如图所示，几何体截面的形状是（） A．B．C．D．
B A D C E O B A D C 平行四边形专题训练 一、选择题： 1.在平行四边形ABCD 中,∠A ：∠B=7：2,则∠C 等于( ) A.40° B.80° C.120° D.140° 2.若从等腰三角形底边上的任意一点作两腰的平行线, 则所成的平行四边形的周长等 于这个等腰三角形的( ) 3.如图所示,四边形ABCD 是CEFG 均为平行四边形,则下列错误的等式是( ) A.∠1+∠8=180° B.∠4+∠6=180°; C.∠2+∠8=180° D.∠1+∠5=180° 8 76 5 132 4 G B A D F C E O B A D F C E G H B A M D F C E (第3题) (第4题) (第7题) 4.如图所示,在ABCD 中,EF 过对角线AC,BD 的交点O,若AB=4,AD=3,OF=1.3,那么,四 边形BCEF 的周长为( ) A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 5.以不共线三点A,B,C 为顶点的平行四边形共有( ) A.1 B.2 C.3 D.无数个 6.平行四边形的一条对角线和一边垂直,且邻边之比是1：2, 那么平行四边形相邻内角 之比是( ) A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4 7.如图所示,在ABCD 中,EF ∥BC,GH ∥AB,EF,GH 的交点M 在对角线BD 上,则图中面积相等的两个平行四边形是( ) A. GMFD 和GMEA; B.AEMG 和FMHC; C.AEMG 和EBHM; D.GMFD 和FMHC 8.如图所示,在ABCD 中,E 是BC 边上的三分之一点,则ABE S ：ABCD S 的值为( ) A. 12 B.14 C.16 D.18 二、填空题： 1.若平行四边形的周长为16厘米,且两邻边长度相等, 若高为2厘米,则这个四边形最大内角的度数是_________. 2.如图5所示,平行四边形ABCD 的周长为60厘米,对角线相交于点O,△BOC 的周长比△ AOB 的周长小8厘米,则AB,BC 的长分别为______厘米. 三、创新题：
八年级上册几何题专题训练50题 1. 如图，已知△EAB ≌△DCE ，AB ，EC 分别是两个三角形的最长边，∠A ＝∠C ＝35°，∠CDE ＝100°，∠DEB ＝10°，求∠AEC 的度数． 2. 如图,点E 、A 、B 、F 在同一条直线上,AD 与BC 交于点O, 已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证： ∠C=∠D 3.如图，OP 平分∠AOB ，且OA=OB ． （1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）； （2）从（1）中任选一个结论进行证明． 4. 已知：如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 的延长线交BC 于点E ，求证：BE ＝EC 。 5. 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=28°，求∠B 和∠C 的度数。 7. 写出下列命题的逆命题， 并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；?如果是假命题，请举反例说明． 命题：有两边上的高相等的三角形是等腰三角形． 8. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90o ， D 是AC 上的一点，且AD=BC ，DE AC 于D ， ∠EAB=90o ．求证：AB=AE ． 9. 如图，等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，B ，P ，Q 三点在一条直线上，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形试证明你的结论． 10. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=13，AC=5，则△ACD 的周长为多少 11. 如图所示，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E ，F ，求证：CE ＝DF. 12. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，垂足为E ，AD ⊥CE ，垂足为D. (1)判断直线BE 与AD 的位置关系是____；BE 与AD 之间的距离是线段____的长； (2)若AD ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，求BE 与AD 之间的距离及AB 的长． 13. 如图，已知 △ABC 、△ADE 均为等边三角形，点D 是BC 延长线上一点，连结CE ， 求证：BD=CE 14. 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC 交BC ?于点D ，求证：?BC =3AD . 15. 如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，M 为BD 中点，N 为AC 中点，求证：MN ⊥AC ． 16、已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF=A C ；？ （2）求证：DG=DF ． 6. 如图，B 、D 、C 、E 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE 。 B A E D C
特殊平行四边形专题练习 一、基础知识点复习： （一）矩形： 1、矩形的定义：__________________________的平行四边形叫矩形． 2、矩形的性质：①．矩形的四个角都是______；矩形的对角线_________________________ ②.矩形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴. 3、矩形的判定：①．有_____个是直角的四边形是矩形．②．对角线____________________________的平行四边形是矩形．③．对角线________________________________的四边形是矩形． 4、练习：①矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形对角线AC长为______cm． ②．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD ③．四边形ABCD中，AD//BC，则四边形ABCD是 ___________，又对角线AC，BD交于点O，若∠DAB=∠ABC，则四边形ABCD是_______________．（二）菱形： 1、菱形的定义：有一组_____________________相等的平行四边形叫菱形． 2、菱形的性质：①．菱形的四条边______；菱形的对角线_____________，且每条对角线______________．②.菱形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴. 3、菱形的判定：①．_____边都相等的四边形菱形．②．对角线______的平行四边形是菱形．③．对角线___________ 的四边形是菱形． 4、菱形的面积与两对角线的关系是________________________ 5、练习：①．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，若∠ABD=65°，则∠A=_____．②．一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的周长等于cm,面积= cm2③．若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为 (三)正方形: 1、正方形的定义：的平行四边形叫正方形。 2、正方形的性质：①．正方形的四个角是_____角，四条边_____，对角线_______________________．②．正方形是______对称图形，又是对称图形,它有______条对称轴． 3．正方形的判定：先判定这个四边形是矩形，?再判定这个矩形还是_____形；或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是_____形． 4．练习：①正方形的面积为4，则它的边长为____，对角线长为_____． ②已知正方形的对角线长是4，则它的边长是，面积是。 ③如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中 点，连接DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需增加条件：_______．