2015届本科毕业论文
题目：二次型化为标准型方法
所在学院：数学科学学院
专业班级：数学与应用数学11-2班
学生姓名：赵江南
指导教师：艾合买提
答辩日期：2015年5月5日
目录
1 引言.............................................. 错误!未定义书签。
2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。
3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。
正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。
. 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。
. 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。
. 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。
. 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。
4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。
二次型化为标准形的几种方法
摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。
关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法
Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard
Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.
Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method
1引言
二次型是代数学中的一个重要问题，它在数学中占有重要地位，在实际生活中也有着广泛的应用。其中二次型的一个很重要的问题就是将二次型化为标准型问题。针对这一问题，本文将逐一列举五种化二次型为标准型的方法，分别是：正交变换法、配方法、初等变换法、雅克比方法、偏导数法。并且将具体给出每种方法的特点及适用范围，并给出例题。
2关于二次型定义
定义2.1.1 设V 是数域K 上的向量空间，如果V 中任意一对有序向量),(βα都按照某一法则f 对应于K 内唯一确定的一个数，记作),(βαf ，且
(i)对任意1k ，2k ∈K ，1α，2α，β∈V ，有
f ),(2211βααk k +=1k ),(1βαf +2k ),(2βαf ； (ii)对任意1l ，2l ∈K ，α，1β，2β∈V ，有 f ),(2211ββαl l +=1l f ),(1βα+2l f ),(2βα； 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.
定义 2.1.2 设V 是数域K 上的向量空间，),(βαf 是V 上的一个双线性函数.如果V 中任意一对有序向量),(βα有),(βαf =),(αβf ，则称),(βαf 是V 上的一个对称双线性函数.
定义2.1.3 设V 是数域K 上的线性空间，),(βαf 是V 上双线性函数，当αβ=时，
V 上函数),()(αααf Q f =称为),(βαf 对应的二次型函数.
给定V 上一组基{}12,,...,n ξξξ，设),(βαf 的度量矩阵为n n ij a A ?=)(，对V 中任一向量1n
i i i x αε==∑有j i n
j ij
n
i x x a
f ∑∑
===1
1
),(αα. (1)
这式中i j x x 的系数ij ji αα+.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为
n n ij a A ?=)(，及n n ij a B ?=)(,只有ij ji ij ji b b αα+=+，(),1,2...i j n =.
所以其所对的二次齐次函数是相同的，得到很多双线性函数可以对应于相同二次齐次函数，现要求A 为对称矩阵，就相当于使双线性函数对称，则一个对称双线性函数只与一个二次齐次函数对应.从(1)我们可以得到：一个二次齐次函数的坐标表达式其实和二次型等价，又因为它与对称矩阵相对应，所以这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵.
),()(αααf Q f ==AX X '=∑
=n
i 1
j i n
j ij
x x a
∑=1
)(ji ij a a =.
定义 2.1.4 设K 是一个数域，n K a ij ,∈个文字n x x x ，，， 21的二次齐次多项式+++++= n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(
n n x x a x x a x a 2232232
2
22222++++
++
2
n nn x a + =
j i n
j ij
n
i x x a
∑∑
==1
1
),,2,1,,(n j i a a ji ij ==.
称为数域K 上的n 元二次型，简称二次型.当ij a 实数时，称f 为实二次型.当ij a 复数时，称f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即
),,,(21n x x x f =2
222211n n x d x d x d +++ .
称f 为标准型.
总之，数域K 上的二次型f 就是V 内一个二次型函数)(αf Q 在基
{}12,,...,n ξξξ下的解析表达式.即V 内取定一组基之后，就使V 内全体二次型函数
)(αf Q 所成集合和数域K 上n 元二次型f 所成的集合之间建立起一一对应关系.
由于数域K 上二次型f 与二次型函数)(αf Q 一一对应，因此关于对称双线性函数所得到的结果可以直接用到二次型f 上来.A 的主对角线上的元素依次为二次型的平方项的系数，而A 的第i 行第j 列元素ij a )(j i <是交叉项j i x x 的系数的一半，再取
ij a =ji a )(j i <即得到对称矩阵A .于是这个二次型就可以用矩阵形式表示为
),,,(21n x x x f =AX X '.
例1 写出二次型222
12312
3121323(,,)242684f x x x x x x x x x x x x =-++-+所对应的矩阵 解 234342422A -??
?
=- ? ?-??
定义2.3.1 对称矩阵A 分别施行以下三种变换，统称为矩阵的初等保号变换： (i) 交换A 的某两行（列）；
(ii) 用一个正数0k ≠乘A 的某一行（列）；
(iii) 用一个正数0k ≠乘A 的某一行（列）加到另一行（列）；
易见矩阵的初等保号变换不改变二次型的正定性，负定性，半正定型，半负定性. 引理1 非退化线性替换不改变实二次型的负定，正定，半正定，半负定，不定. 证明 设),,,(21n x x x g =AX X '是负定二次型，并且CY X = (0≠C ) 是非退化
线性替换.
),,,(21n x x x g =AX X '，BY Y y y y f n '=),,(21 )(AC C B '=，
并且对任意n
n R k k k ∈≠????????????021 ，?????
?
??????=????????????n n k k k C c c c 2121，
结果0),,,(),,(2121<=n n c c c g k k k f ，即),,(21n y y y f 是负定二次型. 反之设),,(21n y y y f 是负定：
AX X x x x g X C Y BY Y y y y f n n '=='=-),,(),,,(21121 其中01
1≠=
-C
C 于是得到),,,(21n x x x g X AX '=是负定的，也就是非退化线性替换不会改变正定二次型的负定性. 同理，非退化线行替换不改变正定二次型的半负定、半正定性、和不定性。
例2 判断正定二次型22
121122(,)2f x x x x x x =++、在非退化线性替换能否改变二
次型的正定性
解：()2
2
2
1
2
1
12
2
1
2
(,)2f x x x x x x x x =++=+故作非退化线性替换{
11222
y x x y x =+=，
便得22
21122
12x x x x y ++= 因此上面例子可以看出二次型在非退化线性替换下还是正定二次型. 从此推出：
实二次型),,,(21n x x x f 的“负定性，正定性，半负定性，半正定性以及不定性”是非退化线性变换下的一个不变性质.
3二次型化为标准型的方法
正交变换法
根据二次型的性质，则必可以通过一个适当变换将二次型化为只含有平方项的形式
定理1
任意一个实二次型∑∑==n i n
j j i ij x x a 11
， ji ij a a =都可以经过正交的线性替换变
成平方和22
22211n n y y y λλλ+???++其中平方上的系数n λλλ,,,21???就是矩阵A 的本征多项式的全部的根。下面讨论通过正交变换法化二次型为标准型的步骤。
○
1将实二次型表示成矩阵形式AX X f T =并写出矩阵A 。 ○
2求出矩阵A 的所有本征值n λλλ,,,21???，可能会出现多重本征值，分别记它们
的重数为()n k k k k k k n n =+???++???2121,,,
○
3对于每个本征值所对应的本征向量n ξξξ,,,21???，通过方程()01=-X A E λ，能求出和1λ对应的1k 个线性无关的本征向量。同理，对其他的本征值n λλ,,2???也是采用此方法求出与之对应的本征向量。因为n k k k n =+???++21，所以一共能出n 个本征向量。
○
4将所求出的n 个本征向量n ξξξ,,,21???先后施行正交化，单位化得到n ηηη,,,21???，记为()T n C ηηη,,,21???=
○
5作正交变换CY X =,则得二次型f 的标准形2222211n n y y y f λλλ+???++= 例1用上面所述的方法化下面的二次型
()32212
32
22
13214432,,x x x x x x x x x x f --++=为标准形。
解：（1）首先写出原二次型的矩阵
????
?
??=32-02-22-02-1A
A 的特征多项式
()()()15-2-3-2022-2021
+=???
?
? ??+=-λλλλλλλA E
从而得A 的特征值为21=λ,52=λ,13-=λ
（2）求特征向量，将21=λ带入()0=-X A E λ中，得到方程
???
??=-=+=+0
20220
2332
3121x x x x x x 解此方程可得出基础解系()T
2,1,2-1=α，同样地，分别把52=λ，13-=λ
带入()0=-X A E λ中，解方程能够得出与52=λ，13-=λ对应的基础
解系依次为()T 2,2-12，
=α， ()T
1,2,23=α （3）将所求出的特征向量正交化，方法如下： 令
()T 2,1,2-11==βα
()
()
()T 2,2-,1,,1111222=-
=ββββααβ
()()()
()
()1,2,2,,,,222231111333=--
=ββββαββββααβ
（4）将已正交的向量组单位化，如下： 令
i
i
i ββη=
()3,2,1=i 于是能够得到
T
??
?
??=323132-1，，η， ??? ??=3232-312，，
η， ??? ??=3132323，，η 所以
???????
?
??=31323
2323
2-31323132-C 于是所求正交变换为
??
????? ????????? ??-------=?
?????
? ??43214321111111111111111121y y y y x x x x 原二次型化为
2
423222172y y y y f +-+-=
. 配方法
配方法实质是将二次型中不是平方项的各项通过配平方式全部配成平方项，然后再通过非退化线性替换，将二次型化为标准型，这种方法在化二次型为标准型的题目中是一种常见方法。
定理2数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和
22
22211...x d x d x d n +++的形式。下面讨论用配方法化二次型为标准型的方法。
使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形：
○
1当此二次型中含有i x 平方项时，先将非平方项找出来，然后配方，剩余项再
次配方，一直到所以项均为平方项，最后利用非退化线性替换将二次型化为标准型。
○2如果所给二次型中不含有i x 平方项，但是()j i a ij ≠≠0,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换
()j i k n k y
x y y x y y x k k
j
i j j i i ,,...,2,1,.......≠=?????
?
?=+=-=且 代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述○1中的方法进行配方。
例2 用上述所给出的方法化二次型()3
22
2212
1321422,,x x x x x x x x x f +++=为标准形，写出所用的变换矩阵。
解：因为此二次型中含有平方项，因此用第一种办法。此过程为：
()()()
()()2
3
2
322
212
32
3322
22
2212
1321424442,,x x x x x x x x x x x x x x x x x f -+++=-+++++=
于是作非退化的线性替换：
???
??=-=+-=??????=-=+=33
3
223211332122
1122y
x y y x y y y x x y x x y x x y 即
????
? ??????? ??--=????? ??321321*********y y y x x x 于是就得到
()2
32
22
13214,,y y y x x x f -+=
所用的变换矩阵为
????
?
??=1002-1021-1C
且有
.初等变换法
将二次型一般型式化为标准型的问题实质是一个通过有限多个可逆的线性替换将二次型中的所有元逐渐配方的问题。将这个过程通过矩阵形式表示，就是第三中方法：初等变化法。这种方法将二次型的矩阵通过有限次初等行、列变换，将二次型化为与其合同的对角矩阵。
定理3在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。 定理4 对每个实对称矩阵A ，存在初等矩阵S P P P ???21使得
()n S T
T
T
S d d d diag P P AP P P P ,,,212112???=?????? 根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，再结合定理3知，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵相合。下面我们讨论用初等变换法将二次型化为标准型的步骤
○1写出二次型()n x x x f ,,,21???的矩阵A ,让A 与E 构造n n ?2矩阵?
??
?
??E A ○
2对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同形式上简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换。
○
3写出○2过程中所进行的一系列可逆线性变换CY X =化原二次型为 ()DY Y x x x f n '=???,,,21
为理解方便，此过程可用图表示如下
???
? ??→???? ??C D E A E A 变换等列变换和初的列变换其中等行行的初只进同样对进行对------ 例4：
()3231212
22
13212423x x x x x x x x x x x f ++++=用初等变换法化为标准型，并写出其
非退化线性变换。
解：由题可知二次型的矩阵为???
?
?
??=312101211A
所以可得：
，故非退化线性变换??
??
???
??
?
??---→--?????????? ??------→----?????????? ??=???
? ??10021021100001000
110021021111011000122100010001312
101211232313121312r r c c r r r r c c c c E A ???
?
?
??????? ??--=????? ??321321*********y y y x x x 化二次型为2
22
1y y f -=。
注：此法与求逆矩阵的初等变换法很相似，要注意区别。
例5 用上述方法将二次型()2
332212
22
1321342-2x x x x x x x x x x f +++=，，
解：首先写出二次型()321x x x f ，，的矩阵
????
?
??=321-2212-11A
然后构造出63?矩阵
??
??
???
??
?
??-→--?????????? ??→----?????????? ?
?=???
? ??1003-104117-000100011000100012303101-1122100010001321
-2211-11
232313121
312r r c c r r r r c c c c E A 从上过程可以看出???
?
?
??--=100310411C ,最后作可逆线性替换CY X =，则
()Y Y x x x f ???
?
?
??-'=700010001321，，
.雅可比方法
此种方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定标准形
中各平方项的系数 。这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零。下面我们讨论用雅克比方法将二次型化为标准型的步骤。
设二次型∑==
n
j i j i ij
x x a
f 1
,， ji ij a a =，首先将二次型写成()AX X x x x f '=321，，的
形式，写出矩阵A ，如果A 的顺序主子式()n i A i ,,2,10???≠≠，即
1
122
11
2
22221
111211
1
22
21
12112111,,-------????
???
??????????????=???=
=n n n n n n n a a a a a a a a a A a a a a A a A ， nn
n n n
n
n a a a a a a a a a A ?????????????????????=
2
1
2222111211
都不等于零，那么二次型()n x x x f ,,,21???必可以化为如下的标准形：
()2
1
2
21
22
1121,,,n n n n y A A y A A y A x x x f -+
???++
=???
例5 用雅可比方法将二次型()2
3
32212
22
13213422x x x x x x x x x x f ++++=，，化为标准形。
解：首先写出二次型()321x x x f ，，的矩阵A ，
????
? ??=321-2211-11A
然后分别求出A 的顺序主子式：
11=A ， 121112=????
??=A ，
73212211113-=?
????
??--=A
()2
32221232
32
21
22
11321,,y y y y A A y A A y A x x x f -+=+
+
=
.偏导数法
偏导数法与配方法类似，是通过函数与偏导数的关系来化二次型为标准型。偏导数法相对于配方法优势在于其稳定性，因为配方法需要考察解题者的观察力，偏导数法则有着固定方式，所以对于解题方面更加稳定。下面我们来讨论用偏导数法化二次型为标准型的方法。
与配方法类似，运用此方法时，同样也要将二次型分两种情形来讨论。 情形1 如果二次型()n x x x f ,,,21???中含有i x 的平方项，即()n i a ii ,,2,1???=至少有一个不为零时，不妨设11a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1x f
??，则有1
121x f f ??=，再根据()()g f a x x x f n +=
???2111
211
,,,，通过计算对比可以得出g ，此时g 中已不含1x ，再求出g 对2x 的偏导数
2x g ??，记2
121x f g ??=，此时()()()u g a f a x x x f n ++=
???2122
21112111,,,，（11a 为()n x x x f ,,,21???中21x 的系数， 22a 为g 中2
2x 的系数），u 中已不含2x ，照这种程序继续运算，最终可将二次型化为标准形。
情形2 如果二次型()n x x x f ,,,21???中不含i x 的平方项，即所有的()n i a ii ,,2,1???=全等于零，但是至少有一()11>j a j 不等于零，不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数
1x f
??，f 对2x 的偏导数2x f ??，令1121x f f ??=， 2
221x f f ??=，此时()()()[]
?+--+=
???2
212
2112
211
,,,f f f f
a x x x f n ，其中?已不含21
,x x 的项。考虑?的形式，假如?中存在i x 的平方项，就利用上述情形1方法进行，假如?中依旧不含i x 的平方项，就继续按上述的步骤计算，最后将目标二次型化为标准型。
例6 用偏导数法化二次型()2
332212
22
13214222x x x x x x x x x x f --++=，，为标准
形。
解：原二次型中含有i x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x 的偏导数
21122x x x f +=??， 211
121x x x f f +=??= ()()()g x x g f a x x x f ++=+=
2212111
3211
，， 整理并与原二次型对比可得到
22
232342g x x x x =--
再求出g 对2x 的偏导数
()322
132221,2x x x g g x x x g -=??=-=?? ()()()()()23232221232122
21113215511
x x x x x x g a f a x x x f --++=-+=
，，
令
?????=+=--=??????=-=+=33
3223211333222
11y
x y y x y y y x x y x x y x x y 于是
()2
3
222
13215,,y y y x x x f -+= 所用的变换矩阵为
????
?
??--=100110111C
且有
'C AC =100110111?? ?- ? ?-??110121014?? ?- ? ?--??111011001--??
?
? ???
=100010005?? ?
? ?-??
例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形。
解：由于所给的二次型中无i x 平方项，符合情形2，分别求出f 对1x 的偏导 数
1f x ??，f 对2x 的偏导数2
f x ?? 1f x ??=2342x x -+，2
f
x ??=1342x x -+ 1112f f x ?=
?=232x x -+，2132
122f
f x x x ?=
=-+? 23(,,)f x x x =
()()22
1212121f f f f a ???+--+?
? 整理上式并与原二次型作对比，可得?=23x 于是能得到
23(,,)f x x x =()()222
3121231222224x x x x x x ??-----+?
?
=()()22
2
312123x x x x x x ---+-+ =222
123y y y -++
令
112321233y x x x y x x y x =--+??=-???=?1
123212
333111222111222x y y y x y y y x y ?=-++??
?
=--+??=?
??
可以得到所用的可逆矩阵为
11122211122200
1C ??- ? ? ?=-
- ? ? ? ??
?
且有
'
11111
22222
021
11111
0201
22222
110
11001
1
22
C AC
????---
? ?
-
??
? ?
?
? ?=----
?
? ?
?
? ?
??
? ? ? ?????
=
100
010
001
-??
?
?
?
??
4.小结
从以上的讨论我们可以看出正交化方法是通过任意一个二次型都可以通过一个正交线性替换化为各项为平方和的形式这一性质最终将二次型化为标准型的。这种方法计算步骤较为复杂，不过有着规定的步骤，所以是化二次型问题中常用的方法。配方法是通过配方的方法将二次型中不是平方的项都配成平方项，再通过一个非退化线性替换化为标准型，这种方法也是较为常用。但是要注意使用配方法时首先要观察二次型中是否含有平方项，如果有，则使用上文中的第一种方法，如果没有，全是混合项，则使用上文中第二种方法。初等变化法实质是通过有限多线性替换将二次型中的所以元逐渐配方，最后化为与其合同的对角矩阵，这种方法也是较为常用，但不适用于高阶的二次型矩阵，计算量巨大、繁琐。雅克比方法是利用二次型的矩阵法的顺序主子式来确定标准型中各平方项的系数。这种方法比较简单，但是有条件限制，即所以二次型矩阵顺序主子式要求不为0.最后一中偏导数法则是将化二次型为标准型问题与导数思想结合在一起，这种方法有着固定的步骤，所以对于解题方面更加稳定。
当然，我们也不能仅仅将二次型当作一个理论的问题去研究，任何一门学科脱离现实世界，没有现实意义，它都是无意义的，而二次型在很多工业计算中会用到，因此它的现实价值也是不容小觑的，我们要学会运用我们掌握到的知识并将其联系到实践中，为人类创造更大的价值。
参考文献
[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2007.
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[9]胡明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.
[10]Jane M. Day, Dan Teaching Linear Algebra: Issues and Resources[J].The College Mathematics .
致谢
大学四年学习时光感觉过的非常快，真所谓来也匆匆，去也匆匆，美好的大学生活也已经即将结束，在此我想对我的母校，我的父母、亲人们，我的老师和同学们表达我由衷的谢意。感谢我的家人对我大学四年学习的默默支持;感谢我的母校新疆师范大学给了我在大学阶段深造的机会，让我能够在高等学府继续学习和提高;感谢教过我的所有的老师和同学们四年来的默默关心和热心的帮助。他们和我共同度过了四年美好而难忘的大学时光
老师们课堂上的激情洋溢，课堂下的谆谆教诲;同学们在学习中的认真热情，生活上的热心主动，所有这些都让我的四年充满了温暖和阳光。
这次毕业论文设计我得到了很多老师和同学的帮助，其中我的论文指导老师艾合买提老师对我的关心和支持尤为重要。从论文初稿确定之后，几乎每个星期都会让我们到办公室集中点评一次，每次我们交上去的修改版老师都会仔细认真的审阅，每次遇到难题，我最先做得就是向艾合买提老师寻求帮助，而艾合买提老师每次不管忙或闲都会面带笑容，不管我们做的对不对，当然就算老师不说，我们也有自知之明，是老师给我们面子，保留我们的尊严。拥有这样的老师，我感到很幸运。总会抽空来找我面谈，然后一起商量解决的办法。
我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导。这几个月以来，艾合买提老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想给我以无微不至的关怀，在此谨向艾老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。向帮助过我的所有老师和同学表示衷心的感谢感谢!
§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 222211n n x d x d x d +++ . （1） 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ().000000 ,,,212 1212 222211?????? ? ????????? ??=+++n n n n n x x x d d d x x x x d x d x d 反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为： 定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使 AC C ' 成对角矩阵. 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ),,,(21n x x x f 的标准形. 例 化二次型 32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+= 为标准形. 二、配方法 1.,011≠a 这时的变量替换为
????? ????==-=∑=-. , , 222 11 1111n n n j j j y x y x y a a y x 令 ??? ? ? ? ? ? ?--=--100010 111 11121111 n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换 11AC C A ' → 为计算11AC C '，可令 ()??? ? ? ??==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α. 于是A 和1C 可写成分块矩阵 ??? ? ??-=???? ? ?' =--11 1111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置，1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样 .111 1 1111111 11 11111111 1111111 1111??? ? ??'-=???? ??-???? ? ?'-=???? ??-???? ??'? ??? ??'-=' --------αααααααααa A O O a E O a a A O a E O a A a E a O AC C n n n 矩阵αα'--1 111a A 是一个)1()1(-?-n n 对称矩阵，由归纳法假定，有 )1()1(-?-n n 可逆矩阵G 使 D G a A G ='-'-)(1 111αα 为对角形，令 ??? ? ??=G O O C 12,
化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以 线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法 关键词：二次型线性替换矩阵标准形 导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中 的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一． 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像 ()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对 其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。
作者：旧在几 作品编号：2254487796631145587263GF24000022 时间：2020.12.13 化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） '''' x x cos y sin y x sin y cos θθθθ ?=-? ?=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i 化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i 化二次型为标准型的方法 二、二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax 2 +2bxy+ cy 2 = f . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。，作转轴（反时针方 把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况. （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,???,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n +... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2 J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y n x 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n （4） /n =C niy2+C n2y2+-C nnyn 称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。如果|cJ #。，那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 , i 化二次型为标准形的几种方法 摘要 二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方． 关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法 reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量 进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i 且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是 s P P EP C 21 s T T T s T P P AP P P P AC C 2112. 由此可见, 对n n 2矩阵 E A 施以相应于右乘s P P P 21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可 逆矩阵C . 三、用正交变换化二次型为标准形 定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r 注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即 .),,,(2 222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y 2015届本科毕业论文 题目：二次型化为标准型方法 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-2班 学生姓名：赵江南 指导教师：艾合买提 答辩日期：2015年5月5日 目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。 正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。 化二次型为标准型的方法 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax" + 2bxy+ cy' =f . (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin& ? ? y = X sin0+y cos0 把方程（1）化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出 现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 向转轴） (2) 设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，?…Xn 的二次齐次多项式 f(XpXx ???,Xn)= a…xf +2apX]X 》+???+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +??? + 2a*nXjXn +??? + annXn2 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 X| =勺』|+匂汙2+???5 人 X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 那二ivj ?由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，???,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+??? + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, + n n =工工a/iXj i —1 它的系数排成一个n*n 矩阵 化二次型为标准型公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为 对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ?4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; 化二次型为标准型的方法 一、 绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景, 以线性变换为方法, 以矩阵为工具, 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数, 其内容本应属于函数讨论的范围, 然而二次型用矩阵表示之后, 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确, 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形, 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项, 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、 二次曲面的化简问题, 其理论也在网络、 分析、 热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题, 而且它在物理学、 工程学、 经济学等领域有非常重要的应用, 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道, 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定, 而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵, 相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法: 配方法和正交变换法; 另外, 由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵, 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 经过典型例题, 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性, 我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍, 而且又提出了一种新的方法: 雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中, 我们看到, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线 的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. 莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名：廖丹 学号：410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日 用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使 化二次型为标准型的办法 二、 令狐采学 三、 二次型及其矩阵暗示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个 有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针标的目的转轴）'' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不单在几何中呈现，并且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多 项 式 222 12n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来暗示。另ij ji a =a ，i 化二次型为标准型的方法 一、绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本应属于函数讨论的范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定，而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵，相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法：配方法和正交变换法；此外，由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵，因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍，并且又提出了一种新的方法：雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的 二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 化二次型为标准型的方法 一、绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本应属于函数讨论的范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定，而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵，相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法：配方法和正交变换法；此外，由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵，因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍，并且又提出了一种新的方法：雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的 二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 02第二节化二次型 为标准型 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 -4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆变换化二次型为实用标准型的方法
化二次型为标准型的方法
化二次型为实用标准形地几种方法
02 第二节 化二次型为标准型
二次型化为标准形的几种方法
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型
化二次型为标准型的方法样本
用初等变换化二次型为标准型
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法
02 第二节 化二次型为标准型学习资料
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