黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。
方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。
几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就
没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德
证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。1730年，欧拉在研究调和级数：
Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1)
时，发现：
Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...... =Π(1-1/p)^-1。(2)
其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确：
Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3)
证明了上式，即证明了黎曼猜想。
在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。
黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。
这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰非常困难到达，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。
黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。
在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为
critical line。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ函数
的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在 1859 年提出的。从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。
哈代证明（哈代斗上帝）
英国著名的数学家哈代（G．H．Hardy 1877—1947）是华罗庚在英国剑桥大学学习数论时的指导教授。
英国自从出现牛顿以后，一向来数学工作者是注重应用数学，它的数学家不像欧陆的德国和法国在纯粹数学上有大的贡献和新的发现，至到19世纪末出了哈代之后，哈代以他在纯数学的工作使英国闻名于世。
哈代先后在牛津和剑桥大学教书，他为了研究数学从来不想到成家，而是由妹妹照顾他。他个性是有些怪，在那宗教势力浓厚的学府里敢公然说：“上帝是我的敌人。”他从不踏进教堂，也不参予有宗教色彩仪式的会议。
哈代是一个“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季节过了，才会跑到欧陆度假，拜访他的几个好朋友与他们一起讨论研究数学。
每次到丹麦就会见他的好朋友波尔（Harald Bohr），他们坐下来，先在一张纸上写上先要解决和讨论的一些议程，然后讨论一个小时后才一起出去散步。每一次见面时哈代在议程的第一条往往写上：“证明黎曼假设！”
可是这个提议却一直没法子解决，一直到夏假结束他必须回去英国教
书才作罢。第二年的夏天他回来丹麦又像前一年那样，两人每天把解决黎曼假设摆在议程的最前面，但是每次都不能解决。
有一年的夏末，哈代要乘船渡北海回英国，那天浪涛汹涌天气很恶劣，而船又很小，因此他在船开之前就写了一张明信片寄给波尔，在上面简单的写下这几个字：“我已经证明了黎曼假设。哈代。”
他是否真的证明了，要把这个好消息告诉他的好友呢？原来这明信片是有用意的：万一这船沉下去，哈地溺死了，世人就会认为哈地真的解决这个世界上的数学难题，而为这个解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不会让哈代享有解决这个著名难题的声誉，因此本来这船该沉下去，它也设法不让它沉，于是哈地可以平安回到英国。
这样这个明信片就是他的救命护身符了。
你看了或许会笑，以为我们的哈代教授是这样幼稚可笑的人物，是的，有一些数学家他们想法和做事的天真幼稚就像6岁的儿童。可是他们研究的东西却深入和奥妙，不是普通人所能了解的。哈代逝世距现在已四十多年，但是他遗留下来的工作，许多是那么的艰深和难于明白，普通大学数学系毕业生也不是很容易就能领会。
近年研究成果
荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter 利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。
1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》
宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。
1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No
（T）>0.3474N（T）。
1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）>0.35N（T）。
§5 黎曼几何初步 一、 黎曼空间 [黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i ， x i ＋d x i 之间的距离ds 由一个正定二次型 d s 2 = g ij ( x )d x i d x j 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2 称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为 ()j i ij x x x g s d d d = 而任一曲线x i =x i (t )()a t b ≤≤的弧长为积分 ()()? =b a j i ij t t x t x t x g s d d d d d 因为在坐标变换 () x x x i i i =' 下，ds 2 为一个不变量，所以 j j i i ij j i x x x x g g ' ' ' '????= 这表明g ij ( x )为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n 的度量张量或基本张量. [矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿. 设{} a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为 g ij a i a j 设{}i a 与{} b i 是两个逆变矢量，则其标量积为 g ij a i b j 这两矢量夹角的余弦为
g a b g a a g b b ij i j ij i j ij i j 设 g ij a i =a j , g ij b i =b j 则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为 g ij a i a j =a j a j , g ij a i b j =a j b j 张量j k i T ??的伴随张量为 j l i lk ijk T g T ??=，k i lj jk i l T g T ???= 式中g lj 满足等式 g g il lj i j =δ 式中j i δ为克罗内克尔符号. [黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件： (i) 仿射联络是无挠率的，即k ji k ij ΓΓ= (ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出 ??? ? ????-??+??= l ij i jl j il kl k ij x g x g x g g 21Γ 如果记 k ij lk l ij g ΓΓ=, 则有 ?? ? ? ????-??+??=l ij i jl j il l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：
黎曼ζ函数 最小值马克斯 再保险-15年15 即时通讯-15年15 黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。 上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak 2003;Borwein贝利,2003年,页95 - 96)。 在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分 (1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份 (2) (3)
(4)所以 (5)评估,让这和代入上述身份获得 (6) (7) (8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数, (9)这是有时被称为p系列. 黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过 (10)作为一个梅林变换通过 (11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。 它出现在单位平方积分 (12)有效期为(Guillera和Sondow 2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。 请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数. 黎曼ζ函数满足反射函数方程 (13) (哈代1999年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出 (14) (1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。 如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将军”1999年,p . 1999)。特别是,作为 ,遵循 (15)
黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854 年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。 这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上 的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋ 2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数）， 则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时，就是椭圆几何，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔 记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基 本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式 与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。 地图投影度量空间是球面空间的一种诱导度量，在一定情况下，可用诱导度量研究原曲面上的关系，但在另外情况下，诱导度量与原曲面上的实际情况会大相径庭。如在地球表面局部范围类，可用投影到平面上的诱导度量量度地面实际情况，但对于全球化大范围的情况，则或者不能用地图投影平面研究问题，或者这样结果得到错误的结果。
德国数学家（G.F.）B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。1854年,他在格丁根大学发表的就职演说,题目是《论作为几何学基础的假设》，可以说是黎曼几何学的发凡。从数学上讲,他发展了空间的概念,首先认识到几何学中所研究的对象是一种"多重广延量"，其中的点可以用n个实数作为坐标来描述,即现代的微分流形的原始形式,为用抽象空间描述自然现象打下了基础。更进一步,他认为,通常所说的几何学只是在当时已知测量范围之内的几何学,如果超出了这个范围,或者是到更细层次的范围里面，空间是否还是欧几里得的则是一个需要验证的问题，需要靠物理学发展的结果来决定。他认为这种空间(也就是流形)上的几何学应该是基于无限邻近点之间的距离。在无限小的意义下,这种距离仍然满足勾股定理。这样,他就提出了黎曼度量的概念。这个思想发源于C.F.高斯。但是黎曼提出了更一般化的观点。在欧几里得几何中, 邻近点的距离平方是 (在笛卡儿坐标下)，这确定了欧几里得几何。但是在一般曲线坐标下, 则应为,这里是相当特殊的一组函数。如果是一般的函数，又(g ij)仍构成正定对称阵,那么从 出发,也可以定义一种几何学,这便是黎曼几何学。 由于在每一点的周围，都可以选取坐标使得在这点成立 ,所以在非常小的区域里面勾股定理近似成立。但在大一点的范围里一般就和欧几里得几何学有很大的区别了。 黎曼认识到距离只是加到流形上的一个结构，因此在同一流形上
可以有众多的黎曼度量，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚。这是一个杰出的贡献。 其后，E.B.克里斯托费尔、G.里奇等人又进一步发展了黎曼几何，特别是里奇发展了张量分析的方法，这在广义相对论中起了基本的作用。1915年A.爱因斯坦创立了广义相对论，使黎曼几何在物理中发挥了重大的作用，对黎曼几何的发展产生了巨大的影响。广义相对论真正地用到了黎曼几何学,但其度量形式不是正定的,现称为洛伦茨 流形的几何学（见广义相对论）。 广义相对论产生以来，黎曼几何获得了蓬勃的发展，特别是é.嘉当在20世纪20～30年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远，由此还发展了线性联络及纤维丛方面的研究。半个多世纪以来，黎曼几何的研究也已从局部发展到整体，产生了许多深刻的并在其他数学分支和现代物理学中有重要作用的结果。随着60年代大范围分析的发展，黎曼几何和偏微分方程（特别是微分算子的理论）、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透、互相影响。在现代物理中的规范场理论（又称杨－米尔斯理论）中，黎曼几何也成了一个有力的工具。 黎曼流形黎曼几何是黎曼流形上的几何学。黎曼流形指的是一个n维微分流形M,在其上给定了一个黎曼度量g,也就是说,在微分流形M的每一个坐标邻域(U,x)内，用一个正定对称的二次微分形式
黎曼函数的极限 黎曼函数是指如下函数： *0,0,1(0,1)()1,(,,)x R x p x p q p q q q =??=?=<∈?? 或者内无理数既约分数, 容易知道R (x )的定义域为[0,1]. 因为(0,1)内任意有理数都可以表示成p /q (既约分数,p 0，使R (x )≥ε的x 只有有限个. (这里的有限个也包括0个. ) 我们只做简单分析，不做严格证明. 当x 不在[0,1]内时R (x )没有意义，从而也谈不上R (x )≥ε. 当x =0,1或者(0,1)内的无理数时，R (x )≥ε显然不成立. 当x 为(0,1)内的有理数时，x 可写成x=p /q (既约分数,p
|r /s-p /q |=|(rq -sp )/sq |≥1/sq ，从而s >1/(q δ). 定理3 黎曼函数在(0,1)内任意一点的极限为0，在x =0处右极限为0，在x =1处左极限为0. 证明 (1)x 0为[0,1]内的无理数. 任给?ε>0. 若(0,1)内不存在有理数使得R (x )≥ε. 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|}. 就可以得到对?x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. 若(0,1)内存在有理数使得R (x )≥ε. 根据定理1知道，这样的有理数只可能有有限个，从而也是可列个. 设这些使R (x )≥ε的有理数为x 1,x 2,…,x n . 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|,|x 1-x 0|,|x 2-x 0|,…,|x n -x 0|}>0. 这样就可以得到对?x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. (2)x 0为(0,1)内的有理数. 设x 0=p /q (既约分数,p
0，取δ=min{ε/q ,|x 0|,|1-x 0|}. 若x 为U o (p /q ;δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r
1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为U o (p /q ;δ)内无理数，则一定有R (x )=0<ε. 综合起来就是对?x ∈U o (p /q ;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. (3)x 0=0. 任给?ε>0, 取δ=min{ε,1}. 若x 为(0,δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r 1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为
它亦可以用积分定义： 对于所有实部>1的复数s。这和上面ζ（2）的表达式一起可以用来证明两 个随机整数互质的概率是6/π2。 \frac{}{}== 函数值==
黎曼函数在s > 1的情况 ζ函数满足如下函数方程： 对于所有C\{0,1}中的s成立。这里，Γ表示Γ函数。这个公式原来用 来构造解析连续性。在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。上 述方程中有sin函数，的零点为偶数s = 2n，这些位置是 可能的零点，但s为正偶数时，为不为零的规 则函数（Regular function），只有s为负偶数时，ζ函数才有零点， 称为平凡零点。 当s为正整数 其中B2k是伯努利数。从这个，我们可以看到ζ(2)= π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945等等。（序列A046988/A002432列在OEIS）。 这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。 拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。为正偶数时的函数值 公式已经由欧拉计算出。但当为正奇数时，尚未找到封闭式。 这是调和级数。 （OEIS中的数列A078434）
自旋波物理。 （OEIS中的数列 A013661） 是多少？ （OEIS中的数列A002117） 称为阿培里常数。 （OEIS中的数列 A0013662） 负整数[编辑] 同样由欧拉发现，ζ函数在负整数点的值是有 理数，这在模形式中发挥着重要作用，而且ζ 函数在负偶整数点的值为零。 复数值[编辑] ，x＞1。 幅角[编辑] ， 函数值表[编辑] ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
《数学专题讲选》期末论文 07数学 20075202 阮腾达 黎曼几何 本学期开设的数学专题选讲中，我最感兴趣的就是肖建波老师讲的黎 曼曲面专题。课后，我结合老师上课内容和查找相关资料，了解了黎曼几 何的产生及其内容概要。 古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设。头四条公设分别为： 1.由任意一点到任意一点可作直线。 2.一条有限直线可以继续延长。 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。 4.凡直角都相等。 第5条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一 侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。 长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字 叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几 何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。 也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不 能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论 了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题 始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能 不能证明？ 几乎从欧几里得提出第五公设(也称平行公设)以来，数学家们就感到它不像公设，是能够加以证明的．尽管人们的尝试失败了——事实证明他们也必然要失败，数学家们却由此而建立了两种全新的几何学，即非欧几何！ 建立非欧几何的荣誉，应该由高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基三人共同分享。不过在介绍他们的工作之前，我们先来看在这方面曾作过努力和贡献的几位数学家。 首先要提到的是意大利耶稣会士和帕维亚大学的教授萨谢利。他研究了一个四边形ABCD（如图1），∠A和∠B是直角，AD=BC。他证明了∠D=∠C，那么这两个角的大小只有三种可能：钝角、直角或锐角，萨谢利称之为钝角和锐角假定和锐角假定。他希望证明钝角和锐角假定是错误的，那么余下的直角假定就是第五公设的等价形式！萨谢利隐含的假定的矛盾性，但对于锐角假定，逻辑事实使他左右为难，最后毫无说服力地硬塞进一个“矛盾”。如果他不是那样迫不及待地塞进一个所谓“矛盾”，而是大胆地承认自己找不到矛盾，那么非欧几何的发现无疑应该归功于萨谢利。非欧几何已经碰到了他的鼻尖上，但他让它溜走了。 33年之后，法国数学家兰伯特也作了类似的研究，并写出了一本《平行线论》。他研究的则是有三个直角地四边形，讨论第四角的情况，同样也有相应三种假定。他也默认了直线是无限长这一假设，而否定了钝角假定，但他注意到了
函数黎曼可积性深究 罗俊逸 以下的“可积”皆指“黎曼可积”。 定义1：称有界函数f 为[a,b]上的次级离散函数（简称次离散函数）， 若：1、f 仅有有限个间断点； 或：2、f 有无限个间断点，所有这些间断点仅有有限个聚点。 定义2：在闭区间[a,b]上，连续函数与次离散函数统称次级函数。 定义3：称有界函数f 为[a,b]上的超级离散函数（简称超离散函数），若f 有无限个间断点且它们有无限个聚点。 性质：[a,b]上的任何有界离散函数，要么是次离散函数，要么是超离散函数。（这是显然的） 根据定义和性质，[a,b]上的所有有界函数的集合关系如下： 定理1：所有次级函数可积。 推论1：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积。 推论2：若f 是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积。 定义4：设f 为[a,b]上的超离散函数，若存在[a,b]上的次级函数g ，任取I ∈ [a,b]，g 在I 上有f 上的无穷个点，则称f 在[a,b]上可聚，g 称为f 的聚集函数（简称聚函数）。 定理2（可聚性定理）：任何超离散函数f 可聚，即f 至少有一个聚函数。 定理3：超离散函数f 可积的充要条件．．．． 是：f 唯一可聚，即f 仅有唯一的聚函数。 定理4：设f 是定义在[a,b]上的可积超离散函数，其聚函数是g ， 则：= 连续函数 次级离散函数 超级离散函数 次级函数 离散函数
补充： 为方便叙述，笔者自做了些定义，若有冒犯前辈的文献，请谅解。本文的主要思想是函数的划归，点有聚点，函数也可有聚函数。
黎曼 黎曼(G．F．B．Riemann、1826。9．17一1866．7．20)是德 国数学家，生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡 村的穷苦牧师。他6岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁 按其父亲的意愿进入哥丁根大学攻读哲学和神学，以便将来继承 父志也当一名牧师。由于从小酷爱数学，他在学习哲学和神学的 同时，也听些数学课。当时的哥丁根大学是世界数学的中心之一。 —些著名的数学家，如高斯(C．F．Guass)、韦伯(H．Wcbcr)、斯 持尔(Sten)在校执教，黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所 感染，决定放弃神学，专攻数学。1847年他转到柏林大学学习， 成为雅可比(C．G．J．Jacobi)、狄利克雷(P．G．L．Dirichlet)、 施泰纳(J．Steiner)、艾森斯坦(F．G．M．E1Senstein)的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位。成为高斯晚年的学生。l851年获数学博士学位。l854年被聘为哥丁根大学的编外讲师。1857年晋升为副教授，1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。因长年贫困、劳累，1862年婚后不到一个月患胸膜炎和肺结核，先后三次到意大利治病、疗养。1366年病逝于意大利、终年39岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 (一)复函数论的奠基人 l9世纪数学最独特的创造是复函数理论的创立。它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前柯西(A．L．Cauchy)、雅可比、高斯、阿贝尔(N．H．Abcl)、外尔斯特拉斯(K．T．W．Weierstrass)已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅柯西和皮瑟(V．Puiseux)有些孤立的结论。 1851年黎曼在高斯指导下完成的题为“单复变函数的一般理论的基础”的博士论文，以及后来在《数学杂志》上发表的四篇重要文章对其博士论文中思想的进一步阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础。并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，外尔斯特拉斯的思想逐渐从柯西一黎曼观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理个，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中。尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼一罗赫(G．Roch)定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用。将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。 (二)黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何，乃至数学和科学各分支的发展产生巨大的影响。
§ 1 解析函数的概念与柯西—黎曼条件 1. 复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义，形式上和数学分析中单元函数的导数定义一致。因此， 微分学中几乎所有的求导基本公式，都可不加更改地推广到复变函数上来。 定义2.1 设函数w=f(z)在点z 0的邻域内或包含z 0的区域D 内有定义，考虑 比值: z z z f z f z w 00)()(--=??=)0()()(00≠??-?+z z f z f z z ， 如果当Z 按任意方式趋于z 0时，即当z ?按任意方式趋于零时，比值z w ??的 极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数f (z )在点z 0的导数，并记为0()f z '， 即: 00000()()()lim lim z z z f z f z w f z z z z →→-?'==?-, (2.1) 这时称函数f (z )于点z 0可导。 （2.1）的极限存在要求与z ?趋于零的方式无关，对于函数的这一限制，要 比对于实变量x 的实值函数y=)(x ?的类似限制严得多。事实上，实变函数导数 存在性的要求意味着：当点x x ?+0由左（0?x ）两个方向趋 于x 0时，比值x y ??的极限都存在且相等。而复变函数导数存在性的要求意味着： 当点z z ?+0沿联接点z 0的任意路径趋于 点z 0时，比值z w ??的极限都存在， 并且这些极限都相等。 和导数的情形一样，复变函数的微分定义，形式上与实变函数的微分定义一 致。 设函数w=f(z)在点Z 可导。于是 )(lim 0z f z w z '=??→?, 即是: 0lim ,)(0=+'=??→?ηηz z f z w ， ∈+?'=?z z f w )(。
1 引言 解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式． 现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的． 本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．
2 基本概念与定理 定义2．1 [1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000 ()() lim z z z D f z f z z z →∈-- 存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或 (z z df z dz =） ．即 000 ()() lim '()z z f z f z f z z z →-=-． 有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数． 定义2．2 [1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析， 并称()f z 是区域D 内的解析函数． 如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ?，而()f z 在G 内解析． 若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点． 例1 试证明(Re f z z z =） 在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 0 00()(0)Re lim lim lim Re 00z z z f z f z z z z z →→→-===- 故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =． 设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限
黎曼ζ函数 黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。 上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak 2003;Borwein贝利,2003年,页95 - 96)。 在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分 (1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份 (2) (3)
(4)所以 (5)评估,让这和代入上述身份获得 (6) (7) (8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数, (9)这是有时被称为p系列. 黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过 (10)作为一个梅林变换通过 (11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。 它出现在单位平方积分 (12)有效期为(Guillera和Sondow 2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。 请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数. 黎曼ζ函数满足反射函数方程 (13) (哈代1999年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出 (14) (1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。 如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将 军”1999年,p . 1999)。特别是,作为 ,遵循 (15)
虚弱的天才——黎曼 仿佛天妒英才，上帝好像不想让人类过早地就拆穿了它所有的秘密。所以，人类中的天才们的生命都很短暂，而且命运崎岖。黎曼就是这样一位天才。 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师，母亲是法庭顾问的女儿。黎曼有6个兄妹，他排行第二。汉诺威当时相当落后，农村里因为缺少牲口，还普遍在用人力拉犁。偏僻乡村小牧师的薪金少得可怜，要维持诺大的八口之家，不得不显得捉襟见肘，力不从心。 黎曼从小生性胆小、羞怯。他不敢在公众场合露面，更害怕在大庭广众中讲话。可是，在数学研究上，他却是出奇地大胆。他是个天才，他在科学研究中所表现出来的惊人智慧，他对数学发展的贡献之大、影响之深，难以用语言描述，以至于后人在介绍他时只能采用“对现代数学影响最大的数学家之一”、“19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家”等诸如此类的言辞含糊表述。除此之外，我们确实毫无办法。来看看这个天才的家伙在短短40年的一生中所取得的不可思议的辉煌成就吧！ 他是黎曼几何的创始人。黎曼对数学最重要的贡献在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。1854年，黎曼在哥廷根大学作了一次历史性演讲，该演讲内容
在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。后来，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”，文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用一个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一