《固体物理学》习题解答
黄昆 原著 韩汝琦改编
（陈志远解答，仅供参考）
第一章 晶体结构
1.1 、
解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总
体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，
x
nV
Vc
（ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1）
a=2r ， V= 4
r 3 ， Vc=a 3，n=1
3
4 r 3 4 r 3
∴ x 3 3
0.52
a 3 8r 3 6
（ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a
4r
a 4 3 x
n=2, Vc=a
3
3
2 4 r
3 2
4 r 3 3
∴ x 3 3
0.68
a 3 ( 4 3
8
r )3
3
（ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a
4r ,
a
2 2r
n=4 ，Vc=a 3
4 4 r 3
4 4 r 3
2
x
3
3
0.74
a
3
( 2 2r)
3
6
（ 4）对于六角密排：
a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO
6
a a sin 60 3 3
2
2
=
a
2
晶胞的体积： V= S
C
3 3 a 2
8 a 3 2a 3 24 2r 3
2
3
n=12 12 1 2
1 3=6个
6
2
6 4 r 3
2
x
3 0.74
24 2r
3
6
（ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线
BG= 3a
4 2r
a
8r n=8, Vc=a 3
3
8 4 r 3
8 4 r
3
x
3
3 3 3
3
0.34
a
8 r 3 6
3 3
1.2 、试证：六方密排堆积结构中
c ( 8)1/2 1.633
a 3
证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球 A 、 B 、 O 的中心联线形成一个边长 a=2r 的正三角形，第二层硬球 N 位于球 ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.
即图中 NABO 构成一个正四面体。
?
1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
a 1
a
( j k )
2
证明：（ 1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）
： a
a
(i k )
2
2
a 3
a
(i
j )
2
由倒格子基矢的定义：
b 1 2 (a 2 a 3 )
0,
a , a i ,
j , k
2 2
a 3
a 2
( i j k )
a 1 ( a 2 a 3 )
a
, 0,
a
， a 2 a 3 a
, 0,
a 2
2
4
2
2
4
a , a , 0 a , a , 0
2 2
2 2
b 1 2
4 a 2
( i
j k )
2
( i j
k)
a 3 4
a
b 2
2 (i j
k)
同理可得：
a
即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
2
b 3
(i j
k )
a
所以，面心立方的倒格子是体心立方。
a 1
a
( i
j
k )
2
（ 2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）
： a 2
a (i
j k )
2
a 3
a
(i
j
k )
2
由倒格子基矢的定义：
b 1 2
(a 2 a 3 )
a , a , a
i , j , k
2
2
2
a 3
a 2
( j k )
a 1 ( a 2 a 3 )
a , a , a ， a 2 a 3 a ,
a , a 2
2 2 2
2 2
2 2
a ,
a , a a ,
a ,
a
2
2 2 2
2
2
b 1 2
2 a 2
( j k )
2 ( j k )
a 3 2
a
b 2
2 (i k )
同理可得：
a 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
2
b 3
(i j )
a
所以，体心立方的倒格子是面心立方。
1.5、证明倒格子矢量
G hb
h b
h b 垂直于密勒指数为 (hh h ) 的晶面系。
11
2 2
3 3
1 2 3
证明：
因为 CA
a 1 a 3
, CB
a 2 a 3 ， G h
b h b h b
h 1
h 3
h 2 h 3 1 1 2 2
3 3
2
ij
G
h h h
CA 0
利用 a i b j
，容易证明
1
2 3
G h 1h 2 h 3 CB 0
所以，倒格子矢量
G hb 11 h 2b 2 h 3b 3 垂直于密勒指数为 (h 1h 2h 3 ) 的晶面系。
1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为
( h, k,l ) 的晶面系，面间距 d 满足： d 2 a 2 (h 2 k 2 l 2 ) ，
其中 a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。
解：简单立方晶格：
a 1 a 2 a 3 ， a 1 ai , a 2
aj , a 3 ak
由倒格子基矢的定义：
b 1
a 2 a 3 ，
b 2
a 3 a 1 ，
b 3
a 1 a 2 2
a 2
a 2
a a a a a a a
倒格子基矢： b 1
2 i , b 2 2 j , b
3 2 k a
a a
倒格子矢量： G
hb 1 kb 2 lb 3 ， G
h
2
i k
2
j
l 2
k
a a a
晶面族 (hkl ) 的面间距： d
2
1
G
( h )2 ( k ) 2 ( l )2
a
a a
d 2
(h 2
a 2
l 2 )
k 2
面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。
1.9、画出立方晶格（ 111）面、（ 100）面、（ 110）面，并指出（ 111）面与（ 100）面、（ 111）面与（ 110） 面的交线的晶向。
解： (111)
1、 (111)面与 (100)面的交线的 AB ，AB 平移， A 与 O 点重合， B 点位矢： R B
aj ak
，
面与 面的交线的晶向
AB aj ak ，晶向指数 [0 11] 。
(111) (100)
(111)
2、 (111)面与 (110)面的交线的 AB ，将 AB 平移， A 与原点 O 重合， B 点位矢： R B ai aj ， (111)面
与 (110)面的交线的晶向 AB
ai aj ，晶向指数 [110] 。
第二章 固体结合
2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数
2 ln 2 ，设离子的总数为 2 N 。
＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，
取任一负离子作参考离子 （这样马
德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，
于是有
( 1 ) 2[ 1 1 1
4r
1
... ]
j
r
ij
r
2r
3r
前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 r i 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求
和后要乘 2，马德隆常数为
2[1
1 1 1 ...]
2
3
2
3 4
n (1
4x
x
x
...
x)
x
2
3
4
当 X=1 时，有 1
1 1 1 ... n 2
2 n 2
2
3
4
2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为
u(r )
m
r n
r 试求：（1）平衡间距
r 0 ；
（ 2）结合能 W （单个原子的） ；
（ 3）体弹性模量；
（ 4）若取 m 2, n 10, r 0
3A,W 4eV ，计算
及 的值。
解：（ 1）求平衡间距 r 0
晶体内能 U (r )
N ( r n )
2
r m
平衡条件
dU
m
n
n
1
0 ，
0 ， r 0
)
n
m
(
dr r r
r 0m 1
r 0
n 1
m
（ 2）单个原子的结合能
1
u( r 0 ) ， u(r 0 ) (
(
n
1
W
r m
r n )
， r 0
) n m
2
r r 0
m
m
W
1
(1
m
)( n )
n m
2
n m
2
U
)V V 0
（ 3）体弹性模量 K (
晶体的体积 V NAr 3 ， A 为常数， N 为原胞数目 晶体内能 U (r )
N ( r m
r n )
2
U
U r N ( m n
1
V
r V 2 r m 1 r n 1 )
3NAr 2
2
U
N
r
[(
m n 1
2 ]
V 2
2 V r m 1
r n 1 )
r
3NAr
2
U
N 1
[
m 2
n 2
m
n
]
V
2 2
m
n m
n V V 2 9V 0
r 0
r 0
r 0
r 0
由平衡条件
U
N (
m
n )
1
0 ，得
m
n
V
VV 0
2 r 0m 1 r 0n 1 3NAr 02
r 0m
r 0n
2
U
N 1
m 2
n 2
]
V 2
2 [
m n
V V
2 9V 0
r 0
r 0
2
U
N 1
[ m m
n N nm 2 [ m
n ]
V 2
2
m
n n ]
V V
2 9V 0
r 0
r 0
2 9V 0
r 0
r 0
U 0
N ( m
n )
2
r 0 r 0
2
U
mn
( U 0)
V 2VV
9V 02
体弹性模量
（ 4）若取
K
U
mn
0 9V
m
2, n 10, r 0 3A , W 4 eV
(
n
1
1 (1 m )( n
m
r 0
) n m ， W ) n m
m 2 n m
W
r 010 ，r 02[
10
2W ]
2
r 0
1.2 10-95 eV m 10 ，
9.0 10 19 eV m 2
2.6、bcc 和 fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯 (Lennard — Jones)势计算 Ne 在 bcc 和 fcc 结构中的结合能
之比值．
＜解＞ u(r ) 4 ( )12
( )6 , u(r ) 1
N(4 ) A (
)12
A (
) 6 r
r
2
r
r
du(r )0r62A
126u 1 N A62
r
A6
2
A
12 r
bcc u( r0 )bcc( A62)/(
A
6)12.252 / 9.110.957
fcc u( r0 ) fcc
A
12
A
1214.452 /12.13
2.7、对于H2，从气体的测量得到Lennard — Jones参数为50 10 6 J , 2.96 A.计算fcc结构的H2的结合能 [以 KJ/mol 单位 )，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ ／ mo1，试与计算值比较．
＜解＞以 H 2为基团，组成fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard— Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：
126
U 2N P ij12
R P ij6.
i j R
614.45392;P12
P ij12.13188,
ij
j i
5010 16 erg, 2.96 A, N 6.0221023 / mol.将R0代入 U 得到平衡时的晶体总能量为
。126因此，计
28/ mol 501016erg 12.13 2.96 2.96 2.55KJ / mol.
U 2 6022 1014.45
3.16
3.16
算得到的 H 2晶体的结合能为2． 55KJ ／ mol，远大于实验观察值0.75lKJ ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大
差别的原因．
第三章 固格振动与晶体的热学性质
3.1、已知一维单原子链， 其中第 j 个格波， 在第 n 个格点引起的位移为，
nj
a j sin( j t _ naq j j ) ，
j 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位
移。
＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即
n
nj
a j sin(
j t
naq j
j )
（ 1）
j
j
2
* 2
* n
nj
nj
nj
nj
nj
j
j
j
j j
由于
nj
nj 数目非常大为数量级， 而且取正或取负几率相等，
因此上式得第 2 项与第一项相比是一小量，
可以忽略不计。所以
2 2 n
j nj
由于
nj 是时间 t 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为
2 1
T 0 2
j t
naq j
j )dt
1 2 （ 2）
j
0 a j sin(
a j
T 0
2
1
1
d
nj
2
1
T
nj
L T 0
w j a j
2
T 0
2
sin( j t naq j
2
2
T dx
2
dt
dt
L a j
j )dt
w j La j
0 0
2T
4
其中 L 是原子链的长度， 使质量密度， T 0 为周期。
所以 T nj
1 w 2j La 2j
1
KT
（ 3）
4
2
2 因此 将此式代入（ 2）式有
nj
KT
PL
2 j
所以每个原子的平均位移为
2 2 KT n
nj
PL
j
j
2 j
KT 1
2
PL
j
j
3.2、讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为
a ），其 2N 个格波解，当 M = m 时与一维单原子 链的结果一一对应。 ， 2n+3 ?? ；质量为 m 的原子位于
， 2n+4 ?? 。 解：质量为 M 的原子位于 ， 2n+1 2n ，
2n+2 2n-1
m
2n
(2 2n
2n 1
2 n 1 )
牛顿运动方程
(2
2n 1
2 n )
M
2 n 1
2 n 2
N 个原胞，有 2N 个独立的方程
设方程的解
2n
Ae i [ t (2 na) q ]
，代回方程中得到
2n 1
Be i [ t (2 n 1)aq]
(2
m 2 ) A (2 cosaq)B
(2 cos aq) A (2 M
2
) B 0
2
m 2
2 cosaq 0 ，则
A 、
B 有非零解，
cosaq
2
M 2
2
( m M ) {1
4mM 1
2
[1 2 sin 2 aq] 2 }
mM
( m M )
2
两种不同的格波的色散关系
2
(m M ) {1 [1 4mM 1
2 sin 2 aq] 2 }
mM (m M )
(m M ) {1 [1
4mM 1
2 sin 2 aq]2 }
mM
(m M )
一个 q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波
.总的格波数目为 2N.
4
aq
cos
当 M
m 时
m
2
，
4
aq
sin
m
2
长波极限情况下 q
0 ， sin(
qa
)
qa ，
2
2
(2
)q 与一维单原子晶格格波的色散关系一致 .
m
3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为
和 10 ，两种原子质量相等，
且最近邻原子间距为
a 2 。试求在 q 0, q a 处的 ( q) ，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如
H 2 这样的双原子分子晶体。
答：（ 1）
浅色标记的原子位于
2n-1， 2n+1， 2n+3 ?? ；深色标记原子位于 2n ， 2n+2， 2n+4 ?? 。
第 2n 个原子和第 2n ＋ 1 个原子的运动方程：
m
m
2 n ( 1 2 )
2n 2 2n 1
1 2n 1
2 n 1
( 1
2 )
2 n 1
1 2 n 2
2 2 n
体系 N 个原胞，有
2N 个独立的方程
Ae
i[ t (2 n ) 1
aq]
2n
2
2
2
方程的解：
，令
1 / m,
/ m ，将解代入上述方程得：
1
22
i [ t (2 n 1) 1
aq ]
2n 1 Be
2
1
1 (
2 2 2 )A (
2
i aq
2
i aq
1
2
1
e 2 2 e
2
1 1
( 2
i aq 2
i aq
2 2 2
1
e
2 2 e
2
) A (
1
2
)B 0
)B 0
A 、
B 有非零的解，系数行列式满足：
(
2
2
2
), (
2 i 1
aq
2
i 1
aq
1 2
1
e 2
2 e 2 )
i 1
aq
i 1
aq
( 2
2
2 2 2
1 e
2 2 e 2
),
( 1
2 )
( 2
2 2 ) 2
( 2 i 1 aq
2
i 1 aq
2
i 1
aq 2 i 1 aq
1 2
1 e 2
2 e
2 )( 1 e
2
2 e 2
) 0
(
2 2 2 ) 2
(
2 i 1 aq
2
i 1
aq
2
i 1
aq 2 i 1 aq
1
2
1 e
2
2 e
2
)(
1
e
2 2 e 2
) 0
2 10 2 2 c 2 10c 2
因为
1
、
，令
1
,
2
10
0 得到
m
m
2)
4
两种色散关系：
2
02
(11
20cos qa 101)
当 q 0 时，
当 q
时，
a
2
2
(11 121) ，
22 0
2 02
20
(11 81) ，
2
（ 2）色散关系图：
3.7、设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有(q)
求证：
V 1
1/ 2
; f ( ) 0,
f ( )
2
A 3/20
,
4
0 Aq 2
0 .
1 1
2
0 Aq
2
0 f ( ) 0,00
Aq 2
2
＜解＞
0时，
q A
依据 q (q) 2Aq, f ( )
V
ds
，并带入上边结果有
3
( q)
2
q
f V
ds
V 1
4
A 1/ 2
V 1
1/ 2
2
3
q ( q)
2
3
2A 2
1/ 2
2
2
A 3/ 2
3.8、有 N 个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正
比与 T 2。
证明：在 k 到 k
dk 间的独立振动模式对应于平面中半径
n 到 n dn 间圆环的面积
2 ndn ，且
2
ndn
L 2
5 kdk 即
3s
d 2 kdk
2
2 v 2
则
2
3s
2
d
3
k B T d
k B T
3
x D
x 2
dx
E
m
E 0 3s k B T
D
3s k B T
2 v 2
e
/ k B T
1
2 v
2 2
D
e
/ k B T
1
2 v
2 2
D
e x
，
1
T 时，
3 , C v
E
) s T 2
E T ( T
3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为
F U
k B
T
q
q
n
k B T
1
q
证明 :量子谐振子的自由能为
F
U k B T
q
n
1e k B
T
q 2 k B T
经典极限意味着（温度较高） k
BT
g 应用 e x
1 x x
2 ...
q
2
所以 e
k B T
1
q
q
...
k B T
k B T
因此 F
U
1
k T
1 1
q
U
k T
q
q
2
k B T
n
k B T
q q B
n
B
其中 U
U
1 q
q
2
3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为
1
，使用德拜模型求晶体的零点振动能。
2
证明 :根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故
T=0K 时振动能 E 0 就是各振动模零点能
之和。 E 0
m
将 E 0
1
3V
2
E 0
g
d
和 g
2
3
代入积分有
2
2
v s
E 0
3V
4 2 v s
3 m
16
9 N m ，由于 m k B D
得 E 0
9
Nk B D
8
8
一股晶体德拜温度为 ~10 2 K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．
、一维复式格子 m 5 1.67 10 24
g,
M
4,1.5 101 N / m
(即1.51
4
求（ ），光
3.11
m
10 dyn / cm),
1
学波
max
, min 0 ，声学波
max A 。
（ 2）相应声子能量是多少电子伏。
（ 3）在 300k 时的平均声子数。
0 （ 4）与
max 相对应的电磁波波长在什么波段。
＜解＞（ 1），
A
xam
2
2 1.5 104 dyn / cm 3.00 31 1
M
4 5 1.67 1024
10 s ,
o
max
2 M m
2 1.5 104 4 5 5 1.67 1024 dyn / cm 6.70 101
3 s 1
Mm
4 5 1.67 1024 5 1.67 1024
A
2 2 1.5 104 dyn / cm 5.99 101 3s 1
A
max （ 2）o
max
o
min 6.58 10
6.58 10
6.58 10
16 5.9910
13 s 1 1.9710 2 eV
16 6.7010
13 s 1 4.4110 2 eV
16 3.0010
13 s 1 3.9510 2 eV
（3） n max A10.873,n
max
O10.221 e
A O
max
/ k
B
T1e max / k B T1
n min O
O1
0.276
e min / k B T1
2c
28.1m
（ 4）
第四章能带理论
4.1、根据
k
状态简并微扰结果，求出与
E
及 E 相应的波函数及，并说明它们的特性．说a?
明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布2
说明能隙的来源 (假设V n = V n*)。
＜解＞令 k， k，简并微扰波函数为 A k0 ( x) B k0 (x)
a a
E0 (k) E A V n* B 0
V n A E0 kE B 0取 E E
V(x)<0, V n0 ,从上式得到B= -A,于是
A k0 ( x)k0 (x)A n
x e n=2 A sin n x
i i x
L L a
取 E E
V n A V n B, 得到 A B
， E E (k) V n
k
0 ( x)k0 (x)A
i
n
x i
n
x
2 A cos n
A e a e a=x
L L a
由教材可知，及均为驻波．在驻波状态下，电子的平均速度(k) 为零．产生驻波因为电
子波矢 k n22a
时，电子波的波长
k
，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，a n
并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。
4.2、写出一维近自由电子近似，第n 个能带 (n=1 ， 2， 3)中，简约波数k的 0 级波函数。
2a
＜解＞k* ( x) 1 e ikx1
i
2
mx
1
i x i
2
mx
1
i
2
( m
1
)x e ikx e a e 2 a e a e a4
L L L L
k * ( x)1i x
第一能带： m0,m0,e 2 a
2a L
第二能带：第三能带：
22
i
2
x i
*
1
i
3
x b b则b b,m即m（ e a=e 2a）( x)e 2 a
a
,1,k
L
a
22k* (x)1
i x i
2
x
1
i
5
x
c c, m,即m1,e 2a e a e 2a
a a L L
4.3、电子在周期场中的势能．
1 m2b
2 ( x n )a2 , 当 n a b x n a b
2
V ( x)，当 (n-1)a+bx n a b
其中 d ＝ 4b ， 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度 ．
＜解＞ (I) 题设势能曲线如下图所示．
(2) 势能的平均值：由图可见，
V ( x) 是个以 a 为周期的周期函数，所以
1 V (x) 1
a
1 a b
V (x)
V (x)dx
a
V ( x) dx
L
L
a b
b
题设 a 4b ，故积分上限应为 a b 3b ，但由于在 b,3b 区间内 V ( x) 0，故只需在
b,b 区间
内积分．这时， n
0 ，于是
1 b
m 2
b
(b 2 2
)dx
m 2 2 x
b 1
3 b 1 2 V
V ( x)dx
2a
x 2a
b b
x
b
m b
。 a
b
b
3
6
（ 3），势能在 [-2b,2b] 区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
V ( x) V
V cos
m
x,V 2
m
m
2b
m
2b
2b 0
V ( x)cos
m
xdx 1
2b b
b
V (x)cos
m
xdx 2b
1代入上式 , E g
m 2 b
2
x 2 )cos
x
dx
第一个禁带宽度 E g 2 V 1 ,以 m
1
(b
1
b 0
2b
利用积分公式
u 2
cos mudu
u 2 mu sin mu 2cos mu
2
3 sin mu 得
m
m
E g
16m 2 b 2 第二个禁带宽度 E
2 V ,以
m
2代入上式 , 代入上式
1
3
g 2
2
E
g 2
m
2 (b 2
x 2
)cos x
dx 再次利用积分公式有
E
g 2
2m 2 2 b 2
b
b 0
b
4.4、
解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。
（ 1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中
S 态电子的能量可表示成：
s
(k ) s
J 0
J ( R s )e ik ( R s )
E
Rs 近邻
15
①
a (1,1,0), a (1,1,0), a (1,1,0), a
(1, 1,0) 2 2 2 2
②
a (0,1,1), a
(0,1, 1), a (0, 1,1), a
(0, 1, 1) 2 2 2 2
③
a
(1,0,1) a (1,0, 1), a (1,0,1), a
(1,0, 1) 2 2 2 2
由于 S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此
J (R S ) 有相同的值，简单表示为
J 1= J (R S ) 。又由于 s 态波函数为偶宇称，即
s ( r )
s ( r )
∴在近邻重叠积分 J ( R s )
i
*
(
R s ) U ( ) V ( R s ) i ( )d
中，波函数的贡献为正
∴ J 1＞0。
于是，把近邻格矢
R S 代入 E s ( R S ) 表达式得到：
s
(k )
S
J
J 1
e ik R s
E
Rs 近邻
=S J 0
i a
(k x k y )
i a ( k x k y )i a
( k x k y )
i a
( k x k y )
J 1 e 2
e 2 e 2
e 2
i a
(k y k z ) i a
( k y k z ) i a
( k y k z ) i a
( k y k z ) i a
(k x k z ) i a
(k x k z ) i a
( k x k z ) i a
(
k x k z )
e 2 e 2 e 2 e 2 + e 2 e 2 e 2 e 2
= S
J 0 2J 1 cos a (k x k y ) cos a
(k x k y )
cos a ( k y k z ) cos a
( k y
k z )
2 2
2 2
a cos (k z
k x ) cos(k z k x )
2
cos(
) cos(
) 2cos cos
= s J 0
4J 1 a
a
a
a
a
a
cos k x cos k y
cos k y cos k z
cos k z cos k x
2 2
2 2 2 2
（ 2）对于体心立方：有 8个最近邻，这 8个最近邻的坐标是：
a (1,1,1), a (1,1,1), a (1,1,1), a
(1,1,1)
2 2 2 2
a
(1,1, 1),
a
(1, 1,1,), a (1,1, 1), a
(1, 1, 1)
2 2
2
2
E s (k )s J 08J1(cos a
k x cos
a
k y cos
a
k z) 222
4.7、有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。求（ 1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k) 函数。（ 2）求出其能态密度函数的表达式。（ 3）如果每个原子s 态只有一个电子，求等于T=0K 的
费米能级E F0及 E F0处的能态密度。
＜解＞
(1), E(k )
s
J0J1 (e ika e ika )s J0 2J1 coska E0 2J1 coska
E(k ) E J 0J ( p s)e ik R s
(2) , N(E)
L dk2Na1N 22
2J1asin ka J1 sin ka 2dE
k F0Na000
(3),N 2 ( k )2dk22Nak F
2k F k F
022a
E F0E(k F0 )E2J1 cos a E s, N (E F0 )N N
2a J1 sina J1
2a
4.8、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍． (b) 对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7
＜解＞（ a）二维简单正方晶格的晶格常数为2? 2 ?
a，倒格子晶格基矢 A i , B j
a a
第一布里渊区如图所示
a
a
a
a
区边中点的波矢为 K?角顶点的波矢为K
B ??
A
a i ,B a i j .
a
2
K x2K y2K z2
自由电子能量,
2 2 2 2 2
A 点能量 A
K x 2 2m
a
2m a
,
2m
2
2
2
2
2
2
B 点能量 B
K x 2 K y 2
2
2m
2m aa2m
a
,所以
B /A 2
b)简单立方晶格的晶格常数为
a ，倒格子基矢为 A 2 i ?, B
a
第一布里渊区如图 7— 2所示．
2
2
A 点能量 A
2m a
;
2
2 2 2
B 点能量
B
2m
K x 2 K y 2 K z 2
a a
2m 所以 B / A 3
2
? 2
? k,
a j ,C
a
2
2
2
3
,
a
2m
a
(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图
7— 2 所示．根据自由电子理论，自由
2
电子的能量为
K x 2 K y 2 K z 2 ， FerM 面应为球面．由 (b) 可知，内切于 4 点的内切球的体
2m
3
4
3
积
4
，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为
V
N 1.047N
3
a
2
3
3
a
2
3
其中 V
Na 3
二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子，余下的 0.953
个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区
内余下的所有状态 (包括 B 点)．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由
(b)可知， B 点的能员比 A 点
高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以
“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面．因此，一区中有空态
存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．
4.10 、
解：设晶体中有N个 Cu原子，向其中掺入 x个锌原子。则晶体中电子的总数为：(N-x)+2x=N+x
由于 Cu是面心立方，每一个原胞中含4个电子。因此：晶体中包含的原胞数为：
其倒格子为体心立方，倒格子的边长为：4
，对角线的长度为： 4 3 a a
于是：布里渊区边界到原点的距离为：
1433
4a a
即：当 Fermi 球与第一布里渊区边界相切时，
3 k F
a
又由： 2V4k3N x
233F
N x k F333 33
V323 2 a3a3
于是有：N
x3N x3 N a3a3N4 4
x3
10.3597 N4
x0.35970.3597 N x 1 0.35970.56
0.6403
即：当锌原子与铜原子之比为0.56 时， Fermi 球与第一布里渊区边界相接触。N 4
2 x2y
4.12、正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为U x, y4U cos cos.
a a
用基本方程，近似求出布里渊区角
a
,处的能隙．a
? ?? ?
＜解＞以 i , j 表示位置矢量的单位矢量，以 b ,b表示倒易矢量的单位矢量，则有，
1 2
??2??
??G b g b g b , g, g为整数。
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
§ 2.3 金属性结合;§ 2.4 范德瓦耳斯结合; §2.5 元素和化合物晶体结合的规律性 1. 教学目的和要求: 通过讲解使学生理解并掌握金属性结合和范德 瓦耳斯结合；理解元素和化合物晶体结合的规律性 2．教学重点：金属性结合和范德瓦耳斯结合。 3．教学难点：范德瓦耳斯结合。 4．讲授时间：45分钟。 5．讲授方式：PPT文档。 6．作业：学生课后复习。 一．金属性结合 （1）金属性结合的概念 第I族、第II族元素及过渡 元素都是典型的金属晶体，它们 的最外层电子一般为1~2个。组 成晶体时每个原子的最外层电 子为所有原子所共有，因此在结 合成金属晶体时，失去了最外层 （价）电子的原子实“沉浸”在 由价电子组成的“电子云”中。 如图XCH002_004所示。 这种情况下，电子云和原子实之 间存在库仑作用，体积 越小电子云密度越高，库仑相互 作用的能愈低，表现为 原子聚合起来的作用。 （2）金属晶体结合力 金属晶体结合力：主要是原子实和电子云之间的静电库仑力，对晶体结构没有特殊的要求，只要求排列最紧密，这样势能最低，结合最稳定。因此大多数金属具有面心立方结构，即立方密积或六角密积，配位数均为12。 立方密积（Cu、Ag、Au、Al）（面心立方结构）（配位数12） 六角密积(Be、Mg、Zn、Cd)
体心立方结构(Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W)（配位数8） 良好的导电本领，结合能比前面两种晶体要低一些，过渡金属的结合能较大。 晶体的平衡是依靠库仑作用力和一定的排斥力而维持的。 排斥来自两个方面 (a) 但体积减小，电子云的密度增大，电子的动能将增加 (b) 当原子实相互接近到一定的距离时，它们的电子云发生显著的重叠，将产生强烈的排斥 作用。 金属性结合对原子的排列没有特殊的要求，这使得容易造成原子排列的不规范性，使其具有很大的范性。 二．范德瓦耳斯结合 （1）范德瓦耳斯结合的概念 元素周期表中第VIII族（惰性）元素在低温下所结合成的晶体，是典型的非极性分子晶体。为明确起见，我们只介绍这种分子晶体。 惰性元素最外层的电子为8个，具 有球对称的稳定封闭结构。但在某 一瞬时由于正、负电中心不重合 而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就 会使其它原子产生感应极矩。非极 性分子晶体就是依靠这瞬时偶极 矩的互作用而结合的，这种结合力 是很微弱的。1873年范德瓦耳斯 （Van der Waals）提出在实际气体 分子中，两个中性分子间存在着 “分子力”。当时他并没有指出这 力的物理本质，现在知道瞬时偶极 矩引起的力是分子力的一种。如图 XCH002_005所示。 （2）范德瓦耳斯结合的特征 惰性元素因具有球对称，结合时排列最紧密以使势能最低，所以Ne、Ar、Kr、Xe的晶体都是面心立方结构。它们是透明的绝缘体，熔点特低，分别为24K、84K、117K和161K。
《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
一、填空 1.固体按其微结构的有序程度可分为 _______、_______和准晶体。 2.组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为 _______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为 _________。 3.在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为 ______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为 ____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括 ______________晶体结构和 ______________晶体结构。 5.简单立方结构原子的配位数为 ______；体心立方结构原子的配位数为 ______。6．NaCl 结构中存在 _____个不等价原子，因此它是 _______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的 ______________格子套构而成的。 7.金刚石结构中存在 ______个不等价原子，因此它是 _________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4 的长度套构而成，晶胞中有 _____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足 a i b j 2 ij 2 ,当i j时 关系的 b1,b 2, b 3为基矢，由0，当 i （ i, j 1,2,3) j时 K h h b h b h构b成的点阵，称为 _______。 1 1 2 2 3 10.晶格常数为 a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 ________。 11.晶格常数为 a 的面心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 12.晶格常数为 a 的体心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 13.晶格常数为 a 的简立方晶格的 (010)面间距为 ________ 14.体心立方的倒点阵是 ________________点阵，面心立方的倒点阵是 ________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15.一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是 ________________。 16.若简单立方晶格的晶格常数由 a 增大为 2a，则第一布里渊区的体积变为原来的 ___________倍。
第五章 第五章 晶体中电子能带理论 思考题 1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数 )()(r r k.r k i k u e =ψ, 对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得 )(r k u = r K K .)(1 m i m m e a N ∑Ω . 对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此, )(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略. 当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数 r K k'h K k r ).()'()(h i h e a +∑+=ψ, 其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 得到 n k'.R i e =n k.R i e . 其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、 , 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、 1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *321) (Ω=??b b b ,
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一、 填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠? 当时 （，当时关系的123,,b b b 为基矢，由 112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
第二章 固体的结合 晶体结合的类型 晶体结合的物理本质 固体结合的基本形式与固体材料的结构、物理和化学性质有密切联系 § 2.1 离子性结合 元素周期表中第I 族碱金属元素（Li 、Na 、K 、Rb 、Cs ）与第VII 族的卤素元素（F 、Cl 、Br 、I ）化合物（如 NaCl ， CsCl ，晶体结构如图XCH001_009_01和XCH001_010所示）所组成的晶体是典型的离子晶体，半导体材料如CdS 、ZnS 等亦可以看成是离子晶体。 1. 离子晶体结合的特点 以CsCl 为例，在凝聚成固体时，Cs 原子失去价电子，Cl 获得了电子，形成离子键。以离子为结合单元，正负离子的电子分布高度局域在离子实的附近，形成稳定的球对称性的电子壳层结构； , , , Na K Rb Cs Ne Ar Kr Xe F Cl Br I ++++? ? ? ? ? ? ?? 离子晶体的模型：可以把正、负离子作为一个刚球来处理； 离子晶体的结合力：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体； 一种离子的最近邻离子为异性离子； 离子晶体的配位数最多只能是8（例如CsCl 晶体）； 由于离子晶体结合的稳定性导致了它的导电性能差、熔点高、硬度高和膨胀系数小；
大多数离子晶体对可见光是透明的，在远红外区有一特征吸收峰。 氯化钠型(NaCl 、KCl 、AgBr 、PbS 、MgO)(配位数6) 氯化铯型(CsCl 、 TlBr 、 TlI)（配位数8） 离子结合成分较大的半导体材料ZnS 等（配位数4） 2. 离子晶体结合的性质 1）系统内能的计算 晶体内能为所有离子之间的相互吸引库仑能和重叠排斥能之和。以NaCl 晶体为例，r 为相邻正负离 子的距离，一个正离子的平均库仑能：∑++?++3213 21,,2 /122322222102) (4)1('21n n n n n n r n r n r n q πε ——遍及所有正负离子，因子1/2—库仑作用为两个离子所共有，一个离子的库伦能为相互作用能的一半。 321,,n n n 一个负离子的平均库仑能：∑++??++3213 21,,2 /122322222102) (4)1()('21n n n n n n r n r n r n q πε ——遍及所有正负离子，因子1/2—库仑作用为两个离子所共有，一个离子的库伦能为相互作用能的一半。 321,,n n n 一个原胞有两个离子，其原胞的能量：∑++?++3213 21,,2 /122322222102)(4)1('n n n n n n r n r n r n q πε 即r q n n n r q n n n n n n 02 ,,2 /123 222102 4)()1('4321321πεαπε?=++?∑++ ∑++?=?++321321,,2 /123 2221)()1('n n n n n n n n n α——α:马德隆常数，完全取决于晶体的结构。 几种常见的晶体晶格的马德隆常数 离子晶体 NaCl CsCl ZnS 马德隆常数 1.748 1.763 1.638 相邻两个离子因电子云有显著重叠时的排斥能：或者 /r r be ?n r b
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。
一 名词解释 原胞 布喇菲点阵 结点 第一布里渊区 肖脱基缺陷 弗兰克尔缺陷 费米面 费米能量 费米温度 绝热近似 肖特基效应 德哈斯—范阿尔芬效应 马德隆常数 二 简答题 1. 简述Si 的晶体结构的主要特征 2. 证明面心立方的倒格子为体心立方 3. 按对称类型分类，布拉菲格子的点群类型有几种？空间群类型有几种？晶体结构的点群类型有几种？空间群类型有几种？ 4. 晶体的宏观对称性中，独立的对称操作元素有那些？ 5. 劳厄方程 布拉格公式 6. 固体结合的五种基本形式 7. 写出离子晶体结合能的一般表达式，求出平衡态时的离子间距。 8. 点缺陷基本类型 9. 什么是热缺陷？简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。 10. 接触电势差产生的原因 11. 请用自由电子气理论解释常温下金属中电子的比热容很小的原因。 12. 简要解释作为能带理论的三个基本近似：绝热近似、单电子近似和周期场近似。 13. 简述布洛赫定理 14. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点 15. 为什么有的半导体霍尔系数取正值，有的取负值。 16. 自由电子气模型基本假定 17. 能带理论基本假设 三 计算题 1. 某晶体具有面心立方结构，其晶格常数为a 。 （1）写出原胞基矢。 （2）求倒格子基矢，并指出倒格子是什么类型的布喇菲格子。 2. 简单立方晶格中，每个原胞中含有一个原子，每个原子只有一个价电子，使用紧束缚近 似，只计入近邻相互作用。 1) 求出s 态组成的s 能带的E(k)函数。 2) 给出s 能带带顶和带底的位置和能量值。 3) 求电子在能带底部和顶部的有效质量。 5) 求出电子运动的速度。 3.知Si 中只含施主杂质N = 1015 cm -3 D ，求载流子浓度？ 4.假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。试证明第一布里渊区角偶点??? ??a a a πππ,,的自由电子动能为区边中心点?? ? ??0,0,a π的三倍。 5. 金属钠是体心立方晶格，晶格常数a =3.5?，假如每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导T=0K 时金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。（?=1.05×10-34J ·s ，m=9.1×10-35W ·s 3/cm 2，1eV=1.6×10-19J ） 6. 平时留过的作业题
1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明 （1）电子气体的压强 ()() V p 032ξ?=，其中 0ξ为电子气体的基态能量。 （2）体弹性模量()V p V K ??-=为V 100ξ 解：（1） () 3 2 352225 223101101-==V N m h V m k h F πππξ （1.1.1） () () () ()() V V N m h V N m h V N m h V V p 035 352223535222323522223101323231013101ξππππππξ?==??? ? ??--=??? ? ????=??-=--- （1.1.2） （2） ()() () () V V N m h V N m h V V N m h V V V p V K 1031019103531013231013203 8 35222 383 52 22 353522 2ξππππππ==??? ? ??--=??? ? ????-=??-=--- （1.1.3） 1.2 He 3 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3 的密度为0.081g ?cm -3。 计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3 原子的质量为g m 24105-?≈。 解：把 He 3 原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1. 3 2832224 1062.11062.1105081 .01m cm m Z n m ?=?=??== --ρ （1.2.1） ( ) 19173 1 2 108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π （1.2.2） () eV J m k F F 42327 2 9 3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????= =ηε （1.2.3） K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε （1.2.4）
山东大学试题专用纸 物理系-----年级----班 课程名称: 固体物理 共1页 学号: 姓名: 一. 填空(20分, 每题2分) 1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( ), 其面间距为( ). 2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( ), 长光学波的( )波会引起离子晶体宏观上的极化. 3. 金刚石晶体的结合类型是典型的( )晶体, 它有( )支格波. 4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度( )零, 电子波矢的末端处在( )边界上. 5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带( )电. 对导电有贡献的是 ( )的电子. 二. (25分) 1. 证明立方晶系的晶列[hkl ]与晶面族(hkl )正交. 2. 设晶格常数为a , 求立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距. 三. (25分) 设质量为m 的同种原子组成的一维双原子分子链, 分子内部的力系数为β1, 分子间相邻原子的力系数为β2, 分子的两原子的间距为d , 晶格常数为a , 1. 列出原子运动方程. 2. 求出格波的振动谱ω(q ). 四. (30分) 对于晶格常数为a 的SC 晶体 1. 以紧束缚近似求非简并s 态电子的能带. 2. 画出第一布里渊区[110]方向的能带曲线, 求出带宽. 3.当电子的波矢k =a πi +a π j 时,求导致电子产生布拉格反射的晶面族的面指数. (试题随答卷上交)
答案： 一. 填空(20分, 每题2分) 1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族 的面指数为( 122 ), 其面间距为( a 32π ). 2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数 目为( 3 3R V ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 3. 金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体, 它有( 6 )支格波. 4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度(不为 )零, 电子波矢的末端处在(布里渊区)边界上. 5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带(正)电.对导电有贡献的是 (费米面附近)的电子. 二. (25分) 1.设d 为晶面族()hkl 的面间距为, n 为单位法矢量, 根据晶面族的定义, 晶面族()hkl 将c b a 、、分别截为l k h 、、 等份， 即 a =?n a cos (a ,n )==a cos (a ,n )=hd , b =?n b cos (b ,n )= a cos (b ,n ) =kd , c =?n c cos (c ,n )= a cos (c ,n ) =ld . 于是有 n =a d h i +a d k j +a d l k =a d (h i +k j +l k ). (1) 其中, i 、j 、k 分别为平行于c b a 、、三个坐标轴的单位矢量. 而晶列 []hkl 的方向矢量为 =R ha i +ka j +la k =a (h i +k j +l k ). (2) 由(1)、（2）两式得 n =2a d R , 即n 与R 平行. 因此晶列[]hkl 与晶面()hkl 正交. 2. 立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距 22222222l k h a a l a k a h d hkl hkl ++= ++==k j i K πππππ 三. (25分) 1.
2008级电技专业《固体物理学》测验题 一、 （40分）简要回答： 1、 什么是晶体？试简要说明晶体的基本性质。 2、 试简要说明CsCl 晶体所属的晶系、布喇菲格子类型和 结合键的类型。 3、 试用极射赤平投影图说明3（3次旋转反演轴）的作 用效果并给出其等效对称要素。 4、 什么是格波？什么是声子？声子的能量和动量各为 多少？ 5、 试写出自由电子和晶体中电子的波函数。 6、 如需讨论绝缘体中电子的能谱，应采何种模型？其势 能函数有何特点？ 7、 什么是禁带？出现禁带的条件是什么？ 8、 固体中电子的能量和电子波矢间有何关系？ 二、（10分）某晶体具有简立方结构，晶格常数为a 。试画出 该晶体的一个晶胞，并在其中标出下列晶面：（111`），（201），（123）和（110）。 三、（8分）某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子 并讨论x 射线衍射时的消光规律。 四、（12分）试求晶格常数为2a 的一维布喇菲格子晶格振动 的色散关系，并由此讨论此一维晶格的比热。 五、（15分）对于六角密积结构晶体，其固体物理原胞的基矢 为： k c a j a i a a j a i a a =+-=+=321232232 试求 （1） 倒格子基矢； （2） 晶面蔟（210）的面间距； （3） 试画出以21,a a 为基矢的二维晶格的第一、第二 和第三布里渊区。 六、（15）已知一维晶体电子的能带可写为： ) 2cos 81 cos 87()(22 ka ka ma k E +-= 式中a 是晶格常数，试求： （1） 能带的宽度； （2） 电子在波矢k 态时的速度； （3） 能带底部和能带顶部附近电子的有效质量。 《固体物理学》测验参考答案 一、（40分）请简要回答下列问题： 1. 实际的晶体结构与空间点阵之间有何关系？ 答：晶体结构=空间点阵+基元。 2. 什么是晶体的对称性？晶体的基本宏观对称要素有哪些？ 答：晶体的对称性指晶体的结构及性质在不同方向上有规律重复的现象。描述晶体宏观对称性的基本对称要素有1、2、3、4、6、对称心i 、对称面m 和4次反轴。 3. 晶体的典型结合方式有哪几种？并简要说明各种结合方式 中吸引力的来源。 答：晶体的典型型方式有如下五种： 离子结合——吸引力来源于正、负离子间库仑引力； 共价结合——吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力； 金属结合——吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力； 分子结合——吸引力来源于范德瓦尔斯力 氢键结合——吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间 的库仑引力。 4. 由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模 式的取值数各为多少？ 答：共有3r 支色散关系，波矢取值数=原胞数N ，模式取值数=晶体的总自由度数。 5. 请写出自由电子和Bloch 电子的波函数表达式并说明其物理 意义。
《固体物理学》习题解答 黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3
所以，面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633 a 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k） 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k)
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