第12章 数的开方
第一课时 12.1平方根与立方根（1）（P2—P3）
学习目标：
1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，初步培养辩证唯物主义观点；
2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；正确区分平方根与算术平方根的关系。 学习过程： （一）知识衔接回顾
１．说出下列各式的结果：
=23 ； =-2)3( ； =2)52( ； =-2)5
2
( ；=20 ．
２．填空：9)(2= ；25
4)(2= ； 36.0)(2= ；
0)(2=
3. 要剪出一块面积为25cm 的正方形纸片，纸片的边长应是多少?
（二）、新知自学
1、平方根的定义：如果一个数的 等于a ，那么 叫做a 的平方根， a 的平方根记作 。
2、平方根的性质：
①正数a 的平方根有 个，它们互为 ，记作 ②0 的平方根有 个，就是 ； ③负数 平方根。
3、开平方：求一个非负数的 的运算，叫作开平方。开平方的结果是 ，开平方与平方互为逆运算。
（三）、探究 合作 展示 1、试一试
（1）4的平方根是 （2） 0的平方根是 （3）254
的平方根是
（4） －４有没有平方根?为什么? （5）3的平方根是 2、求100的平方根．
解：因为（ ）2
＝100，(-10)2
＝（ ），除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是（ ）和（ ），也可以说，100的平方根是±（ ）. 3、交流互动 (1) 正数的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3) 负数有平方根吗？为什么？ 请同学概括有理数的平方根的性质．（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根．） 4、 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由． (1)－64；(2)0；(3)(－4)2．
分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．
（四）、巩固训练 （A ）
一、1、一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何?
2、如果我们知道了两个平方根中的一个，那么是否可以得到它的另一个平方根?为什么?
3、0的平方根有几个?是什么数?
4、负数有平方根吗?为什么? 5.平方和开平方运算又有联系，二者互为 逆 运算．
二、将下列各数开平方： 1、64 2、0.25 3、49
81 4、0.09
(B)
填空题 (1).x 2
=(－7)2
,则x=______. (2).若2+x =2,则2x+5的平方根是
______.
(3).若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为____.(4) 16的平方根是＿＿＿
(5).已知0≤x ≤3,化简2x +2)3(-x =______. (6). .若|x －2|+3-y =0,则
x ·y =______ （五）、拓展延伸 1、求下列各数的平方根：
1.（1）
81
16；（2） 0.36；（3） 324；（4）0.0049
2. (1).已知某数有两个平方根分别是a+3与2a －15,求这个数.
※ (2).一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a －3,求a 和x 的值。 .
第二课时 12.1平方根与立方根（2）（P3-P4）
学习目标：
1、了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。
2、了解开方运算与乘方运算是逆运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根。
3、会利用开方运算求某些非负数的平方根、 学习过程:
（一）、知识衔接回顾
1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？
2.0.49的平方根＝____；
3.判断下列说法是否正确，并简述理由。 （1）1±的平方根是1。 答：
（2）1的平方根是1。
（3）25-的平方根是5±。答： （4）5-是25的平方根。 答： （二）、新知自学
1.算术平方根： 正数a 的 叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“根号a ”；另一个平方根是它的相反数，即－ a 。因此正数a 平方根可以记作± a ，a 称为被开方数。例如 3 表示3的算术平方根，± 3 表示3的平方根、这里应注意：a 有两个“正”，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即00=．从以上可知，当a 是正数或是0时，a 表示a 的 平方根． 2、问题解析
例1、 求100的算术平方根．
解：因为（ ）2=100，所以100的算术平方根是10．即10100=． 注意：100的平方根是±10，而100的算术平方根是10． 例2、 求下列各数的平方根和算术平方根： (1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 9
7
1
说明：求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征． （三）、探究合作展示 1.
下
列
各
式
中
哪
些
有
意
义
？哪些无意义？
2.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：
3.填空：
（1）若x 2
=25，则x= ,若（-x ）2
=（-12）2
，则x= . (2)如果a 的平方根是±2,b 是（-3）2
的算术平方根，则a+b= . ※(3)若1-x +（y －2）2
=0,则x －y = .
4.选择题：
（1）下列语句写成数学式，正确的是（ ）
A 、9是81的算术平方根：±81=9
B 、5是（-5）2
的算术平方根：2
)
5(-=5
C 、±6是36的平方根：36=±6
D 、-2是-4的负的平方根：4-=－2 （2）(-2)的平方根是（ ） A 、2 B 、-2 C 、±2 D 、±2 （四）、巩固训练
1.平方根和算术平方根有什么区别与联系？
2. 式子 a 中a 应该满足什么条件?
3.10在哪两个整数之间?
4. 3.1＜10＜3.2正确吗?
5. 下列四个结论中，正确的是（）．
A. 3.15＜10＜3.16
B. 3.16＜10＜3.17
C. 3.17＜10＜3.18
D. 3.18＜10＜3.19 6.求下列各数的平方根和算术平方根：
．；；；
；；；0169
144
256101.040025.0121
（五）、拓展延伸 1、求下列各式的值：
．
； ； ； ；9005
1
36.0314120)5(432425)4(36
232
4)3(25
214
)2(625)1(2222--+?--±-
2、已知一个正数的两个平方根分别是3a+1和a+11,求这个数的平方根。
第三课时 12.1平方根与立方根（3）（P5-P7）
学习目标：
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根、
2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。 学习过程
（一）、知识衔接回顾（创设问题情境导入）
1、问题：现有一只体积为216 cm 3
的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？ 分析 ：上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．
解 ：设正方体纸盒的棱长为x cm ，则 2163
=x ，因为 63
＝216，所以x ＝6．
答 ：正方体的棱长应为6 cm ．
2、你能找一个数，使这个数的立方等于125吗? 3.试一试
我们先来算一算一些数的立方.
23
=______ ;(-2)3
=______; 0.53
=_____;(-0.5)3
=______; (
23)3=_____;-(23
)3?=_____ ; 03
=______.从这里可以抽象出一个什么数学概念?
（二）、新知自学
1、问：上面提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？
答：已知乘方指数3和幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”即x 3＝a ，a 是已知数，求x ．
2、类似平方根定义可知,若3
x
=a 则x 为a 的立方根,记为3a ,读作“三次根号a ”
（对照教材，看看叙述的异同） 因为12553
=，所以5是125的立方根，即 51253=
求一个数的立方根的运算，叫做______. （三）、探究合作展示 1 、求下列各数的立方根： (1)27
8
； (2)-125； (3)-0.008； (4)0．
2、求下列各式的值：（1）3027.0 （2）327102 （3）310001
-； （4）64±；
3、下列说法正确的是：（ ）A 、负数没有立方根 B 、一个数有两个立方根 C 、如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D 、一个数的立方根与被开方数同号 3、如果一个数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（ ） A 、0或1 B 、0 C 、1 D 、+1、-1或0
4、64的立方根是（ ）A 、2 B 、+2和-2 C 、4 D 、+4和-4
5、根据上述练习提问：一个正数有几个立方根？ 是否任何负数都有立方根？ 如都有，一个负数有几个立方根？ 0的立方根是什么？
启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．
（四）、巩固训练
1、什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a 的立方根？a 的取值范围是什么？
2、数a 的立方根与数a 的平方根有什么区别？
3、32 表示2的立方根，那么(32 )3
等于多少呢? 323 又等于多少呢?
4、3a 表示a 的立方根，那么(3a )3
等于多少呢? 3a 3 又等于多少呢?
（五）、拓展延伸 1、求下列各数的立方根： （1） 512；（2） －0.027；（3） －125
64；（4）0.125；
2、求下列各式的值：
（1）364； （2）27 ； （3）-343
第四课时 12.2实数与数轴 （1） （P8-P13）
学习目标：
1.了解无理数和实数的概念;会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力;了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义.
2.通过独立思考与小组合作，积极讨论，比较总结出无理数和实数的概念，会区分有理数和无理数。
3.激情投入，全力以赴，体验学习的快乐。 学习过程：
（一）、知识衔接回顾
我们以前学过有理数，请简单的说一说有理数的基本概念、分类： 试一试
①计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 2＝
21＝ 11
9-＝ 动手试一试，说说你的发现并与同学交流.
（结论：上面的有理数都可以写成 或 的形式.） 事实上， 一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. ②思考：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？ 阅读下列材料：
设x 0.30.333?
==···① 则10x 3.333=···② 则②-①得39=x ，即3
1
=x ， 即0.30.333?
= (13)
=
. 根据上面的方法，你能把?
4.0化成分数吗？且想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分数？
结论： 都能化成分数，所以任何一个有限小数或无限循环小数都是有理数. （二）、新知自学
①我们知道，2是无限不循环小数，它们不能化成分数，即它不是有理数。
此外
这些都是无限不循环小数。
我们给无限不循环小数起个名，叫 。有理数和无理数统称为实数 试一试：你能尝试着找出三个无理数吗？ 、 、 . 思考：用根号形式表示的数一定是无理数吗？ ②实数的分类 （1）画一画：请尝试画出实数的分类图.
（2）.把下列各数填入相应的集合内：
143.139
π-，，，，0.8080080008···（相邻两个8之间的0的个数逐次家1），
33
152********
π-，，，，，， 整数集合｛ ···｝ 负分数集合｛ ···｝ 正数集合｛ ···｝ 负数集合｛ ···｝ 有理数集合｛ ···｝ 无理数集合｛ ···｝ （三）、探究合作展示
1 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由。 (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限不循环小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数( ) (5)带根号的数都是无理数.( ) (6)有理数都是有限小数.( ) 2.在-?
17.2，16，-5.2，0，-8
5
，3，π中，属于有理数的是 ，属于无理数都是 。
3. 给下列说法：① －6是36的一个平方根 ② 16 的平方根是4 ③ －332-=2 ④327是无理数
⑤一个无理数不是正数就是负数， 其中正确的说法有（ ）A. ①③⑤ B.
②④ C.①③ D. ①
4.在实数1.4142135，0.3030030003……（相邻两个3之间的0的个数逐次加1）， －
4
π
， 2163，2
13
1）（-中，无理数的个数是（ ）A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 （四）、巩固训练
1.无限小数包括 和 ，其中 是无理数。 2、把下列各数分别填入相应的集合内：
3
2，
41，7，π，25-，2，320，5-，38-，9
4，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？ 有理数集： 无理数集：
3、下列说法不正确但是（ ）
A.有限小数好无限循环小数都是有理数
B.2和3都是无限不循环小数，因此它们都是无理数
C.无理数都是像2、3……等开方不尽倒数
D.3
π
不是分数 4.如果a 是实数，那么下列各式一定为负数的是（ ） A. –a
2
B.-（a+1）
2
C.-2a
D.-2a -1
5. 比较下列各组数中两个实数的大小： （1） 23和32；（2） －7/2和－π/3．
（五）、拓展延伸
A 组：将下列各数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连结起来． 22， 5， －π/2， 0， －1.6
B 组：计算：23+2332-
第五课时 12.2实数与数轴 （2） （P8-P13）
学习目标：
1.了解实数的相反数、倒数、绝对值的意义，知道实数与数轴上的点一一对应关系；了解在有理数范围内的运算法则在实数范围内仍然适用；能根据具体情况，灵活选择方法比较两个实数的大小。
2.通过独立思考与小组合作，积极讨论，比较总结出实数与数轴上的点一一对应关系。实数的运算，大小比较。
3.激情投入，全力以赴，体验学习的快乐。 学习过程：
（一）、知识衔接回顾
每一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？2.试一试：
无理数如2可以用数轴上的点来表示吗？画一画，说说你的方法.
2-能画出来吗？
结论:每一个无理数都可以 .
结论：把数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点一一对应.即：每一个实数都可以 ；数轴上的每一个点都可以表示一 . （二）、新知自学
1、类比在有理数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、倒数、绝对值的意义. 结论：在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内相反数、倒数、绝对值的意义 。
（2、填空 A.3的相反数是（ ），倒数是（ ），绝对值是（ ）； B.5-的相反数是（ ），倒数是（ ），绝对值是（ ）； C.π的相反数是（ ），倒数是（ ），绝对值是（ ）. （三）、探究合作展示
1、 自学教材P10例2，然后计算：
（1）5π+（精确到0.01） （2）33+2
2、（1）求下列各数的相反数和绝对值 2.5 ，7- ， 2
π
- ，3-2 ，0 ， 3.14π-
（2）数轴上表示-5的点到原点的距离是 ，数轴上表示3.14的点在表示π的点的 侧。
（3）一个数的绝对值是3，则这个数是 。
（4）同学们知道2是一个无理数，它是一个无限不循环小数，且1﹤2﹤2，把1叫做
2的整数部分，2-1叫做2小数部分，利用上面内容，你能确定下列无理数的整数
部分与小数部分吗？
（1）13 （2）17 （3）29 （四）、巩固训练
①利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。这个结论在实数范围内也成立吗？答 .②我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？
正数 零，负数 零，正数 负数.两个正实数，绝对值较大的数也 . 两个负实数，绝对值大的数反而 ； 练习：1、比较下列各组里两个数的大小：
（1）2 ，1.4 （2）56--， （3）-2，3
2、试试看：你会比较3
27-与31
的大小吗？ （五）、拓展延伸
（1）如图，数轴上表示1、3的对应点分别为点A 、点B ．若点B 关于点A 的对称点为点
C ，则点C 所表示的数为（ ）
A ．31-
B ．13-
C ．23-
D ． 32- （2）若圆的半径为有理数，则其面积为（ ）
A.有理数
B.无理数
C.正整数
D.正分数 （3）若a 、b 为实数时，下列说法正确的是（ ） A.若b a =，则a=b B.若a ＞b ，则a 2
＞b
2
C.a 2
=b 2
，则a=b D.若3a =3b ，则a=b
（4）实数a 、b 在数轴上位置如图所示，那么化简2
a b a --的结果是
A. 2a-b
B. b
C. -b
D. -2a+b
第六课时 单元复习 1 （P2-16）
学习目标：
1.理解并掌握平方根和算术平方根、立方根的意义；
2. 进一步巩固用估算方法来比较两数的大小，利用结算方法求无理数的范围； 学习过程：
（一）、知识衔接回顾 1.平方根和算术平方根的意义：
(1)如果一个数的 等于a ，那么这个数叫做a 的 ； (2)正数a 的 ，叫做a 的 平方根；
(3)一个正数有 个平方根，它们 ；零的平方根是 ；负数 平方根. (4)求一个 数的平方根的运算，叫做开平方，它与平方运算互为 ． 2.立方根的意义：
(1)如果一个数的 等于a ，那么这个数就叫做 根． (2)求一个数的 的运算，叫做 立方，与立方运算 逆运算． (3)任何数都有 根. 3. 实数
无限不循环小数叫 数； 数和 数统称为实数。实数与数轴上的点 对应。
（二）、新知自学
1、根据表格中所给信息填空；
2、填空
(1)
25
4
的平方根是 ，81的算术平方根是 ； (2) 的平方等于
169，16
9
的算术平方根是 . 3、 已知16)2(2
=x ，y 是2
)5(-的正的平方根，求代数式y
x x
y x x -++的值.
（三）、探究合作展示
1、若x =8，则x 的平方根是————；x 的算术平方根是————；x 的立方根是————；
2、一个数的算术平方根为—m ，则它的负的平方根是————
3、
2
2————分数（填写“是”或“不是”） 4、平方根等于本身的数是 ；立
方根等于本身的数是 ；算术平方根等于本身的数是 . 5、 数a 、b 在数轴上的位置如图所示：
化简：2
22)()1()1(b a b a ---++．
（四）、巩固训练 1.填空：若2=
x ，则x ＝ ，－2的相反数是 ，－2的绝对值是 ，
2.把下列各数填入相应的大括号内：
5，－3，0，3.1415 ,
722,293+ , 31- , 38-,2
π, 1.121221222122221… （两个1之间依次多个2）
(1)正数集合：{ …}； (2)负数集合：{ …}； (3)无理数集合：{ …}； (4)非负数集合：{ …}.
（五）、拓展延伸
4、已知a 、.b 是有理数，且5+2a+35b=b —5a+5. 则 a= _____ b=______
5、计算—2
51)
(-=------ 6、化简5
55-= .
7、若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则(a －b)
2004
=_______
第七课时 ： 单元复习 2 （P2-16）
教学目标
1、进一步巩固实数的开方的有关概念。
2、进一步巩固实数的运算法则和运算定律。
3．进一步巩固用估算方法来比较两数的大小，利用结算方法求无理数的范围。 学习过程：
（一）、知识衔接回顾
问题l ：什么叫做无理数?什么叫做实数?
(无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称为实数) 问题2：实数可以怎样分类?
1．按正负数分类，实数可以分为正实数、负实数、0； 2．按有理数、无理数分类。 问题3：你能在数轴上找到表示 2 的点吗? 问题4：无理数与数轴上的点一一对应吗? 问题5：有理数与数轴上的点一一对应吗? 题6：实数与数轴上的点一一对应吗? （二）、新知自学
1、4的平方根为（ ）
A.2 B ±. 2 C. 2 D.2±
2. 9的平方根是（ ） A. -3 B.3
C.3±
D.81
3.设26=a.则下列结论正确的是（ ）
A.4.5＜a ＜5.0
B.5.0＜a ＜5.5
C.5.5＜a ＜6.0
D.6.0＜a ＜6.5 4.有六个数0.010010001…,2π，-
7
22，-3
064.0，39，121，其中无理数的个数是（ ） A.2个 B. 3个 C. 4个 D.5个 （三）、探究合作展示
1. 在实数范围内，x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x ≥0 B x ≤0 C .x ＞0 D.x ＜0
2. 36的算术平方根是（ ） A..6± B.6 C. 6 D ±6
3. a 的立方根是4，则a 的平方根是（ ） A .2± B.2 C 8± D.-2
4.
)
3(2
-的值是（ ） A.-3 B3或-3 C.9 D.3
5 .估计20的算术平方根的大小在（ ）
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
6、 下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33
，③64的立方根是2，
④()4832
±=±。其中正确的有 （ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 （四）、巩固训练
1 .使1-x 有意义的x 的取值范围是 _____________________ 2. 请写出一个比5小的整数____________
3. 一个自然数的算术平方根是a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是_____________
4. 写出一个大于1且小于4的无理数____________ 5 .实数8的立方根是__________
6. 若x.y 为实数，且∣x+2︱+
2-y =0.
)2009
(y
x =______
7.
4—3×)2(2
-=________
8. 在实数—
47，4，39，0， 3
1
π，0.121121112…中，无理数有______个. 9.
4
1
16—3
27
8
=________ 10. （3—3）的相反数是________ 11 .5—5的整数部分是_________
（五）、拓展延伸 1. 9的算术平方根是______.—64的立方根是_____ 2. 已知2-a +
)5(2
-b =0，那么a+b 的值为_______
3. 一个正数的平方根为a-2和3a-8.则这个正数的立方根是_______
4. 求式子中的x, （1） 9x 2
—18=7（2）25x 2
—36=0 （3）)
32(2
-x = —512
第12章《数的开方》单元测验
一、填空题(30分)
1．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 2．数轴上表示5-的点与原点的距离是________； 3．2-
的相反数是 ； 4．81的平方根是_______；
5．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ； 6．当______m 时，m -3有意义；
7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，这个正数是 ； 8．已知0)3(122=++-b a ，则=3
3
2ab
； 9 如果,23253-=+x 则17+x 的平方根为 10 、若2,3==b a ，且0 二、选择题(36分) 9．下列运算正确的是（ ） A 、7272+= + B 、3232=+ C 、428=? D 、 22 8 = 10．在实数0、3、6-、236.2、π、7 23 、14.3中无理数的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 11．下列说法错误的是（ ） A 、1)1(2 =- B 、()1133 -=- C 、2的平方根是2± D 、()232)3(-?-=-?- 12．下列说法中正确的有（ ） ①带根号的数都是无理数；②无理数一定是无限不循环小数； ③不带根号的数都是有理数；④无限小数不一定是无理数； A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 14 若()2 n m -的算术平方根是n m -，则下列各式成立的是 （ ） A 、n m > B 、n m ≥ C 、n m < D 、n m ≤ 15、下列说法中正确的是 （ ） A 、任何数的平方根都有两个， B 、一个正数的平方根的平方是它本身 C 、只有正数才有平方根， D 、正数的平方根是正数 16已知：42=+a ，则()2 2+a 的平方根是 （ ） A 、16 B 、±16 C 、2 D 、±2 17、设2-=x a ，2-=x b ，()2 2-=x c ，2+=x d ，则d c b a ,,,这四个数中， 其值一定为非负数的共有 （ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、解方程(14分) 1．()6432 =-x 2．8)12(3-=-x 四、计算题 (10分) （1）2+-255∏(精确到0.01) （2） 32 3 811613125.0?? ? ??-+- 第2课时 实数的性质及运算 1．了解有理数的相反数、绝对值等概念,运算法则、运算律在实数范围内仍然适用． 2．能对实数进行大小比较和四则混合运算． 重点 实数的性质、实数的大小比较及运算． 难点 实数的大小比较． 一、复习回顾 1．用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律． 2．用字母表示有理数的加法交换律和结合律． 3．平方差公式、完全平方公式． 4．有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？ 二、探究新知 1．实数的性质 填空: 32与________互为相反数；5与________互为倒数；|－33|＝________. 讨论:当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？开方的意义相同吗？ 总结:数a 的相反数是－a,这里a 表示任意一个实数,一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.任意一个正数有两个平方根,0的平方根是0,负数没有平方根．任意一个实数有且仅有一个立方根． 2．实数的比较 思考:“利用数轴,怎样比较两个实数的大小？” 学生思考回答后,教师总结讲解． 在数轴上表示的数,右边的数总比左边的大,这个结论在实数范围内仍成立． 我们还有什么方法可以比较两个实数的大小呢？ 方法很多,我们通常可以取它们的近似值来进行比较． 3．实数的运算 阅读教材第10页,掌握实数运算的方法． 实数运算的顺序、法则和有理数的运算相同,只是涉及无理数的运算时,通常取它们的近似值来进行运算． 三、练习巩固 1．请你试着计算下列各题: (1)12＋???? ??－12＝________； (2)－2＋32＝________； (3)33＋(－33)________． 第11章数的开方知识点总结 平方根 ★1.平方根的定义: 如果一个数的________等于a,那么这个数叫做a的__________. 2,那么________叫做________的__________. 即如果a x ★2.数的开方: 数的开方是一种运算,它包括开平方和开立方. （1）开平方: 求一个数的平方根的运算,叫做开平方; （2）开立方: 求一个数的________的运算,叫做开立方. ★3.平方根的特征: （1）正数的平方根有________个,它们互为________; （2）0的平方根只有________个,是________,即它本身; （3）负数________平方根. ★4.平方根的表示: 非负数a的平方根表示为__________.其中a叫做__________,对a 的要求是________. ★5.算术平方根 非负数a的算术平方根表示为__________. ★6.关于算术平方根 正数的算术平方根只有________个,0的算术平方根是________,负数没有平方根,当然也就没有____________. 算术平方根等于它本身的数有________个,分别是____________. 平方根等于它本身的数有________个,是________. ★7.()0≥a a 具有双重非负性: （1）0≥a ; （2）0≥a . ★8.非负数的和为0的问题 若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于________. 若02=++C B A ,则______________________. ★9.重要结论: （1）???==________________________2 a （2）()=2a ________,()=-2a ________. （3）若A B B A --与都有意义,则____________. ★10.新概念---完全平方数 如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做_______,如0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100等. 完全平方数可以用于估算某些无理数的值,即开方开不尽的数. ★11.易错题 例1. 16的平方根是________,16的平方根是________. 例2. 81的平方根是________,81的平方根是________. 例3. ()2 4-的平方根是________,算术平方根是________. 例4. 如果()=-=a a 则,6.12 2________. 例5. 25 16的平方根是________,用数学式子表示为_______________. 例6. 若某个数的平方根只有一个,则这个数是______.若一个自然数的算术平方根是a ,则和这个自然数相邻的下一个自然数是________. 第11章《数的开方》复习课导学案（3课时内容） 核心知识梳理: 1、平方根与算术平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫 ，即若2x a =，那么x 叫 ；记作x ＝ ，而a 叫x 的 .一个正数有 个平方根，它们 ；一个负数 平方根；0的平方根是 。正数a 的 叫a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 . ＝ ，＝ ，＝ . 2、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫 ，即若3x a =，则x 叫 ；记作x =a 叫x .一个正数有一个 的立方根，一个负数有一个 的立方根；0的立方根是 . ＝ ，＝ ，＝ . 3、开方：求一个数 的运算叫开方，求一个非负数的平方根的运算叫 ，求 的运算叫开立方.若2 9x =，则x ＝ ；若 3125x =，则x ＝ ，若8=，则a ＝ . 4、无理数和实数： 叫无理数. 和 统称为实数. 实数与数轴上的点有 关系，在· 13,0.50.303003003...57π -，中，有理数有 ，无理数有 ，分数有 ，整数有 . 核心问题聚焦： 考点一：开方运算 例1 已知()2 42-1=25x ，求x 的值. 1、已知圆的面积为2169cm π，求这个圆的周长. 2、数2-1x 的立方根是2，求x 的值. 3、若实数x y 、()2-4=0y ，求+x y 的平方根. 考点2 开方与绝对值的意义 例2 若-3<<-2a 3-+-3-a a . 追踪训练 4、若-2=2-a a ，则a 的取值范围是 . 5b b 的取值范围是 . 6a ，则a 的取值范围是 . 7、若-1=2x ，则x ＝ . 考点3 数的概念 例3 的整数部分是a ，小数部分是b 的整数部分是x ，小数部分是y ， . 数的开方 课题名称 第11章 数的开方 复习课一 基础知识 三维目标 1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义； 2.理解无理数和实数的意义； 3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根； 4.会对实数分类以及进行实数的近似计算. 重点目标 平方根、算术平方根、实数的概念及其计算. 难点目标 算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用 导入示标 知识归纳 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。a 的平方根记作: 或 。 求一个数a 的平方根的运算叫做开平方. （2）平方根的性质 ①一个正数有 个平方根，它们互为相反数 ②0有 个平方根，它是 。 ③负数 平方根。 （3）平方和开平方互为逆运算； 2、算术平方根 （1）算数平方根的定义： 一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ ”，读作：“ ”，其中 叫做被开方数 （2）算术平方根的性质 ①正数a 的算术平方根是 ； ②0的算术平方根是 ； ③负数 算术平方根 （3）重要性质： 3、立方根 （1）立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 （也叫 ）。如果x 3 =a ，则 叫做 的立方根。记 = 2a () = 2 a （a ≥0） 作： ,读作“ ” 。求一个数的立方根的运算叫做 。 （2）立方根的性质 ①一个正数的立方根是 ； ②一个负数的立方根是 ； ③0的立方根是 。 （3）重要性质： 4、实数基础知识 （1）．无理数的定义: 叫做无理数 （2）．有理数与无理数的区别： 有理数总可以用 或 表示；反过来，任何 或 也都是有理数。而无理数是 小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。 （3）.常见的无理数类型 ○ 1一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· ○ 2看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。 ○ 3有特定意义的数，如：π=3.14159265··· ○ 4.开方开不尽的数。如35,3 （4） 实数概念：________和________统称为实数。 （5）分类 _______ ________ _______ ________ _ __ 有限小数或___ ___小数 _______ 实数 ________ _______ _________ ________ 无限不循环小数 _________ （6）、实数的有关性质 ⑴若a 与b 互为相反数则ab= = -3 a 平方根、算术平方根导学案 学习目标：1.掌握平方根的概念及平方根的性质； 2.区别平方根与算数平方根； 3.会求一个数的平方根。 重点：掌握平方根的概念，会求一个数的平方根。 难点：平方根与算数平方根的区别。 探究： [活动1] 探索归纳，挑战新知 ： 1、一个数的平方是9，这个数是 2、平方等于 425 的数是 3、平方等于0.64的数是 4、填表： 5、平方根（定义）：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的 或 。即如果X 2＝a ，那么X 叫做a 的 。 6、符号表示：a 的平方根记作 ，读作： 。（2叫根指数，通常省略不写） 7、探究总结： （ ）2=16 → 16± = （ ）2=81 → 81± = （ ）2=0 → 0± = （ ）2=-4 → 4-± = ①一个正数有 个平方根，它们 。 ②0只有一个平方根，就是 。 ③负数 平方根。 a ±表示求a 的平方根的运算，a 的取值范围是 。 当a ＜0时，称 无意义 425 a ± 8、 探索平方与开平方的关系: 归纳：求一个数a 的 的运算，叫做开平方，a 叫 。平方与开平方互为 。根据这种运算关系可以求一个数的 。 [活动2]利用新知，尝试应用: 例1：求下列各数的平方根: (1)64； (2)49121 ； (3) 0.0004； (4) 11 解：（1） （2） （3） （4） [活动3]合作探究，突破难点： 算术平方根（定义）： 。 a 的算术平方根记作 ，读作 。（根指数2省略） 算术平方根的理解:如果一个数有平方根，那么这个数的算术平方根就是平方根中非负的那个。 举例:16±= (16的平方根是 ） =0 则16的算术平方根是4 则0的算术平方根是0 即 16=4 即 =0 表示求a 的算术平方根的运算，a 的取值范围是 。 当a ＜0时，称 无意义。 例2、求下列各数的算术平方根 (1)25； (2)49121 ； (3) 0.36； (4) 11 解： (1) (2) (3) (4) 0±4±4±0a a 11.1 立方根 【教学目标】 知识与技能 （1）使学生理解立方根的概念，能运用根号正确表示一个数的立方根； （2）掌握用开立方运算求某些数的立方根的方法. 过程与方法 （1）通过对比体会平方根、立方根的联系和区别； （2）在学习开立方运算求一个数立方根的过程中，体会开立方运算与立方运算之间的互逆关系. 情感与态度与价值观 （1）发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并做出正确地处理.（2）通过探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情. 【重点和难点】 1．重点：立方根的概念；求某数的立方根的方法. 2. 难点：平方根、立方根的概念及区别；求一个数的立方根. 【教学过程】 一、学法设计 在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式.在学习的过程中让学生仔细观察、大胆猜测、交流讨论、分析推理，最后归纳总结.让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体. 二、教法设计 针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择用类比及引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，注重启发、疏导学生自主探索，合作交流.在探究活动中，引导学生利用概念思考问题，对于学生的回答给予点拨，及时评价.这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性. 三、教学过程设计 （一）创设情境、复旧导新 1.填表： 定义表示方法性质分别与平方根的联系 平方根 若a x= 2，则 x叫做a的平方 根. a ± ①正数的平方根有两个，它 们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根. 平方根包含算术平 方根，算术平方根是平 方根中的一个；平方 根、算术平方根都只有 平方根（1） 学习目标 1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性 2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根 学习重点 了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根 学习难点理解算术平方根的双重非负性 学习过程 预习案 活动1学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252 dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少 活动2:自学教材，回答问题： 1. 一般地，如果一个___ 数x 的平方等于a ，即2 x =a ，那么这个______叫做a 的_________．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0. 记作0= 2.由以上定义可知如果2 x =a ，那么x 就叫a 的算术平方根吗判断下列语句是否正确 ①5是25的算术平方根（ ） ②-6是36的算术平方根（ ） ③是的算术平方根（ ） ④-5是-25的算术平方根（ ） 3. 3的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根写在下面，和同座交流一下 4.试一试：你能根据等式：2 12=144说出144的算术平方根是多少吗并用等式表示出来． 例：求下列各数的算术平方根： （1）100； (2) 64 49 ； (3) ； ⑷ 0； 探究案 1、 1.非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0.64 的算术平方 根____，0的算术平方根是____ 2. 41 的算术平方根是（ ） A ．161 B ．81 C ．21 D ．21± 3.若x 是49的算术平方根，则x =（ ） A. 7 B. －7 C. 49 D.－49 4.小明房间的面积为米2 ，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 . 5.想一想：下列式子表示什么意思你能求出它们的值吗 总结：1.正数有 的算术平方根 0的算术平方根是 负数 2.对于a ：a 0 训练案 1．下列哪些数有算术平方根 ， - 161 ， π， 0， （-3）2，（-1）3 2.下列各式中无意义的是（ ） A ．7- B ．7 C.7- D ．()2 7-- 3. 下列运算正确的是（ ） A ．33-= B ．33-=- C = D 3=- 4.若下列各式有意义，在后面的横线上写出x 的取值范围： ⑵x -5 5.若20a -=，则a= ,b= ,2 a b -= ． ［反思归纳］ 1. 算术平方根的定义、表示方法和性质 2. 求一个非负数的算术平方根 具有双重非负性 课题名称11.2 实数 三维目标 1.了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数。 2.知道实数在数轴上的点一一对应. 3.学会比较两个实数的大小，能熟练地进行实数运算。 重点目标无理数及实数的概念, 实 数与数轴上的点一一对应难点目标有理数与无理数的区别, 学会两个实数 的大小比较。 导入示标1、填空：（有理数的两种分类） 有理数有理数 2、有理数中的分数能化为小数吗？化为什么样的小数？举例加以说明 目标三导学做思一：做一做：参照课本，或者自己用计算器求2 的值。 请同学们动脑筋想一想，这样的数，你还能找出来吗？请相互之间举个例子，比一 比！ 概括:无理数：无限不循环的小数叫做无理数； 实数：有理数与无理数统称为实数。 所以实数也可以这样分类： 注意：无理数常见的三种形式 （1）根号型，如； （2）无限不循环型，如0.301 300 130 001…等 （3）圆周率等。 探究：请同学们自己讨论，下列说法对吗？ 1. 无限小数是无理数；( ) 2. 带根号的数是无理数；( ) 3. 无理数就是开方开不尽而产生的数；( ) 4. 无理数包括正无理数、0、负无理数三类；( ) 5．两个无理数的和、差、积、商仍为无理数；( ) 6．一个无理数和一个人有理数的和、差、积、商仍为无理数；( ) 7．无理数的个数少于有理数。 例1、把下列各数分别填入相应的集合里： 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π----- 正有理数{ } 负有理数{ } 正无理数{ } 负无理数{ } 学做思二：每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ 概括 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________ 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数 ② 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______ 学做思三：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗 第11章 数的开方单元检测 A 卷 姓名： __________ 班级： __________ 考号： __________ ,,3.14 , 2 _, 3.212212221…这些 数中，无理数的个数为（ A. 2 B. 3 C. 4 2. 16的算术平方根等于（） A. ± B. 一 4 C. 4 3. 下列命题中，正确的是（ ） A 、两个无理数的和是无理数 B C 、无理数是开方开不尽的数 D A. x V 2 B . x < 2 5. —的平方根是（ ） A. 2 B. - 2 6. 下列四个实数中最小的是（ A. B. 2 7. 下列各数是无理数的是（ A. 0.37 B. 3.14 8面积为2的正方形的边长是 A.整数 B.分数 9. 在实数0, — , -1，-、 2中，属于无理数是（ ） 10 3 一 A. 0 B . C . -1 D . 、、. 2 10 10. 比较 2、.2 , 3, .7的大小，正确的是（ 、单选题 C .x > 2 D .x > 2 C .±2 D .4 ) C. 2 D. 1.4 ) 兀 C. — D. 0 2 ( ) C. 有理数 D. 无理数 ) D. 5 D. 、两个无理数的积是实数 、两个有理数的商有可能是无理数 1 在-1.414 , 4.若式子、、x-2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ A. ,7 V 3 V 2.2 B 2,2 V .. 7 V 3 11 . 计算'一 9的结果是（) A. 3 B. 3 C. -3 _ 、填空题 C. 2 2 V 3V、7 D 的算术平方根是__,—的立方根是D. 81 12 . 绝对值是_______ 6.1平方根导学案（第3课时） 【学习目标】 1.了解平方根的概念，掌握平方根的特征. 2.利用开平方与平方互为逆运算的关系，求非负数的平方根. 【学习重点】 平方根的概念. 【学习难点】 平方根与算术平方根的区别与联系. 【学习过程】 一、温故知新 回顾算数平方根的概念： 二、探究新知 1.归纳平方根的概念. 问题1 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 问题2 根据上面的研究过程填表： __________________________________________________________________________________________________. 2.认识开平方运算. 问题4 完成课件中的图1、图2，并说明两图中的运算有什么关系？ 开平方运算与平方运算互为_____. 例1 求下列各数的平方根： （1）100； （2） 16 9； （3）25.0 ； （4）4 1 2； （5）0 例2 判断下列说法是否正确，并说明理由. （1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根； （3）5-是25的平方根； （4）64的平方根是8±； （5）16-的平方根是4-. 3.归纳平方根的特征. 问题5 根据上面的例题思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？为什么？ 问题6 我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？ 例3 判断下列各式计算是否正确，并说明理由. （1）24±=； （2）2 4±=± ； （3）2 4±=- . 例4 说出下列各式的意义，并求它们的值： （1）36 ； （2）81 .0- ； （3）9 49± . 问题7 如果知道一个数的算术平方根就可以立即写出它的负的平方根，为什么？ 三、归纳小结 1.回顾本节课所学习的主要内容； 2.总结平方根与算术平方根的概念的区别与联系： 区别：正数的平方根有 个，而它的算术平方根只有 个； 联系：正数的两个平方根中正的那个就是它的 ，0的平方根就是它的 . 6.3实数 第2课时《实数的运算》教学设计 教学目标: 知识与技能: 1.掌握实数的相反数和绝对值。 2.掌握实数的运算律和运算性质。 过程与方法: 通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质,并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。 情感态度与价值观: 通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围内也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展。 教学重点: 1、会求实数的相反数和绝对值。 2、会进行实数的加减法运算。 3、会进行实数的近似计算。 教学难点: 认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。 教学过程: 一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律。 1、相反数：有理数数a 的相反数是-a 2、绝对值： 3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。 二、实数的运算： 1、实数的相反数：数a 的相反数是-a 2、一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 3、实数之间可以进行加、减、乘、除、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，在进行实数的的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。 三、应用: 例1 : （1）分别写出 的相反数； （2）指出 是什么数的相反数； （3）求 的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是 ,求这个数． 解： （1） 的相反数是 ； π 3.14-，1-364-36-6 的相反数是 ． （2） 的相反数是 ； 的相反数是 ． （3） 的绝对值是4． （4） 绝对值是 的数是 或 ． 例2 计算下列各式的值： (1) (2) 例3 计算（结果保留小数点后两位）： 解: 四、随堂练习： 练习1 ： 求下列各数的相反数与绝对值： ()32 =+= 0=+-=+=π 3.14- 3.14π-5-533 1-133-364 -333-2 )23(-+1π+（ 21π 2.236 3.142 5.38+≈+≈（； 2 1.732 1.414 2.45. ≈?≈（π2.50.2 ---， 八年级数学（上）第十一章单元题 第 1页，共9页 八年级数学（上）第十一章单元题 第2页，共9页 八年级数学（上）第十一章单元题第3页，共9页 乡） 学校 班级 考号 姓名 …答……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……线…○… 宜宾县2018—2019学年上期单元检测题 八年 级 数 学 第十一章数的开方 （检测时间：100分钟； 全卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．4的算术平方根是 ( ) A ．±2 B ．－2 C ．2 D ．16 2．25的平方根是 （ ） A ．±5 B ．-5 C ．5 D ．± 5 3. 若一个数的平方根是±8,则这个数的立方根是 （ ） A ．±2 B ．±4 C ．4 D ．2 4．下列说法错误的是 ( ) A ．(－3)2的平方根是－3 B ．1的算术平方根是1 C ．0的平方根是0 D ．16的平方根是±4 5． 下列各数中最小的是 ( ) A ．－3 B ．－π C ．0 D ． 4 6．在﹣，，，﹣，2.121121112中，无理数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q .若n ＋q ＝0，则m ， n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是 ( ) A ．p B ．Q C ．m D ．n 8．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为( ) A ．2 B ．2－ 2 C ．4－22 D ．22－2 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 1的立方根是____。 10. 若x 2=4,则x=________。 11. 如果 =9，那么a= 。 12. 若x ，y 为实数，且|x ＋2|＋y －2＝0，则??? ? x y 2018 的值为________。 13. 计算：922- +22= 。 14. 当x= 时，式子+有意义。 15．若一正数的平方根是2a ﹣1与﹣a+2，则a= 。 16. 小娟设计了一个关于实数的运算程序如下，当输入x 时，则输出的数值为 。 三、解答题（共72分） 17．(10分)计算： (1) + (2) 327 10225.204112121-+- 18．(10分)求下列各式中x 的值 (1) 4x 2-9＝0 (2) 27(x+1)3 +125=0 输入x 2x 1- 输出 11.3数的开方复习课导学案 一、基础知识 1、平方根 （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 。求一个数a的平方根的运算叫做. （2）平方根的性质 ①一个正数有个平方根，它们互为；②0有个平方根，是它 ③负数没有平方根。 （3）平方和开平方互为逆运算； 2、算术平方根 （1）算术平方根的意义：非负数a的正的平方根。 一个非负数a的正的平方根用符号表示为：“”，读作：“”，其中a叫做被开方数 （2）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根 （3）重要性质： =2(0) a =≥ a a 3、立方根 （1）立方根的意义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）。如果x3=a，则x 叫做a的立方根。记作：,读作“” 。 求一个数的立方根的运算叫做开立方。 （2）立方根的性质 ①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0。 （3）重要性质： = 4、二次根式的乘除法 （1）二次根式的乘法法则 =≥≥=≥≥ a b a b 0,0,0) （2）二次根式的除法法则 a b a b =≥>=≥> 0,0,0) 4、实数 （1）无理数的意义：小数叫无理数； （2）实数的意义：统称为实数。 （3）实数的分类：1.按正负数分类，实数可以分为正实数、负实数、02.按实数的定义分类： 问题1：你能在数轴上找到表示 的点吗？ 问题2：无理数与数轴上的点一一对应吗？ 问题3：有理数与数轴上的点一一对应吗？ 问题4：实数与数轴上的点一一对应吗？ 3、无理数的特征有哪些？ （1） ；（2） ；（3） 。 二、练习提高 1、4的平方根是 ; 的平方根是 ; = ; 2= ; = ; 2= ; = 。 2、下列数中属于无理数的在下面划“√” 222; 3.14159;; 3.14;7 23π- 3、下列各数中： 21(3467 π-，，，中，属于分数的有哪些？ 4、求下列各数的平方根和算术平方根： 225(1);(2)(4);(3)(2)(8).4 --- 5、计算： -±± 第11章数的开方 11.1 平方根与立方根 1.平方根 【基本目标】 1.理解并掌握平方根与算术平方根的概念. 2.理解平方运算与开平方的互逆关系. 3.理解算术平方根的非负性，会用计算器求一个数的算术平方根. 【教学重点】 理解平方根与算术平方根概念；会求一个正数的平方根. 【教学难点】 算术平方根的非负性与算术平方根的特征. 一、创设情景，导入新课 同学们，2013年6月17时38分神十成功发射，其飞行速度大于第一宇宙速度v1，而小于第二宇宙速度v2,v1,v2满足v12=gR，v22=2gR，要求v1与v2就要用到平方根的概念. 多媒体展示教科书导图提出的问题，( )2=25. 二、师生互动，探究新知 1.用平方运算求平方根. 【教师活动】自学课本P2到例1止，什么是平方根？我们是根据什么求25的平方根的？ 【学生活动】小组交流讨论后，代表发言. 【教学说明】教师板书平方根概念 并强调：弄清楚“谁”是“谁”的平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根.在此基础上完成例1，并注意学生利用平方运算求一个数的平方根时语言的规范性. 2.算术平方根 【教师活动】正数a的正的平方根叫做a a，正数a的平方根a的平方根是0，0的算术平方根是0. 【学生活动】完成例2. 【教学说明】教师强调用平方运算求平方根，并用数学符号±表示平方根，用 表 示算术平方根. 3.利用计算器求算术平方根 【学生活动】用计算器操作. 【教学说明】教师强调：正确的操作程序与精确度. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课堂练习部分，教师根据完成情况指导小组进行点评，特别是平方根与算术平方根的区别. 四、典例精析，拓展新知 例 三角形的三边长为a 、b 、c 且2a -+|b-3|=0，c 为偶数，求△ABC 的周长. 【分析】2a -表示a-2的算术平方根，故a-2≥0，即2a -≥0，而|b-3|≥0，利用非负数和为0，则分别为0，求出a 、b,再由三边关系求解. 【答案】△ABC 的周长为7或9. 【教师点拨】a 表示a 的算术平方根，具有双重非负性，非负数和为0，则各非负数为0. 五、运用新知，深化理解 1.3a-2的平方根是它的本身，b+1的算术平方根是它本身，则a= ，b= . 2. 16的平方根是. 3.n 为整数，331m n n =-+-+ ，则m+n= . 【答案】1. 2 3 -1或0 2.±2 3.3或4 【教学说明】从跟踪练习中，查漏补缺、并注意审题准确.如16先转化为4，再求4的平方根. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？并与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结. 实数 主备人审核人课时数第课时总第课时 执教人使用时间学生姓名班级 课题实数1 课型新课教师复备 教学目标1.了解实数的意义，能对实数进行分类； 2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数； 3.会比较两个实数的大小． 教学重点、难点重点：数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点表示无理数难点：经历知识产生的过程，探索新知识 课前预习【导学提纲】根据下面的要求，用5分钟时间自学教材P8—10，请在不明白的地方作上符号，或把问题写下来。 1、无理数是怎样定义的？请举出几个无理数？ 2、什么是实数？实数可以怎样分类？ 3、实数与数轴上的点有什么关系？ 4、实数间比较大小的主要方法是什么？ 自主练习【预习检测】相信你，一定能行！ 1. 计算： 7 3 6 2+.（结果保留两位小数） 2. 比较下列各组数中两个实数的大小： （1）2 3 2 2和; （2）3 2 7π - -和 3、试估计3+2与π的大小关系． （变式）提问：若将本题改为“试估计－(3+2)与－π的大小关系”，如何解答? 探究互助如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗? 试一试：你能在数轴上找到表示2的点吗 巩固运用1、教材P11 练习 1-3 做在书上 2、把下列各数填入相应的大括号内： 5，－3，0，3.1415 ，7 22 ， 29 3+，3 1 - ， 38 -，2 π ，1.121221222122221…（两个1之间依次多个2） (1)正数集合：{ …}； (2)负数集合：{ …}； (3)无理数集合：{ …}； (4)非负数集合：{ …}. 小结反馈1、无理数是怎样定义的？请举出几个无理数？ 2、什么是实数？实数可以怎样分类？ 3、实数与数轴上的点有什么关系？ 4、实数间比较大小的主要方法是什么？ 知识拓展1.判断下列说法是否正确： (1)两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数； (2)任意一个无理数的绝对值是正数． 2.计算： 7 3 6 2+（结果保留两位小数）． 3、比较下列各组数中两个实数的大小： 第11章数的开方 课程内容标准 １。了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示。 2.了解平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会用平方、立方的运算求某些数的平方根与立方根,会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根．. 3．了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应． 4.能估计无理数的大小,培养估算能力，会进行简单的实数运算． 单元教学分析 §11．１平方根与立方根 1。注意与平方、立方运算的联系与转化； 2．注重对基本概念的理解与应用,熟悉必要的数学语言; 3。重视计算器的使用及对估算的教学,防止对学生提出繁难的数字计算要求； 4。注意把握好对已出现无理数的处理。 §11.2 实数与数轴 1。让学生感知无理数的存在，数系扩展的必要. 2。初步理解和接受实数与数轴上的点一一对应的思想. 3．理解和接受有理数范围内相关概念和运算法则的自然延伸． 1１.1.1 平方根(1） 教学内容 教科书P。２—-Ｐ．３的内容 教学目标: 1、理解平方根的概念； 2、认识平方与开平方的关系; 3、会用平方根的概念求某些数的平方根。 教学重点:平方根的概念和开平方运算. 教学难点：平方根的概念;利用平方根和平方的关系解题。 教学过程： 一、复习引入 １、我们将要学习的第１2章叫:数的开方，那什么叫“数的开方”呢？我们已学过哪些数的运算? （加、减、乘、除、乘方5种） 2、你能写出这些运算的符号吗？请举例说明。如一个正方形的边长是５米,它的面积是多少？其运算是什么运算? （面积25平方米，运算是乘方运算） 3、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?（均为互逆运算) 二、创设问题情境，解决问题 1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片,纸片的边长应是多少?这里该用哪种运算呢？ 通常这类不易直接列算式计算的问题,我们常用方程解决：设边长为xcm，则有x2=25，显然应取x=5.这个问题实质上就是要找一个数,这个数的平方等于25. 2。提出问题,探索解决问题的办法 第12章 数的开方 第一课时 12.1平方根与立方根（1）（P2—P3） 学习目标： 1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，初步培养辩证唯物主义观点； 2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性； 3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；正确区分平方根与算术平方根的关系。 学习过程： （一）知识衔接回顾 １．说出下列各式的结果： =23 ； =-2)3( ； =2)52( ； =-2)5 2 ( ；=20 ． ２．填空：9)(2= ；25 4)(2= ； 36.0)(2= ； 0)(2= 3. 要剪出一块面积为25cm 的正方形纸片，纸片的边长应是多少? （二）、新知自学 1、平方根的定义：如果一个数的 等于a ，那么 叫做a 的平方根， a 的平方根记作 。 2、平方根的性质： ①正数a 的平方根有 个，它们互为 ，记作 ②0 的平方根有 个，就是 ； ③负数 平方根。 3、开平方：求一个非负数的 的运算，叫作开平方。开平方的结果是 ，开平方与平方互为逆运算。 （三）、探究 合作 展示 1、试一试 （1）4的平方根是 （2） 0的平方根是 （3）254 的平方根是 （4） －４有没有平方根?为什么? （5）3的平方根是 2、求100的平方根． 解：因为（ ）2 ＝100，(-10)2 ＝（ ），除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是（ ）和（ ），也可以说，100的平方根是±（ ）. 3、交流互动 (1) 正数的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3) 负数有平方根吗？为什么？ 请同学概括有理数的平方根的性质．（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根．） 4、 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由． (1)－64；(2)0；(3)(－4)2． 分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0． （四）、巩固训练 （A ） 一、1、一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何? 2、如果我们知道了两个平方根中的一个，那么是否可以得到它的另一个平方根?为什么? 3、0的平方根有几个?是什么数? 4、负数有平方根吗?为什么? 5.平方和开平方运算又有联系，二者互为 逆 运算． 二、将下列各数开平方： 1、64 2、0.25 3、49 81 4、0.09 (B) 填空题 (1).x 2 =(－7)2 ,则x=______. (2).若2+x =2,则2x+5的平方根是 ______. (3).若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为____.(4) 16的平方根是＿＿＿ 本章复习 【基本目标】 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示. 2.了解平方与开平方，立方与开立方互为逆运算，会用平方与立方的运算求某些数的平方根与立方根. 3.了解无理数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应. 4.能进行实数的运算，会估算无理数的大小. 【教学重点】 平方根与立方根，实数及运算. 【教学难点】 实数的估算，平方根的性质. 一、知识框图，整体建构 二、知识梳理，快乐晋级 本章通过问题的形式来梳理知识，以加深学生对基础知识的理解. 问题1：平方根与立方根的定义是什么？它们有什么性质？ 问题2：有理数与实数的定义是什么？ 问题3：数轴上的点与实数有什么关系？你是怎么理解的？ 问题4：实数的相反数、绝对值、倒数与有理数相同吗？ 问题5：实数运算法则、运算律与有理数相同吗？ 【教学说明】教师提出问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，进行必要的讲解与说明，做到切中要害、言简意赅. 三、典例精析，升华旧知 例1（1）（-2）2的平方根是（） A.-2 B.2 C.±2 D.±4 （2）下列说法中，正确的是（） A.正数的立方根是正数 B.负数的平方根是负数 C.无理数是开方开不尽的数 D.数轴上的点只能表示有理数 （3）- 61 1 64 的立方根是 . （4）81的算术平方根是 . （5）实数a、b满足1 a +(b-2)2=0，则ab= . 【答案】（1）C （2）A （3）-5/4 （4）3 （5）-2. 【教学说明】这四道小题学生小组内自评自改.教师指出（4）中应转化为9的算术平方根，应将间接条件直接化. 例2 14+1的小数部分为a，整数部分为b，求a-b的值. 【分析】∵3＜14＜4，4＜14+1＜5， ∴14+1的整数部分b=4，小数部分b=14+1-4=14-3，∴a-b=（14-3）-4=14-7. 【教学说明】本题包含无理数的估算和无理数的运算，关键是确定14+1的整数部分b的值.特别估算能力数学课程标准较重视. 例3已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示. 化简：2b -|c-a|+|a+c|. 【分析】由数轴知道b＜0,c-a＜0，a+c＞0, 2b表示b2的算术平方根，故原式=-b+（c-a）+（a+c）=2c-b. 【教学说明】利用数形结合，判断绝对值里面的数的正负性，其中b2的意义是解题的关键. 四、师生互动，课堂小结 这节课你有什么收获？有何疑惑？复习了哪些数学思想方法？与同伴交流.在学生交流发言的基础上，教师归纳总结. 6.1 平方根 第2课时平方根 一、新课导入 1.导入课题： 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？从前面我们知道，这个数可以是3，除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？这就是这节课要研究的问题：平方根（板书课题）. 2.学习目标： （1）知道什么叫平方根？用符号如何表示它？有哪些性质？ （2）能利用开平方与平方互为逆运算求某些非负数的平方根. 3.学习重、难点： 重点：平方根的概念. 难点：平方根算术平方根的区别和联系. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：课本P44“思考”至P45“思考”之前的内容. （2）自学时间：6分钟. （3）自学要求：认真阅读课本、思考相关问题，注意平方根与算术平方根定义的区别. （4）自学参考提纲： ①根据“导入课题”中问题的研究过程填表： ②一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x就叫做a的平方根.你能说说平方根与算术平方根的定义有什么不同吗？ ③求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方运算与开平方运算有什么 关系？ ④根据平方与开平方运算的关系，可以求一个数的平方根，按例4的格式求下列各数的平方根： 64; 0.09; 49 81 ; （-7）2; 0. 解：∵(±8)2=64, ∴64的平方根是±8. ∵(±0.3)2=0.09, ∴0.09的平方根是±0.3. ∵(±7 9 )2= 49 81 , ∴49 81 的平方根是± 7 9 . ∵(±7)2=(-7)2=49, ∴(-7)2的平方根是±7. ∵02=0, ∴0的平方根是0. ⑤判断下列说法是否正确： a.49的平方根是7.(×) b.2是4的平方根.(√) c.-5是25的平方根.(√) d.64的平方根是±8.(√) e.-16的平方根是-4.(×) 2.自学：同学们可结合自学指导进行学习. 3.助学： (1)师助生： ①明了学情：教师巡视课堂了解学生的自学情况. ②差异指导：根据学情进行相应的指导. （2）生助生：小组内相互交流和纠错. 4.强化： （1）平方根的概念（注意与算术平方根的概念相对照）. （2）求下列各数的平方根： 25 0.64 （-2）4 81八年级数学上册第11章数的开方11.2实数第2课时实数的性质及运算教案新版华东师大版
第11章 数的开方知识点总结
《数的开方》复习总结课导学案
八年级数学上册第11章数的开方复习1教案新版华东师大版
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七年级下册第六章实数导学案
人教版八年级数学上册 第11章 数的开方 11.2 实数教案 (全国通用版)人教版
第11章数的开方单元检测A卷
平方根导学案
新华东师大版八年级数学上册《11章 数的开方 11.2 实数 实数的运算》优质课教案_11
第11章数的开方
11.3数的开方导学案
八年级数学上册第11章数的开方 教案华东师大版
八年级数学上册第十一章数的开方11.2实数1教案新版华东师大版
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第12章 数的开方 导学案
八年级数学上册第11章数的开方本章复习教案华东师大版.doc
人教版七年级下册数学 平方根(导学案)
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