统计、统计案例
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：(1)该抽样可能是简单随机抽样；(2)该抽样一定不是系统抽样；(3)该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为( )
A ．18
B ．20
C ．24
D ．28
3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12
[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12 D.23
4．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法(按年级分层)在全校学生中抽取64人，则应在高三中抽取的学生人数为( )
A.12 B ．14 C 5．某工厂对一批产品进行了抽样检测，图D9－1是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A ．45
B ．60
C ．75
D ．90
6．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表．从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有( )
A.90% B ．95% C ．97.5% D ．99%
参考公式：K 2
＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
7.已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)
满足线性回归方程y ^
＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．图D9－2表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则
A.25
B.710
C.45
D.910
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置) 9．下表是某工厂1
由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^
＝－0.7x ＋a ，则a ＝________.
10．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图D9－3)．由图中数据可知a ＝________；若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为
11.一组数据由小到大依次为2,2，a ，b,12,20.已知这组数据的中位数为6，若要使其标准差最小，则a ，b 的值分别为________．
12．某采购中心对甲、乙两企业同种相同数目产品进行了6次抽检，每次合格产品数据如图D9－4：
试估计选择那个企业产品更合适：________(填甲或乙)．
13．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．
如果k＝
14．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为________；若从调查小组的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人是公务员的概率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图D9－5)，图中从左到右各小长方形面积之比为1∶2∶8∶7∶5∶2，第一小组频数为6.
(1)求第一小组的频率；
(2)样本容量是多少？
(3)若次数在100以上(含100次)为达标，试估计该学校学生达标率是多少？
16．(13分) 已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼．为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员从池塘中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000条，给每条鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池塘，经过一定时间，再每次从池塘中随机地捕出1000条鱼，分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中．这样的记录作了10次，将记录获取的数据作成如图D9－6所示的茎叶图．
(1)根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量；
(2)随机从池塘中逐条、有放回地捕出3条鱼，求恰好是1条中国金鱼、2条红鲫鱼的概率．
17．(13分)有关部门要了解节能减排相关知识的普及情况，命制了一份有10道题的问卷(每题1分)，对甲、乙两个社区进行问卷调查．其中在甲、乙两个社区中各随机抽取5户家庭接受调查．甲社区5户家庭得分为：5、8、9、9、9；乙社区5户家庭得分为：6、7、8、9、10.
(1)请问甲、乙两个社区中哪个社区的问卷得分更稳定？并说明理由；
(2)如果把乙社区5户家庭的得分看成一个总体，并用简单随机抽样的方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数恰好相同的概率．
18．(14分)2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏，某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1(单位：人)．
核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表(表2)．
表1
参考公式：K2＝
n(ad－bc)
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
.
(1)求研究小组的总人数；
(2)写出表2中A、B、C、D、E的值，并判断有多大的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关；
(3)若从研究团队的心理专家和核专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为心理专家的概率．
19．(14分) 在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：
再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好不相邻的概率；
(2)若选取的是第2组和第5组数据，根据其他4组数据，求得y 关于x 的线性回归方
程y ^＝4
13x ＋13926
，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过
2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．
20．(14分) 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提髙‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)．在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：
(1)试分别估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并说明是否有75%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高
参考公式及数据：K 2
＝n (ad －bc )，
参考答案
1．B [解析] 因为人数不多，可以用简单随机抽样；全班50人，从中抽取10个人的样本，用系统抽样可分为10组，分段间隔为5；每个人被抽到的概率相等，则只有(1)正确，故选B.
2．B [解析] 分段间隔为56
4
＝14，又已知编号为6,34,48的同学在样本中，则编号为6
＋14＝20的同学也在样本中，故选B.
3．B [解析] 根据样本中的频率分布可得：数据落在[31.5,43.5)的概率约是12＋7＋3
66
＝
2266＝13
.
4．C [解析] 依题意，得a ＝0.19×2000＝380，b ＋c ＝2000－(385＋375＋380＋360)
＝500，则应在高三级中抽取的学生人数为64
2000
×500＝16，故选C.
5．D [解析] 设抽取的样本容量为n ，由频率分布直方图，得样本中产品净重小于100
克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，则n ＝36
0.3
＝120；样本中净重大于或等于98克并且小于
104克的频率为1－(0.050＋0.075)×2＝0.75，其产品的个数为120×0.75＝90，故选D.
6．D [解析] K 2
＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝60×(20×21－10×9)230×30×29×31
≈8.076>6.635，故
选D.
7．B [解析] 线性回归方程y ^
＝bx ＋a 必经过点(x ，y )，但满足线性回归方程的点不一定是样本数据的平均数，因此“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^
＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 10
10
”的必要不充分条件，故选B.
8．C [解析] 设其中被污损的数字为x ，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是 1
5
(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90， 乙的5次综合测评的平均成绩是 15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝1
5
(442＋x )． 令90>15(442＋x )，解得x <8，因此所求概率为810＝4
5
，故选C.
9．5.25 [解析] 由已知数据，得x ＝2.5，y ＝3.5，则a ＝y ＋0.7x ＝5.25. 10．0.03 3 [解析] a ＝0.1－(0.035＋0.020＋0.010＋0.005)＝0.03.
从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为0.1
0.3＋0.2＋0.1
×18＝3.
11．6,6 [解析] 依题意a ＋b ＝12，平均数为x ＝8.标准差最小，等价于方差最小，方差为
s 2
＝(2－8)2＋(2－8)2＋(a －8)2＋(b －8)2＋(12－8)2＋(20－8)26
＝1
3
(a 2－12a ＋156)， 当a ＝6时，方差最小，所以标准差最小，此时a ＝b ＝6.
12．乙 [解析] 由茎叶图，甲、乙两企业被抽检合格产品的平均数分别为x 甲＝33，x 乙
＝33，但乙企业被抽查的合格产品的件数较稳定，故选择乙企业产品更合适．
13．97.5% [解析] ∵5.024<6<6.635，∴P ＝1－P (k 2>6)＝0.975，故有97.5%以上的把握认为“X 和Y 有关系”．
14．9
35 [解析] 由分层抽样中各层抽取的比例相等，得x 32＝y 48＝4
64
，解得x ＝2，y ＝3，则调查小组的总人数为2＋3＋4＝9(人)．
从调查小组的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，基本事件数为10，其中恰好
有1人是公务员的基本事件数为6，故其中恰好有1人是公务员的概率为3
5
.
15．[解答] (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，则第一小组的频率为：
1
1＋2＋8＋7＋5＋2
＝0.04.
(2)因为第一小组频率 ＝第一小组频数
样本容量
，
则样本容量n ＝6
0.04
＝150.
(3)由图可估计该学校学生的达标率约为 2＋8＋7＋5＋2
1＋2＋8＋7＋5＋2
＝0.96.
16．[解答] (1)由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是x ，
则有401000＝2000
x ，即x ＝2000×100040
＝50000，
所以，可估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000.
(2)从上述对总体的估计数据获知，从池塘中随机、逐只、有放回捕出1条鱼，结果是中国金鱼的概率与红鲫鱼的概率是相同的．捕三次，得到的所有结果共有8种可能，而恰好
是1条中国金鱼、2条红鲫鱼的情况有3种，所以所求的概率P ＝3
8
.
17.[解答] (1)∵甲社区的5户家庭的平均得分为：5＋8＋9＋9＋9
5
＝8，
方差s 21
＝1
5
[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4； 乙社区的5户家庭的平均得分为6＋7＋8＋9＋10
5
＝8，
方差s 22＝15
[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2
]＝2. ∵乙社区的问卷得分要稳定一些，
∴s 21>s 2
2.
(2)从乙社区5户家庭任选2户的方法共有(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)10种，
其中(6,10)，(7,9)的平均数满足条件．
故所求概率P ＝210＝1
5
.
18．[解答] (1)依题意，726＝48y ＝24
x
，
解得y ＝4，x ＝2.
研究团队的总人数为2＋4＋6＝12(人)．
(2)根据列联表特点得A ＝20，B ＝50，C ＝80，D ＝30，E ＝110，
可求得K 2＝110×(30×10－50×20)2
50×60×80×30
≈7.486>6.635.
由临界值表知，有99%的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．
(3)设研究小组中心理专家为a 1、a 2，核专家为b 1、b 2、b 3、b 4，从中随机选2人，不同的选取结果有：
a 1a 2、a 1
b 1、a 1b 2、a 1b 3、a 1b 4、a 2b 1、a 2b 2、a 2b 3、a 2b 4、b 1b 2、b 1b 3、b 2b 3、b 1b 4、b 2b 4、b 3b 4，共15种．
其中恰好有1人是心理专家的结果有：
a 1
b 1、a 1b 2、a 1b 3、a 1b 4、a 2b 1、a 2b 2、a 2b 3、a 2b 4，共8种．
所以恰好有1人是心理专家的概率为P ＝8
15
.
19．[解答] (1)设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中事件A 包含的基本事件有10种．
所以P (A )＝1015＝2
3
.
所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是2
3.
(2)当x ＝10时，y ^＝4
13×10＋13926＝21926，????21926－10<2； 当x ＝30时，y ^＝4
13×30＋13926＝37926
，????37926－16<2. 所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．
20．[解答] (1)由题意，甲、乙两班均有学生50人，
甲班优秀人数为30人，优秀率为30
50＝60%，
乙班优秀人数为25人，优秀率为25
50
＝50%，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)
注意到K 2＝100×(30×25－20×25)50×50×55×45＝10099≈1.010， 所以由参考数据知，没有75%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”
得分率有帮助．
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
统计与统计案例 A 级 基础 一、选择题 1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( ) A ．860 B ．720 C ．1 020 D ．1 040 2．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( ) A ．13 B ．19 C ．20 D ．51 3．“关注夕阳、爱老敬老”——某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (单位：万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝mx ＋0.35，则预测2019年捐赠的现金大约是( ) A.5万元 C ．5.25万元 D ．5.5万元 4．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )
A.3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 5．(2019·衡水中学检测)某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按(0，10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下： 记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，则频率分布直方图(甲)中的a的值及s21与s22的大小关系分别是() A．a＝0.015，s21 统计 一.简单随机抽样：抽签法和随机数法 1.一般地，设一个总体含有N个个体（有限），从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等（n/N），就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。 2.一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本，这种抽样方法叫做抽签法。 抽签法的一般步骤：a、将总体的个体编号。 b、连续抽签获取样本号码。 3. 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法。 随机数表法的步骤：a、将总体的个体编号。b、在随机数表中选择开始数字。c、读数获取样本号码。 4. 抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。 二.系统抽样： 1.一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。 系统抽样的一般步骤： （1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。 （2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k=N/n。(k∈N,L≤k). （3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。 （4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。 在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当N/n不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。 三.分层抽样： 1.一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。 分层抽样的步骤： （1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。（2）按比例确定每层抽取个体的个数。 （3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。（4）综合每层抽样，组成样本。 2.分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点： （1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。 （2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 （3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。 四.用样本的频率分布估计总体分布： 1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。 其一般步骤为：（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差（2）决定组距与组数（3）将数据分组（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2.频率分布折线图、总体密度曲线 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。 高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? 全国一卷真题分析---概率统计 1.（2011年）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 2.（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，N n ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率． （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 3.（2013年）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下， 这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1 2， 且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 1 一、选择题 1．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( ) A ．73 B ．78 C ．77 D ．76 解析：样本的分段间隔为80 16＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5 ＝78.故选B. 答案：B 2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示： 则这20A ．180,170 B ．160,180 C ．160,170 D ．180,160 解析：用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 答案：A 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确． 答案：A 4．(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( ) A ．5 B ．7 C ．10 D ．50 解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50. 答案：D 5．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据： 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^ ＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 解析：∵x ＝2＋4＋5＋6＋8 5＝5， y ＝ 30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m 5 ， ∴当x ＝5时，y ＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m 5＝50，解得m ＝60. 答案：D 高中数学知识点之统计及统计案例分析 第十一编统计、统计案例 §11.1 抽样方法 1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个 问题中，总体的一个样本是 . 答案 200个零件的长度 2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人 家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样 方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的 . 答案①②③ 3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现 采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为 . 答案 3，9，18 4.（2019·广东理）某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表.已知在全 校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 . 女生男生 答案 16 5.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用 分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量 n= .答案 80 例1 某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2019应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.解抽签法：第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18) 第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取 6个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员. 随机数表法： 第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03， (18) 第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如第8行第29列的 数7开始，向右读； 第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01—18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09. 11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p 统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图 (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t 专题突破练20 统计与统计案例 1. (2020吉林辽源高三检测,18)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在[40,100]内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题: (1)算出第三组[60,70)的频数,并补全频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表) 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①;y ^ =-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^ =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 3.(2020河南郑州高三检测,19)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表: (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. 统计 一、知识点归纳 1、抽样方法： ①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为N n 。 2、总体分布的估计： ⑴一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： ⑴平均数：n x x x x x n ++++= 321； 取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21 方差：2 1 2)(1 ∑=-= n i i x x n s ； 标准差：2 1 )(1∑=-= n i i x x n s 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧ （最小二乘法） 1 221n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx ==? -? ?=??-??=-??∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。 高考数学概率与统计 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H- 第16讲概率与统计 概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一“非等可能”与“等可能”混同 例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率． 错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为 P=1 11 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5 36 ． 类型二“互斥”与“对立”混同 例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 错解A 剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对 立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C． 类型三 “互斥”与“独立”混同 例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的 概率是多少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中 两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 22223 30.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰 好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指 两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个 事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关 系是根本不同． 解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独 立， 则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同 例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次， 求第二次才取到黄色球的概率． 错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球” 为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293 =. 剖析 本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。 解: P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）= 46410915 ?=. 备用 第3节变量间的相关关系与统计案例 最新考纲 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 知识梳理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则 ^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距. 其中，b 回归直线一定过样本点的中心(x，y). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x ，y )称为样本点的中心. (3)相关系数 当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关. r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. (4)相关指数： 其中21()n i i i y y =-∑是残差平方和，其值越小， 则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. 4.独立性检验 (1)利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为 则随机变量K 2 ＝n （ad －bc ）2 （a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样 本容量. [常用结论与微点提醒] 1.求解回归方程的关键是确定回归系数a ^，b ^，应充分利用回归直线过样本中心点 (x ，y ). 2.根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K 2越大，则两分类变 18题-高考数学概率与统计知识点 高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ k n k k n p p C --)1(. 其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结 的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++2 1 P P (1) ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个 随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的 分布列如下： 称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ ，其中n 、p 为参数，并记：) ,;(p n k b q p C k n k k n =- . （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机 【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=． （Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12 13()0.60.40.432P B C =??=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=． 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． （20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ，5 1A A )A (P 25 142= = ，5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率； 专题二十 统计与统计案例 一、单选题 1．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥， 1x ，2x ，……，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =???都在直线2 15 y x = +上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．-1 B ．0 C ． 12 D ．1 二、多选题 2．（2020·江苏省丰县中学期末）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算2K 的观测值 5.059k ≈，则可以推断出（ ） 附： A ．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为 2 3 ； B ．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意； C ．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异； D ．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异. 第II 卷（非选择题） 三、解答题 3．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中0090的人使用微信，其中每天使用微信时间少于一小时的有60人，其余的员工每天使用微信时间不少于一小时，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中0075是青年人.若规定：每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中 2 3 都是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，完成22?列联表： （2）由列联表中所得数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”？ 2 2 ()()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 4．（2020·江苏泰州·期末）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x ， y 的数据如下： 辅导讲义：概率与统计 一、知识回顾： 1、总体、个体、样本、样本容量： 总体：在统计中，所有考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 2、统计的基本思想:用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。 3、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 4、简单随机抽样：一般地，从个体为N烦人总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n (3)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 8、抽签法—编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；随机数表法—编号、选数、取号、抽取，其中取号的方向具有任意性。 9、简单随机抽样的特点： 它的总体个数有限的； 它是逐个地进行抽取； 它是一种不放回抽样； 它是一种等概率抽样． 10、系统抽样： 将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样。也可称为“等距抽样”。 注：如果个体总数不能被样本容量整除时该怎么办？ (1)随机将这1003个个体进行编号1，2，3，……1003。 (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可以随机数表法),剩下的个体数1000能被100整除，然后按系统抽样的方法进行。 11、系统抽样的步骤： （1）采用随机的方式将总体中的 N 个体编号。 （2）整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 。当 n N （为总体中的个体的个数，n 为样本容 量）是整数时，取n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整 除，这时取n N k ' = ，并将剩下的总体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ； （4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为k n l k l k l l )1(2-+++，，，， 的个体抽出。 12、简单随机抽样、系统抽样的特点是什么？ 简单随机抽样：①逐个不放回抽取；②等可能入样；③总体容量较小。 系统抽样：①分段，按规定的间隔在各部分抽取；②等可能入样；③总体容量较大。 13、分层抽样：一般地，当总体由差异明显几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法 有限性 统计与统计案例 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等. 2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题． 1．随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多． (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2．常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距× 频率 组距 ＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1； ③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 (2)方差：s 2＝n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2 ]． 标准差： s ＝ 1n [ x 1－x 2＋ x 2－x 2＋…＋ x n －x 2 ]. 4．变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数． (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝ i ＝1 n (y i －a －bx i )2 最小时，得到线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的方法叫做最小二乘法． 5．独立性检验 对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是： 则K 2 ＝n a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机 编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 答案 C 解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为 960 32 ＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分 成几个组，则分段间隔即为N n (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，高中数学统计、统计案例知识点总结和典例说课讲解
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