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浅谈数形结合的思想

摘要"数形结合百般好,隔离分家万事非"——这是我国著名数学家华罗庚在谈到数形结合时的精辟论断.数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位.从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力. 数形结合是推动数学向前发展的一种比较重要手段,数学一大部分知识都是围绕其演变、发展而展开的.

关键词数形结合数学思想以形助数以数辅形

一、引言

数形结合思想占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.

我从以下几方面学习研究一下应用数形结合来提高学生的解题能力.1.数形结合的概念.2.数形结合的原则3.数形结合思想及其内涵.3.数形结合在数学中的应用由来已久.4、数形结合的途径5.数形结合在数学中的应用.

“数”与“形”是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线,是数学教学的两个基本概念,两块基石.可以说大多数数学知识基本上都是围绕这两个基本概念提炼、演变.采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点.如果能将数与形巧妙地结合起来,有效地相互转化,一些看似无法入手的问题就会迎刃而解,产生事半功倍的效果.

二、数形结合的概念

数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通径的目的.一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题素的、优化解题过程的一种重要方法

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

三、数形结合的原则

数形结合一般遵循以下三个原则：

1、等价原则

等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性.

例题方程

32sin

X x

=的实数根的个数为（）

A、3个

B、5个

C、7个

D、9个

错解图象法，作函数

y x

=与2sin

y x

=的草图.由于两个函数均为奇函数，故只需要作0

x≥的

部分，又因为x>8时，

x>22sin x

≥.故图形只需取[0,3π]就行了（如图1）.除原点外还有一个交点，

再由奇偶性知有7个交点，故选C.

x x 图1 图2

分析当

x=时，

1111

22sin

8288

=>?>

.因此在(0,)

内还有一个交点，所以正确的答案为D，

如图2所示.

2、双向性原则

双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探索.

3、简单性原则

简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁，明了.

四、数形结合思想及其内涵

“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释.具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想.

事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决.

给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性.

五、数形结合的途径

数形结合是一柄双刃的解题利剑，下面简单介绍一下数形结合的途径

1、由数到形的转换途径

（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题.

（2）利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质.

（3）构造几何模型.通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积

互化，将abc.

（4

d=，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有

点到直线的距离

关性质.

2、由形到数的转换途径

（1）解析法建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系.

（2）三角法将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径.

（3）向量法将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题.把抽象的几何推理化为代数运算.特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循.

六、数形结合的应用

数形结合思想在课本中，具有突出的地位.“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系.比如：在集合运算中的应用.涉及集合的运算，常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时，已知函数的解析式，作出函数的图象，再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图、表的分析，抽象出变量之间的规律，再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图、表的变化趋势；运用数形结合思想，构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷.

又如，笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合，创立了数学的一大分支——解析几何，构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质.

1、利用数形结合思想解决集合的问题

（1）利用韦恩图法解决集合之间的关系问题

一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．

例1有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？

分析我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：

即

所以

()1=

即参加数理化小组的有1人．

（2）利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．

例2 已知集合

⑴若

，求的范围.⑵若

，求的范围．

分析先在数轴上表示出集合A 的范围，要使，

由包含于的关系可知集合A 应该覆盖集合A ，从而有

，

这时的值不可能存在．要使

，

当0>a 时集合A 应该覆盖集合B ，应有

??>≤-≥0331a a a 成立．

即 10≤

当0≤a 时，Φ=B ，显然成立.

故

时

2、利用数形结合思想解决方程和不等式问题

（1）利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题通过

的相互转化，利用函数)(x f y =的图象直观解决问题．

例3 如果方程的两个实根在方程

的两实根之间，试求与

应满足的关系式．

分析我们可联想对应的二次函数，

的草图．这两个函数图

像都是开口向上，形状相同且有

公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程的两实根在方程

的两实根之间，则对应的函数图像

与轴的交点应在函数图像

与轴的交点之内，它等价于抛物线

的顶点纵

坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标．

由配方方法可知

与

的顶点分别为：

()

)4,(,,2

221-+--+--a a a P k a a P ．

故求出与应满足的关系式为

．

（2）利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集

求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．例4 解不等式

．

分析我们可先联想对应的二次函数的图像．从

解得

知

该抛物线与

轴交点横坐标为-2，3，当取交点两侧的值时，即时，

．即

．故可得不等式

的解集为：

．

（3）利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题

通过构造函数，把求方程解的问题，转化为两函数图像的交点问题.

例5 解方程

分析由方程两边的表达式我们可以联想起函数，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为．

例6设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况．

分析我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况，因函数

表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出：

①当时，与没有交点，这时原方程无解;

②当时，与有两个交点，原方程有两个不同的解;

③当时，与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；

④当时，与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；

⑤当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个．

（4）利用三角函数的图像解不等式．

通过构造函数，把不等式问题转化为两个函数图像的关系问题.

例7解不等式

分析从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数.在上作出它们的图像，得到四个不同的交点，横坐标分别为：，而当在区间

内时，的图像都在的图像上方．

所以可得到原不等式的解集为：

．

3、利用函数图像比较函数值的大小

一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．

例8试判断三个数间的大小顺序．

分析这三个数我们可以看成三个函数：在时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论：．

4、利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题

在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像．如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行．

例9 解不等式2

sin -

>x .

分析因为正弦线在单位圆中是用方向平行于

轴的有向线段来表示．我们先在

轴上取一点P ，使

，恰好表示角的正弦线，过点P 作轴的平行线交单位圆于点，在

内，分别对应于角

，(这时所对应的正弦值恰好为2

)．而要求的解集，只需将弦向上平移，使

重合(也即点P 向上平移至与单位圆交点处)．这样

所扫过

的范围即为所求的角．原不等式的解集为：．

5、利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形

利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形,找出代数问题的几何背景，简便解答某些代数综合题．

例10 求证：

（a 与c 、b 与d 不同时相等）

分析考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式．在平面直角坐标系中设),(b a A ，

)0,0(),,(o d c B .

如图，()2

2)(AB d b c a -+=-=

22b a AO +=，22d c BO +=当A 、B 、O 三点不共线时，

BO AO AB +<.当A 、B 、O 三点共线，且A 、B 在O 点同侧时，BO AO AB +>.当A 、B 、

O 三点共线，且A 、B 在O 点异侧时，或A 、B 之一与原点O 重合时，BO AO AB +=．

综上可证

例11 求函数84122+-++=

x x x y 的最小值．

分析考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学

生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为

＝

令A （0，1），B （2，2），P （x ，0），则问题转化为在X 轴上

求一点P ，使｜PA ｜+｜PB ｜有最小值.如图，由于AB 在X 轴同侧，故取A 关于X 轴的对称点，故

（｜PA ｜+｜PB ｜）min=

．

例12 已知点P （x ，y ）在线性区域内，求（1）U ＝；

（2）V ＝的值域

分析由线性规划可知P （x ，y ）在OAB Rt ?内（包括边界），Umin 实质上是点M （4，3）到直线AB

的距离；V的值域实质上是直线PM斜率的取值范围.

通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了.数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，需要平时多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，提高数学思维水平.在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则.当然在渗透数形结合的思想时，应掌握以下几点：

1. 善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系.

2. 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系.

切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难人微.”应用数形结合的思想就能扬这两种方法之长，避呆板单调解法之短.

在解决有关问题时，数形结合思想方法所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化是一目了然的，它为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性，创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥.

参考文献：

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关于数形结合思想的教学方式浅谈

关于数形结合思想的教学方式浅谈资料来源：大学生教育资源我有幸参加了由省教科所组织的四川省教育教学共同体举办的关于“小学生数形结合能力的研究”论坛，全省30个共同体研究单位进行了三年级和六年级数形结合能力调查与分析，共同体学校对此项工作非常重视，都给出了分析报告。论坛中来自7所学校的一线教师带来了七堂精彩的数形结合课，有以形来揭示数的《路程速度时间》、《相遇问题》、《合理安排提高效率》、《比赛场次》，有以数来表示形的《点阵中的规律》、《组合图形》、《方向与位置》等，七节课为此次论坛数形结合能力研究提供了很多研究素材，特别是经过小组讨论、专家点评、专家讲座后，给我的教学方法提供了启发。通过本次论坛，通过与专家面对面的评课、议课结合自己的教学实际和本次对三、六年级的数形能力的调查与分析，主要对以下问题提出了质疑： ●数形结合中“数”与“形”谁先谁后? ●教师在数学教学中如何充分渗透数形结合的思想? ●通过直观的图形揭示数，是否影响了学生的抽象思维能力? ●如何在教学中很好地通过数抽象出图形，看图提问题、解决问题? ●数学课堂中能否建立一种数一形一数或形一数一形的数

学教学模式? ●在高段教学中，数形怎样结合才能促进学生主动发展? 在这次论坛中，通过专家对课例的点评和对数形结合的理解，结合课例对一线教师提出的质疑作出了解答，使一线教师对数形结合在实际教学中要注意的问题有了更深入的理解和认识，使我由最初的迷茫发展至现在的茅塞顿开，达到了参与这次论坛的目的。一、数形结合是一种数学思考方法数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。 1．就教材内容而言，对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形。 2．就学生的年龄特征而言。中低段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对于逻辑思维能力较强的中高段学生，应该逐步过渡到先数后形，如在教学分数的乘、除法意义，教学长方体、正方体、圆柱体的拼、截引起的面积变化时，让学生通过画出直观图形，能让学生很快找出面的变化，

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透摘要:“数”与“形”之间密不可分,它们相互转化,相辅相成。在教学中渗透数形结合的思想,可把抽象的数学概念直观化,帮助学生形成概念;可使计算中的算式形象化,帮助学生在理解算理的基础上把握算法；可将复杂问题简朴化,在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。关键词：数形结合；小学数学;数学思想美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法,能使数学更易于理解和更利于记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法。它是数学概念的建立、数学规律的归纳、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中,最有用的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法。小学数学中常用的数学思想方法中“数形结合”思想尤为重要。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”,在探讨“形”的性质时,又往往离不开“数”。“数形结合“的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。本文先解读“数形结合”思想,浅谈其历史性及重要意义,后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。一.了解小学数学教材中蕴涵的主要数学思想方法数学思想:符号思想，集合思想,对应思想，化归思想。数学方法: （1)思维方法:分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎 (2) 一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想（３)数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法 (4)数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号在小学数学教学中渗透的数学思想和方法,是以数学方法为主,一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。、二、“数形结合”，由来已久?早在数学被抽象、分离为一门学科之前,人们在生活中度量长度、面积和体积时,就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特

小学生数形结合思想的培养

包头师范学院本科毕业论文题目：小学数学教学中学生数形结合思想的培养学生姓名：刘广鑫学号：0807840068 学院：教育科学学院专业：小学教育班级：08级小教2班指导教师：王志东教授二〇一二年五月

摘要通过研究数形结合思想及其形成途径，从而深刻的理解数形结合的内容及其它的形成途径，在结合个案分析来深刻体会数形结合在小学教学中的应用，在实际的数学学习过程中，培养学生的直觉思维能力、发散思维能力和学生的创造思维能力，并使学生通过数形结合思想转变自己的学习观念，并养成良好的思维意识和树立辩证的唯物主义世界观。关键词：思想方法；数形结合；渗透

Abstract By research number shaped combination thought and formed way,to deep of understanding number shaped combination of content and the other of formed way,in combination case analysis to deep experience number shaped combination in primary school teaching in the of application,in actual of mathematics learning process in the, training students of intuition thinking ability,and divergent thinking ability and students of created thinking ability,and makes students by number shaped combination thought change themselves of learning concept,and habit good of thinking consciousness and set dialectical of materialism world. Key word：Method of thinking number shape union penetration

数形结合思想

数形结合思想 1. 数形结合思想的概念。数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2. 数形结合思想的重要意义。数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3. 数形结合思想的具体应用。数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形

浅谈小学数学数形结合思想

浅谈小学数学数形结合思想发表时间：2014-08-01T08:44:54.437Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2014年7月供稿作者：陈月英[导读] 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。陈月英/广西陆川县温泉镇泗里小学〔摘要〕数与形是数学教学研究对象的两个侧面,把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题,就是数形结合思想。〔关键词〕小学数学数学方法运用一、数形结合的思想方法数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。二、集合的思想方法把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。三、函数的思想方法恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。四、极限的思想方法极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333……是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。五、化归的思想方法化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。六、归纳的思想方法在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可认由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。七、符号化的思想方法数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学?数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。总之，小学数学除渗透运用了上述各数学思想方法外，还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。在教学中，教师要既重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样无疑有助于学生数学素养的全面提升，无疑有助于学生的终身学习和发展。

浅谈小学数形结合思想

浅谈小学数形结合思想方法摘要：数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，本文介绍相关概念并结合人教版小学数学教材，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用，提出培养数形结合思想方法的策略。关键词：小学数学；数形结合 1.数形结合思想方法的概念数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。1数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面：前者借助形的直观性来阐明抽象的数之间的关系；后者是利用数的精确性、规范性与严密性来阐明形的某些属性。数形结合思想方法使数与形两种信息互相转换并且优势互补，从而能够将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。2 2.数形结合思想在各个学习领域的渗透与应用小学数学分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习领域，数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。我通过对教材的分析，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用。 2.1数形结合思想方法在“数与代数”知识领域中的渗透与应用数是十分抽象的，教材在编排上充分利用了数形结合，帮助孩子理解数的含义。如，一年级上册1~5的认识这一课时：教材的内容与目标体现以下两方面：（1）体会“形”的直观性。借助各种实物图作为直观工具，帮助学生理解数字的含义。（2）了解可以用数来描述几何图形。通过让学生用相应数量的小棒摆一摆图形的过程，引导学生数一数，增强用数的量化来描述形，让学生初步感受数中有形、形中有数的思想。除此之外，在加减法的计算学习中，利用画图来直观呈现各种信息，帮助学生分析数量关系；在乘法口诀的学习中，利用各种图形（点子图、数轴、表格）帮助学生理解乘法的意义和口诀的推导；在分数的学习中，为了让学生能够理解分数的含义，教材运用了大量的图形作为直观手段；在小数的学习中，利用尺子、线段、正方形等直观手段帮助学生理解小数的意义与性质；在方程的学习中，利用天平图作为直观手段，理解等式的性质，利用画线段图帮助学生理解数量关系……可以说，数形结合思想在“数与代数”的学习中无处不在，应用十分广泛。 2.2数形结合思想方法在“图形与几何”知识领域中的渗透与应用 1王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65. 2毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16.

浅谈数形结合思想的应用

浅谈数形结合思想的应用 ——蒋海朋摘要：数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学，用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。对于这个问题，本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验，并且查阅相关资料，对于这个话题做一个简单的分析。文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。关键词：数形结合数学思想应用 1 引言 1.1问题提出的背景纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。早在公元300年之前，欧几里得的著作《几何原本》，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题；笛卡尔利用坐标为根基，通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。数学往往被分为两大类：代数、几何。虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的，反而是密切相关的。很多代数上的问题计算量很大，看似非常复杂，甚至无从下手，但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解，直观的图形很容易反映图形的性质；很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到，导致无法进一步研究，但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题，同样也做到了化繁为简。这就是数学上常用的数形结合思想。 1.2问题研究的意义伟大的数学家华罗庚就曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。由此可见，数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的，但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过，照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。 2 数形结合思想的重要地位 2.1使用数形结合思想的意义数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。

数形结合在小学数学中的应用

数形结合在小学数学中的应用【内容提要】数形结合思想是一个重要的思想方法，在小学和中学，无论是在教师的课堂教学，对数学概念的理解，还是学生思维和解题能力的培养等方面，数形结合都为其奠定了坚实的基础。本课题主要通过分析自己亲身体会的中小学数学问题，发现数形结合思想在初等数学中的应用，加深对数形结合的理解。【关键词】数形结合思想，数学应用【正文】数与形一直以来都是数学的主题,即使如今的数学有着庞大的分支，仍不可磨灭它的影响力。华罗庚先生的打油诗：“数无形，少直观；形无数，少入微”向我们展现了数与形密不可分的关系。简单的说，数与形就是抽象与形象的表现，数形结合更加有利于学生对知识的理解，单纯的数使知识缺乏直观性，同样的如果只有形就少了几分严密性。然而，数形结合思想就是将本是相互独立的两方面结合起来，做到我中有你，你中有我。数形结合思想在小学和中学数学中有着许多巧妙的应用，比如在最初学习计数时，为了加深小朋友们对数字的记忆，教师常常会用形象的图形或者实物与数字对应；计数是学习数学的基础，教师往往会利用生活中的物品，例如铅笔、糖果、苹果等辅助数数、运算；每个班级都会对学生进行标号，也就是学号，久而久之，当某人说一个数时，你会联想到这个人；复杂的数学题考验你强大的逻辑思维，代数和几何是中学的两大基础，代数中加入具体形象的图像，帮助理清题意，拓展思路，几何中渗透代数，发散思维，解决问题等等。数形结合思想在小学数学的应用，我们学习数形结合并不单单为了解题，更应该将它上升为一种思想，学习数学的转向灯。数形结合思想已经贯穿数学学习的全部，小学是数学萌芽的阶段，在这个阶段，小学生的大脑并没有完全发育，他们对数的理解往往要依靠生活中他自己比较熟悉的事物，也就是“形”。如今“怎样开发小学生的数学思维能力”已经是近几年小学数学教育者一直思考的问题。我们可以发现近几年在小学数学课本中的每一个概念教学，教师都通过各种实物、事例或者图形逐步引导学生观察、分析、比较从中揭示其本质，

浅谈数形结合思想方法的渗透

浅谈数形结合思想方法的渗透数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想，是解决许多数学问题的有效思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微”。那么如何在教学中渗透数形结合的思想。下面谈谈自己的看法：一、教师要深入研究教材，有效渗透数形结合小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法①？在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、对比、分析、抽象、概括的过程中看到数学知识蕴涵的思想。如一年级下册“两位数加减一位数和整十数“35-2和35-20内容时，教师可提出问题，这两题怎么计算？让学生说出算法，再根据学生的回答分别写出支形图，并写出想的过程，然后进一步追问：“有没有不同的算法？”激发学生思考，开拓学生的学习思维。最后进一步问：计算35-2，能不能先用十位上的3减2等于1，结果35-2等于15对吗？让学生思考讨论，产生思维的碰撞，让学生的思维碰撞出智慧的火花。接下来让学生用摆小棒验证，教师可充分利摆小棒，使学生明白：因为35中的3表示3个十，5表示5个1，计数单位不同，所以不能用十位上的3减2，可以用5个1减2个1等于3个1，它们的计数单位都是1，再和3个十合并起来等33。通过摆小棒有效地渗透数形结合，使问题简明直观。教师要深入研究教材，弄清编排的意图，吃透教材，才能用好教材，有效渗透数形结合思想，彰显了数学学习的价值，通过摆小棒这个活动让学生感受到简单推理的过程，获得一些简单推理的经验就可以了。在教师的引导下，让学生明白这两题是把相同数位相加减的算理，这是教材编排的意图，也是本节课的重点。学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”。渗透数学思想，路漫漫兮，任重而道远，作为孩子们的导师，我们应该充分根据孩子们的发展规律，适当地利用教材，在教学过程中巧妙地渗透思想，培

浅谈数形结合思想在小学数学中的应用

浅谈数形结合思想在小学数学中的应用摘要数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题, 利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形, 可以使抽象问题具体化,可以使复杂问题简单化。关键词数形结合、思想、应用一、小学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学从人类发展的历史来看，具体形象的事物是出现在抽象的符号、文字之前的，人类一开始用小石子，贝壳记下所发生的事情，慢慢的发展成为用形象的符号记事，后来出现了数字。这个过程和小学生学习数学过程有着很大的相似之处。低年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始识数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。这方面的例子有有很多，如低年级开始学习识数、学习找规律、学习乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出来。此外，他们往往能在图形的操作或观察中学会收集与选择重要的信息内容；发现图形与数学知识之间的联系，并乐于用图形来表达数学关系。现在的小学课本中很多习题，已知条件不是用文字的形式给出，而是蕴藏在图形中，既是学生喜欢接受的形象，也培养了他们的观察能力和逻辑思维能力。要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并且学生会解题了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，这是一种片面的观点。平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种图像特点，理解和把握各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体实际情况，多角度多方面的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观了解“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来协调知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的逻辑思维能力，并提高学生的理解能力和运用水平。二、利用图形的直观，帮助学生理解数量之间的关系，提高学习效率用数形结合策略表示题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。 “数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显其最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。例如：1、小学高年级中所学的，运用分数乘法、除法解决问题。引用人教版小学六年级上册数学书，第二章分数乘法，第二节解决问题，第20页，第二题。

浅谈数形结合的思想

浅谈数形结合的思想摘要"数形结合百般好,隔离分家万事非"——这是我国著名数学家华罗庚在谈到数形结合时的精辟论断.数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位.从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力. 数形结合是推动数学向前发展的一种比较重要手段,数学一大部分知识都是围绕其演变、发展而展开的. 关键词数形结合数学思想以形助数以数辅形一、引言数形结合思想占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 我从以下几方面学习研究一下应用数形结合来提高学生的解题能力.1.数形结合的概念.2.数形结合的原则3.数形结合思想及其内涵.3.数形结合在数学中的应用由来已久.4、数形结合的途径5.数形结合在数学中的应用. “数”与“形”是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线,是数学教学的两个基本概念,两块基石.可以说大多数数学知识基本上都是围绕这两个基本概念提炼、演变.采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点.如果能将数与形巧妙地结合起来,有效地相互转化,一些看似无法入手的问题就会迎刃而解,产生事半功倍的效果. 二、数形结合的概念数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通径的目的.一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题素的、优化解题过程的一种重要方法数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透(同名45811)

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透摘要：“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上把握算法；可将复杂问题简朴化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。关键词：数形结合；小学数学；数学思想美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法。它是数学概念的建立、数学规律的归纳、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中，最有用的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法。小学数学中常用的数学思想方法中“数形结合”思想尤为重要。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。“数形结合“的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。本文先解读“数形结合”思想，浅谈其历史性及重要意义，后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。一.了解小学数学教材中蕴涵的主要数学思想方法数学思想：符号思想，集合思想，对应思想，化归思想。数学方法：（1）思维方法：分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎（2）一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想（3）数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法（4）数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号在小学数学教学中渗透的数学思想和方法，是以数学方法为主，一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。、二、“数形结合”，由来已久早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引

浅谈数形结合思想如何教学

浅谈数形结合思想如何教学数形结合的思想，是把函数、坐标、几何图形作为同一个数学系统的一种思想，如果用这种思想来想问题，这三者之间可以通过某种需要相互转换，数形结合思想是简化数学问题的一种重要的思想.高中数学教师要合理引导学生理解和运用数形结合的思想，以便让学生能够更灵活地解决数学问题.本次研究将说明高中数学教师在教学中培养学生数形结合思想的方法. 一、强化学生的数形结合理念通常高中生在学习的过程中已经建立了数形结合这个概念，然而高中数学教师必须要看到，很多学生的数形结合理念仅仅只建立在一个观念上，即他们理解有数形结合是一种数学思路，然而遇到数学问题的时候，学生可能就会忘记数形结合这种解决数学问题的思想。数学教师要在数学教学中强调数形结合这个理念，让学生只要遇到数学问题，就能联想到可以用数形结合这种解决问题方法的数学思路. 以数学教师引导学生做习题1为例：已知一个有向线段PQ，它的起点P的坐标为P（-1，1），终点的座标Q为（2，2），如果有一条直线x十my+m=0与该有向线段相交，那么实数m的取值范围为多少？

学生遇到这一类问题时，一般会认为这种题适合用坐标图解决问题，于是照题意绘出图1，然而教师要让学生意识到图1，既可以转化为两个斜线方程式的相交问题，也可以将它理解为图形角度的问题，学生只有从多种角度看问题，解题的思路才更宽广.如果以最简思路来想问题，可将此题视为斜率解：将x十my+m=0转化为点斜式方程y+l：=-1/m（x-0），由此可得直线x十my+m =0过定点M（0，-1），且它的斜率为-1/m 由于直线x+my+m=0与PQ相交，那么由图1可知当直线x+ my +m =0过点P，Q时，可取得边界值，因此可得：如果设直线x+my +m =0的斜率为k1，那么可以得到k1∈（一∞，一2] U[3/2，+∞），即解一1/m≤一2或一1/m≥3/2，从而得到教师可以从这一题引导学生学会从宏观的视角看问题，让学生了解到函数、坐标图、几何图形这三样事物的特点，学生了解了这三样事物的特点以后，就可以根据自己的需要灵活地做数形转换. 教师如果能够引导学生具备灵活的数形转换思路，学生就能够用更宏观的思维看待数学问题. 二、提高学生的数形结合技巧当学生意识到数形结合思路的重要性，心中已经建立起

论文浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用

论文浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用数形结合就是建立在数形优势互补的基础上，抓住数与形之间本质上的联系，以“形”直观的表达数，以“数”精确的研究形的思想方法。其实质就是将抽象的数量关系与直观的图形结构结合起来进行考虑，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐的结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路的一种思想。数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。那么如何在教学中有效渗透数形结合的思想。结合我的教学实践谈一些粗浅的认识。一、以形助数，抽象变为直观。 1. 助于把握概念本质数的产生源于对具体物体的计数。我们不难发现从数的概念的建立到数的运算处处蕴涵着数形结合的思想。如学习整数、分数、小数及其加、减、乘、除法的运算时，教材都是借助直观的几何图形来帮助学生理解抽象的概念。生动形象的图形使得抽象的知识变得趣味化、直观化，让学生在学习时，不再感到枯燥乏味，反而能够使学生从中获得有趣的情感体验，让学生主动去探索，把握概念本质。例如：在学习“千以内数的认识”一课时，教师可以利用几何模型直观地将计数单位及其相互间的“十进制关系”呈现出来。用一个立体方格表示1，10个一就是十（即十个立体方格），以此类推，将数字的认识以这种学生感兴趣的方式呈现出来，结合立方体的变化，直观地认识了计数单位“个”“十”“百”“千”“万”，知道10个十是一百，10个一百是一千。理解了它们之间的十进制关系，这种变抽象为直观，数形结合的策略，更能让学生掌握概念本质，并在学生的头脑中留下了计数单位的直观现象，为数的大小比较、数的计算留下了初步的基础。例如：比较7.8和7.80的异同点 (见下图)

浅谈初中数形结合思想的培养论文大赛

浅谈初中数学教学中数形结合思想的渗透摘要：数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。关键词: 数形结合概念几何意义应用观察渗透数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；我们在教学时，应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。对于究竟应如何渗透，我认为没有固定的方法可言，但是我们可以做到积极的挖掘与引导，适当的训练与概括，合理的设计与运用，只要这样长期坚持下去，一定能够使学生较好的掌握数学思想方法，提高解题能力。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）、实数与数轴上的点的对应关系；（2）、函数与图象的对应关系；（3）、几何图形的求解；（4）、以几何元素和几何条件为背景建立起来的实际问题；（5）、所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义等等。巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。数形结合的思想方法应用广泛，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。数形结合能培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进,和谐发展的主要形式，数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力。新的课程改革中的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续的发展，它要求学生通过学习数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生

浅谈小学数学教学中数形结合思想的渗透

浅谈小学数学教学中数形结合思想的渗透摘要：数形结合思想是小学教学的重要手段，在小学数学教学中运用数形结合的思想，往往能达到意想不到的效果，有助于小学生对数学知识的理解与运用。本文分析了数形结合的思想，列举了合理的数形结合教学手段，旨在实现小学数学高效教学。关键词：小学数学；数形结合思想；特点；运用在数学教学尤其是小学数学中，数形结合思想的运用十分广泛。在数形结合思想中，常常涉及数字与形状相互转化、化抽象为具体的教学手段。数形结合思想的运用，使原本复杂的数学问题变得简单易懂，这种教学方法对这一年龄段小学生十分有效，通过优化问题解答过程，提高学生对数学的理解能力，使课堂教学效率达到最大化。一、数形结合思想的概念数形结合思想是对数学问题进行思考与研究的一种方法，数形结合思想涉及“数”与“形”的转变，教师在进行数学教学时运用数形结合思想，需要对数学问题中的数与形做到精准把握。在数形结合思想中，有两种表现手段：一是用数的精确性探讨形的过程，二是以形的直观反应解释数的形成。通过两者的转化作用，再利用数学问题特点，巧用

数形结合思想，将学生对数学的抽象认识转变为直观反应，借此提高数学学习效率。在进行数形结合思想的运用时，对于比较新颖、难度较高的数学知识，教师应结合数形结合的手段进行知识讲解。数形结合思想并不能应用到所有的数学问题中，在实际教学过程中，还应考虑数学内容的难易程度。对于学生大部分能理解的数学问题就不需要运用数形结合思想，直观的讲解也许更加有效，所以在小学数学教学中，教师结合学生的实际理解能力和问题的难易程度，灵活运用数形结合思想进行课堂教学，才能提升课堂教学效率。二、数形结合思想在小学教学中的运用 1.深入研究教材，挖掘内容中所包含的数形结合思想教师要正确运用数形结合思想在教学中的优势，首先应该做到对小学课程的理解，对教材中相关课程进行研究。例如：在加减乘除的教学中，涉及几个数字相加的题目，对于刚进行小学加减乘除课程学习的小学生而言很难理解。为了更好地将学生带到加法学习中，教师可以采取以实物代替数字进行教学的方法。在进行十以内的加法时，用火柴棒代替数字，使学生对数字有直观的了解，以此类推加减乘除法。 2.数学中灵活运用“数”与“形”相互转变的教学思想小学教学中，将抽象的“数”和具体的“形”结合，

浅谈数形结合思想在教学中的应用

本科生毕业论文（设计）题目：浅谈数形结合思想在教学中的应用学号： 0707140154 姓名：汪洋专业：数学与应用数学年级：07级一班系别：数学系完成日期：2010年10月指导教师：

浅谈数形结合思想在教学中的应用汪洋（合肥师范学院数学系）摘要数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短”。数形结合作为一种常见的数学方法, 沟通了代数、三角与几何的内在联系。一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法, 它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。关键词:数形结合思想；直观；数学教学；应用 Discusses the number shape union thought shallowly in the teaching

application Wang yang （Department of Mathematics, Hefei Normal University） ABSTRACT Counts the shape union is unifying the question stoichiometric relation and the space form to inspect, according to solving the question need, we can transform the stoichiometric relation question for the graph nature question discusses, or transform the graph nature question for the stoichiometric relation question studies, “the number shape makes up for one's deficiency by learning from others strong points mutually in short”. Counts the shape union as one common mathematical method, has communicated the algebra, the triangle and the geometry inner link. On one hand, with the aid in the graph nature may make many abstract mathematics concepts and the stoichiometric relation visualization and simplification, for the human by the intuition enlightenment. On the other hand, transforming the graph question as the algebra question, obtains the precise conclusion. Therefore, counts the shape union not to take one problem solving method merely, but should take one very important mathematics thinking method, it may expand students' problem solving mentality, sharpens their problem solving ability, takes the knowledge it to transform as ability “the bridge”. Key words: Counts the shape union thought，Intuitively, Mathematics teaching, Application 目录一、前言 (3) 二、正文 (3)