2、向量的数量积不满足消去律,即:由a?b=a? c (a≠0),推不出 b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b ∣=|a|?|b|?sin〈a,b>;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c。 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
高中数学平面向量doc
专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 (一)平面向量知识结构图 (二)重点难点分析
本专题内容包括:平面向量的概念、运算及应用. 课标要求: 平面向量(约12课时) (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。(2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 (4)平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 (5)向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求,并结合前面的分析可知:新概念、新运算的定义,向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点,平面向量基本定理是坐标表示(几何代数化)的关键,也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 (一)在概念教学中,依据概念教学的方法,建构概念知识体系 本专题的教学中,向量、向量的运算等都是新定义的概念,如何让这些概念的出现自然轻松,还能让学生迅速把握住本质,达成理解?不妨遵循概念教学的方法。 比如说:“向量的概念”教学中,可从力、位移等实例引入,进行抽象概括,形成向量的概念。之后,提出“温度、功是不是向量?”这样的问题,通过比较,对向量的概念进行辨析,在此基础上,抓住向量的两个要点:大小、方向进行拓展,按如下表格整理,将向量概念精致化。 概念辨析:
2019届高中数学必修1教材必考基本知识点归纳
1 必修Ⅰ 集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ中潜在的命题点预测 预测1:函数的个数问题 教材习题:函数解析式2x y =,值域为[]4,1,这样的函数有几个? 变式1:函数解析式2x y =,值域为[]4,0,定义域为[]b ,1-,求b 的取值范围; 变式2:函数解析式2x y =,值域为[]4,0,定义域为[]b ,2-,求b 的取值范围; 变式3:函数解析式2x y =,值域为[]4,1,定义域为[]b a ,,求,a b 的值; 变式4:函数解析式2x y =,值域为[]4,0,定义域为[]b a ,,求,a b 的值; 变式5:函数解析式2x y =,值域为{}4,1,这样的函数有几个? 变式6:函数解析式2x y =,值域为{}2,9,4,1n () *N n ∈,这样的函数有几个? 预测1-1:设a >1,函数log a y x =的定义域为[m ,n ],m <n ,值域为[0,1],定义:区间 [m ,n ]的长度等于n m -.若区间[m ,n ]长度的最小值为5 6 ,则实数a 的值为 6 提示:令log 1a x =,则x a =,或1a .显然 111a a ->-,所以15 16 a -=,即6a =. 预测2:函数最值的定义问题 教材例题:已知函数)(x f y =的定义域是[]b a ,,b c a <<,当[]c a x ,∈时,)(x f 是单调增函数;当[]b c x ,∈时,)(x f 是单调减函数.试证明)(x f 在c x =取得最大值.
2 两个和最值定义有关的试题: 预测2-1:已知定义在R 上的函数)3()(2 -=ax x x f ,若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g , 0=x 处取得最大值,则正数a 的范围 . 6 (0,]5 局部缩小策略,可通过不等式)0()2(f f ≤将a 的取值范围进行缩小 预测2-2:已知)(x f 是二次函数,且方程03)(=+x x f 的根是0和1,若函数图像开口向下,求证:)(x f 的最大值非负 由题易知:0)0(=f ,又因为)(x f 的图像开口向下,所以0)0()(max =≥f x f 预测3:反函数问题 预测题3-1:已知点P 在曲线x y ln =上运动,点Q 在曲线x e y =上运动,则PQ 的最小值为______ 变式: 预测题3-2:已知1>a ,若函数4)(-+=x a x f x 的零点为m ,函数 4log )(-+=x x x g a 的零点为n ,则 n m 4 1+的取值范围是__________ ?? ????+∞,49 提示:令,0)(=m f 则m a m -=4,从而m m a =-)4(log ,变形得04)4()4(log =--+-m m a ,即0)4(=-m g ,而函数)(x g 在()+∞,0上单调递增, 所以n m =-4,即4=+n m ,且0,0>>n m ,则 m m 41+=,4 9454141)(41≥??? ?? ++=??? ??+?+n m m n m m n m 当且仅当n m =2时等号成立.
高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc
第一部分:平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量- b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律: a+ b= b+ a. (2)结合律: (a+ b)+ c= a+ (b+c). a- b= a+ (- b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|= |λ||a|. ;λ(μa)=λμa; 数乘 (2)当λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向;当λ (λ+μ)a=λa+μa; =0 时,λa= 0. λ(a+ b)=λa+λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得 b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说, 即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.
(完整)2019年高中数学虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用含解析答案.doc
谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用 ------以 2019 年几道模拟题为例 在高考的导数压轴题中,经常会遇到导函数具有零点但求解又相对比较复杂甚至是无法求解的问题,这个时候,从正面去强求函数的零点值是很困难的,我们不妨只须设出函数的零点,然后利用其满足的关系式,谋求一种整体的替换和过 渡,往往会给我们带来意向不到的效果,最后再结合题目的其他条件,就可以很快 解决这类问题。对于最近的几道地市模拟题的导数压轴题,我们发现它们 用的好像都是同一个方法 -- 虚设零点消元法,只分析第一道,其他同理,顺便再看看之前曾经出现过的两道经典题. 一、【 2019 合肥一模理科 21】 二、【 2019 顺德三模理科 21】 三、【 2019 佛山 3 月统考(北京燕博园)理科21】 四、【 2019 广州一模理科 21】 五、【 2019 广东模拟理科 21】 六、【 2018 广州二模理科 21】 七、【 2013 全国二卷理科 21】 一、【 2019 合肥一模理科21】 21.(本小题满分12 分 ) 已知函数 f (x) e x ln(x 1) ( e 为自然对数的底数 ). (Ⅰ )求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ )若 g(x) f (x) ax , a R ,试求函数g(x) 极小值的最大值. 解析: ( Ⅰ) 易知x 1 ,且 f (x) e x 1 . x 1 【求一阶导数发现是超越函数,无法确定导数的零点】 令 h(x) e x 1 ,则 h (x) e x 1 0 , x 1 (x 1)2 【进一步求二阶导数,发现二阶导数恒大于0, 说明一阶导数递增】 ∴函数 h(x) e x 1 在 x ( 1, ) 上单调递增,且h(0) f (0) 0 . x 1 【找到一阶导数的一个零点,而且是唯一的由负变正的零点,从而确定单调区间】可知,当 x ( 时,h(x) f (x) 0 , f (x) x ln(x 1) 单调递减; 1, 0) e 当 x (0, ) 时, h(x) f (x) 0 , f (x) e x ln(x 1) 单调递增. ∴函数 f (x) 的单调递减区间是( 1, 0) ,单调递增区间是 (0, ) . 【反思:有的学生提出,我们很容易就观察得到了h(0) f (0) 0 . 但是,对于
高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量 一、选择题 1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .与相等 D .与相等 2.下列命题正确的是( ). A .向量与是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =b C .若=,则A ,B ,C , D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ). A .3x +2y -11=0 B .(x -1)2+(y -1)2=5 C .2x -y =0 D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 56 π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则=( ). A .λ(+),λ∈(0,1) B .λ(+),λ∈(0,22 ) C .λ(-),λ∈(0,1) D .λ(-),λ∈(0, 2 2) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则=( ). A .+ B .- C .+ D .+ 7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ). (第1题)
高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师
一、 知识清单 1. 极化恒等式:如图,+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则: ①2 +②2 得:AC AD BC AB +=+242 2 22 ;①2-②2 得:AC AD BC AB ?=-4422 推广:AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法:?==-+-a b a b a b 4()()22,=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法:如图,由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ,所以PD PB PA PC +=+2222, 速记方法:矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1:若ABCD 为平行四边形,则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0,且对于边AB 上任一点P ,恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析:D 为BC 中点,由极化恒等式有:?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时,PB ????? ?PC ????? 最小, 所以过D 作AB 垂线,垂足即为P 0,作AB 中点E ,则CE ⊥AB ,即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量,e 是单位向量. ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围? 解析:由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图,===OA a OB b OE e ,, ,构造矩形ACBE ,由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2,则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲:极化恒等式与矩形大法 解析:由极化恒等式有:AB 16推广2:若P 为平面外一点,上述性质仍成立。二、典型例题1.(2019浙江模拟卷)在?ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则A B A ? C =_________. 2.(2019山东模拟)在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点,满足P B AB
2019_2020学年新教材高中数学全册综合检测新人教B版必修第二册
全册综合检测 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题所给的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的不得分) 1.已知函数f (x )=log 2(x +1),若f (a )=1,则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:选B 由题意知log 2(a +1)=1,∴a +1=2,∴a =1. 2.函数y =x -1·ln(2-x )的定义域为( ) A .(1,2) B .[1,2) C .(1,2] D .[1,2] 解析:选B 要使解析式有意义,则? ?? ?? x -1≥0, 2-x >0,解得1≤x <2,所以所求函数的定义域 为[1,2). 3.已知O ,A ,B 是同一平面内的三个点,直线AB 上有一点C 满足2AC ―→+CB ―→=0,则OC ―→ =( ) A .2OA ―→-O B ―→ B .-OA ―→+2OB ―→ C.23OA ―→-13 OB ―→ D .-13OA ―→+23 OB ―→ 解析:选A 依题意,得OC ―→=OB ―→+BC ―→=OB ―→+2AC ―→=OB ―→+2(OC ―→-OA ―→),所以OC ―→ =2OA ―→-OB ―→ ,故选A. 4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A .至少有一个黑球与都是红球 B .至少有一个黑球与都是黑球 C .至少有一个黑球与至少有一个红球 D .恰有1个黑球与恰有2个黑球 解析:选D A 中的两个事件是对立事件,不符合要求;B 中的两个事件是包含关系,不是互斥事件,不符合要求;C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件,不是互斥事件;D 中是互斥而不对立的两个事件.故选D.
2019年下半年教资考试高中数学真题及答案
2019年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题(高级中学) 注意事项: 1. 考试时间为120分钟,满分150分。 2. 请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效,不予评分。 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。 1. 若函数{0,0,2sin )(<≥+=x e x x b ax x f ,在0=x 处可导,则a ,b 的值是( ) 。 A. a=2, b=l B. a=l, b=2 C. a= -2, b=l D. a=2, b= -l 2. 若函数()?????=≠=0 ,00,1sin x x x x x f n 的一阶导函数在0=x 处连续,则正整数n 的取值范围是( )。 A. 3≥n B. 2=n C. 1=n D. 0=n 3. 已知点)121(1-,,M ,)031(2,,M ,若平面1∏过点1M 且垂直于21M M , 则平面2∏: 018186=-++z y x 与平面1∏之间的夹角是( ) 。 A. 6π B. 4π C. 3 π D. 2π 4. 若向量a , b , c 满足a + b + c = 0,那么a × b =( )。 A. b × a B. c × b C. b × c D. a × c 5. 设n 阶方阵M 的秩n r M r <=)(,则M 的n 个行向量中( )。 A. 任意一个行向量均可由其他r 个行向量线性表示 B. 任意r 个行向量均可组成极大线性无关组 C. 任意r 个行向量均线性无关 D. 必有r 个行向量线性无关 6. 下列变换中关于直线x y =的反射变换是( )。 A. ???? ??-=10011M B. ??? ? ??-=θθθθcos sin sin cos 2M C. ???? ??=01103M D. ??? ? ??-=10014M
(完整版)高中数学平面向量专题训练
高中数学平面向量专题训练 一、选择题: 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ,则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ,那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量,平行的是 A 、(2,3)a =-r ,(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ,(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ,(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ,(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ,则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ,(5,5)b =-r ,则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ,j r 都是单位向量,则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图,在四边形ABCD 中,设AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r , BC c =u u u r r ,则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ,按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ,则向量a r 是 C B A D
2019版高中数学新课程标准测试题及答案
高中数学新课标测试题 一选择题: 1.高中数学课程在情感、态度、价值观方面的要求下面说法不正确的是( ) A.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心 B.形成锲而不舍的钻研精神和科学态度 C.开阔数学视野,体会数学的文化价值 D.只需崇尚科学的理性精神 2.《高中数学课程标准》在课程目标中提出的基本能力是( ) A.自主探究、数据处理、推理论证、熟练解题、空间想象 B.运算求解、数据处理、推理论证、空间想象、抽象概括 C.自主探究、推理论证、空间想象、合作交流、动手实践 D.运算求解、熟练解题、数学建模、空间想象、抽象概括 3.高中数学新课程习题设计需要( ) A.无需关注习题类型的多样性,只需关注习题功能的多样性 B.只需关注习题类型的多样性,无需关注习题功能的多样性 C.既要关注习题类型的多样性,也要关注习题功能的多样性 D.无需关注习题类型的多样性,也无需关注习题功能的多样性 4.下面关于高中数学课程结构的说法正确的是( ) A.高中数学课程中的必修课程和选修课程的各模块没有先后顺序的必要 B.高中数学课程包括4个系列的课程
C.高中数学课程的必修学分为16学分 D.高中数学课程可分为必修与选修两类 5.在教学中激发学生的学习积极性方法说法正确的是( ) A.让学生大量做题,挑战难题 B.创设问题情境,让学生有兴趣、有挑战 C.让学生合作交流讨论、动手操作、有机会板演讲解 D.通过数学应用的教学使学生了解数学在现实生活中的作用和意义 6.要实现数学课程改革的目标,关键是依靠( ) A.学生 B.教师 C.社会 D.政府领导 7.在新课程中教师的教学行为将发生变化中正确的是( ) A.在对待自我上,新课程强调反思 B.在对待师生关系上,新课程强调权威、批评 C.在对待教学关系上,新课程强调教导、答疑 D.在对待与其他教育者的关系上,新课程强调独立自主精神 8.在新课程改革中,受新的理念指导,教师在课堂中的地位、角色发生了较大的变化,这种变化主要体现在多方面,下面说法中不正确的选项是( )
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段