第二章 平面向量
1 向量和差作图全攻略
两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线
例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b. (1)a 、b 同向；
(2)a 、b 反向，且|a|＞|b|； (3)a 、b 反向，且|a|＜|b|.
作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB →
＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a|＋|b|；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a|－|b||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b.作图如下：
例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b. (1)a 、b 同向，且|a|＞|b|； (2)a 、b 同向，且|a|＜|b|； (3)a 、b 反向.
作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →
＝a －b.事实上a －b 可看作是a ＋(－b)，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下：
二、向量a 、b 不共线
如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.
例3 如图，已知向量a 、b. 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b. 作法1 (应用三角形法则)
(1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O.
第一步：作OA →
＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a|，并使OA →
与a 同向.
第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB →
作成与b 的方向相反.)
第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB →
即为a ＋b. 作图如下：
(2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB →
＝b ；
第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA →
即为a －b. 作图如下：
点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”.
作法2 (应用平行四边形法则)
在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB →
＝a ，
AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB →
＝a －b.作图如下：
点评 向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.
向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作AB →＝b ，可实际上作的是AB →
＝－b.只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.
2 向量线性运算的应用
平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简
例1 化简下列各式：
(1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →
)； (2)
1
24
[3(2a ＋8b)－6(4a －2b)]. 解 (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →
)
＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)1
24
[3(2a ＋8b)－6(4a －2b)] ＝
124(6a ＋24b －24a ＋12b)＝1
24
(－18a ＋36b) ＝－34a ＋32
b.
点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数
例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝________.
解析 如图，因为MA →＋MB →＋MC →
＝0，
即MA →＝－(MB →＋MC →
)， 即AM →＝MB →＋MC →， 延长AM ，交BC 于D 点，
所以D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD →
， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，
所以m ＝3. 答案 3
点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值. 三、表示向量
例3 如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB →，DE∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →
＝b ，
用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM →
.
解 因为DE∥BC，AD →＝23
AB →
，
所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →
＝b －a ，
由△ADE∽△ABC，得DE →＝23BC →＝2
3(b －a)，
又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE∥BC， 所以DN →＝12DE →＝1
3
(b －a)，
AM →＝AB →＋BM →
＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a)＝12
(a ＋b).
点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.
3 平面向量的基本定理应用三技巧
技巧一 构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，且a ＝x 1e 1＋y 1e 2＝x 2e 1＋
y 2e 2，则用?
??
??
x 1＝x 2
y 1＝y 2来求解.
例1 在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →
|＝1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →
. 解 ∵B，P ，M 共线，
∴存在常数s ，使BP →＝sPM →
， 则OP →
＝11＋s OB →＋s 1＋s OM →.
即OP →
＝11＋s OB →＋s 3(1＋s )OA →
＝
s 3(1＋s )a ＋11＋s
b.
①
同理，存在常数t ，使AP →＝tPN →
，
则OP →
＝11＋t a ＋t 4(1＋t )
b.
②
∵a，b 不共线，∴?????
11＋t ＝s 3(1＋s )
11＋s ＝t
4(1＋t )
，
解之得????
?
s ＝92
t ＝8
3
，∴OP →＝3
11a ＋211
b.
点评 这里选取OA →，OB →作为基底，构造OP →
在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解.
技巧二 构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，a ＝x 1e 1＋y 1e 2，b ＝x 2e 1＋y 2e 2，且a∥b，则x 1y 2－x 2y 1＝0”来求解.
例2 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →
＝
b.
(1)用a 、b 表示OM →
；
(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →
，求证：17p ＋37q ＝1.
(1)解 设OM →
＝ma ＋nb ，则 AM →＝(m －1)a ＋nb ，AD →
＝－a ＋12b.
∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →
共线， ∴1
2
(m －1)－(－1)×n＝0，∴m＋2n ＝1.
①
而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋nb ，CB →
＝－14a ＋b.
∵C、M 、B 共线，∴CM →与CB →
共线， ∴－14n －(m －1
4)＝0.∴4m＋n ＝1.
②
联立①②可得m ＝17，n ＝37，
∴OM →＝1
7a ＋37
b.
(2)证明 EM →＝(17－p)a ＋37
b ，EF →
＝－pa ＋qb ，
∵EF →与EM →
共线，
∴(17－p)q －3
7×(－p)＝0.
∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋3
7q
＝1. 点评 这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解. 技巧三 将题目中的已知条件转化成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式(e 1，e 2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解. 例3 如图，已知P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →
＝p ，试用向量p 表示CQ →
.
解 ∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →
， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →
＝0， ∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →
＝0，
又∵A，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， ∴AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →， ∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →
＝0， ∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →
＝0.
而BQ →，QP →
为不共线向量，∴???
??
λ＋2＝0，3＋3μ＝0.
∴λ＝－2，μ＝－1.∴CP →＝－QP →＝PQ →
. 故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →
＝2p.
点评 这里选取BQ →，QP →
两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来求解.
4 直线的方向向量和法向量的应用
直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析.
一、直线的方向向量 1.定义
设P 1，P 2是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上的不同两点，那么向量P 1P 2→
以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→
的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)；特别当直线l 与x 轴不垂直时，即x 2－x 1≠0，直线的斜率k 存在时，那么(1，k)是它的一个方向向量；当直线l 与x 轴平行时，方向向量可为(1，0)；而无
论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B ，A). 2.应用 (1)求直线方程
例1 已知三角形三顶点坐标分别为A(2，－3)，B(－7，9)，C(18，9)，求AB 边上的中线、高线方程以及∠C 的内角平分线方程. 解 ①求中线方程
由于CB →＝(－25，0)，CA →＝(－16，－12)，那么AB 边上的中线CD 的方向向量为CB →＋CA →
＝(－41，－12)， 也就是? ????1，1241，因而直线CD 的斜率为1241， 那么直线CD 的方程为y －9＝12
41
(x －18)， 整理得12x －41y ＋153＝0. ②求高线方程
由于k AB ＝9＋3－7－2＝－4
3，
因而AB 的方向向量为? ????1，－43，
而AB 边上的高CE⊥AB，
则直线CE 的方向向量为? ??
??1，34， 那么高线CE 的方程为y －9＝3
4(x －18)，
整理得3x －4y －18＝0. ③求∠C 的内角平分线方程
CB →|CB →|＝(－1，0)，CA →
|CA →|＝? ????－4
5
，－35，
则∠C 的内角平分线的方向向量为
CB →|CB →|＋CA →
|CA →|
＝? ????－95，－35，也就是? ????1，13， 因而内角平分线CF 的方程为y －9＝1
3(x －18)，
整理得x －3y ＋9＝0.
点评 一般地，经过点(x 0，y 0)，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程是A(x －x 0)＋B(y －y 0)＝0；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程是B(x －x 0)－A(y －y 0)＝0. (2)求直线夹角
例2 已知l 1：x ＋3y －15＝0与l 2：y －3mx ＋6＝0的夹角为π
4，求m 的值.
解 直线l 1的方向向量为v 1＝(－3，1)， 直线l 2的方向向量为v 2＝(1，3m)，
∵l 1与l 2的夹角为π
4，
∴|cos〈v 1，v 2〉|＝
|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|3m －3|9＋1·1＋9m
2
＝2
2， 化简得18m 2
＋9m －2＝0.解得m ＝－23或m ＝16
.
点评 一般地，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，其方向向量为v 1＝(1，k 1)，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，其方向向量为v 2＝(1，k 2)，当1＋k 1k 2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k 1k 2≠0时，设夹角为θ，则cos θ＝|v 1·v 2|
|v 1|·|v 2|
＝
|1＋k 1k 2|1＋k 21
·1＋k
22
；若设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，其方向向量为(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，其方向
向量为(－B 2，A 2)，那么cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 2
1＋B 2
1·A 2
2＋B 2
2
.
二、直线的法向量 1.定义
直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量.因此若直线的方向向量为v ，则n·v＝0，从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A)，则由于n·v＝0，于是可取n ＝(A ，B). 2.应用
(1)判断直线的位置关系
例3 已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与直线l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0. (1)若l 1⊥l 2，求实数a 的值； (2)若l 1∥l 2，求实数a 的值.
解 直线l 1，l 2的法向量分别为n 1＝(a ，－1)，n 2＝(2a －1，a)，
(1)若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝a(2a －1)＋(－1)×a＝0，解得a ＝0或a ＝1.∴a＝0或1时，l 1⊥l 2.
(2)若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，∴a 2
－(2a －1)×(－1)＝0.解得a ＝－1±2，且a 2a －1＝－1a ≠2.∴a＝－1±2时，
l 1∥l 2.
点评 一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，当n 1⊥n 2，即A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2，反之亦然；当n 1∥n 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合.
(2)求点到直线的距离
例4 已知点M(x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点. 求证：点M(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝
|Ax 0＋By 0＋C|
A 2
＋B
2
.
证明 设P(x 1，y 1)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(A ，B).则M(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 等于向量PM →
在n 方向上投影的长度，如图所示.
d ＝|PM →|·|cos〈PM →
，n 〉| ＝|PM →
·n||n|
＝
|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(A ，B )|
A 2＋
B 2
＝|A (x 0－x 1)＋B (y 0－y 1)|
A 2
＋B
2
＝
|Ax 0＋By 0－(Ax 1＋By 1)|
A 2＋B
2
. ∵点P(x 1，y 1)在直线l 上，
∴Ax 1＋By 1＋C ＝0，∴Ax 1＋By 1＝－C ， ∴d＝
|Ax 0＋By 0＋C|
A 2
＋B
2
.
点评 同理应用直线的法向量可以证明平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A 2
＋B 2
≠0且C 1≠C 2)的距离为d ＝|C 2－C 1|
A 2＋
B 2.
证明过程如下：
设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(A ，B)，则P 1P 2→
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的投影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离. d ＝|P 1P 2→||cos 〈P 1P 2→
，n 〉|＝|P 1P 2，→
·n||n|
＝
|(x 2－x 1，y 2－y 1)·(A ，B )|
A 2＋
B 2
＝|A (x 2－x 1)＋B (y 2－y 1)|
A 2
＋B
2
＝
|(Ax 2＋By 2)－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2＝|C 2－C 1|
A 2＋B
2
. 5 向量法证明三点共线
平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 典例 已知OB →＝λOA →＋μOC →
，其中λ＋μ＝1.求证：A 、B 、C 三点共线.
思路 通过向量共线(如AB →＝kAC →
)得三点共线.
证明 如图，由λ＋μ＝1得λ＝1－μ，则OB →＝λOA →＋μOC →＝(1－μ)OA →＋μOC →.∴OB →－OA →＝μ(OC →－OA →
)，
∴AB →＝μAC →， ∴A、B 、C 三点共线.
思考 1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性；
2.反之也成立(证明略)：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满足OB →＝λOA →＋μOC →
，且λ＋μ＝1.揭示了三点共线的又一个性质；
3.特别地，λ＝μ＝12时，OB →＝12(OA →＋OC →)，点B 为AC →
的中点，揭示了△OAC 中线OB 的一个向量公式，应用广泛.
应用举例
例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝1
3BD.利用向量法证明：M 、N 、C 三
点共线.
思路分析 选择点B ，只须证明BN →＝λBM →＋μBC →
，且λ＋μ＝1.
证明 由已知BD →＝BA →＋BC →，又点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，得BN →＝13BD →＝13(BA →＋BC →)＝13BA →＋13BC →
.
又点M 是AB 的中点，
∴BM →＝12BA →，即BA →＝2BM →.∴BN →＝23BM →＋13BC →
.
而23＋1
3＝1.∴M、N 、C 三点共线. 点评 证明过程比证明MN →＝mMC →
简洁.
例2 如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与AB 相交于E ，求证：BE ＝1
4
BA.
思路分析 可以借助向量知识，只需证明：
BE →＝14BA →，而BA →＝BO →＋BC →，又O 、D 、E 三点共线，存在唯一实数对λ、μ，且λ＋μ＝1，使BE →＝λBO →＋μBD →
，
从而得到BE →与BA →
的关系.
证明 由已知条件，BA →＝BO →＋BC →，又B 、E 、A 三点共线，可设BE →＝kBA →
，则 BE →＝kBO →＋kBC →，
①
又O 、E 、D 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ， 使BE →＝λBO →＋μBD →
，且λ＋μ＝1. 又BD →＝13BC →，
∴BE →＝λBO →＋13
μBC →，
②
根据①②得?????
k ＝λ，k ＝1
3μ，
λ＋μ＝1，
解得?????
k ＝14
，
λ＝1
4，
μ＝34.
∴BE →＝14BA →
，∴BE＝14
BA.
点评 借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.
6 平面向量中的三角形“四心”问题
在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍： 1.重心
三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点距离与该点到对边中心距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA →＋GB →＋GC →＝0或PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →
)(其中
P 为平面任意一点).反之，若GA →＋GB →＋GC →
＝0，则点G 是△ABC 的重心.在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且坐标分别为G(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 3
3
. 例 已知△ABC 内一点O 满足关系OA →＋2OB →＋3OC →
＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 的值. 解 如图，延长OB 至B 1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1
.
则OB 1→＝2OB →，OC 1→＝3OC →. 由条件，得OA →＋OB 1→＋OC 1→
＝0， ∴点O 是△AB 1C 1的重心.
从而S△B 1OC 1＝S△C 1OA ＝S△AOB 1＝1
3
S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积.
∴S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S△B 1OC ＝12×13S△B 1OC 1＝1
18S.
于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶1
6
＝1∶2∶3.
点评 本题条件OA →＋2OB →＋3OC →＝0与三角形的重心性质GA →＋GB →＋GC →
＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比.
引申推广 已知△ABC 内一点O 满足关系λ1OA →＋λ2OB →＋λ3OC →
＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3. 2.垂心
三角形三条高线的交点叫垂心，它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA →或HA →2＋BC →2＝HB →2＋CA →2＝HC →2＋AB →2.反之，若HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA →
，则H 是△ABC 的垂心. 3.内心
三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →|·IC →＝0.反之，若|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →
|·IC →
＝0，则点I 是△ABC 的内心. 4.外心
三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA →＋OB →)·BA →＝(OB →＋OC →)·CB →＝(OC →＋OA →)·AC →＝0或|OA →|＝|OB →
|＝|OC →|.反之，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →
|，则点O 是△ABC 的外心.
2020年高考数学模拟试卷含答案
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、填空题
1．已知集合{}
12A x x =-<≤，{}
0B x x =<，则A
B =_______．
2．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为__．
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的两条渐近线的方程为2y x =±，则该双
曲线的离心率为_______．
4．现有3个奇数，2个偶数．若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为__． 5．已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为____． 6．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_______．
7．已知实数,x y 满足(2)(23)0x y x y +--+≥，则2
2x y +的最小值为_______．
8．已知复数2
21z i i
=
++（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为_______． 9．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=?，30ACD ∠=?，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．
10．已知()f x 是定义在R 上且周期为
32的周期函数，当30,2x ??
∈ ???
时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值__．
11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则63
1
S S +
取得最小值时，9S 的值为_______． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆22
1x y +=上两点，且12121
2
x x y y +=-
．若C 为圆上的任意一点，则CA CB 的最大值为______．
13．在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ?的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______． 14．给出下列三个函数：①1y x =
；②sin y x =；③e x
y =，则直线12
y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 二、解答题 15．已知矩阵 1 2 0A x -??=?
???， 5 72 3B ??=????
．B 的逆矩阵1B -满足17 17 7AB y --??=??-??． （1）求实数,x y 的值； （2）求矩阵A 的特征值．
16．已知函数()sin()f x x ω?=+(0>ω，π
2
为2π．
（1）求()f x 的解析式； （2）在△ABC 中，若3
()5
f A =-
，求sin A 的值． 17．如图，在宽为14m 的路边安装路灯，灯柱OA 高为8m ，灯杆PA 是半径为m r 的圆C 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P 到路面的距离为10m ，到灯柱所在直线的距离为2m ．设Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C 在线段PQ 上．
（1）当r 为何值时，点Q 恰好在路面中线上?
（2）记圆心C 在路面上的射影为H ，且H 在线段OQ 上，求HQ 的最大值．
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)经过点(0，，点F 是椭圆的右焦点，
点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；
（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．
19．如图，已知F 是抛物线C ：2
4y x =的焦点，过E(﹣l ，0)的直线l 与抛物线分別交于A ，B 两点（点A ，B 在x 轴的上方）．
（1）设直线AF ，BF 的斜率分別为1k ，2k ，证明：120k k +=； （2）若?ABF 的面积为4，求直线l 的方程．
20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC AA ＝，D 是棱AB 的中点．