第一章n阶行列式
在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.
§1 全排列及其逆序数
先看一个例子.
引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？
显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有?
?种放法.
3=
1
6
2
这六个不同的三位数是：
123，132，213，231，312，321.
在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？
对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.
n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 .
1
2
为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论：
从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法；
这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是
P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! .
对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.
不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设
n p p p Λ21
为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和
∑==+++=n
i i n t t t t t 1
21Λ，
即是这个排列的逆序数.
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，
3
3排在首位逆序数为0；
2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为0；
1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3； 4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1； 于是排列的逆序数为
513010=++++=t .
§2 n 阶行列式的定义
为了给出n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为：
)
1(.
31221333211232231132211331231233221133
323123222113
1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=
容易看出：
①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列. 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成321321p p p a a a . 这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成321p p p ，它是1、2、3三个数的某个排列. 这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。
② 各项的正负号与列标的排列对照：
带正号的三项列标排列是：123，231，312； 带负号的三项列标排列是：132，213，321.
经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.
4
因此各项所带的正负号可以表示为t
)1(-，其中t 为列标排列的逆序数.
总之，三阶行列式可以写成
∑-=32132133
323123222113
1211)1(p p p t a a a a a a a a a a a a ， 其中t 为排列321p p p 的逆序数，∑
表示对1、2、3三个数的所有
排列321p p p 取和.
仿此，我们可以把行列式推广到一般情形. 定义 设有2
n 个数，排成n 行n 列的表
,
212222111211nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
作出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号t
)1(-；得到形如
)2()1(2121n
np p p t
a a a Λ-
的项，其中n p p p Λ21为自然数n ,,2,1Λ的一个排列，t 为这个排列的逆序数. 由于这样的排列共有!n 个，因而形如（2）式的项共有!n 项.
5
所有这!n 项的代数和
∑-n np p p t
a a
a
Λ2
121)1(
称为n 阶行列式，记作
nn
n n n n
a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212222111211=
，
简记作)det(ij a . 数ij a 称为行列式的元素.
按此定义的二阶、三阶行列式，与对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的. 当1=n 时，a a =||，注意这里||a 不是a 的绝对值.
例2 证明对角线行列式（其中对角线上的元素都是i λ，未写出的元素都是0）
n n λλλλλλΛO
212
1
=；
n n n n
λλλλλλΛN
212
)1(2
1
)
1(--=.
6
证 第一式是显然的，下面证第二式. 若记 ,1,+-=i n i i a λ则依行列式定义
,
)1()1(2111,211
1,212
1n t n n n t n n n
n
a a a a a a λλλλλλΛΛN
N
-=-==--
其中t 为排列 21)1(Λ-n n 的逆序数，故 2
)
1()1(210-=
-++++=n n n t Λ. 证毕 对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角行列式，它的值与对角行列式一样.
例3 证明下三角行列式
nn nn
n n a a a a a a a a a D ΛΛΛ
O ΛΛ
221121222111
0==
.
证 由于当i j >时，0=ij a ，故D 中可能不为0的元素i ip a ，其下标应有i p i ≤，即.,,2,121n p p p n ≤≤≤Λ
在所有排列n p p p Λ21中，能满足上述关系的排列只有一个自然
7
排列n Λ12，所以D 中可能不为0的项只有一项nn t
a a a Λ2211)1(-，
此项的符号1)1()1(0
=-=-t ，所以
nn a a a D Λ2211=. 例4 设
nn
n nk n n k kk
k k b b c c b b c c a a a a D ΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛ1111111111110
=
kk k k
ij a a a a a D ΛΛ
ΛΛΛΛ11111)det(==
nn
n n
ij b b b b b D ΛΛ
ΛΛΛΛ11112)det(==
证明 21D D D =.
证 记 )det(ij d D =，其中
ij ij a d =，),,1;,,1(k j k i ΛΛ==
8
ij j k i k b d =++,，),,1;,,1(n j n i ΛΛ==. 考察D 的一般项
n r n k r k kr r t k k k d d d d ++++-,1,111)1(ΛΛ,
由于当k j k i >≤,时，0=j i d ，因此k r r ,,1Λ只有在k ,,1Λ中选取时，该项才可能不为零. 而当k r r ,,1Λ在k ,,1Λ中选取时，
n k k r r ++,,1Λ只能在n k k ++,,1Λ中选取. 于是D 中可能不为零的
项可以记作
n k nq q kp p t b b a a ΛΛ1111)1(-.
这里，k r q r p k i i i -==+1,，而l 为排列)()(11n k q k q k p p ++ΛΛ的逆序数. 以t 、s 分别表示排列k p p Λ1及n q q Λ1的逆序数，应有
s t l +=. 于是
??
????--=-=
∑∑∑∑+n n k k n
n
k k q q nq q s
p p kp p t
q q nq q kp p s
t p p b b a a b b a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛ111111111111)1()1()
1(
9
.
)1()1(21212
11111
D D D a a D a a
k k k
k p p kp p t
p p kp p t
=??????-=-=
∑∑ΛΛΛΛ
§3 对 换
为了研究n 阶行列式的性质，我们先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系.
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形.
设排列为m l b abb a a ΛΛ11，对换a 与b ，变为m l b bab a a ΛΛ11. 显然，l a a Λ1；m b b Λ1这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a 、
b 两元素的逆序数改变为：当b a <时，经对换后a 的逆序数增加1而b 的逆序数不变；当b a >时，经对换后a 的逆序数不变而b 的逆
序数减少 1. 所以排列m l b abb a a ΛΛ11与排列m l b bab a a ΛΛ11的奇偶性不同.
再证一般对换的情形.
设排列为n m l c bc b ab a a ΛΛΛ111，把它作m 次相邻对换，调成
n m l c c b abb a a ΛΛΛ111，再作1+m 次相邻对换，调成
10
n m l c ac b bb a a ΛΛΛ111. 总之，经过12+m 次相邻对换，排列n m l c bc b ab a a ΛΛΛ111调成排列n m l c ac b bb a a ΛΛΛ111，所以这两
个排列的奇偶性相反.
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性变化的次数，而标准排列是偶排列（逆序数是0），因此得知推论成立. 证毕
利用定理1，我们来讨论行列式定义的另一种表示法. 对于行列式的任一项
n j i np jp ip p t a a a a ΛΛΛ11)1(-，
其中n j i ΛΛΛ1为自然排列，t 为排列n j i p p p p ΛΛΛ1的逆序数，对换元素i ip a 与j jp a 成
n i j np ip jp p t a a a a ΛΛΛ11)1(-，
这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换. 设新的行标排列n i j ΛΛΛ1的逆序数为1t ，则
t t )1()1(1--=-. 故1)1()1(t r t +-=-，于是
n i j n j i np ip jp p t r np jp ip p t a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛ11111)1()1(+-=-.
这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作出了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性. 经过一次对换如此，经过多次对换还是如此. 于是，经过
11
若干次对换，使：
列标排列n p p p Λ21（逆序数为t ）变为自然排列（逆序数为0）； 行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为
n q q q Λ21，其逆序数为s ，则有
n q q q s np p p t n n a a a a a a ΛΛ21212121)1()1(-=-.
又，若j p i =，则i q j =（即j q j i ip j i a a a ==）. 可见排列
n q q q Λ21由排列n p p p Λ21所唯一确定.
由此可得
定理2 n 阶行列式也可定义为 ∑-=
n p p p t
n a a
a
D Λ2
121)1(，
其中t 为行标排列n p p p Λ21的逆序数.
证 按行列式定义有 ∑-=
n np p p p t a a a
a
D Λ32
1321)1(， 记 n p p p p t
n a a
a
a
D Λ∑-=
3
211321)1(.
按上面讨论知：对于D 中任一项n np p p p t
a a a a Λ321321)1(-，总有且仅有1D 中的某一项n q q q q s
n a a a a Λ321321)1(-与之对应并相等；反之，对于1D 中的任一项n p p p p t
n a a a a Λ321321)1(-，也总有且仅有D 中
12
的某一项n nq q q q s a a a a Λ321321)1(-与之对应并相等，于是D 与1D 中的项可以一一对应并相等，从而1D D =.
§4 行列式的性质
记
nn
n n n n
a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212222111211=
，nn
n n n n a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21222121
2111=
'，
行列式D '称为行列式D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
证 记)det(ij a D =的转置行列式
nn
n n n n
b b b b b b b b b D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212222111211=
'，
即),,2,1,(,n j i a b ji ij Λ==，按定义
∑∑-=-='n p p p t np p p t n n a a a b b b D ΛΛ21212121)1()1(.
而由定理2，有
13
∑-=n p p p t n a a a D Λ2121)1(，
故 D D ='. 证毕 由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然.
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号. 证 设行列式
nn
n n n n
b b b b b b b b b D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2122221112111=
是由行列式)det(ij a D =交换j i ,两行得到的，即当j i k ,≠时，
kp kp a b =；当j i k ,=时，jp ip a b =，ip jp a b =. 于是
,
)1()1()1(1111111∑∑∑-=-=-=n i j n j i n
j i np jp ip p t np ip jp p t np jp ip p t a a a a a a a a b b b b D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中n j i ΛΛΛ1为自然排列，t 为排列n j i p p p p ΛΛΛ1的逆序数.
设排列n i j p p p p ΛΛΛ1的逆序数为1t ，则1)1()1(t
t
--=-，故
∑-=--=D a a a a D n i j np jp ip p t ΛΛΛ1111)1(. 证毕
以i r 表示行列式的第i 行，以i c 表示行列式的第i 列. 交换j i ,两
14
行记作j i r r ?，交换j i ,两列记作j i c c ?.
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证 把完全相同的两行（列）互换，有D D -=，故0=D . 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.
第i 行（或列）乘以k ，记作k r i ?（或k c i ?）.
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零.
性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如
nn
ni ni n n n
i i n
i i a a a a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ)()()('212'
2222211'111211+++=
，
则D 等于下列两个行列式之和：
nn
ni n n n
i n
i nn
ni n n n i n
i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ'212'
222211'1121121222221111211+
=
.
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）上去，行列式的值不变. 例如以数k 乘第j 列加到第i 列上去（记作j i kc c +），有
15
).
(,)(
)()(122222111111112222111111j i a a ka a a a a ka a a a a ka a a a a a a a a a a a a a a nn
nj nj ni n n
j j i n j j i kc c nn
nj ni n n j i n j i j
i ≠++++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
（以数k 乘第j 行加到第i 行上，记作j i kr r +）
性质3至性质6的证明，请读者自行完成. 这些性质可用于简化行列式的计算.
例5 计算
3
3
5
1110
243152113
------=
D .
解
16
例6 计算
3
1
1
1
131111311113
D .
解 这个行列式的特点是各列4个数之和都是6. 今把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第1行：
17
例7 计算
d
c
b a
c b a b a a
d c b a
c b a b a a
d c b a c b a b a a d c b a D ++++++++++++++++++=3610363234232 解 从第4行开始，后行减前行：
§5 行列式按行（列）展开
一般说来，低价行列式的计算比高价行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑到用低价行列式来表示高价行列式的问题. 为此，先引进余子式和代数余子式的概念.
18
在n 阶行列式中，把元素j i a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1-n 阶行列式叫做元素j i a 的余子式，记作j i M ；记
ij j i j i M A +-=)1( ，
j i A 叫做元素j i a 的代数余子式.
例如四阶行列式
44
43
42
413433323124232221141312
11a a a a a a a a a a a a a a a a D =
中元素32a 的余子式和代数余子式分别为
44
43
41
242321
1413
11a a a a a a a a a M =， 32322332)1(M M A -=-=+.
引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除j i a 外都为零，那么这个行列式等于j i a 与它的余子式的乘积，即
ij j i A a D =.
19
证 先证j i a 位于第1行第1列的情形，此时
nn
n n n
a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
212222111
000=
.
这是例4中当1=k 时的特殊情形，按例4的结论，即有
1111M a D =.
又 11111
111)
1(M M A =-=+，
从而 1111A a D =.
再证一般情形，此时
nn
nj n ij n j a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ1111100=.
为了利用前面的结果，把D 的行列作如下调换：把D 的第i 行依次与第1-i 行、第2-i 行、…、第1行对调，这样ij a 就调到原来
j a 1的位置上，调换的次数为1-i . 再把第j 列依次与第1-j 列、第
2-j 列、…、第1列对调，这样ij a 就调到左上角，调换的次数为1-j .
20
总之，经过2-+j i 次对调，把ij a 调到左上角，所得的行列式
D D D j i j i +-+-=-=)1()1(21，而元素ij a 在1D 中的余子式仍然是ij
a 在D 中的余子式ij M .
由于ij a 位于1D 的左上角，利用前面的结果，有
ij ij M a D =1，
于是 ij ij ij ij j i j i A a M a D D =-=-=++)1()1(1.
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
),,2,1(2211n i A a A a A a D in
in i i i i ΛΛ=+++=, 或 ),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ΛΛ=+++=.
证
nn
n n in
i i n a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛ
Λ
Λ2
1
2111211
000
00
0++++++++=
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：
数一、数二、数三在高等数学、线性代 数、概统的区别 首先，我们大家都知道在数一中，高等数学、线性代数、概率与数理统计的比例为56%、22%、22%;数二不考察概率与数理统计，高等数学和线性代数的比例是78%、22%;数三中三者的比例和数一的相同，也是56%、22%、22%。而对于数一、数二、数三而言，每一门学科的重点也是不同的。下面，我将具体来和大家分析一下这其中的不同点，并且告诉各位考生在复习过程中，应该侧重于什么。 我们先来看一下高等数学。高等数学对于数一、数二、数三而言，区别是非常大，可以说在三门学科中，区别是最大的。我们先来看一下数一，对于数一的考生而言，复习的重点是下册，也就是说考试的重点是多元函数微分学，多元函数积分学，微分方程、级数，可以很负责的告诉大家，多元函数微分学，多元函数积分学几乎每年都会各出一道大题。那么，我想问一下大家，大家觉得是下册难啊，还是上册难?我相信，这个时候几乎所有的考生都会说，下册难。但是，我想告诉大家的是，事实上，上册是比较难的。下册的知识点往往是起点高，落点低。虽然说，每一道题目考查的都比较复杂，但是解题的方法和思路都是比较固定的，而且也是比较好掌握的，只要我们掌握了其中的思想，要想拿到这部分的分数还是没有什么压力的。对于数二的同学而言，与数一恰恰是相反的，数二同学的考试重点是上册，换句说话，对于数二的同学而言，考试的重点是极限、一元函数微分学、二元函数积分学。并且，数二的题目往往具有很高的灵活性，考察的也比较细致。这是因为，数二在高等数学方面的比例达到78%，也就是117分，然而数二考察的知识点也比较少，所以这就注定了数二的题目具有很高的灵活性。另一方面，高等数学的上册的综合性还要远远的高于下册。对于数三的同学而言，这一点和数一的区别并不是很大。但是，数三的题目更加注重应用。这是因为，数三的考生大都是经济类和管理类的考生。所以说，数三比较注重应用，这一点需要引起数三同学的重视。 其次，我们来看一下线性代数。对于线性代数而言，数一、数二、数三的差别并不是很大，所以在这里，我也就不区分了。在线性代数中，线性方程组和矩阵的相似是考察的重点，并且大家还要注意线性方程组和向量之间的相结合，矩阵的相似和二次型的相结合。每年线性代数要考察两道大题，而往往这两道大题都是这两个知识点各考察一道。 最后，我们来看一下概率与数理统计。对于概率和数理统计而言，数一、数二、数三之间的区别也是几乎没有，所以在这里，我也就不区分了。同样，我也给大家点出，考试的重难点，希望可以帮助大家。多维随机变量的边缘分布和条件分布、随机变量函数、数字特征、参数估计这些都是考试的重点，其中的重点优先级单调递减。尤其是多维随机变量的边缘分布和条件分布、随机变量函数是非常重要的。对于数字特征，单独出大题的可能性比较低，但是往往会和其他的知识点结合在一起作为一道大题的第一问。最后我们来看一下参数估计，这个知识点，我希望数一的同学多注意一下，数一在这一板块考察大题的可能性还是比较高的。 以上就是数一、数二、数三在各学科之中的区别，希望可以帮到大家。最后，祝各
☆【万门大学数学系】给所有想学数学的朋友一份礼物☆2012年11月18日18:41:43 数学是最复杂的研究性学科之一，其研究的先修基础要求很高，所以学习过程也非常需要技术性。中国的数学教材多偏向于苏联风格，不易读，无形中提高了门槛。所以一个合适的教学体系和教材推荐对于数学的学习至关重要。 这份【万门大学数学系】的书单，是根据法国巴黎高等师范学校（数学最牛校，没有之一）的指定教材及教授推荐给出，在保持了学术难度的情况下降低学习门槛。这套书目是这套教材构成一个完整的数学教材体系，都是教得特别深入浅出的专著，特别适合自学提高。 以下是按照学习推荐进度排序的，分本科生和研究生的课程。自学起点是高中毕业。 数学本科： 如果大家对微积分已经可以定量算了（例如可以计算面积分），就请跳过第一本，否则需要补充一下普通微积分的基础。 《Calculus》这是绝对的入门书籍，基础向。如果大家之前学过高数，就可以忽略这一本了。 下面就开始严格的数学训练了：
数学分析（一）（英文版）by Apostol 数学分析（二）（英文版）by Apostol 本书为美国大学标准数分教材。数分是一切的基础，没有数分的底子，实变学十遍也没用。可是很多人在初入数学殿堂就立志不做数学了，就是因为采用了苏联风格的中文教材，实在悲剧。学数学本来就是一件快乐而清晰的事情，所以第一本至关重要。请看这本吧，看完之后你会发现中文数分教材很坑爹。
《Linear.Algebra.done.right 》by Axler 好书能让人顺理成章地领悟新概念，烂书能让人放弃理想。这是一本中规中矩但清晰易读的好书。薄薄两百多页，很快就能读完。
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?
大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高等数学教材
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)
第一章n阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有? ?种放法. 3= 1 6 2 这六个不同的三位数是： 123，132，213，231，312，321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 1
2 为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是 P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! . 对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p Λ21 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和 ∑==+++=n i i n t t t t t 1 21Λ， 即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，
数学基础学习阶段 ◆分析学 微积分学教程（1、2、3册）菲赫金哥尔茨 数学分析教程（上、下册）史济怀 Principles of Mathematical Analysis (Third Edition) Walter Rudin 实变函数江泽坚 实变函数论周民强 复分析导论（上、下册）沙巴特 泛函分析讲义（上、下）张恭庆 Real and Complex Analysis(Third Edition) Walter Rudin Fuctional Analysis(Second Edition) Walter Rudin ◆代数学 高等代数（北京大学数学与力学系）前代数小组 代数学引论（聂灵沼、丁石孙） Algebra Hungerford Algebra Lang 美国大学数学参考书 目录: 第一学年 几何与拓扑： 1、James R. Munkres, Topology：较新的拓扑学的教材适用于本科高年级或研究生一年级； 2、Basic Topology by Armstrong：本科生拓扑学教材； 3、Kelley, General Topology：一般拓扑学的经典教材，不过观点较老； 4、Willard, General Topology：一般拓扑学新的经典教材； 5、Glen Bredon, Topology and geometry：研究生一年级的拓扑、几何教材； 6、Introduction to Topological Manifolds by John M. Lee：研究生一年级的拓扑、几何教材，是一本新书； 7、From calculus to cohomology by Madsen：很好的本科生代数拓扑、微分流
工程数学-线性代数第五版答案02
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第二章 矩阵及其运算 1. 已知线性变换: ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ???? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211221323513122x x x y y y ???? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3 21332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133212311542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=321310102013514232102z z z
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3 213321232111610941236z z z x z z z x z z z x . 3. 设???? ??--=111111111A , ??? ? ??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ??? ? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503, ???? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积: (1)??? ? ?????? ??-127075321134; 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635. (2)??? ? ??123)321(;
习题解答 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: 解(1)原式= 2x( - 4) X3 + OX (-1)x(-1)+ 1X1X8 -1x(-4)x(-1)-2X (-1)X8-OX1X3 = -4； (2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a 3 - b' =3abc — a 3 — — c 3 ; (3) 原式=1?&?c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2-l*c ,62-l*a*c 2 =be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba' — cb 2 ~ ac 2 = c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z )-c)(c-a); (4) 原式=x(x + y)y + yx(x + y) + (?r + y)yx - (x + yV - d - =-2(x 3+y ). 2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 3 4； (2) 4 1 3 2； ⑶3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; ⑸1 3 …(2n - -1) 2 4 …(: 加) ； (6) 1 3 …(2n - ?1) (In) (2n - 2) … 2. 解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0; (2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2刃个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“?1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数为” -2;…；末位元素2n 的逆序数为0.故此排列的逆序数 2 0 1 仃) 1 -4 -1 -1 8 3 1 1 1 ⑶ a b c a 2 b 2 c 2 ? t
第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
高等数学教材完整 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数一 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
这才是在大学数学系应有的岁月 数学专业参考书整理推荐V3.0版(正在撰写中) 本文是这个文章的第三个版本，也是最后一个版本，由于时间精力，我不会再重新写这篇文章，最多是在原文上修改部分内容。文章会注明修改日期，如有转载请注明这个时间。并且请尽量不要腰斩我的文章，防止读者断章取义。 向指导我大学数学学习的王云峰（数学分析，复变函数），袁进（高等代数），邢志栋（数值代数），温作基（实变函数），曹建荣（微分方程数值解），贾健（数据结构，图形学），方莉（泛函分析，毕业论文），赵宪钟（具体数学），张文鹏（数论），邵勇（泛代数）以及其他没有列出名字的诸位老师致谢。 第0部分：前言 关于数学系专业课参考书的帖子很多。最出名的是复旦大学yjyao（姚一隽？）去巴黎前发表在日月光华BBS站上的 《大学数学学习参考书点评》 （https://www.doczj.com/doc/4414297408.html,/bbs/anc?path=/bmt/9/mat/M.984927021.A）（https://www.doczj.com/doc/4414297408.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=23） 此外还有中国科学技术大学数学系几位学长的建议： 《科大学长对数学系学弟学妹的忠告》 （https://www.doczj.com/doc/4414297408.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=25） 《中国科学技术大学数学系教材及参考书目录》
（https://www.doczj.com/doc/4414297408.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=26） 《数学与物理的参考书目》 （https://www.doczj.com/doc/4414297408.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=24） 这几篇文章尤其是前面三篇深深影响了我大学数学的学习，在这里向原作者深深致谢。 另外大家还可以参考 《美国数学本科生，研究生基础课程参考书目》 （https://www.doczj.com/doc/4414297408.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=34） 此外，还有我这篇文章的1.0版：几篇零散的分别介绍数学系参考书的帖子。那样的烂文章居然有人转载，我看了自己都不好意思，故催生出本文章V2.0版 数学专业参考书整理推荐( https://www.doczj.com/doc/4414297408.html,/article.php/706 )当然，当时不是这么叫的。 这两篇文章是因为和低年级的学生聊天，他们想让我写成文字，于是就记了下来。因为一些个人原因，文章没有写完，或者说草草结束。没有想到居然被几个论坛转载，被人叫做大牛。为了防止误人子弟，所以修改这篇文章的同时简单介绍一下自己，请看这篇文章的人仔细思考要不要听我所言，防止误入歧途。本人ID如文章前所见，高考以数学不及格成绩进入西北大学数学系（2005-2009），大学时代除复变函数因重修所以在90分左右，其余所有重要的专业课没有一门低
习题1 1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能 2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合． （2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的． （3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合． 3. φ，}1{，}2{，}3{，}2,1{，}3,1{，}3,2{，}3,2,1{． 4. （1）}4,3,2,1,0{ （2）}4,3{ （3）)}1,1(),0,0(),1,1{(-- 5. （1）},32|{Z x x x ∈<- （2）}012|{2=+-x x x （3）},|),{(3x y x y y x == 6. （1）}3,1{ （2）}5,3,2,1{ （3）φ （4）}6,5,4,3,2,1{ （5）}2{ （6）φ （7）}6,5,4{ （8）}6,5,4,3,1{ （9）}6,5,4,3,2,1{ （10）}6,4{ 7. B A U B A B B B A B B A B B A B B A A A B B A A B B A A Y I Y Y I Y Y I Y I Y Y I Y I Y Y I Y I I =======)() ()()())(())()(()(φ 8. （1）)5,5(- （2）)0,2(- （3）),1[]3,(+∞--∞Y （4）]2,1( （5）),4[+∞ （6）)4,(-∞ 9. （1）}1{=B A I ；]3,0[=B A Y ；)1,0[=-B A ． （2）]4,2[=B A I ；]4,1[-=B A Y ；)2,1[-=-B A ． 10. （1）)25,23( （2）)2 5,2()2,23(Y ． 11. （1）不是．定义域不同 （2）不是．定义域不同 （3）不是．定义域不同 （4）是．在公共的定义域]1,1[-上，2111x y x x y -=?-?+= 12. （1）),2()2,2()2,(+∞---∞Y Y （2）),1[]1,(+∞--∞Y （3）]1,1(-
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续函数概念
理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点
的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。 会求参数表示的函数的一阶导及二阶导 会用对数求导法：解决幂指函数的求