由罗尔定理知：
（1）可导函数在取得极值点处导数等于零；
（2）方程：()0
'=的一个根；
f x
f x=的两根之间至少有方程：()0
（3）唯一性证明。反证法：假设谬论，运用罗尔定理推出矛盾；（4）结论可能需多次运用罗尔定理。
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
⑾
⑿
⒀
⒁
⒂ 证明：（1）方程33x x C -+（这里C 为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同
的实根；（2）方程n x px q ++（其中n 为正整数，,p q 为实数）当n 为偶数时至多 有两个实根，当n 为奇数时至多有三个实根．
证明：（1）反证法。
设()f x 有两个不同的实根 1212,[0,1],x x x x ∈<，而()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内 可导，12()()f x f x =，则存在12(,)[0,1]x x ξ∈?，使：'()0f ξ=。
由于2'()33'()01f x x f x x =-?=?=±， 而1x =±都不在(0,1)内，即不可能存在12(,)[0,1]x x ξ∈?，使'()0f ξ=，矛盾。
（2）3n ≤结论成立，用反证法证明4n ≥情形。
2n k =：设方程有三个实根 123123,,,()x x x x x x <<，函数()f x 在12[,]x x 与23[,]x x 上分别
满足罗尔定理。故存在112223(,),
(,)x x x x ξξ∈∈使12'()'()0f f ξξ==
212'()2,'()0k f x kx p f x x -=+=?=12'()'()0f f ξξ==矛盾。 21n k =+：设方程有四个实根 12341234,,,,()x x x x x x x x <<<，函数()f x 在12[,]x x ，23[,]x x ，34[,]x x 上分别满足罗尔定理。故存在1(,)k k k x x ξ-∈使：'()0,(1,2,3)k f k ξ== 而2'()(21)0k f x k x p =++=，由于0,0,0p p p >=<分别有两个，一个，没有不同实数，矛盾，
即n 为奇数时至多有三个实根。
16. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1
(0)(1)0,()12
f f f ===，证明：必存在
一点(0,1)ξ∈，使()1f ξ'=。
证明：令：()()F x f x x =- ，由：(1)10F =-< ，11
()022
F =>，且：()F x 在[0,1]连续
知必存在一点1
(,1)2
c ∈，使得：()0F c = ，于是，()F x 在[0,]c 上连续，在(0,)c 可导，
且：(0)()0F F c == ，满足罗尔定理的条件，故必存在一点(0,)(0,1)c ξ∈?，使()0F ξ'=，
即：()1f ξ'= 。
17. 设,,a b c 为实数，证明方程：2x e ax bx c =++至多有三个实根。
证明：用反证法，连续运用罗尔定理可证结论。
18. 设(),()f x g x 在[,]a b 上存在二阶导数，且()0g x ''≠，()()()()0f a f b g a g b ====
证明：（1）在(,)a b 内()0g x ≠；（2）至少存在一点(,)a b ξ∈使得：
()()
()()
f f
g g ξξξξ''=''。 证明：（1）用反证法。假设存在一点(,)c a b ∈，使：()0g c = ，则()g x 分别在[,],[,]a c c b 上 满足罗尔定理，则必存在一点12(,),(,)a c c b ξξ∈∈使得：12()()0g g ξξ''== ，且：12ξξ<， 同理，()g x '在12[,]ξξ上满足罗尔定理，则必存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈?使得：()0g ξ''=， 与已知条件矛盾。
（2）取：()()()()()F x f x g x f x g x ''=- ，由题设可知()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，
且：()()0F a F b == ，由罗尔定理知：必存在一点(,)a b ξ∈ ，使得：()0F ξ'= ， 即：()()()()0f g f g ξξξξ''''-= ，从而：()()
()()
f f
g g ξξξξ''='' 。
19. 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对(,)a b 内任一点x ，有
()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：在(,)a b 内()f x 的两个零点之间，()g x 至少有一个零点。
证明：用反证法。设()g x 在的()f x 的两个零点1212,()x x x x <之间无零点，12(),()g x g x 非零， 否则与()()()()0f x g x f x g x ''-≠矛盾，于是，设：()
()()
f x F x
g x =
，()F x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，且：12()()0F x F x == ，由罗尔定理，则必存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈?使得：
2
()()()()
()0()
f g f g F g ξξξξξξ''-'=
= ，也即：()()()()0f g f g ξξξξ''-= ，与已知矛盾。
20. 设函数()f x 在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3f f f ++=，
证明：必存在(0,3)ξ∈使得：()0f ξ'=。
证明：因为函数()f x 在[0,3]上连续，必存在最大值M 和最小值m ，于是有： (0)m f M ≤≤ ，(1)m f M ≤≤，(2)m f M ≤≤ ，即有：(0)(2)(1)
3
f f f m M ++≤
≤
有介值定理知，必存在(0,3)c ∈，使得：1()[(0)(1)(2)]13
f c f f f =++=， 因此，()f x 在[,3]c 上满足罗尔定理条件，必存在(,3)(0,3)c ξ∈?使得：()0f ξ'=
21. 设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且1(2)2,(1)2
f f ==
， 证明：必存在(1,2)ξ∈使得：2()
()f f ξξξ
'=。
证明：作辅助函数：2
()
()f x F x x = ，由题设可知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导， 且：1
(2)(1)2
F F ==
，()F x 在[1,2]上满足罗尔定理条件，必存在(1,2)ξ∈， 使得：24
()2()
()0f f F ξξξξξξ'-'== ，即：2()()f f ξξξ
'= 。 22. 设()f x 在[0,1]上存在二阶导数，且(0)(1)0f f ==，
证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得：2()
()1f f ξξξ
'''=
-。 证明：作辅助函数：()(1)()F x x f x =- ，由题设可知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导， 且：(0)(1)0F F == ，()F x 在[0,1]上满足罗尔定理条件，必存在(0,1)c ∈，
使得：()0F c '= ，而：()()(1)()F x f x x f x ''=-+-，可知：(1)0F '=， 再由罗尔定理知：必存在(,1)(0,1)c ξ∈?，使得：()0F ξ''=，即：2()
()1f f ξξξ
'''=
- 。 23. 设函数()f x 在[,](0)a b a >上连续，在(,)a b 内可导，且()0f a =，
证明：必存在(,)a b ξ∈使得：()()a
f f b ξξξ
'=-。 证明：作辅助函数：()()()a F x b x f x =-，
由题设知：()F x 在[,](0)a b a >上连续，在(,)a b 内可导，
且：()()0F a F b == ，()F x 在[,](0)a b a >上满足罗尔定理条件，必存在(,)a b ξ∈，
使得：1()()()()()0a a F a b f b f ξξξξξ-''=--+-=，即：()()a
f f b ξξξ
'=
- 。 24. 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续， (1)(1)(),(),,(),(),(),,()n n f x f x f x g x g x g x --'''''' 在
[,]a b 上存在且连续，()()(),()n n f x g x 在(,)a b 内存在，且：()(),f a g a =
(1)(1)()(),,()()n n f a g a f a g a --''== ，()()f b g b =
证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得：()()()()n n f g ξξ=。 证明：作辅助函数：()()()F x f x g x =-，反复运用罗尔定理。
25. 设()f x 在[0,4]上存在二阶导数，且：(0)0,(1)1,(4)2f f f ===，
证明：存在(0,4)ξ∈，使得：1()3f ξ''=-
。 证明：把要证明的结论中ξ的换成x ：1()3f x ''=-，可积分出：2
121()6
f x x c x c =-++，
在由：(0)0,(1)1,(4)2f f f ===，得到：217
()66
f x x x =-+ ，
作辅助函数：217
()()66
F x f x x x =+- ，易知：(0)(1)(4)0F F F ===，
在[0,1]和[1,4]上分别应用罗尔定理，存在1(0,1)ξ∈，2(1,4)ξ∈使得：12()()0F F ξξ''== 再在12[,]ξξ上对()F x '运用罗尔定理，有12(,)(0,4)ξξξ∈?，使得：()0F ξ''=， 即：1
()3
f ξ''=- 。
26. 设()f x 可导，证明：对任意实数λ，在()f x 的两个零点之间必存在()()f x f x λ'+的零点。
证明：设：1212,()x x x x <为()f x 的两个不同的零点，注意到：[()][()()]x x
f x e f x f x e λλλ''=+
于是作辅助函数：()()x
F x f x e λ=，易知：12()()0F x F x == ，运用罗尔定理， 存在12(,)x x ξ∈，使得：()0F ξ'= ，即：()()0f f λξξ'+= 。
27. 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，k 为正整数，
证明：必存在(0,1)ξ∈，使得：()()()f kf f ξξξξ''+=。 证明：作辅助函数：()(1)()k F x x f x =-。 （可参考23题）
28. 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x ≠，()()0f a f b ==，
证明：对任意实数α，必存在(,)a b ξ∈，使得：()
()
f f ξαξ'=
。 证明：所要证明的结论改写为：()()0f f ξαξ'-= ，构造函数：()()x F x e f x α-= 。
29. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且：1
(0)(1)0,()12
f f f =
==，
证明：（1）存在：1
(,1)2
ξ∈ ，使得：()f ξξ= ；
（2）对任意实数α，必存在(0,)ηξ∈，使()[()]1f f ηαηη'--=。
证明：参考16题。（1）作辅助函数：()()x f x x ?=- ；（2）作辅助函数：()[()]x F x e f x x α-=-。
30. 设01,,,n c c c 是满足条件：12
00231
n c c c c n +
+++=+ 的实数， 求证：在(0,1)内，必有方程：20120n n c c x c x c x ++++= 的根。
证明：参考第9题。构造辅助函数：231
120()231
n n c c c F x c x x x x n +=+++++ 。
31. 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续， (),()f x g x ''在[,]a b 上存在，()0,()0f x g x '≠≠，
证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得：
()()()()
()()()()
f f a f a f
g b g f g ξξξξξ'-='-。
证明：构造辅助函数：[()()][()()]
()()
f x f a
g b g x F x f x --=
。
32. 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续， (),()f x g x ''在[,]a b 上存在，()()0f a f b ==，
证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得：()()()0f f g ξξξ''+=。 证明：构造辅助函数：()
()()g x F x f x e = 。
33. 若四次方程：432012340a x a x a x a x a ++++=有四个不同的实根，
证明：3201234320a x a x a x a +++=的所以根皆为实根。
证明：设：43201234()f x a x a x a x a x a =++++ 有不相等的四个实根：1234,,,x x x x ， 不妨假设：1234x x x x <<< ，()f x 在3个区间上运用罗尔定理。
34. 设：,,a b c 是任意给定的实数，求证方程：2x e ax bx c =++至多有3个根。
证明：反证法。设方程：2
x
e ax bx c =++有不相等的四个实根：1234,,,x x x x ，1234x x x x <<<
设：2
()x f x e ax bx c =--- ，则：()f x 有四个不同的零点，反复运用罗尔定理，
可推出矛盾。
35. 设：0a b <<，函数()f x 在[,]
a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，
证明：必存在(,)a b ξ∈使得：()
2003()f f ξξξ
'=。
证明：作辅助函数：12003
()()F x f x x
=
36. 设()f x 在[0,1]上存在二阶导数，且：(0)(1)0f f ==， 证明：存在(0,1)ξ∈，
使得：2()()0f f ξξξ'''+=。
证明：作辅助函数：()()F x xf x = ，在[0,1]上用两次罗尔定理。
谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理
若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：
第五讲 罗尔定理的应用 一、利用罗尔定理、费马定理、零点定理证明方程的根 例1 设01,,,n a a a "为，为满足1200231 n a a a a n + +++=+"的实数，证明方程 20120n n a a x a x a x ++++=" 在(0,1)内至少有一个实根。 例2 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0b a >>，证明方程 222[()()]()()x f b f a b a f x ′?=? 在(,)a b 内至少存在一个实根。 例3 设,,a b c 为实数，求证方程2x ax bx c e ++=至多有三个实根。 例 4 证明方程2210x x ??=有且仅有三个不同的实根。 二、利用罗尔定理证明含有“中值点”的等式 例5 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点 (,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ′+= 例6 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f f ξλξ′= 例7设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()0f f g ξξξ′′+= 例8设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ′≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()f g f g ξξξξ′′= 例9设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(0)0f =，而当(0,1)x ∈时，()0f x ≠，证明：对任意正整数n ，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得 ()(1) ()(1) nf f f f ξξξξ′′?=? 例10 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ?>，()02a b f a f +?? ?
罗尔定理的几种类型及其应用 彭丹 （德州学院数学系，山东德州 253023） 摘要：本文通过对罗尔定理的条件以及条件的几何意义、罗尔定理的证明以及运用构造函数的思想研究罗尔定理的一些性质及其应用、罗尔定理推广形式的总结与再推广，从而达到对罗尔定理的更深入的研究。 关键词：罗尔定理；性质；应用；推广 引言 微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。 本文着重对罗尔定理的性质、推广形式以及应用进行深入的研究，从而更好的了解微分中值定理. 1 罗尔定理 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。但在一百多年后，龙斯托·伯拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理. 1.1. 罗尔(Rolle)定理的内容： 如果函数 f (x) (1)在[a, b]上连续; (2)在(a, b)内可导; (3)f (a) = f (b). 那么在 (a, b) 内至少有一点ξ(a < ξ < b),使得 f '(ξ) = 0.
R eceived d ate :2006207217 第24卷第4期 大 学 数 学Vol.24,№.42008年8月COLL EGE MA T H EMA TICS Aug.2008 So me New Ways to Prove Rolle ’s Theorem YA O J i n g 2s un (Dept.of Math.,Anhui Normal University ,Wuhu 241000,China ) Abstract :We give three new methods proving Rolle ’s Theorem.The second simple way is only dependent on the well 2known Heine 2Borel Covering Theorem.This implies that Rolle ’s Theorem is the direct consequence of completeness of real numbers. K ey w ords :Rolle ’s theorem ;completeness of real numbers ;f ull cover ;Heine Borel covering theorem ; δ2fine tagged partition C LC Number :O171 Document Code :C Article I D :167221454(2008)0420131203 The st udy on Rolle ’s Theorem as well as ot her mean value t heorems of differentials is a very att ractive issue and it was also involved in calculus reform in U SA.Many scholars have done a great deal of work during t he past decade [1-3].We know t hat if Rolle ’s Theorem is proved ,it can be used to p rove Lagrange Mean Value Theorem and Cauchy Mean Value Theorem so long as a corresponding auxiliary f unction is const ructed.Therefore ,it is better to say Rolle ’s Theorem is t he essence and basis of t he next two t heorems t han to say t he conclusions of t he next two t heorems seem to have wider applicability t han t hat of Rolle ’s Theorem.To make t hings simpler ,people lay emp hasis on discussing t he ways to p rove Rolle ’s Theorem.The articles of professor Xu Ji 2hong [4]and t he aut hor [5]respectively give a new way to p rove Rolle ’s Theorem.In t he paper ,we shall give some met hods p roving Rolle ’s Theorem by some forms of completeness of real numbers. Def inition 1 A collection C of clo sed subintervals of [a ,b]is a f ull cover of [a ,b]if to each x ∈[a ,b]t here corresponds a number δ(x )>0such t hat every closed subinterval of [a ,b ]t hat contains x and has lengt h less t hat δ(x )belongs to C [6]. Lemm a 1 If C is a f ull cover of [a ,b],t hen C contains a partition of [a ,b],i.e.,t here exist a =x 0,x 1,…,x n =b such t hat x k -1 中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用 单位：旅游系 专业：酒店管理 姓名：王姐 学号：1414061039 【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。 【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。 引言 拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。 罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：○ 1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；○ 3在区间两个端点的函数值相等，即()()f a f b =，(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=。 罗尔定理的证明：因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。 （1）如果M m =，则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ，因此，在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =，所以，(,)a b 内每一点都可取作ξ，此时定理显然成立。 （2）如果m M <，因()()f a f b =，则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ，设()m f a ≠，这就是说，在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=。 下面证明'()0f ξ=。 由于()f M ξ=是最大值，所以不论x ?为正或负，恒有()()0f x f x ξ+?-ξ≤?， (,)x a b ξ+?∈。 当0x ?>时，()()0f x f x ξ+?-ξ≤?，有已知条件'()f ξ存在可知， （一）新课导入 回顾以前学习的内容、对罗尔做下简单介绍，引入本节所要研究的课题。 （二）新课讲解 1、教师给出罗尔定理的条件和结论。教师写出C x f ∈)(],[b a ，D x f ∈)(),(b a 让学生说出这两种符号代表的含义，引导学生回顾以前学过的知识。 定理1（Rolle ）：设函数)(x f 满足条件： ⑴ C x f ∈)(],[b a ； ⑵ D x f ∈)(),(b a ； ⑶ )()(b f a f =， 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf 。 2、通过罗尔定理的条件和结论，引导学生发现罗尔定理的几何意义。教师画图，让学生思考交流得出罗尔定理的几何意义。 提问： ⑴C x f ∈)(],[b a 在几何上表示什么？ ⑵D x f ∈)(),(b a 在几何上表示什么含义？ ⑶ )()(b f a f =表明曲线的什么几何意义？ ⑷ 罗尔定理的结论的直观意义是什么？即：在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf ，表明什么？ 3、教师指出定理要注意的要点及罗尔定理的作用，举出例题。让 学生思考解决问题，教师补充。 ※罗尔定理的三个条件必须同时满足定理才成立。 例1、函数,)(x x f =]1,0[∈x 满足罗尔定理吗？ ※ 罗尔定理可用于讨论方程的根。 例2、对于函数)1)(1()(-+=x x x f ，证明方程()0f x '=有一个实数 根。 ※ 用罗尔定理怎样来求出点ξ。 例3、对于函数x x x f 2)(2-=，求出点ξ使得0)(='ξf 。 4、小结： 本节课我们学习了罗尔定理。重点是罗尔定理的条件、结论和几何意义，要求同学们务必掌握，并学会用罗尔定理解决问题。 5、作业： （1）阅读教科书，了解罗尔定理证明的推导过程。 （2）完成课后练习第一题。 罗尔中值定理的内容及证明方法 （一）定理的证明 证明：因为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，现在分两种情况讨论： 1.若m M =，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必为常数，结论显然成立。 2.若m M >，则因为)()(b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是)(x f 的极值点，由条件)(x f 在开区间()b a ,内可导得，)(x f 在ξ处可导，故由费马定理推知：0)('=ξf 。 （二）罗尔中值定理类问题的证明 罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。 1.形如“在()b a ,内至少存在一点ξ，使k f =)('ξ”的命题的证法。 (1)当0=k 时，一般这种情况下，我们只需验证)(x f 满足罗尔定理的条件，根据罗尔定理来证明命题。在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的条件并不是显而易见的。 例1 设)(x f 在闭区间[]1,0上连续，开区间()1,0内可导，?=1 32 )(3)0(dx x f f 。 证明：()1,0∈?ξ，使0)('=ξf 分析：由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的，而且这个问题涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在()1,0中找到一个区间()η,0，在()η,0中运用罗尔中值定理去证明。 证：因为??????∈=-==?1,32,)()()321(3)(3)0(1 3 2ηηηf f dx x f f 显然)(x f 在闭区间[]η,0上连续，在开区间()η,0内可导 根据罗尔定理，()1,0∈?ξ，使0)('=ξf (2)当0≠k 时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：0)('=-k f ξ的形式，构造辅助函数)(x F ，我们就可以运用(1)中的方法证明命题。我们在构造辅助函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数k 法等等。 .中值定理 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第一节 中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理的应用。 教学过程： 一、罗尔定理 定理1：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ） f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(ξ)=0. 证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时， 又有二种情况： （1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x) ＝M=m ，∴)('x f ＝0，因此，可知ξ为（a,b ）内任一点，都有f '(ξ)＝0。 （2） M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ≠f(a)（对m ≠f(a) 同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点ξ，使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点 得最大值。下面来证明：f '(ξ)=0 首先由（ii ）知f '(ξ)是存在的，由定义知： f '(ξ)=ξ ξξξξ--=--→→x M x f x f x f x x )(lim )()(lim …….(*) 因为M 为最大值，?对x ?有 f(x) ≤M ?f(x)－M ≤0, 当x>ξ时，有ξ ξξ--=--x M x f x f x f )()()(≤0 当x<ξ时，有ξ ξξ--=--x M x f x f x f )()()(≥0。 又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于)(ξf '，即 )()()(_ξξξf f f '='='+，然而，又有 0)()(lim )()(≥--='='-→-ξ ξξξξx f x f f f x 和 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξ ξξξξx f x f f f x 0)(='?ξf 。 注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。中值定理证明
罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用
罗尔定理教学设计
罗尔中值定理的内容及证明方法
中值定理
中值定理证明题