罗尔定理的进一步推广与应用

罗尔定理的几种类型及其应用

彭丹

（德州学院数学系，山东德州 253023）

摘要：本文通过对罗尔定理的条件以及条件的几何意义、罗尔定理的证明以及运用构造函数的思想研究罗尔定理的一些性质及其应用、罗尔定理推广形式的总结与再推广，从而达到对罗尔定理的更深入的研究。

关键词：罗尔定理；性质；应用；推广

引言

微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。

本文着重对罗尔定理的性质、推广形式以及应用进行深入的研究，从而更好的了解微分中值定理.

1 罗尔定理

罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。但在一百多年后，龙斯托·伯拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理.

1.1. 罗尔(Rolle)定理的内容：

如果函数 f (x)

(1)在[a, b]上连续;

(2)在(a, b)内可导;

(3)f (a) = f (b).

那么在 (a, b) 内至少有一点ξ(a < ξ < b),使得 f '(ξ) = 0.

1.2．几何意义：

罗尔定理的三个已知条件的几何意义是：f(x)在[a ，b]上连续表明曲

线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a ，b)可导表明曲线y=f(x)在

每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB ）平行于x 轴.

罗尔定理的结论的直观意义是：在(a ，b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，

表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB ，也就平

行于x 轴.

符合罗尔定理条件的曲线至少有一条水平切线

1.3．罗尔定理的条件的讨论

（1）罗尔定理的条件缺一不可

例1 f(x)= ?

??=<≤时时1x 01x 0x （1） f(x)∈C[0,1]；（?）

（2） f(x)∈D （0,1）；

（3） f （0） 则不存在ξ，使得f ′（ξ）=0.

例２， f(x)=|x|,x∈[-1,1];

（1）f(x)∈C[-1,1] ;

（2）f(x)∈D[-1,1]; （?）

（3）f(-1)=f(1).

则不存在§，使得f′（§）=0.

因为此例题中条件（2）不满足罗尔定理的条件。

例３，f(x)=x,x∈[0,1];

（1）f(x)∈C[0,1] ;

（2）f(x)∈D[0,1];

（3）f(0)=f(1). （?）

则不存在§，使得f′（§）=0.

因为此例题中条件（2）不满足罗尔定理的条件

(2)罗尔定理的条件之一不满足其结论仍然成立.

例如 y=2)^1|(|1--x x ∈[-2,2]

在x=0处不可导 y=2)^1(1--x x ∈[0,

2

3] 在端点处的函数值不相等 y=???????=??????∈--23023,0)1(12x x x 在闭区间上不连续

对以上三个函数罗尔定理均成立．

２．关于罗尔定理的进一步讨论

罗尔定理是微分学中的一个重要定理，它不仅沟通了函数与其导函数的关系，也

是微积分学中许多定理的基础，对罗尔定理进行深入系统的探讨和研究，给出在

更弱条件下的各种区间类型（包括有限区间和无限区间）的罗尔定理的推广形式．

2.1 广义罗尔定理

１．１中罗尔定理对所涉及的函数的要求过于苛刻，我们希望能够得到一个

更为宽泛的结论，因此有必要对其条件进行放宽，放宽条件后的罗尔定理（不妨

将其称之为广义罗尔定理）有如下８种形式：

推论１ 设函数f （x ）在区间（ａ，ｂ）上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且

+→a x lim f （x ）=-

b x lim →f （x ）=A ，其中A 为常数，则存在§∈（ａ，ｂ），使得f ′（§）=0.

推论2 设函数f （x ）在区间[ａ，ｂ）上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，

且+→b

x lim f （x ）= f （a ），则存在§∈（ａ，ｂ），使得f ′（§）=0. 推论3 设函数f （x ）在区间（ａ，ｂ]上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且+

→a x lim f （x ）= f （b ），则存在§∈（ａ，ｂ），使得f ′（§）=0.

推论4 设函数f （x ）在区间[ａ,+∞）上连续，在区间（ａ,+∞）内可导，

且+∞

→x lim f （x ）= f （a ），则存在§∈（ａ,+∞），使得f ′（§）=0. 推论5 设函数f （x ）在区间（ａ,+∞）上连续，在区间（ａ,+∞）内可导， 且 +∞→x lim f （x ）=+

→a x lim f （x ）=A ，其中A 为有限实数，则存在§∈（ａ,+∞），使得f ′（§）=0.

推论6 设函数f （x ））在区间（-∞,a]上连续，在区间（-∞,a ）内可导， 且 ∞

→-x lim f （x ）= f （a ），则存在§∈（-∞,a ），使得f ′（§）=0. 推论7 设函数ｆ（ｘ）在区间（-∞,a ）上连续，在区间（-∞,a ）内可导， 且∞→-x lim f （x ）=-

a x lim →f （x ）=A ，其中A 为有限实数，则存在§∈（-∞,a ），使得f ′（§）=0.

推论8 设函数f （x ）在区间（-∞, +∞）上连续，在区间（-∞, +∞）内可导，且∞→-x lim f （x ）=+∞

→x lim f （x ）=A ，其中A 为有限实数，则存在§∈（-∞, +∞），使得f ′（§）=0.

证明 ： 以下仅给出推论8的证明，其他推论的证明与此类似.

若f(x)是常值函数，则结论显然成立.

下面只讨论f(x)不是常值函数得情形.

在此情形下，不妨设存在x 0∈（-∞, +∞），f （x 0）>A= ±∞

→x lim f （x ）. 因为f （x ）在（-∞, +∞）上连续，根据连续函数介值定理的推广形式可知，存在1ξ∈（-∞, x 0），2ξ∈（x 0，+∞），使得f （1ξ）=f （2ξ）. 再由罗尔定理知，存在∈ξ（1ξ，2ξ）?（-∞, +∞），使得f ′（ξ）=0. 结论得证.

2.2 罗尔定理的进一步推广

推论1到推论8都要求区间两端的极限存在，下面我们将结论进一步推广. 定理1 若函数f （x ）在区间（ａ，ｂ）内可导，且+→a x lim f （x ）=-

b x lim →f （x ）=±∞，则存在ξ∈（ａ，ｂ），使得f ′（ξ）=0.

证明：不妨设

+→a x lim f （x ）=-

b x lim →f （x ）=+∞.

并令 M=f(

2

b a +). 则存在δ（0＜δ＜2a -b ）,使得对满足 a ＜x ＜a+δ

的一切x ，均有

f （x ）＞M.

故而存在x 1∈（a ，a+1δ），使得

f （x 1）＞M.

而对于上述f （x 1），存在2δ（0＜2δ＜

2a -b ）,使得对 满足

b-2δ＜b

的一切x ，均有

f(x) ＞f(x 1).

故而存在2x ∈（b-2δ，b ），使得

f （2x ）＞f(x 1)＞f(

2

b a +). 由连续函数介值定理知存在1ξ∈（2b a +，2x ），使得 f(x 1)=f （1ξ）.

显然，f(x)在[x 1,1ξ]上满足罗尔中值定理的所有条件，由此可知存

在ξ∈（x 1,1ξ）?（ａ，ｂ），使得

f ′（ξ）=0.

结论得证.

定理2 若函数f （x ）在区间（ａ，ｂ）内可导，且对于δ（0＜δ＜2

a -

b ）， f （x ）在（a ，a+δ）和（b-δ，b ）内有不同的单调性，则存在ξ ∈

（ａ，ｂ），使得f ′（ξ）=0.

证明：不妨设f （x ）在（a ，a+δ）内单调递减，而在（b-δ，b ）内

单调递增，则存在

x 1∈（a ，a+δ），

1ξ∈（x 1，a+δ）?（a ，a+δ），

使得

f （1ξ）＜f （x 1）.

同理可以证明，存在

2x ∈（b-δ，b ），

2ξ∈（b-δ，2x ）?（b-δ，b ）,

使得

f （2ξ）＜f （2x ）.

则f （x 1）和f （2x ）均不是f （x ）在[x 1,2x ]上的最小值，又

f （x ）在[x 1,2x ]上连续，则存在ξ∈（x 1,2x ），使得f （x ）为f （x ）

在[x 1,2x ]上的最小值.由Fermat 定理知，

f ′（ξ）=0.

结论得证.

定理3 若f （x ）∈C[x 1,2x ]且在（ａ，ｂ）内可导， +→a x lim f （x ）=-

b x lim →f （x ）=A 存在δ＞0, f （x ）在（a ，a+δ）,（b-δ，b ）内有相同的单调性， 则至少存在1ξ，2ξ∈（ａ，ｂ），1ξ≠2ξ，使得 f ′（1ξ）=0， f ′（2ξ）=0.

证明: 不妨设f （x ）在（a ，a+δ）, （b-δ，b ）内均为增函数，设 F （x ）= f （x ）-A,

则F （x ）在（a ，a+δ）, （b-δ，b ）内均为增函数，并且

+→a x lim F （x ）=-

b x lim → F （x ）= 0，

由函数的单调性可以找到两点1δ和2δ，

F （1δ）＞0, F （2δ）＜0.

由零值定理可知，存在θ ∈（1δ，2δ）?（a ，b ），使得 F （θ）=0.

由推论2可知在（a ，θ）和（θ，b ）内分别可以找到1ξ，2ξ， 并且 F ′（1ξ）=0，

F ′（2ξ）=0，

也即 f ′（1ξ）=0，

f ′（2ξ）=0，

结论得证.

定理4 设函数f （x ）在区间[ａ，ｂ]上可导，且满足 f ′（a ）f ′（b ）＜0, 求证f ′（x ）可以取到f ′（a ）和f ′（b ）之间的一切数值. 证明： 不妨设

f ′（a ）＞0, f ′（b ）＜0,

现任取r ，使得

f ′（a ）＜r ＜f ′（b ），

构造函数

G （x ）=ｆ（ｘ）- rx ，

那么

G ′（a ）= f ′（a ）- r ＜0，

G ′（b ）= f ′（b ）- r ＞0.

因此，则存在δ，使得G （x ）在（a ，a+δ）内单调递减，在（b-δ，b ） 内单调递增，由定理2知，存在c ∈（ａ，ｂ），

使得

G ′（c ）=0，

也即

f ′（c ）=r.

定理得证.

3 广义罗尔定理的应用

下面给出广义罗尔定理的应用实例.

例1 设F （x ）在（a ，b ）上可导，且

+→a x lim F ′（x ）＞0，-b x lim →F ′（x ）＜0，

证明存在ξ∈（ａ，ｂ）使得

F ′（ξ）=0.

证明： 根据题设所给条件，由极限的保号性知，

存在δ＞0，当x ∈（a ，a+δ）时，

F ′（x ）＞0，

即F （x ）在（a ，a+δ）上单增；而当x ∈（b-δ，b ）时， F ′（x ）＜0，

即F （x ）在（b-δ，b ）上单减，由上述定理2可知，一定存在

点ξ∈（ａ，ｂ）使得

F ′（ξ）=0.

例2 设f （x ）在[0，+∞）上可导，且

0≤f （x ）≤2x 1x

+，

试证明存在ξ＞0，使得

f ′（ξ）=()222

1-1ξξ+

证明:不妨令

g （x ）= f （x ）-2x 1x

+,

则g （x ）在[0,+∞）上连续且可导， -2x 1x

+≤g （x ）≤0,

从而

+→0x lim ??????+2x 1x -≤+→0

x lim g （x ）≤0， +∞→x lim ??????+2x 1x -≤+∞

→x lim g （x ）≤0， 又因为

+∞→x lim ??

????+2x 1x -=0， +→0x lim ??

????+2x 1x -=0， 所以，

+∞

→x lim g （x ）= 0 = g （0）, 由推论4知，存在ξ∈（0，+∞），使得

g ′（ξ）=0,

因此，

f ′（ξ）=

()2221-1ξξ+ ，

结论得证. 4 结语

罗尔定理是微分学中的一个基本定理 ,它基于费尔玛定理。由罗尔定理可导出著名的拉格朗日中值定理.本文将罗尔定理推广到任意区间和任意端值上 ,并利用罗尔定理的广义形式讨论了罗尔定理的一些其他的性质以及更深层次的应用.

罗尔定理是数学分析基本理论中的重要内容，它起着奠基、核心的作用。理解罗尔定理的条件，结论和几何意义，结合对罗尔定理的具体应用，反复体会其在微积分课程中的重要地位和作用，从而达到准确理解并应用该定理的目的。根据这一定理的条件和结论，提出一系列扩展思路、独立思考、试探解决的问题，从而达到培养能力、牢固掌握基本理论的目的。

参考文献

[1] 北京大学.数学分析[M].北京：人民教育出版社，1961.

[2] 复旦大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3] 菲赫金哥尔茨.微积分学教程[M].北京：人民教育出版社，1956.

[4] 广西民族学院学报（自然科学版），Dec.2002:23-25

[5] 郭玉立.微分中值定理的几种新证明

[6] Mathematics archive , University of St Andrews

[7] 盛云秋《上海工程技术大学学报》 1992 第4期 - 维普资讯网

[8] 吴从炘《高等数学研究》 2004 第5期 - 维普资讯网

[9] 王子兴.数学方法论-问题解决的理论[M].长沙：中南大学出版社，2002.

[10] 吴炯圻，林培荣.数学思想方法[M]. 北京：高等教育出版社，2005.

[11] Weisstein, Eric. "Mean-Value Theorem" . MathWorld . Wolfram Research

[12]O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , "Intermediate value theorem" , MacTutor History of

[13] 张雄，李得虎等. 数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2005.

The Types and Application of Rolle Theorem

pengdan

(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023)

Abstract:This article through to the Rolle theorem and the condition of the geometric meaning, Rolle theorem and the application of the constructor thought studies Rolle theorem and some properties of the generalized form of Rolle theorem application, summary and further promotion, so as to achieve the Rolle theorem more thorough research.

Key words: Rolle theorem; properties; application; promotion.

谢辞

第五讲 罗尔定理的应用

第五讲 罗尔定理的应用 一、利用罗尔定理、费马定理、零点定理证明方程的根 例1 设01,,,n a a a "为，为满足1200231 n a a a a n + +++=+"的实数，证明方程 20120n n a a x a x a x ++++=" 在(0,1)内至少有一个实根。 例2 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0b a >>，证明方程 222[()()]()()x f b f a b a f x ′?=? 在(,)a b 内至少存在一个实根。 例3 设,,a b c 为实数，求证方程2x ax bx c e ++=至多有三个实根。 例 4 证明方程2210x x ??=有且仅有三个不同的实根。 二、利用罗尔定理证明含有“中值点”的等式 例5 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点 (,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ′+= 例6 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f f ξλξ′= 例7设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()0f f g ξξξ′′+= 例8设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ′≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()f g f g ξξξξ′′= 例9设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(0)0f =，而当(0,1)x ∈时，()0f x ≠，证明：对任意正整数n ，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得 ()(1) ()(1) nf f f f ξξξξ′′?=? 例10 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ?>，()02a b f a f +?? ?

罗尔定理的进一步推广与应用

罗尔定理的几种类型及其应用 彭丹 （德州学院数学系，山东德州 253023） 摘要：本文通过对罗尔定理的条件以及条件的几何意义、罗尔定理的证明以及运用构造函数的思想研究罗尔定理的一些性质及其应用、罗尔定理推广形式的总结与再推广，从而达到对罗尔定理的更深入的研究。 关键词：罗尔定理；性质；应用；推广 引言 微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。 本文着重对罗尔定理的性质、推广形式以及应用进行深入的研究，从而更好的了解微分中值定理. 1 罗尔定理 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。但在一百多年后，龙斯托·伯拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理. 1.1. 罗尔(Rolle)定理的内容： 如果函数 f (x) (1)在[a, b]上连续; (2)在(a, b)内可导; (3)f (a) = f (b). 那么在 (a, b) 内至少有一点ξ(a < ξ < b),使得 f '(ξ) = 0.

罗尔中值定理的一些新证法_英文_

R eceived d ate :2006207217 第24卷第4期 大　学　数　学Vol.24,№.42008年8月COLL EGE MA T H EMA TICS Aug.2008 So me New Ways to Prove Rolle ’s Theorem YA O J i n g 2s un (Dept.of Math.,Anhui Normal University ,Wuhu 241000,China ) Abstract :We give three new methods proving Rolle ’s Theorem.The second simple way is only dependent on the well 2known Heine 2Borel Covering Theorem.This implies that Rolle ’s Theorem is the direct consequence of completeness of real numbers. K ey w ords :Rolle ’s theorem ;completeness of real numbers ;f ull cover ;Heine Borel covering theorem ; δ2fine tagged partition C LC Number :O171 Document Code :C Article I D :167221454(2008)0420131203 The st udy on Rolle ’s Theorem as well as ot her mean value t heorems of differentials is a very att ractive issue and it was also involved in calculus reform in U SA.Many scholars have done a great deal of work during t he past decade [1-3].We know t hat if Rolle ’s Theorem is proved ,it can be used to p rove Lagrange Mean Value Theorem and Cauchy Mean Value Theorem so long as a corresponding auxiliary f unction is const ructed.Therefore ,it is better to say Rolle ’s Theorem is t he essence and basis of t he next two t heorems t han to say t he conclusions of t he next two t heorems seem to have wider applicability t han t hat of Rolle ’s Theorem.To make t hings simpler ,people lay emp hasis on discussing t he ways to p rove Rolle ’s Theorem.The articles of professor Xu Ji 2hong [4]and t he aut hor [5]respectively give a new way to p rove Rolle ’s Theorem.In t he paper ,we shall give some met hods p roving Rolle ’s Theorem by some forms of completeness of real numbers. Def inition 1　A collection C of clo sed subintervals of [a ,b]is a f ull cover of [a ,b]if to each x ∈[a ,b]t here corresponds a number δ(x )>0such t hat every closed subinterval of [a ,b ]t hat contains x and has lengt h less t hat δ(x )belongs to C [6]. Lemm a 1　If C is a f ull cover of [a ,b],t hen C contains a partition of [a ,b],i.e.,t here exist a =x 0,x 1,…,x n =b such t hat x k -1

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

罗尔定理教学设计

《罗尔定理》教学设计 一、 教学目的 理解罗尔定理的推导，掌握罗尔定理，灵活运用罗尔定理. 二、 教学重难点 重点：罗尔定理及其应用 难点：罗尔定理的条件的讨论 三、 教学过程 （一） 复习回顾 1、闭区间上连续函数的性质 1f x a b , f x a b 2f x a b f a f b 0f =0 ξξ（）（最大值和最小值定理）设（）在［，］连续则（）在［，］上可以取到最大值和最小值。 （）（零点定理）设（）在［，］连续，且（）（）〈，则至少存在一点使得（） 2、费马定理:若函数()x f 在(a,b)内一点x 0 取得最值,且()x f 在x 0 可导,则()0='x f . （二）、新课讲授 1、罗尔定理：设函数()x f 满足： （1） 闭区间[]b a ,上连续； （2） 开区间()b a ,内可导； （3） 端点函数值相等()()b f a f =, 则至少存在一个()b a ,∈ξ，使得()0='ξf . 注：(1)罗尔定理的几何意义：在满足条件时，曲线()x f y =上的点))(,(ξξf 处一 定有水平切线，即斜率()0='=ξf k ； (2)罗尔定理研究的是导函数方程()0='x f 的根的存在性问题 ;

(3)罗尔定理的条件是充分的 2、罗尔定理的条件的讨论 3、罗尔定理的简单应用 例4：证明方程0=1+52 x x 有且今有一个小于1的正实根。 4、小结: A 、罗尔定理的三个条件 （1）()x f 在 [a ，b]上连续； （2）()x f 在(a ，b)内可导； （3）f （a ）=f(b), B 、罗尔定理的结论: 至少存在一个()b a ,∈ξ，使得()0='ξf . 几何解释:曲线有水平切线. C 、罗尔定理研究的是导函数方程()0='x f 的根的存在性问题; D 、罗尔定理的条件是充分非必要条件. ]1,1[,)( 2-∈=x x x f 例) ( ];1,0[,)( 3略例∈=x x x f ???=<≤= 1 010 )( 1时时例x x x x f

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

罗尔定理教学设计

（一）新课导入 回顾以前学习的内容、对罗尔做下简单介绍，引入本节所要研究的课题。 （二）新课讲解 1、教师给出罗尔定理的条件和结论。教师写出C x f ∈)(],[b a ，D x f ∈)(),(b a 让学生说出这两种符号代表的含义，引导学生回顾以前学过的知识。 定理1（Rolle ）：设函数)(x f 满足条件： ⑴ C x f ∈)(],[b a ； ⑵ D x f ∈)(),(b a ； ⑶ )()(b f a f =， 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf 。 2、通过罗尔定理的条件和结论，引导学生发现罗尔定理的几何意义。教师画图，让学生思考交流得出罗尔定理的几何意义。 提问： ⑴C x f ∈)(],[b a 在几何上表示什么？ ⑵D x f ∈)(),(b a 在几何上表示什么含义？ ⑶ )()(b f a f =表明曲线的什么几何意义？ ⑷ 罗尔定理的结论的直观意义是什么？即：在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf ，表明什么？ 3、教师指出定理要注意的要点及罗尔定理的作用，举出例题。让 学生思考解决问题，教师补充。

※罗尔定理的三个条件必须同时满足定理才成立。 例1、函数,)(x x f =]1,0[∈x 满足罗尔定理吗？ ※ 罗尔定理可用于讨论方程的根。 例2、对于函数)1)(1()(-+=x x x f ，证明方程()0f x '=有一个实数 根。 ※ 用罗尔定理怎样来求出点ξ。 例3、对于函数x x x f 2)(2-=，求出点ξ使得0)(='ξf 。 4、小结： 本节课我们学习了罗尔定理。重点是罗尔定理的条件、结论和几何意义，要求同学们务必掌握，并学会用罗尔定理解决问题。 5、作业： （1）阅读教科书，了解罗尔定理证明的推导过程。 （2）完成课后练习第一题。

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

单位：旅游系 专业：酒店管理 姓名：王姐 学号：1414061039 【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。 【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。 引言 拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。 罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：○ 1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；○ 3在区间两个端点的函数值相等，即()()f a f b =，(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=。 罗尔定理的证明：因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。 （1）如果M m =，则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ，因此，在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =，所以，(,)a b 内每一点都可取作ξ，此时定理显然成立。 （2）如果m M <，因()()f a f b =，则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ，设()m f a ≠，这就是说，在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=。 下面证明'()0f ξ=。 由于()f M ξ=是最大值，所以不论x ?为正或负，恒有()()0f x f x ξ+?-ξ≤?， (,)x a b ξ+?∈。 当0x ?>时，()()0f x f x ξ+?-ξ≤?，有已知条件'()f ξ存在可知，

闭区间套定理的证明、推广及应用

重庆三峡学院数学分析课程论文 闭区间套定理的证明、推广及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名姜清亭 年级 2009级 学号 200906034129 指导教师刘学飞 2011年5月

闭区间套定理的证明、推广及应用 姜清亭 （重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本（1）班） 摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。 关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明 1 空间上的区间套定理 定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列｛[],n n a b ｝若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 lim()0 n n n b a →∞ -= 则存在唯一数属于l 。。所有的闭区间（即 []1 ,n n n a b l ∞ == ） ，且lim lim n n n n a b l →∞ →∞ == 证明:由条件1可知，数列增加有上界1b ，数列｛n b ｝单调减少有下界1a ， 1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理，数列｛n a ｝收敛，设lim n n a →∞ =l ．由条件2 有 ()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞ →∞ →∞ →∞ =-+=-+=+=于是，lim lim n n n n a b l →∞ →∞ ==， 对任意取定的,n k N k +∈? ,有k n n k a a b b ≤≤ ，从而，lim lim k n n k n n a a l b b →∞ →∞ ≤==≤， 或k k a l b ≤≤，即l 属于所有的闭区间． 证明l 唯一性．假设还有一个' l 也属于所有的闭区间，从而 '',,,,n n n n n N l l a b l l b a +???∈∈-≤-?? 有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的． 2 闭区间套定理的推广 定理2 （开区间套定理）若开区间列｛() ,n n a b ｝，若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 )(lim n n n a b -∞ →= n n a b 2lim -∞→=0 对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l 属于所有

中值定理

.中值定理

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第一节 中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理的应用。 教学过程： 一、罗尔定理 定理1：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ） f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(ξ)=0. 证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时， 又有二种情况： （1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x) ＝M=m ，∴)('x f ＝0，因此，可知ξ为（a,b ）内任一点，都有f '(ξ)＝0。 （2） M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ≠f(a)（对m ≠f(a) 同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点ξ，使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点 得最大值。下面来证明：f '(ξ)=0 首先由（ii ）知f '(ξ)是存在的，由定义知： f '(ξ)=ξ ξξξξ--=--→→x M x f x f x f x x )(lim )()(lim …….(*) 因为M 为最大值，?对x ?有 f(x) ≤M ?f(x)－M ≤0, 当x>ξ时，有ξ ξξ--=--x M x f x f x f )()()(≤0 当x<ξ时，有ξ ξξ--=--x M x f x f x f )()()(≥0。 又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于)(ξf '，即 )()()(_ξξξf f f '='='+，然而，又有 0)()(lim )()(≥--='='-→-ξ ξξξξx f x f f f x 和 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξ ξξξξx f x f f f x 0)(='?ξf 。 注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。

—从一道考研试题谈罗尔定理的运用

Ｖｏｌ＿１１．Ｎｏ．５Ｓｅｐ．，２００８ 高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ５７ 作用 巧用罗尔定理，弱化解题条件 ——从一道考研试题谈罗尔定理的运用。 沈晨（中固石油大学数学与计算科学学院山东东营２５７０６１） 摘要通过对一道数学分析考研试题的分析和证明，讨论了罗尔定理对于简化证明过程和弱化解题条件的关键词罗尔定理；微分中值定理；解题条件中图分类号０１７２ 在微分中值定理中，罗尔定理对于解题具有特别重要的作用．受文［１３的启发，联想到笔者在 教学中（如《数学分析选讲》和数学分析考研辅导课等）对一些表面看来难以想到用罗尔定理的考研试题，经灵活运用罗尔定理，不仅得到了巧妙的解法，有时甚至还可弱化解题条件．仅以下述问题（中国科学院数学研究所１９９９年硕士研究生入学试题（数学分析）；文献［２］）为例：问题设三维空间中有一条连续可微的空间曲线ｒ．它在每点处的单位切向量平移到原点上，其向量端点组成单位球面上一条曲线，称这条曲线为１１的球面像．设１１是封闭的，求证它的球面像和单位球面的每个大圆相交． 证明记题中所述单位球面和ｆ的球面像分别为三和ｒ。． 任给三的大圆Ｃ。，存在不全为零的实数Ａ，Ｂ，Ｃ，使得三与平面 ｆｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ一０ 的交线为Ｃ。． 对于曲线１１，取弧长５为参数，设１１的参数方程为 ．２７＝ｚ（ｓ）．Ｙ＝ｙ（ｓ），ｚ—ｚ（５），０≤５≤Ｌ，／ 广Ｌ 贝４ｚ（ｏ）＝ｚ（Ｌ），ｙ（ｏ）一ｙ（Ｌ），ｚ（ｏ）一ｚ（Ｌ）．故Ｉｚ７（ｓ）ｄｓ—ｚ（Ｌ）一ｚ（ｏ）＝０．’同理ｆＬｙｌ（ｓ）ｄｓ：ｆＬｚ，（５）ｄｓ：０．于是ｆ‘［触，（ｓ）＋毋，（ｓ）＋Ｃｚ，（ｓ）］ｄｓ：ｏ． Ｊ０Ｊ０Ｊ０ 而触７（ｓ）＋Ｂｙ７（ｓ）＋Ｃｚ７（ｓ）在［ｏ，Ｌ］上连续（题设），故存在ｓ。∈（ｏ，Ｌ），使得 Ａｘ７（５１）十Ｂｙ７（ｓ１）＋Ｃｚ７（ｓ１）＝０（１）故 ±ｚ７（ｓ１）Ａ土ｊ，’（５１）Ｂ士ｚ７（ｓ１）Ｃ＝０（２）因点Ｍｌ（ｚ７（ｓ１），Ｙ７（ｓ１），ｚ７（ｓ１））和％（一ｚ７（ｓ１），一），７（５１）．一ｚ７（ｓ１））是ｒ在点Ｍｏ（ｚ（ｓ１），ｙ（ｓ。），ｚ（却））的两个反向的单位切向量平移到原点后，其向量的端点，由题设，其中必有一个在ｎ上，不妨设其为Ｍ１．由于Ｍ１∈三，且由（２）式知Ｍ１∈／／，故Ｍ。∈三ｎ／／＝Ｃｔ．于是Ｍｌ即为ｎ与Ｃ。的交点．证毕． 上述证明中的（１）式，是由于使用了定积分的与被积函数连续有关的性质而得出，因此用到了题目中曲线１１“连续可微”的假设．然而，通过运用罗尔定理，可避开上述定积分的性质而得到（１） －收穑１５１期：２００７—１２—０３

关于罗尔定理有关问题的证明方法

罗尔定理的应用题： 1. 设函数()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，()()0f a f b ''?>. 又()g x 在(,)a b 内二阶可 导，且()0,()()0g x g x b ''≠≠，证明：(,)a b ξ?∈，使得()()=()() f f g g ξξξξ''''. 证明：构造辅助函数 ()()()()()F x f x g x f x g x ''=-。由于()g x 在(,)a b 内二阶可导，且()0,g x ≠ 所以()g x 在(,)a b 上恒正或恒负，不妨假设()0,(,)g x x a b >?∈. 由于()()0f a f b ''?>，不妨假设()0()0f a f b ''>>，, 则()=()()()()()0F a f a g a >F b f b g b ''=>0, 因为()()()0lim 0x a f x f a f a x a +→-'>?>-，()()()0lim 0x b f x f b f b x b -→-'>?>-，由极限的保号性， 存在1(,),x a a δ∈+使得1()()0f x f a >=，存在2(,),x b b δ∈-使得2()()0f x f b <=. 显然有12()x x δ<因为可以取足够小. 在闭区间12[,]x x 上应用区间套定理，可得 012(,)x x x ∈，使得00()0,()0f x f x '=≤ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 事实上，取12111112[,][,]()()0,()()0x x a b f a f x f b f x ==>=<，， 将区间11[,]a b 二等分，取其中之一的子区间为22[,]a b ，它满足22()0,()0f a f b ><， 按照这种规则一直取下去，就得到一个闭区间套11{[,]}= 0()2n n n n n b a a b b a n --→→∞，， 由闭区间套定理，存在012(,)x x x ?∈使得0lim lim n n n n a x b →∞→∞==，由极限的保号性知 0()(lim )lim ()0n n n n f x f a f a →∞→∞==≥，0()(lim )lim ()0n n n n f x f b f b →∞→∞ ==≤，故0()0f x =， 再由拉格朗日定理得()()()0,(,)n n n n n n n n f b f a f a b b a ξξ-'=<∈-，且0lim n n x ξ→∞=， 0lim ()(lim )()0n n n n f f f x ξξ→∞→∞ '''==≤（极限保号性） -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 从而 000()()()0F x f x g x '=≤， i) 若0()0F x <，因为()F a >0，由零点定理得 10(,)a x η?∈，使1()0F η=， 又因为()F b >0，由零点定理得 20(,)x b η?∈，使2()0F η=，

罗尔中值定理的内容及证明方法

罗尔中值定理的内容及证明方法 （一）定理的证明 证明：因为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，现在分两种情况讨论： 1.若m M =，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必为常数，结论显然成立。 2.若m M >，则因为)()(b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是)(x f 的极值点，由条件)(x f 在开区间()b a ,内可导得，)(x f 在ξ处可导，故由费马定理推知：0)('=ξf 。 （二）罗尔中值定理类问题的证明 罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。 1.形如“在()b a ,内至少存在一点ξ，使k f =)('ξ”的命题的证法。 (1)当0=k 时，一般这种情况下，我们只需验证)(x f 满足罗尔定理的条件，根据罗尔定理来证明命题。在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的条件并不是显而易见的。 例1 设)(x f 在闭区间[]1,0上连续，开区间()1,0内可导，?=1 32 )(3)0(dx x f f 。 证明：()1,0∈?ξ，使0)('=ξf 分析：由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的，而且这个问题涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在()1,0中找到一个区间()η,0，在()η,0中运用罗尔中值定理去证明。 证：因为??????∈=-==?1,32,)()()321(3)(3)0(1 3 2ηηηf f dx x f f 显然)(x f 在闭区间[]η,0上连续，在开区间()η,0内可导 根据罗尔定理，()1,0∈?ξ，使0)('=ξf (2)当0≠k 时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：0)('=-k f ξ的形式，构造辅助函数)(x F ，我们就可以运用(1)中的方法证明命题。我们在构造辅助函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数k 法等等。

罗尔定理

罗尔定理 内容： 如果函数f(x)满足： 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

罗尔定理

罗尔定理 如果函数满足 1.在闭区间上连续； 2.在开区间内可导； 3.在区间端点处的函数值相等，即， 那么在内至少有一点，使得。这个定理称为罗尔定理。 证明 首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。那么对于任一点，我们都有。现在假设在处取得最大值。我们只需证明在该点导数为零。

取，由最大值定义，那么。令，则。因为在处可导，所以我们有 。 取，那么。这时令，则有 ，所以。 于是，。 在处取得最小值的情况同理。 例子 第一个例子 半径为r的半圆 考虑函数

（其中r > 0。）它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[?r,r]内连续，在开区间(?r,r)内可导（但在终点?r和r处不可导）。由于f(?r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。 第二个例子 绝对值函数的图像 如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0，考虑绝对值函数： 那么f(?a) = f(a)，但?a和a之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1，但不取得值0。 推广形式 第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式： 考虑一个实值，在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b). 如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限 而左极限

在扩展的实数轴 [?∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限和 中其中一个≥ 0，另一个≤ 0 (在扩展的实数轴上)。如果对任何x左极限和右极限都相同, 那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。

罗尔定理的研究及推广论文

本科毕业论文（设计）题目罗尔定理应用和推广研究 学院数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2009级 学号222009314012019 姓名郑世凤 指导教师杜文久 成绩中 2013年5月12日

目录 1 罗尔定理的基本性质及应用 (2) 1.1 罗尔(Rolle)中值定理 (2) 1.2几何意义 (2) 1.3 罗尔定理证明 (3) 1.4 在简单函数中讨论罗尔定理条件 (4) 1.5 利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理 (5) 1.6 利用罗尔定理解决零点问题 (7) 2 关于罗尔定理的进一步讨论 (11) 2.1 多元函数的的罗尔中值定理 (11) 2.2 任意区间和端点值上的罗尔定理 (12) 2.4 广义罗尔在高中数学中的应用 (16) 结语 (18) 参考文献： (19) 致谢 (19) I

罗尔定理应用和推广研究 郑世凤 数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本论文探讨了罗尔定理的基本性质，并应用罗尔定理解决实际问题。同时近一步讨论罗尔定理，将其推广到更广泛的适用范围，并证明其可行性，最后运用推广的罗尔定理解决问题。 关键词：罗尔定理；性质；应用；广义罗尔定理； Rolle theorem and its application research ShifengZheng School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: This paper discusses the basic properties of Rolle's theorem,then use Rolle's theorem to solve practical problems and applications. Rolle's theorem further discussion at the same time, will it spread to the broader scope of application, and prove its feasibility,finally using the promotion of Rolle's theorem to solve the problem. Keywords:Rolle's theorem; Properties; Applications; Generalized rolle's theorem; 引言 微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。 第1页共19页

(完整版)有关中值定理的证明题

中值定理证明题集锦 1、已知函数()f x 具有二阶导数，且0 () lim 0x f x x →=，(1)0f =，试证：在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ= 证：由0() lim 0x f x x →= ，可得0lim ()0x f x →=，由连续性得(0)0f =，由此又得 00()(0)() (0)lim lim 00x x f x f f x f x x →→-'===-，由(0)(1)0f f ==及题设条件知()f x 在[0,1] 上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 (0,1)c ∈，使得()0f c '=，又因为 (0)()0f f c ''==， 并由题设条件知()f x '在[0,]c 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉 格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ= 2、设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.f f ξξξ'+= 证：分析：要证结论即为：[()]0.x xf x ξ='= 令()()F x xf x =，则()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且(0)()0F F a ==，因此()()F x xf x =在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,)a ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0.f f ξξξ'+= 注1：此题可改为： 设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得 ()()0.nf f ξξξ'+= 分析：要证结论()()0nf f ξξξ'+=等价于1 ()()0n n n f f ξ ξξξ-'+=（给 ()()0nf f ξξξ'+=两端同乘以1n ξ-） ，而1()()0n n n f f ξξξξ-'+=即为[()]0.n x x f x ξ='= 故令()()n F x x f x =，则()F x 在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论. 注2：此题与下面例题情况亦类似： 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(0,1)x ?∈，有()0f x ≠，证： n N +?∈，(0,1)ξ?∈，使得 ()(1)()(1) nf f f f ξξξξ''-=-成立.