热传导方程的模型 一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热能就要向温度较低的点处流动，称为热传导。由于热能的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的变化，故问题归结为求物体内温度的分布。 在三维直角坐标系下，假设在时刻t点x M的温度为),,,(t z y x u，考虑一个区域的y , ) , (z 温度，为此，在物体中任取一闭曲面S，它所包围的区域记作V（如图），n为曲面S 的法向（从V内指向V外）。
由热传学中的Fourier 实验定律可知：物体在无穷小时间段dt 内流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与时间段dt 、曲面面积dS ，以及物体温度u 沿法线方向的方向导数n u ??三者成正比,即 dSdt n u k dQ ??-= dSdt u grda k n )(-= dt S d u grda k ?-= 其中),,(z y x k k =称为物体的热传导系数 (0≥k )，当物体均匀且各向同性时，k 为常数。式中负号出现是由于热量的流向与温度梯度的正向相反。 从时刻1t 到时刻2t ，通过曲面S 流入区域V 的全部热量为 ?????=2 11t t S dSdt n u k Q ????=21t t S dt S d u grad k 利用奥高公式 dxdydzdt z u k z y u k y x u k x t t ????Ω??????????+????+????21 )()()(
流入的热量使V 内温度发生了变化，在时间间隔],[21t t 内区域V 内各点温度),,,(1t z y x u 变化到),,,(2t z y x u ，则在时间间隔 ],[21t t 内V 内温度升高所需的热量为： []dxdydz t z y x u t z y x u c Q ???Ω -=),,,(),,,(122ρ ????Ω??=21t t dtdxdydz t u c ρ 其中c 为物体的比热，ρ为物体的密度，对均匀且各向同性的物体来说，它们都是常数。 由于热量守恒，故21Q Q =，即021=-Q Q 。 交换积分次序,得 0)()()(21=????? ?????-????-????-??????Ωdxdydzdt z u k z y u k y x u k x t u c t t ρ 由于时间间隔],[21t t 及区域Ω是任意取的，并且被积函数是连续的，得到 )]()()([1z u k z y u k y x u k x c t u ????+????+????=??ρ 如果物体是均匀的,即k c ,,ρ为常数，得到方程： )(2222222z u y u x u a t u ??+??+??=??
图4-3 温度梯度与傅里叶定律 第二节 热传导 热传导是由物质内部分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递现象。热传导的机理非常复杂，简而言之，非金属固体内部的热传导是通过相邻分子在碰撞时传递振动能实现的；金属固体的导热主要通过自由电子的迁移传递热量；在流体特别是气体中，热传导则是由于分子不规则的热运动引起的。 4-2-1 傅里叶定律 一、温度场和等温面 任一瞬间物体或系统内各点温度分布的空间，称为温度场。在同一瞬间，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。因为空间内任一点不可能同时具有一个以上的不同温度，所以温度不同的等温面不能相交。 二、温度梯度 从任一点开始，沿等温面移动，如图4-3所示，因为在等温面上无温度变化，所以无热量传递；而沿和等温面相交的任何方向移动，都有温度变化，在与等温面垂直的方向上温度变化率最大。将相邻两等温面之间的温度差△t 与两等温面之间的垂直距离△n 之比的极限称为温度梯度，其数学定义式为： n t n t gradt ??=??=lim (4-1) 温度梯度n t ??为向量，它的正方向指向温度增加的方向，如图4-3所示。 对稳定的一维温度场，温度梯度可表示为： x t g r a d t d d = （4-2） 三、傅里叶定律 导热的机理相当复杂，但其宏观规律可用傅里叶定律来描述，其数学表达式为： n t S Q ??∝d d 或 n t S Q ??-=d d λ （4-3） 式中 n t ??——温度梯度，是向量，其方向指向温度增加方向，℃/m ； Q ——导热速率，W ； S ——等温面的面积，m 2； λ——比例系数，称为导热系数，W/（m ·℃）。 式4-3中的负号表示热流方向总是和温度梯度的方 向相反，如图4-3所示。 傅里叶定律表明：在热传导时，其传热速率与温度梯 度及传热面积成正比。 必须注意，λ作为导热系数是表示材料导热性能的一 个参数，λ越大，表明该材料导热越快。和粘度μ一样，
第二节热传导 热传导是由物质内部分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递现象。 热传导的机理非常复杂， 简而言之，非金属固体内部的热传导是通过相邻分子在碰撞时传递振动 能实现的；金属固体的导热主要通过自由电子的迁移传递热量； 在流体特别是气体中， 热传导则 是由于分子不规则的热运动引起的。 4-2-1 傅里叶定律 一、温度场和等温面 任一瞬间物体或系统内各点温度分布的空间，称为温度场。在同一瞬间，具有相同温度的 各点组成的面称为等温面。因为空间内任一点不可能同时具有一个以上的不同温度， 所以温度不 同 的等温面不能相交。 、温度梯度 4-3所示，因为在等温面上无温度变化，所以无热量传 都有温度变化，在与等温面垂直的方向上温度变化率最 大。将相邻两等温面之间的温度差 △ t 与两等温面之间的垂直距离 其数学定义式为: gradt 温度梯度 —为向量，它的正方向指向温度增加的方向，如图 n 对稳定的一维温度场，温度梯度可表示为: gradt ( 4-2) dx 三、傅里叶定律 导热的机理相当复杂，但其宏观规律可用傅里叶定律来描述，其数学表达式为： 或 dQ dS 丄 (4-3) n 式中 —— 温度梯度，是向量，其方向指向温度增加方向，C /m ; n Q ――导热速率，W ; S ――等温面的面积， m 2 ； 入 比例系数，称为导热系数， W/ ( m ?C) < 式4-3中的负号表示热流方向总是和温度梯度的方向相 反，如图4-3所示。 傅里叶定律表明：在热传导时，其传热速率与温度梯度 及传热面积成正比。 必须注意，入作为导热系数是表示材料导热性能的一个 参数，入越大，表明该材料导热越快。和粘度 卩一样，导热 系数入也是分子微观运动的一种宏观表现。 4-2-2导热系数 从任一点开始，沿等温面移动，如图 递；而沿和等温面相交的任何方向移动， △ n 之比的极限称为温度梯度, (4-1) 4-3所示。 图4-3温度梯度与傅里叶定律
应用物理软件训练 前言 MATLAB 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，和Mathematica、Maple 并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其
他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。 本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。
题目：热传导方程的求解 目录 一、参数说明 (1) 二、基本原理 (1) 三、MATLAB程序流程图 (3) 四、源程序 (3) 五、程序调试情况 (6) 六、仿真中遇到的问题 (9) 七、结束语 (9) 八、参考文献 (10)
一、参数说明 U=zeros(21,101) 返回一个21*101的零矩阵 x=linspace(0,1,100);将变量设成列向量 meshz(u)绘制矩阵打的三维图 axis([0 21 0 1]);横坐标从0到21，纵坐标从0到1 eps是MATLAB默认的最小浮点数精度 [X,Y]=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同 waterfall(RR,TT,wn)瀑布图 二、基本原理 1、一维热传导问题 （1）无限长细杆的热传导定解问题 利用傅里叶变换求得问题的解是： 取得初始温度分布如下 这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得 （2）有限长细杆的热传导定解问题
关于二维热传导的理论模型 前言 热量从系统的一部分传到另一部分或由一个系统传到另一个系统的现象叫热传导。热传导是热传递三种基本方式之一。它是固体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中层层传递，在流动情况下往往与对流同时发生。热传导实质是由大量物质的分子热运动互相撞击，而使能量从物体的高温部分传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。在固体中，热传导的微观过程是：在温度高的部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。在低温部分，微粒振动动能较小。因微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生微粒的振动，动能由动能大的部分向动能小的部分传递。在固体中热的传导，就是能量的迁移。在金属物质中，因存在大量的自由电子，在不停地作无规则的热运动。一般晶格震动的能量较小，自由电子在金属晶体中对热的传导起主要作用。所以一般的电导体也是热的良导体，但是也有例外，比如说钻石--事实上，jewller 可以通过测宝石的导热性来判断钻石的真假。在液体中热传导表现为：液体分子在温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐向周围层层传递，引起了热传导现象。由于热传导系数小，传导的较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体依靠分子的无规则热运动以及分子间的碰撞，在气体内部发生能量迁移，从而形成宏观上的热量传递。 热传导的定义：热从物体温度较高的一部分沿着物体传到温度较低的部分的方式 理论推导 考察下面的热传导定解问题 ()222t x y u k u ?=?+?()0,0x a y b ≤≤≤≤ (),,0(,)u x y x y φ= 解：利用高维傅里叶变换 ()()()(,,),,,,i x vy u v t F u x y t u x y t e d xd y λλ+∞+∞-+-∞-∞== ?????? 和反变换 ()()21(,,),,(2)i x vy u x y t u v t e d d v λλλπ+∞+∞+-∞-∞= ?? 相应有
图4-3 温度梯度与傅里叶定律 第二节 热传导 热传导是由物质内部分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递现象。热传导的机理非常复杂，简而言之，非金属固体内部的热传导是通过相邻分子在碰撞时传递振动能实现的；金属固体的导热主要通过自由电子的迁移传递热量；在流体特别是气体中，热传导则是由于分子不规则的热运动引起的。 4-2-1 傅里叶定律 一、温度场和等温面 任一瞬间物体或系统内各点温度分布的空间，称为温度场。在同一瞬间，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。因为空间内任一点不可能同时具有一个以上的不同温度，所以温度不同的等温面不能相交。 二、温度梯度 从任一点开始，沿等温面移动，如图4-3所示，因为在等温面上无温度变化，所以无热量传递；而沿和等温面相交的任何方向移动，都有温度变化，在与等温面垂直的方向上温度变化率最大。将相邻两等温面之间的温度差△t 与两等温面之间的垂直距离△n 之比的极限称为温度梯度，其数学定义式为： n t n t gradt ??=??=lim (4-1) 温度梯度n t ??为向量，它的正方向指向温度增加的方向，如图4-3所示。 对稳定的一维温度场，温度梯度可表示为： x t gradt d d = （4-2） 三、傅里叶定律 导热的机理相当复杂，但其宏观规律可用傅里叶定律来描述，其数学表达式为： n t S Q ??∝d d 或 n t S Q ??-=d d λ （4-3） 式中 n t ??——温度梯度，是向量，其方向指向温度增加方向，℃/m ； Q ——导热速率，W ； S ——等温面的面积，m 2； λ——比例系数，称为导热系数，W/（m ·℃）。 式4-3中的负号表示热流方向总是和温度梯度的方 向相反，如图4-3所示。 傅里叶定律表明：在热传导时，其传热速率与温度梯 度及传热面积成正比。 必须注意，λ作为导热系数是表示材料导热性能的一 个参数，λ越大，表明该材料导热越快。和粘度μ一样，
第一章 数学建模及基本原理介绍 用数学理论和方法研究实际问题时，一般说来先要建立合理的数学模型. 在很多情况下，所建立起的模型为偏微分方程的某种定解问题. 本章将对几个典型的实际问题进行分析，建立起相应的数学模型. 并结合这些模型，介绍本门课程的一些主要数学概念及研究此类问题的一些基本思想和方法. §1.1 数学模型的建立 微分方程本质上是函数的某种局部平衡关系，其中含有该函数导数. 在初等数学中我们知道，含有未知数的等式叫方程. 而建立方程的过程主要有三步：先设所求解的量为未知数x ，然后找出所研究问题满足的等量关系式，最后利用一些基本的关系式将等量关系式两边用已知量和未知数x 表示即成. 本节我们用类似过程，导出几个来自物理学领域的实际问题所满足的微分方程和定解条件.除用到几个基本的物理公式外，主要是利用高等数学中同学们已学过的“微元法”思想. 1.1.1 弦振动方程和定解条件 物理模型 一长为l 的柔软、均匀细弦，拉紧之后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦线上任一点在任一时刻的位移. 在这里弦线是‘充分柔软’的假设，是指当它发生变形时只抗伸长而不抗弯曲，即只考虑弦线上不同部分之间张力的相互作用，而对弦线反抗弯曲所产生的力矩忽略不计.而‘均匀’的含义是弦线的线密度为常数. 所谓‘横振动’，是指弦的运动发生在同一平面内，且弦线上各点位移与平衡位置垂直. 导出方程 以弦线所处的平衡位置为x 轴，垂直于弦线位置且通过弦线的一个端点的直线为u 轴建立坐标系（图1.1）. 以),(t x u 表示在时刻t 弦线横坐标为x 的点离开平衡位置的位移. 设ρ为弦的线密度（千克∕米），0f 为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫力密度（牛顿∕米）. 任取一小段弦线，不包括两个端点，（图1.1） 其中1T 和2T 分别是弦线在两端所受到的张力，即其余部分弦线对该小段弦线的 1T 2 T 图 1.1
第一节 热传导 一、傅立叶定律 如图4—1所示，热能总是朝温度低的方向传导，而导热速率dQ 则和温度梯度 n t ??以及垂直热流方向的截面dA 成正比： dQ=-dA n t ??λ (4—1) 式中负号表示dQ 与 n t ??的方向相反，比例系数λ称为导热系数。根据傅立 叶定律（4—1）可以导出各种情况下的热传导计算公式。 图4—1 温度梯度与 图4—2单层平壁的 热流方向的关系 稳定热传导 二、导热系数 导热系数的定义式为：
n t dA dQ ??= λ （4—2） 导热系数在数值上等于单位导热面积、单位温度梯度下在单位时间内传导的热量，这也是导热系数的物理意义。导热系数是反映物质导热能力大小的参数，是物质的物理性质之一。 导热系数一般用实验方法进行测定。通常金属导热系数最大，非金属固体的导热系数较小，液体更小，而气体的导热系数最小。因而，工业上所用的保温材料，就是因为其空隙中有气体，所以其导热系数小，适用与保温隔热。 三、平壁的稳定热传导 （一） （一）单层平壁 如图4—2所示，平壁内的温度只沿垂直于壁面的x 方向变化，因此等温面都是垂直于x 轴的平面。根据傅立叶定律可由下式求算： 导热热阻导热推动力 =?=-= -= R t A b t t t t b A Q λλ2121)( (4—3) 利用上式可解决热传导量（或热损失）Q ；保温材料厚度b ； 外侧温度t 2；结合热量衡算式可进行材料导热系数λ的测定。 设壁厚x 处的温度为t ，则可得平壁内的温度分布关系式（4—4），表示平壁距离和等温面t 两者的关系为直线关系。 A Qx t t λ- =1 (4—4) (二) 多层平壁 在稳定导热情况下，通过各层平壁的热速率必定相等，即 Q 1= Q 2=Q Q n == 。则通过具有n 层的平壁，其热传导量的计算式为：