第2课时分段函数及映射
课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________．
2．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的__________．
一、选择题
1．已知，则f(3)为()
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()
3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价
与住房率有如下关系：
每间房定价 100元 90元 80元 60元 住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高，每间房的定价应为( )
A ．100元
B ．90元
C ．80元
D ．60元 4．已知函数
，使函数值为5的x 的值是( )
A ．－2
B ．2或－5
2
C ．2或－2
D ．2或－2或－5
2
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米
6．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x
C ．f ：x →y ＝2
3x D ．f ：x →y ＝x
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．已知，则f (7)＝____________.
8．设
则f {f [f (－3
4
)]}的值为________，f (x )的定义域是
______________．
9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．
三、解答题
10．已知，
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
能力提升
12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．?B．?或{1}
C．{1} D．?
13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
1．全方位认识分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
2．对映射认识的拓展
映射f：A→B，可理解为以下三点：
(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；
(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；
(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．3．函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
第2课时分段函数及映射
知识梳理
1．(1)对应关系(2)并集(3)分别作出每一段的图象
2．都有唯一一个映射
作业设计
1．A[∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
2．D
3．C[不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]
4．A[若x2＋1＝5，则x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2，
若－2x ＝5，则x ＝－5
2
，与x >0矛盾，故选A.]
5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝
?
??
??
mx ， 0≤x ≤10，
2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.
令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]
6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝8
3?Q ，故选
C.] 7．6
解析 ∵7<9，
∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.
8.3
2
{x |x ≥－1且x ≠0} 解析 ∵－1<－3
4<0，
∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.
而0<1
2
<2，
∴f (12)＝－12×12＝－14
. ∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.
因此f {f [f (－34)]}＝3
2
.
函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0 9．f (x )＝? ???? x ＋1， －1≤x <0， －x ， 0≤x ≤1 解析由图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1) 代入解析式，则 ?? ? ??－a＋b＝0， b＝1. ∴ ?? ? ??a＝1， b＝1. 当0 则k＝－1. 10. 解(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时， f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0,1]． 11．解当点P在BC上运动， 即0≤x≤4时，y＝1 2×4x＝2x； 当点P在CD上运动，即4 2×4×4＝8； 当点P在DA上运动，即8 y＝ 1 2×4×(12－x)＝24－2x. 综上可知，f(x)＝ ?? ? ??2x，0≤x≤4， 8， 4 24－2x， 8 12．B[由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2 时，x ＝2，－ 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合． 无论含有几个元素，A ∩B ＝?或{1}．故选B.] 13．解 根据题意可得d ＝k v 2S . ∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中， 解得k ＝1 2 500. ∴d ＝ 12 500 v 2 S . 当d ＝S 2 时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝??? S 2 (0≤v <252)1 2 500v 2 S (v ≥25 2) . 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 数学必修一零点题型总 结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 第三章 第一节 函数与方程 一、函数的零点 1、实例：填表 2、函数零点的定义：____________________________叫做函数的零点 （注意：________________________） 题型一 求函数的零点 1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A ．2；2 B ．(2,0)；2 C ．－2；－2 D ．(－2,0)；－2 2．函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<4 B ．a>4 C ．a ≤4 D ．a ≥4 3．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 4．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点． 5、求下列函数的零点 （1）9 127)(-=x x f （2）)1(log 2)(3+-=x x f 二、零点定理 1、方程的根与函数零点的关系： 方程f(x)=0的根?函数f(x)的零点?函数与x 轴交点的横坐标 2、零点定理： 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 问题1：去掉“连续不断”可以吗 问题2：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个零点，对不对 问题3：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有0)()(>b f a f 那么函数()y f x =在区间(,)a b 上无零点，对不对 题型二、判断区间内有无零点 1．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．无法确定 2． 函数2()ln f x x x =- 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．1(1,)e 和（3，4） D ．(,)e +∞ 3．设函数f(x)=2x -x 2-2x ，则在下列区间中不存在．．．零点的是（ ） A.（-3，0） B.（0，3） C.（3，6） D.（6，9） 4、方程521=+-x x 在下列哪个区间内一定有根（ ） A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（2，3） D 、（3，4） 5、根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为( ) (1,2) D ．(2,3) 三、判断零点的个数 方法①：转化为判断方程f(x)=0的根的个数，解方程 人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） 2． 如果二次函数 )3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） 3． A.()6,2- B.[]6,2- C.{}6,2- D.( )(),26,-∞-+∞ 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （ ） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 x 1 2 3 4 5 6 函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数???>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数 x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)(2>++=a ax ax x f 若0,2121=+ 陕西省高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大 （小）值 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数 的图像只可能是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知y=f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，与g（x）图象关于x=1对称，当x∈[2，3]时，g （x）=2a（x﹣2）﹣3（x﹣2）2 ， a为常数，若f（x）的最大值为12，则a=（） A . 3 B . 6 C . 6或 D . 3. （2分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数（是常数，且）在区间 上有最大值3，最小值，则的值是（） A . B . C . D . 4. （2分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A . y=﹣3|x| B . y= C . y=log3x2 D . y=x﹣x2 5. （2分）已知f(x)是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数a,b,若a C . D . 7. （2分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（） A . 0＜a≤3 B . a≥2 C . 2≤a≤3 D . 0＜a≤2或a≥3 8. （2分）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则（） A . B . C . D . 9. （2分） (2016高一上·杭州期中) 下列函数中，值域为（0，+∞）的是（） A . y= B . C . D . y=x2+x+1 10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（） A . 1.2.1 函数的概念 班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课后练习 【基础过关】 1．下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A.y= B.y= C.y= D.y=x2+1 2．下列式子中不能表示函数的是 A. B. C. D. 3．函数y=+的定义域是( ) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.{-1,1} 4．若满足，且，，则等于 A. B. C. D. 5．若为一确定区间，则的取值范围是 . 6．函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则的值等于 . 7．求下列函数的定义域. (1)； (2). 8．已知. (1)求，的值； (2)求的值. 【能力提升】 已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立. (1)求f(0),f(1)的值; (2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值. 答案 【基础过关】 1．B 【解析】y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B. 2．A 【解析】一个x对应的y值不唯一. 3．D 【解析】要使函数式有意义,需满足,解得x=±1,故选D. 4．B 【解析】f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q. 5． 【解析】由题意3a－1＞a，则. 【备注】误区警示：本题易忽略区间概念而得出，则的错误. 6．2 【解析】由图可知f(3)＝1，∴f[f(3)]＝f(1)＝2. 【备注】误区警示：本题在求解过程中会因不理解f[f(3)]的含义而出错. 7．(1)由已知得 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数f (x )＝x －4 x 的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 解析： 令f (x )＝0，即x －4 x ＝0. ∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个，选C. 答案： C 2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 解析： 由根与系数的关系得 －3＋x ＝－2a a ，∴x ＝1. 即另一个零点是1，故选B. 答案： B 3．设函数f (x )＝x 3－????1 2x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析： 方法一：令f (x )＝x 3－????1 2x －2， 则f (0)＝0－????1 2－2＝－4<0， f (1)＝1－????1 2－2＝－1<0， f (2)＝23－????1 20＝7>0， f (3)＝27－????1 21＝261 2>0， f (4)＝43－????1 22＝633 4>0， ∴f (1)·f (2)<0， 故x 0所在的区间是(1,2)． 方法二：数形结合法，如图所示． 答案： B 4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋1 1－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 解析： y ＝2x 在(1，＋∞)上是增函数 y ＝1 1－x 在(1，＋∞)上是增函数 ∴f (x )＝2x ＋1 1－x 在(1，＋∞)上是增函数． ∴y ＝f (x )只有x 0一个零点 ∴x 1 2.5.1函数的零点 教学目标： 1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系． 2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题． 3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识． 教学重点： 函数零点存在性的判断． 教学难点： 数形结合思想，转化化归思想的培养与应用． 教学方法： 在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合． 教学过程： 一、问题情境 1．情境：在第2.3.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解； 2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？ 二、学生活动 1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点(－2，0)，试根据图象填空： （1）k0，b0； （2）方程kx＋b＝0的解是； （3）不等式kx＋b＜0的解集； x y O －2 图1 2．如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点(－3，0)和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象，并根据图象填空： （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是 ； （2）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ； ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ． 三、建构数学 1．函数y ＝f (x )零点的定义； 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象之间关系： △＝b 2－4ac △＞0 △＝0 △＜0 ax 2＋bx ＋c ＝0的根 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象 y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点 3．函数零点存在的条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上不间断，且f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点． 四、数学运用 例1 函数y ＝f (x )(x [－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x ) 的零点及不等式f (x )＞0与f (x )＜0的解集． 例2 求证：二次函数y ＝2x 2＋3x －7有两个不同的零点． 例3 判断函数f (x )＝x 2－2x －1在区间(2，3)上是否存在零点？ 例4 求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． 练习：（1）函数f (x )＝2x 2－5x ＋2的零点是_______ ． O x 1 x 2 x y O x 1＝x 2 x y O x y y x O －5 －3 －1 1 3 【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念 新人教版必修1 1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中 元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用. 自 主 预 习 1.元素与集合的相关概念 . 统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) . 组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) . 、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) . 我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示 . 表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) . 表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系 .A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ . A ?a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N * 或 N ＋ Z Q R 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( ) (2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( ) (3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( ) 提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确. (2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错 误. (3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体 著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合. 《函数的零点》课堂教学设计 一．教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。 1．知识背景 2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想 通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二．教学目标 知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 （2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的 关系，掌握零点存在的判定条件。 （3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 三．教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点． 具体流程设计 一、创设情境 画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x [师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。 必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 B A ?? /?/ 人教版高中数学必修1 集合与函数概念教学设计 一、教材分析 集合语言是现代数学的基本语言使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容本章中只将集合作为一种语言来学习学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象发展运用数学语言进行交流的能力函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变思维从静止走向了运动、从运算转向了关系函数是高中数学的核心内容是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系用函数的思想去理解这些内容是非常重要的出发点，反过来通过这些内容的学习加深了对函数思想的认识函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终高中数学课程中函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数在必修四将学习三角函数函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 二、学情分析 1学生的作业与试卷部分缺失导致易错问题分析不全面通过布置易错点分析的任务让学生意识到保留资料的重要性。 2学生学基本功较扎实学习态度较端正有一定的自主学习能力但是没有养成及时复习的习惯有些内容已经淡忘通过自主梳理知识让学生感受复习的必要性培养学生良好的复习习惯. 三、设计思路 本节课新课中渗透的理念是“强调过程教学启发思维调动学生学习数学的积极性”在本节课的学习过程中教师没有把梳理好的知识展示给学生而是让学生自己进行知识的梳理一方让学生体会到知识网络化的必要性另一方面希望学生养成知识梳理的习惯在本节课中不断提出问题采取问题驱动引导学生积极思考让学生全面参与整个教学过程尊重学生的思维方式引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题通过自主分析、交流合作从而进行有机建构解决问题改变学生模仿式的学习方式在教学过程中渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想在教学过程中通过恰当的应用信息技术从而突破难点。 四、教学目标分析 (一)知识与技能 1了解集合的含义与表示理解集合间的基本关系集合的基本运算 A能从集合间的运算分析出集合的基本关系 B对于分类讨论问题能区分取交还是取并。 2理解函数的定义掌握函数的基本性质会运用函数的图象理解和研究函数的性质 A会用定义证明函数的单调性、奇偶性 B会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系 (二)过程与方法 1通过学生自主知识梳理了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学 中江中学校集合与函数测试题 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②21 1y x =+；③2210y x x =+-；④(0) 1 (0) x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52 - C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．2 2x y -= C ．13+=x y D ．2 )1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数 第三章 第一节 函数与方程 一、函数的零点 1、实例：填表 2、函数零点的定义：____________________________叫做函数的零点 （注意：________________________） 题型一 求函数的零点 1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A ．2；2 B ．(2,0)；2 C ．－2；－2 D ．(－2,0)；－2 2．函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<4 B ．a>4 C ．a ≤4 D ．a ≥4 3．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 4．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点． 5、求下列函数的零点 （1）9 1 27)(-=x x f （2）)1(log 2)(3+-=x x f 二、零点定理 1、方程的根与函数零点的关系： 方程f(x)=0的根?函数f(x)的零点?函数与x 轴交点的横坐标 2、零点定理： 如果函数 () y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得 ()0f c =，这个 c 也就是方程()0f x =的实数根。 问题1：去掉“连续不断”可以吗？ 问题2：如果函数 ()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个零点，对不对？ 问题3：如果函数 ()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 0)()(>b f a f 那么函数()y f x =在区间(,)a b 上无零点，对不对？ 题型二、判断区间内有无零点 1．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．无法确定 2． 函数2 ()ln f x x x =- 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．1 (1,)e 和（3，4） D ．(,)e +∞ 3．设函数f(x)=2x -x 2 -2x ，则在下列区间中不存在．．．零点的是（ ） A.（-3，0） B.（0，3） C.（3，6） D.（6，9） 4、方程521 =+-x x 在下列哪个区间内一定有根？（ ） A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（2，3） D 、（3，4） 5、根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为( ) D ．(2,3) 必修1第一章集合与函数概念 知识归纳 一、集合有关概念 1.集合的中元素的三个特性：确定性、元素的互异性、无序性。 2.关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a A 3.集合的表示：用拉丁字母表示集合：集合的表示方法：列举法与描述法。 4.数集：自然数集N ；正整数集N*或 N+；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 5.集合的表示法：（1）列举法：{a ,b,c……}；（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法；（3）语言描述法；（4）Venn 图。 6.集合的分类：有限集（含有有限个元素的集合）、无限集（含有无限个元素的集合）、空集（不含任何元素的集合）。 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。 2．“相等”关系：“元素相同则两集合相等” 注：① 任何一个集合是它本身的子集（A A ）；②真子集:如果A B,且A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)； ③如果 A B, B C ,那么 A C ；④ 如果A B 同时 B A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集 三、集合的运算 交集A B （读作‘A 交B’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝； 并集A B （读作‘A 并B’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})； 全集U 中子集A 的补集记作A C U ，即C U A=},|{A x U x x ?∈且. 二、构成函数的三要素（定义域、对应关系和值域）：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，称这两个函数相等（或为同一函数）；（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 2．值域： 先考虑其定义:(1)观察法 (2)配方法(3)代换法 值域补充:（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域都应先考虑其定义域. （2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，是求解复杂函数值域的基础。 3.函数的解析表达式：（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( ) A ．－12，－1 B.12 ，1 C.12，－1 D ．－12 ，1 解析：方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12 ，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12 ，1. 答案：B 2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( ) 解析：函数没有零点?函数的图象与x 轴没有交点． 答案：D 3．函数f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(1，e) 解析：法一：∵x >0，∴A 错.又因为f (x )＝x ＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数,f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 在(1,2),(1，e)上均有f (x )>0，故C 、D 不对． 法二：取x ＝1e ∈(0,1)，因为f (1e )＝1e －1<0，f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为(0,1)． 答案：B 4．若函数f (x )唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)上，那么下列命题中正确的是( ) A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间[2,16)内无零点 D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点 解析：由题意可知函数f(x)的零点必在区间(0,2)内． 答案：C 5．方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝__________. 解析：令f(x)＝ln x＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ∵f(3)＝ln 3－2<0，f(4)＝ln 4>0， ∴零点在(3,4)上，∴k＝3. 答案：3 6．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________． 解析：f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)． 可知零点为±1，－2,3，共4个． 答案：4 7．判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 解：(1)法一：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0.故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点． 法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或x＝6， ∴函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点． (2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0， ∴f(－1)·f(2)<0. ∴f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点． (3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0， f(3)＝log2(3＋2)－3 §2.1.2指数函数及其性质 第一课时（说课） 各位评委、老师，大家好！ 今天我说课的课题是：人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》， 必修一第二章第二节“指数函数及其性质”的第一课时——指数函数的定义、 图象及性质.下面我将从教材分析，教法学法分析、教学过程分析、板书设 计、教学反思几个方面加以说明. 一、教材分析 1、教材的地位和作用 (1)函数是高中数学学习的重点和难点，函数思想贯穿于整个高中数学之中； (2)学生已掌握函数的一般性质和简单的指数运算； (3)研究指数函数，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识； (4)为研究对数函数打下基础. 2、教学目标 （新课标指出教学目标应包括知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体， 学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确的价值观的过程.以此为指导我制定了以下的教学目标） 1）知识与技能： 了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用; 2）过程与方法： 借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，根据图象归纳出指数函数的性质，体会数形结合和分类讨论思想，体验从特殊到一般的学习方法； 3）、情感、态度与价值观： （通过本节课的学习使学生在数学活动中感受数学思想方法之美，体会数学思想方法之重要，并培养学生主动学习的意识）. 3、教学的重点和难点 教学重点： 指数函数的定义、性质及简单的应用. 教学难点： 指数函数图象和性质，以及指数函数图象与底数的关系. 二、教法学法分析 1、学情分析 1）知识层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数概念的学习后初步具备了数形结合的思想. 2）能力层面：学生已经初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能. 3）情感层面：学生对数学新内容的学习有一定的兴趣和积极性. 4）不足之处：学生的分析能力和概括能力不是很强. 2、教法分析： 1）教学方法：探究式的教学（本节课我采用“探究式”的教学方法，通过教师在教学过程中的点拨，引导学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和同化，培养学生的观察、分析、归纳等思维能力） 2）教学工具：利用多媒体辅助教学（并充分利用多媒体辅助教学） (从指数函数的研究过程中得到相应结论固然重要，但是更重要的是应该使学生了解系统研究一类函数的方法，使得他们以后可以迁移到其他函数的研究中去.) 3、学法分析 1）观察、思考问题 2）描点画图 3）观察图像、合作交流总结出指数函数的性质 （先让学生仔细观察书中给出的实际例子，使他们发现指数函数与现实生活息息相关.再根据高一学生爱动脑懒动手的特点，让学生自己描点画图，画出指数函数的图像，最后观察图像、合作交流总结出指数函数的性质，学生经历了探究的过程，培养探究能力和抽象概括的能力.） 三、教学过程分析 总体设计：引入—讲授新课—课堂练习—课时小结—课后作业—教学反思 具体安排： （一）引入(5分钟) ？ -2 13x y O 【课前练习】 1.函数 12-=x y 的零点是 2. 2.函数 x y 2log = 的零点是 3.函数 12-=x y 的零点是 4.函数 12 ++=x x y 的零点个数是 5.函数 232)(2 --=x x x f 的零点个数是 6.函数y=f( x)的图象如右图，则其零点为 思考： （1）怎样求函数lnx+2x －6=0的零点呢？零点个数呢？ （2）怎样求函数 ()243f x x x =-+的零点呢？零点个数呢？ 这节课将学习这类问题，首先介绍一下图象变换 问题1： 怎样由函数)(x f y =的图象得到函数)(a x f y ±=的图象？ 怎样由函数)(x f y =的图象得到函数a x f y ±=)(的图象？ 课题 §函数图象变换与函数零点 课型 复习 学习目标 ①掌握函数图象平移、对称、翻折变换法则 ②会画出一些基本函数图象，并进行平移、对称、翻折变换 ③会在同一坐标系中画出两个函数图象，并通过交点个数判断函数零点个数 ④能说出函数零点，方程根，图象交点的关系。 重点 会根据图象变换法则，画出相应函数图象 难点 会在同一坐标系中画出两个函数图象，并通过交点个数判断函数零点个数 平 移 变 换 翻 折 变 换 练习2：作出函数2 2- =x y的图象 【典例分析】 【课后巩固练习】 1. 函数零点所在区间为（ ） A. )0,1(- B. )1,0( C. )2,1( D. )3,2( 2、【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y =lnx （B ）2 1y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx 3 、函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下： 那么方程的一个最接近的近似根为（ ） A ． B ． C ． D ． 4、【2015高考湖南】若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 . 5、(07湖南)函数()???>+-≤-=1,341 ,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交 点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2()2x f x e x =+- 2.1 指数函数 [教学目标] 1．通过具体实例了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，理解扩张指数范围的必要性． 3．通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 4．理解指数函数的概念和意义． 5．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 6．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． [教学要求] 指数函数是本章的重点内容之一，也是高中新引进的第一个基本初等函数．学习指数函数时，建议首先通过实际问题引入分数指数幂，为此先将平方根与立方根的概念扩充到n 次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍分数指数幂及其运算性质，最后结合具体实例，通过有理数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数．在实数指数幂的基础上，学习指数函数及其图象和性质． 教学中应通过具体的实例从正整数指数幂开始到现实中出现的分数指数幂，引出指数的取值范围需要进行必要的扩充． 根式是教学的一个难点，教材第一部分安排根式这部分内容，为讲分数指数幂做准备，所以只需要讲根式的概念、方根的性质．为了分散难点，在教学中可以适当放慢进度，多举几个具体的例子，之后再给出n 次方根的一般定义．为突破方根的性质的难点，要抓住立方根与平方根的性质，通过探究得到当n 分奇偶数时方根的性质． 分数指数幂是教学上的又一个难点，也是指数概念的又一次推广．教学时应注意循序渐进．教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，明确它是根式的一种新的写法． 教科书通过比较本节开始时的问题引入指数函数，教学中要让学生体会指数函数的概念来自实践，并体会其中蕴含的函数关系，可引导学生在探究中获得函数的共同特征，这样就可以很自然地给指数函数下定义了． 教学中注意对底数规定的合理性解释：0>a 且1≠a ． 在理解指数函数定义的基础上，建议通过列表描点绘图或者利用信息技术绘图，教学中人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
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