学案6 函数的奇偶性与周期性
导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．
自主梳理
1．函数奇偶性的定义
如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x )为偶函数．
2．奇偶函数的性质
(1)f (x )为奇函数?f (－x )＝－f (x )?f (－x )＋f (x )＝____； f (x )为偶函数?f (x )＝f (－x )＝f (|x |)?f (x )－f (－x )＝____.
(2)f (x )是偶函数?f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数?f (x )的图象关于_____ ___ 对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．
3．函数的周期性
(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝________，则称f (x )为________函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________________．
(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T
2
)．
②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．
③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1
f (x )
或
f (x ＋a )＝－1
f (x )(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数．
自我检测 1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(2011·茂名月考)如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是 ( )
A ．增函数且最小值是－5
B ．增函数且最大值是－5
C ．减函数且最大值是－5
D ．减函数且最小值是－5
3．函数y ＝x －1
x
的图象
( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称 4．(2009·江西改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为 ( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
5．(2011·开封模拟)设函数f (x )＝
(x ＋1)(x ＋a )
x
为奇函数，则a ＝________.
探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ；(2)f (x )＝x (12x －1＋1
2
)；
(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2
＋1)；(4)f (x )＝?
???
?
x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 2－x 3；
(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；
(3)f (x )＝4－x 2
|x ＋3|－3
.
探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用
例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等
式f [x (x －1
2)]<0的解集．
变式迁移2 (2011·承德模拟)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．
探究点三 函数性质的综合应用 例3 (2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.
变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )
A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
转化与化归思想的应用
例 (12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
【答题模板】
解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
∴f (－1)＝1
2
f (1)＝0.[4分]
令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[7分] ∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，
即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)[8分] ∵f (x )为偶函数，
∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[10分]
又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D. ∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.[11分]
解上式，得3 3 ∴x 的取值范围为{x |－73≤x <－13或－1 3 【突破思维障碍】 在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围． 【易错点剖析】 在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误． 1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式． 2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时 需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )?f (－x )±f (x )＝0?f (－x ) f (x ) ＝ ±1(f (x )≠0)． 3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性． 4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1 f (x ) 或 f (x ＋a )＝－1 f (x ) (a 为常数且a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·吉林模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为 ( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12 2．(2010·银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且 f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f (x ) x <0的解集为 ( ) A ．(－3,0)∪(0,3) B ．(－∞，－3)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－3,0)∪(3，＋∞) 3．(2011·鞍山月考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1 f (x ) ，当1≤x ≤2 时，f (x )＝x －2，则f (6.5)等于 ( ) A ．4.5 B ．－4.5 C ．0.5 D ．－0.5 4．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于 ( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3 5．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系是 ( ) A ．f (－1)>f (2) B ．f (－1) 6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f (x )＝???? ? x －1，x >0，a ， x ＝0， x ＋b ，x <0 是奇函数，则a ＋b ＝________. 7．(2011·咸阳月考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1 ，则m 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________． 三、解答题(共38分) 9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式． 10．(12分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3) (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域． 11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 答案 自主梳理 1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f(x ) 2．(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3．(1)f(x ) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测 1．B [因为f(x )为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，m ＝2.] 2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．] 3．A [由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．] 4．C [f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.] 5．－1 解析 ∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0， ∴a ＝－1.代入检验f(x)＝x x 1 2-是奇函数，故a ＝－1. 课堂活动区 例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法． (1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)． (2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x )为偶函数． (3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性． 解 (1)定义域要求 x x +-11≥0且x ≠－1， ∴－1 (2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f(－x )＝－x )21121 ( +--x ＝－x )21212(+-x x ＝)2 1 122(--x x x ＝)2 1 121(+-x x ＝f(x)． ∴f(x )是偶函数． (3)函数定义域为R . ∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1) ＝log 21 x ＋x 2 ＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1) ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数． (4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当x <0时，－x >0，则 f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则 f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )． ∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数． 变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)由? ???? 4－x 2 ≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]． ∴定义域关于原点对称， 又f (x )＝4－x 2x ，f (－x )＝－4－x 2 x ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数． 例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”． 在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反． 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 且由f (1)＝0得f (－1)＝0. 若f [x (x －1 2)]<0＝f (1)， 则? ?? x (x －12)>0 x (x －1 2 )<1 即0 2)<1， 解得1 2 若f [x (x －1 2 )]<0＝f (－1)，则 ??? x (x －12 )<0 x (x －1 2)<－1 由x (x －1 2 )<－1，解得x ∈?. ∴原不等式的解集是 {x |1 2 3 ) 解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0，等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，此时应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2， 此时，只需? ???? h (－2)<0h (2)<0即可，解得x ∈(－2，2 3)． 例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性 质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决． －8 解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1 变式迁移3 B [∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x ＋1)＝f (1－x )． ∴x ＝1为函数f (x )的一条对称轴． 又f (x ＋2)＝f [2－(x ＋2)] ＝f (－x )＝f (x )， ∴2是函数f (x )的一个周期． 根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图： 由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．] 课后练习区 1．B [依题意得????? a －1＝－2a b ＝0，∴????? a ＝13 b ＝0 ， ∴a ＋b ＝1 3 .] 2．D [由已知条件，可得函数f (x )的图象大致为右图，故f (x ) x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．] 3．D [由f (x ＋2)＝－1 f (x )， 得f (x ＋4)＝－1 f (x ＋2) ＝f (x )，那么f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数， 则f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2， ∴f (1.5)＝－0.5.由上知：f (6.5)＝－0.5.] 4．D [因为奇函数f (x )在x ＝0有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1. ∴f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝3， 从而f (－1)＝－f (1)＝－3.] 5．A [由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)． 又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数， ∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)．] 6．1 解析 ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1. 7．－1 3 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)． ∵f (x )为奇函数，且f (1)>1， ∴f (－1)＝－f (1)<－1，∴2m －3 m ＋1 <－1. 解得：－1 3 . 8．2 解析 由g (x )＝f (x －1)，得g (－x )＝f (－x －1)， 又g (x )为R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， ∴f (－x －1)＝－f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (－x －1)， 用x ＋1替换x ，得f (x )＝－f (－x －2)． 又f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝－f (x ＋2)． ∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4. ∴f (2 010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2. 9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f (x )＝a (x －5)2＋3， ∵f (6)＝2，∴2＝a (6－5)2＋3.∴a ＝－1. ∴f (x )＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．…………………………………………………………(3分) ∴f (3)＝－(3－5)2＋3＝－1. 又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0. ∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点． ∴f (x )＝－1 3 x (0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(6分) 当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]， ∴f (－x )＝－13(－x )＝1 3 x . 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－1 3 x . ∴f (x )＝－1 3 x (－3≤x ≤3)．………………………………………………………………(9分) 当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6， ∴f (－x )＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3. 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝(x ＋5)2－3. ∴f (x )＝ ????? (x ＋5)2－3， －6≤x ≤－3， －1 3x －3 ＋3， 3≤x ≤6. 10．解 (1)f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1 ＝x 2－2|x |－1＝f (x )， 即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．………………………………………………………(2分) (2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2， 即f (x )＝? ???? (x －1)2 －2， x ≥0， (x ＋1)2 －2， x <0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图． ……………………………………(6 分) (3)由(2)中函数图象可知，函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]． f (x )在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………(8分) (4)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2； 当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2； 故函数f (x )的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(12分) 11．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．…………………………………………………………………………(2分) 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )， 若x ＝±1时，则f (－1)＋f (1)＝2≠0； ∴f (－1)≠－f (1)，又f (－1)≠f (1) ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分) 综上所述，当a ＝0时，f (x )为偶函数； 当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分) (2)设2≤x 1 f (x 1)－f (x 2)＝x 21 ＋a x 1－x 2 2－a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2 )－a ]，………………………………………………………………(10 分) 要使f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立． ∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4，即a ∴a 的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分) 1.3.2 函数的奇偶性 教材分析： 函数的奇偶性选自人教版高中新课程教材必修1第一章第三节《函数的基本性质》的内容，本节安排为二课时，《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。 从在教材中的地位与作用来看，函数是高中数学学习中的重点和难点，函数的思想贯穿整个高中数学。而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与现实生活中的对称性密切联系，为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。因此，本节课的内容是十分重要的。 学情分析： 授课对象为xxxx中学高一（x）班的学生，从学生现有的学习能力来看，学生已具有一定的分析问题和解决问题的能力，能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想，使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。教学目标： 1、知识与技能目标： 通过本节课，学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义，掌握判别函数奇偶性的方法。 2、过程与方法目标： 通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。 3、情感态度与价值观目标： 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、概括的能力，使学生养成善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 教学重难点： 重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。 难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。 教法分析： 为了实现本节课的教学目标，在教法上，我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境，启发学生自主思考，归纳共同点，从而调动学生主体参与的积极性。 在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念，在给出偶函数的定义之后，让学生类比得出奇函数的定义。 教学过程： 一、知识回顾 平面直角坐标系中的任意一点Ｐ（a,b)关于Ｘ轴、Ｙ轴及原点对称的点的坐标各是什么？ （1）点Ｐ（a, b)关于x轴的对称点的坐标为Ｐ（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数； （2）点Ｐ（a, b)关于y轴的对称点的坐标为Ｐ（- a, b) ,其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）点Ｐ（a, b) 关于原点对称点的坐标为Ｐ（-a,-b) ,其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数． 二、新课教学 （一）偶函数 学习过程 一、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用 二、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个． 考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 三、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 . 【解析】(1)由1－x 1＋x >0?－1 一、复习引入 1、函数的单调性、最值 2、函数的奇偶性 （1）奇函数 （2）偶函数 （3）与图象对称性的关系 （4）说明（定义域的要求） 二、例题分析 例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数 （1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(= （3）||2)(x x f = （4）2)1()(-=x x f 例2、证明函数x x x f 5)(3+=在R 上是奇函数。 例3、试判断下列函数的奇偶性 （1）x x x x u -+-=11)1()( （2）22(1), 0()0, 0(1), x x x g x x x x x ?- >?==??-+ 例4、设3()1f x ax bx =++，且0)2(=f ，求)2(-f 的值。 三、随堂练习 1、函数5)(2+=x x f 、 A 是奇函数但不是偶函数 、 B 是偶函数但不是奇函数 、 C 既是奇函数又是偶函数 、 D 既不是奇函数又不是偶函数 2、下列4个判断中，正确的是_______. （1）1)(=x f 既是奇函数又是偶函数； （2）1 )(2--=x x x x f 是奇函数 （3）x x x x f -+? -=11)1()(是偶函数； （4）12)(2+-=x x x f 是非奇非偶函数 3、函数x x x f 2)(2+=的图象是否关于某直线对称？它是否为偶函数？ 4、证明函数x x x f -=3 )(在R 上是奇函数。 5、判断下列函数的奇偶性 (1)1()f x x x =+ (2)421()x f x x -= 四、回顾小结 1、判断函数奇偶性。 2、证明一些简单函数的奇偶性。 课后作业 班级：高一（ ）班 姓名__________ 一、基础题 1、若函数(]2,1,)(2 ∈=x x x f ，则下列说法中，正确的是______。 （1）奇函数 （2）偶函数 （3）既是奇函数又是偶函数 （4）既不是奇函数也不是偶函数 2、函数3x y =的奇偶性是_______，它的图象关于_______对称。 3、设函数x x f -= )(，则)(x f 的奇偶性是___________。 4、设函数22)(-+-=x x x f ，则)(x f 的奇偶性是___________。 5、设)(x f 在[]5,5-上是偶函数，则)2(-f 与)2(f 的大小关系是___________。 二、提高题 6、已知函数)2)(1()(+-=x x x f 。 （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出其定义域、值域、奇偶性、单调区间。 7、已知函数12)(2 --=x x x f ，试判断函数)(x f 的奇偶性，并画出函数的图象。 1.3.2奇偶性 【学习目标导航】 1．结合具体函数，了解奇函数，偶函数的定义． 2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系． 3．会利用函数的奇偶性解决简单问题． 【学习重、难点】 1．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点) 2．函数奇偶性的应用．(难点) 【问题提出导入新知】 1.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题： （1）f (x)＝x2（2）g(x)＝|x| （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）关于y轴对称的点的坐标有什么关系吗？ （3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于y轴的对称点(—x, f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？ )= ；)= 这时我们称函数f (x)＝x2与g(x)＝|x|为偶函数。 （5）偶函数的定义：如果对于函数f (x)的，都有，那么函数f (x)就叫做偶函数。 偶函数的图象特征：图象关于对称。 2.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题： 1 （1）f (x)＝x（2）g(x)＝ x （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）关于原点对称的点的坐标有什么关系吗？ （3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于原点的对称点(—x, —f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？ 对于R 内的任意的一个x ，都有f (—x )= ；g (—x )= 这时我们称函数f (x )＝x 与g (x )＝ x 1 为奇函数。 （5）奇函数的定义：如果对于函数f (x )的 ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数。 奇函数的图象特征：奇函数的图象关于 对称。 3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的单调性，回答下列问题： （1）奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意的x ”中的“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ （2）－x 与x 两个数在数轴上所表示的点有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 得出结论： (3)如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，能否判断它的奇偶性？ 得出结论： (4)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 得出结论： 【典例分析】 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝x ＋x 3＋x 5； (2) f (x )＝x 2＋1； (3) f (x )＝x ＋1； (4) f (x )＝x 2，x ∈[－1, 3]； (5) f (x )＝0； (6) f (x )＝5. （注意：既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0常函数. 前提是定义域关于原点对称）. 【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)先求定义域，看是否关于原点对称； (2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能： 。 【活学活用1】判断下列函数的奇偶性： (2) f(x)=2x 4+3x 2； (5) f(x)=x 3+2x ； (6)2 211)(x x x f -+-= 【思考】讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性。 (3)()f x =(4)()f x = 1(1)()f x x x =- 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ． 《函数的奇偶性》教案 一、教材分析 “奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。 函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手，体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。尝试画出和的图像，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，奇偶性既是函数概念的拓展和深入，又是为以后学习基本初等函数奠定了基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。 二、学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，上节课学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。 三、教学目标 【知识与技能】 1．理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义； 2．能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性，学会函数的应用。 【过程与方法】 通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。 【情感、态度与价值观】 1.在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力； 2.通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。 四、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和函数图像的特征。 难点：利用函数奇偶性的概念和图像的对称性，证明或判断函数的奇偶性。 五、教学方法 引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件。 七、教学过程 （一）情境导入、观察图像 出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。 师：“同学们，这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体，你能说出它们有什么特点吗？” 生：“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。” 师：“是的，而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像，首先我们来尝试画一下和的图像，并一起探究几个问题。” （二）探究新知、形成概念 探究1．观察下列两个函数和的图象，它们有什么共同特征吗？ 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1 2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域， 第二章 函数 第4.1节 函数的奇偶性导学案 （1）掌握函数奇偶性的性质 （2）会判断函数的奇偶性 （1）一般地，设函数f （x ）的定义域是A ,如果当x A ∈时，有 x A -∈，且f(-x)=-f(x)，那么称函数f （x ）为______函数.奇函数的图象关于____对称。 (2) 设函数f(x)的定义域是A ,如果当x A ∈时，有x A -∈,且f(-x)=f(x),那么称函数f （x ）为_____函数.偶函数的图象关于_______对称 1．若函数f （x ）（f （x ）≠0）为奇函数，则必有（ ） A ．f （x ）?f （﹣x ）＞0 B ．f （x ）?f （﹣x ）＜0 C ．f （x ）＜f （﹣x ） D ．f （x ）＞f （﹣x ） 2．已知函数f （x ）＝ax 2﹣bx ﹣3a ﹣b 是偶函数，且其定义域为[1﹣a ，2a ]，则（ ） A ．，b ＝0 B ．a ＝﹣1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝1 D ．，b ＝﹣1 3．已知函数f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，且2x +1＝f （x ）+g （x ），则g （1）＝（ ） A ． B ．2 C ． D ．4 4．已知函数y ＝f （x ）的图象关于原点对称，当x ＜0时，f （x ）＝x （1﹣x ），则当x ＞0时，函数f （x ）＝ x （1+x ） ． 1．下列函数在定义域内是奇函数的是（ ） A ．y ＝﹣x 2 B ．y ＝x +1 C ．y ＝x ﹣2 D ． 2．下列是偶函数的是（ ） A ．f （x ）＝x 3﹣ B ．f （x ）＝ C ．f （x ）＝（x +1） D ．f （x ）＝|2x +5|+|2x ﹣5| 3．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝x 3﹣2x 2，则f 2.1.4《函数的奇偶性》 一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 函数的奇偶性是普通高中标准实验教科书数学必修一B版第二章函数的第4小节，函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称感受奇函数和偶函数的图像特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。从知识结构上，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础。起着承上启下的作用。 （二）学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． （三）教学目标 基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】 1．理解函数奇偶性的概念和图象特征。 2．能判断一些简单函数的奇偶性。 【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。 （四）教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。 “函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。 难点：对函数奇偶性概念理解与认识。 二、教法与学法分析 （一）教法 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主 1.3.2《函数的奇偶性》教学设计 一、教材分析 “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。 二、学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。 三、教学目标 【知识与技能】1．能判断一些简单函数的奇偶性。2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。 四、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和几何意义。难点：判断函数奇偶性的方法和格式。 五、教学方法 引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件 七、教学过程 （一）设疑导入、观图激趣：出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。 3.2.2 奇偶性 【学习目标】 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法 2.了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题 【重点】函数的奇偶性的概念与判定 【难点】函数奇偶性的应用 【新知探究】 偶函数、奇函数的概念. 一 偶函数的概念 在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数f (x )=x 2的图象 观察函数2)(x x f =和x x f -=2)(的图象，思考并讨论以下问题： 思考1：这两个函数图象有什么共同特征？ 思考2：相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ 偶函数定义： . 1.判断下列函数是否是偶函数 2. 如何理解“I x I x I ∈-∈?都有，定义域为,”？ 总结： 二 奇函数的概念 画出函数x x f =)(和 1 ( )f x x =的图象，思考并讨论以下问题： 1. 列表 2. 画图 观察两个函数的图象，思考并讨论以下问题： 思考1：这两个函数图象有什么共同特征？ 思考2：相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ 思考：奇函数的图象有什么特征？ 形： 数： 奇函数定义： . 形： 数： 【典型例题】 例1 判断下列函数的奇偶性 总结：定义法判断函数奇偶性的基本步骤： 跟踪训练： 判断下列函数的奇偶性 （1） （2） 总结：根据奇偶性将函数分类 思考： （1）判断函数3 ()f x x x =+的奇偶性？ （2）已知函数3()f x x x =+图象的一部分，你能画出剩余部分吗？ （3）一般地，如果知道函数的奇偶性，那么我们可以怎样简化对它的研究？ 跟踪训练： 1. 已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整。 2. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+，求(3)f -的值. 【课堂小结】 (1)()(2)()(3)()0 (4)() f x f x x f x f x x == =1 (1)()(2)()(3)()0(4)()f x x f x x f x f x x ====4 5 2 (1)()(2)()1 1 (3)()(4)()f x x f x x f x x f x x x ===+ = 1.2.11 函数奇偶性的运用 【学习目标】 1.会利用奇（偶）函数的图象特征、代数特征研究函数的解析式、函数值和单调性； 2.进一步体会数形结合、化归与转化、类比等数学思想． 【学习重点】利用函数的奇偶性研究函数的解析式、函数值和单调性． 【难点提示】函数奇偶性的综合运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3336P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.知识梳理：为了进一步研究函数奇偶性的应用，请思考以下问题． （1）函数奇偶性的种类有 ； （2）奇函数图象特征是 ，代数特征是 ； （3）偶函数图象特征是 ，代数特征是 ． （4）奇（偶）函数的定义域特点是 ． 2.方法梳理：（1）函数奇偶性的判断方法有 、入手点 ； （2）函数奇偶性的价值在： （链接1）. 二、探究新知 1. 观察思考 已知奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增函数，请画出其示意图． （1）根据奇函数的图象特征，你能判断出函数)(x f y =在区间()a b --,上的单调性吗？ （2）你能用单调性的定义对你的判断给出严格的证明吗？ （3）你能总结出“奇函数与单调性的关系”的一般结论吗？ （4）若函数)(x f y =是偶函数呢？你能给出类似于奇函数与单调性的关系的结论吗？ ２.归纳概括 通过对以上问题的探究，请填空． （1）奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ； （2）偶函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ． ●想一想：能否用更简炼的语言概括出以上结论？从上可归纳出函数的单调性与奇偶性 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1 2.1.4函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数奇偶性的定义及其图象特征。 2.能根据定义判断函数的奇偶性。 3.结合函数的奇偶性研究函数的其他性质。 【自主学习】 1.作出函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象，观察图象的对称性。 1s：列表 2s：描点作图 由图象可知，() =的图象关于对称，用式子可表达 y f x 为。 =的图象关于对称，用式子可表达为。 () y g x 2. 设函数() =的定义域为D， y f x 则这个函数叫偶函数。偶函数的图象 是。 设函数() =的定义域为D， y g x 则这个函数叫奇函数。奇函数的图象 是。 3. 函数根据奇偶性可分成四 类：。 跟踪1：判断下列函数的奇偶性 ①53 f x x =+ ()1 f x x x x () =++②2 ③()1f x x =+ ④2(),[1,3]f x x x =∈- 跟踪2：研究函数21 y x =的性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）并作出图象 跟踪3：课本49页练习A 1. 2. 3. 4. 5. 【典例示范】 例1.判断函数的奇偶性 ① ()f x ②()f x = ③()22f x x x =+-- ④2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ?++? 总结提高： 判断函数奇偶性的步骤是： 例2.已知函数()f x 对任意实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断函数的奇偶性 例3：已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，求0x <时函数的解析式 【巩固拓展】 课题：函数的奇偶性的教学设计（一） [任务分析] “函数的奇偶性”是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的对称性。利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。函数的奇偶性也是今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等式问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。 [方法简述] 本节课有着丰富的内涵，是继函数单调性以后的又一个重要性质。教法上本着“以教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题导引，分析、比较，自主探究，讲练结合”的教学方法。通过复习提问呈上其下的引入，通过观察图像，从具体到抽象的引入，通过与单调性研究方法的的类比的引入，使学生对函数的奇偶性先有了一定的感性认识；通过设置一条问题链，采用多角度的，启发式的，学生积极参与的，有思想交锋的方式，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。 [目标定位] 数学教学不仅仅是知识的教学、技能的训练，更应使学生的能力得到提高。本节课应使学生掌握函数奇偶性的定义，会用定义判断简单函数的奇偶性。在学生经历函数奇偶性的探究和应用过程中，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法， 进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。在教学中，重点应为理解函数奇偶性概念的本质特征；掌握函数奇偶性的判别方法。对高一学生来说，由于初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清代数形式证明的意义和必要性。因此教学难点是有关偶函数问题的证明，与培养驾驭知识、解决问题的能力。突出重点、突破难点的关键是设计有一定思维含量的问题与实例，引导学生思考、分析讨论，加深学生对函数奇偶性的认识与应用。结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生的感性认识提高到理性认识。[课堂设计] 一、复习旧知、引入定义 基于学生前面已经学习过函数的单调性，先从复习函数单调性入手。 问题1：回顾上一节课如何定义增函数、减函数？试举例说明。 由学生回答，学生应该容易得出定义， 单调增、减函数（定义略） 并能举出一些常见的单调函数，如一次函数，三次函数。 设计意图：从学生已学过的函数单调性复习引入，因为函数的单调性的定义是学生 第一次接触用函数的对应关系的性质来刻画函数的性质，他不同于初中是通过图像看性质。学生在复习中体验用代数手段刻画函数性质的方法,为后面用函数对应关系来刻画函数的奇偶性做好准备。为突破难点奠定基础。 问题2：判断下列两函数在其定义域内单调性如何？ 反比例函数x x f 1)(= 二次函数1)(2+=x x f 设计意图：让学生注意函数的单调性要分区间讨论。对于同一函数而言，不同的区 函数的奇偶性与周期性 考点梳理 一、函数的奇偶性 （探究：奇、偶函数的定义域有何特点？若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，反之，若函数的定义域不关于原点对称，则函数无奇偶性。） 二、奇、偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、在公共定义域内， （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数。（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。 （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0。 （探究：若f(x)是偶函数且在x=0处有定义，是否有f(x)=0?不一定， 如f(x)= 21x +，而f(0)=1。） 三、函数的周期性 一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 （探究：若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x)，那么函数f(x)是周期函数吗？ 是周期函数，()()(),(2)() (2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴ += 是偶函数， 又所以是以为周期的函数） 例题解析 要点1：函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般方法 （1）首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，否则，既不是奇函数也不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断： ()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=?-=?为偶函数， 为奇函数。 ②等价形式判断： 1 1. 3.2函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 2 ()f x x = ()||1f x x =- 21 ()x x x = 通过讨论归纳：函数2 ()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数2 1 ()f x x = 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数 2 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3．具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例1．判断下列函数是否是偶函数． （1）2 ()[1,2]f x x x =∈- （2）32()1x x f x x -=- 解：函数2 (),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数32 ()1 x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称． 点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。 变式训练1 （1）、x x x f +=3 )( （2）、1 1 ) 1()(-+-=x x x x f （3）、 2224)(x x x f -+-= 解：（1）、函数的定义域为R ，)()()()(3 3 x f x x x x x f -=--=-+-=- 所以)(x f 为奇函数 （2）、函数的定义域为}11|{-≤>x x x 或，定义域关于原点不对称，所以)(x f 为非奇非偶函数 （3）、函数的定义域为{-2，2},)()(0)(x f x f x f -===-,所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函 数 例2．判断下列函数的奇偶性 （1）4 ()f x x = （2）5 ()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21 ()f x x = 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或． 解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数 点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定()()f x f x -与的关系； ③作出相应结论： 《函数的奇偶性》教案 授课教师 授课时间：授课班级： 教材：广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》（广东高等教育出版社出版） 教材主要特点：这本教材注意与初中有关知识紧密衔接，注重基础，增加弹性，使用教材可以根据有关专业的特点，选用相关的章节，教学要求和练习内容分A、B两档，适应分层教学。练习A的题目主要是基础练习，供全体学生学习，也是最低的要求；练习B的题目为拓展延伸的练习，供学有余力并且准备进一步深造的学生学习。 教学要求：教师在授课时主要是探究用奇、偶函数的定义判断函数的奇、偶性，奇、偶函数的性质（课本不要求证明）是作为拓展延伸的内容，以学生自学为主，教师适当给予辅导。教材已经分层编写，有利于实施分层教学时可以不分班教学。 任教班级特点：会计072班共有学生62人，男生6人，女生56人。学生数学平均入学成绩为58.3分，上课纪律良好，学生上课注意力比较集中，使用了这本教材后，绝大多数学生喜欢学数学，学生的学习成绩越来越好。 教学目标 知识与技能目标：使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法，培养学生判断、推理的能力。 过程与方法目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想 情感、态度、价值观目标：通过数学的对称美来陶冶学生的情操.使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。 教 学重点 用定义判断函数的奇偶性. 教 学难点 弄清的关系. 教 学手段 多媒体辅助教学(展示较多的函数图像) 【教学过程】： 一、创设情境，引入新课 [设计意图：从生活中的实例出发，从感性认识入手，为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备] 对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象．如美丽的蝴蝶是左右对称的（轴对称）。现实生活中有许多以对称形式呈现的事物，如汽车的车前灯、音响中的音箱，汉字中也有诸如“双”、“林”等对称形式的字体，这些都给以对称的感觉。函数里也有这样的现象。 提出问题让学生回答：1、中心对称图形的概念（提醒学生：中心对称——图函数的奇偶性试讲教案
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