函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力

1、周期函数的定义：

对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期。

分段函数的周期：设)(xfy是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(xfy

abTbax,,。把)()(abKKTxxfy轴平移沿个单位即按向量)()0,(xfykTa平移，即得在其他周期的图像：bkTakTxkTxfy,),(。

bkTa,kT x)(ba, x )()(kTxfxfxf

2、奇偶函数：

设baabxbaxxfy,,,),(或

①若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf

②若为偶函数则称)()()(xfyxfxf。

分段函数的奇偶性

3、函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

①点对称；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA

②对称；关于与点),(),(),(baybxaBybxaA

③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy

④成中心对称；关于点与函数),()()(baxafybxafyb

⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF

（2）轴对称：对称轴方程为：0CByAx。

①))(2,)(2(),(),(2222//BACByAxByBACByAxAxByxByxA与点关于

直线成轴对称；0CByAx

②函数))(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy与关于直线

0CByAx成轴对称。

③0))(2,)(2(0),(2222BACByAxByBACByAxAxFyxF与关于直线

0CByAx成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论

（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）

若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、)()(xbfxaf )(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称

推论1：)()(xafxaf )(xfy的图象关于直线ax对称

推论2、)2()(xafxf )(xfy的图象关于直线ax对称

推论3、)2()(xafxf )(xfy的图象关于直线ax对称

2、cxbfxaf2)()( )(xfy的图象关于点),2(cba对称

推论1、bxafxaf2)()( )(xfy的图象关于点),(ba对称

推论2、bxafxf2)2()( )(xfy的图象关于点),(ba对称

推论3、bxafxf2)2()( )(xfy的图象关于点),(ba对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数)(xfy与)(xfy图象关于Y轴对称

2、奇函数)(xfy与)(xfy图象关于原点对称函数

3、函数)(xfy与()yfx图象关于X轴对称

4、互为反函数)(xfy与函数1()yfx图象关于直线yx对称

5.函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称

推论1:函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0x对称

推论2:函数)(xfy与)2(xafy 图象关于直线ax对称

推论3:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称

（三）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)

性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)

易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性

定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。

定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。

说明：

（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。

（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)

（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）

3、复合函数的对称性

性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称

性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称

推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称

推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称

4、函数的周期性

若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)

③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)

5、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|

6、函数对称性的应用

（1）若kyyhxxkhxfy2,2),)(//对称，则关于点（,即

kxhfxfxfxf2)2()()()(/

nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121

（2）例题

1、1)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（;

2)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（

1)1()2121)0,(11)(xfxfxRxxf（）对称：，关于（

2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(xfxf。

3、若)(),()()2()(xfyxafxafxafxf则或的图像关于直线ax对称。设个不同的实数根，则有nxf0)(

naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121.

),212(111axxaxkn时，必有当

（四）常用函数的对称性

三、函数周期性的几个重要结论

1、()()fxTfx( 0T) )(xfy的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期

2、()()fxafxb )(xfy的周期为abT

3、)()(xfaxf )(xfy的周期为aT2

4、)(1)(xfaxf )(xfy的周期为aT2

5、)(1)(xfaxf )(xfy的周期为aT2

6、)(1)(1)(xfxfaxf

)(xfy的周期为aT3

7、 1)(1)(xfaxf )(xfy的周期为aT2

8、)(1)(1)(xfxfaxf )(xfy的周期为aT4

9、)()()2(xfaxfaxf )(xfy的周期为aT6

10、若.2 , )2()(,0pTppxfpxfp则

11、)(xfy有两条对称轴ax和bx ()ba)(xfy 周期)(2abT

推论：偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy 周期aT2

12、)(xfy有两个对称中心)0,(a和)0,(b ()ba )(xfy 周期)(2abT

推论：奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy 周期aT4

13、)(xfy有一条对称轴ax和一个对称中心)0,(b()ba()fx的)(4abT

四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型

灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。

1.求函数值

例1.（1996年高考题）设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当10x时，xxf)(，则)5.7(f等于（-0.5）