专题2 函数与导数(五)-2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义

函数与导数（五）

热点一 导数的几何意义

1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．

例1 (1)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )

A ．y ＝－2x

B ．y ＝－x

C ．y ＝2x

D ．y ＝x (2)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋2)的切线，则实数b ＝_____. 及时归纳 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．

(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．

跟踪演练1 (1)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．

(2)若函数f (x )＝ln x (x >0)与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( ) A.????ln 1

2e ，＋∞ B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(－ln 2，＋∞) 热点二 利用导数研究函数的单调性

1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.

2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性． 例2 已知函数f (x )＝2e x －kx －2. (1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)内的单调性；

(2)若存在正数m ，对于任意的x ∈(0，m )，不等式|f (x )|>2x 恒成立，求正实数k 的取值范围． 及时归纳 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f ′(x )．

(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0即可；

②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．

跟踪演练2 (1)已知f (x )＝()x 2＋2ax ln x －1

2x 2－2ax 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取

值范围是( )

A ．{1}

B ．{－1}

C ．(0,1]

D ．[－1,0) (2)已知定义在R 上的偶函数f (x )(函数f (x )的导函数为f ′(x ))满足f ????x －1

2＋f (x ＋1)＝0， e 3f (2 018)＝1，若f (x )>f ′(－x )，则关于x 的不等式f (x ＋2)>1

e x 的解集为( )

A ．(－∞，3)

B ．(3，＋∞)

C ．(－∞，0)

D ．(0，＋∞) 热点三 利用导数求函数的极值、最值

1．若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．

2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．

例3 (2018·北京)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．

及时归纳 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．

(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．

(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．

跟踪演练3 已知f (x )＝????e ＋1e ln x ＋1

x －x .(1)求函数f (x )的极值；(2)设g (x )＝ln(x ＋1)－ax ＋e x ，对于任意x 1∈[0，＋∞)，x 2∈[1，＋∞)，总有g (x 1)≥e

2

f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．

课时作业

1.

已知函数x

y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，则m 的取值可以是（ ） A. －1 B. 1

C. 2

D. 3

2.

已知函数f (x )的导函数为()f x '，()()0xf x f x '->对()0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A.

()

()f f e e

ππ

>

B.

()

()f f e e

ππ

<

C. ()()f f e π>

D. ()()f

f e π<

3.

已知函数()3

2

2

f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a =（ ）

A. 4或－3

B. －4或3

C. －3

D. 4

4.

已知函数2

()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ?∈，

12,(0,)x x e ?∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）

A. 16,e e ?? ???

B. 74

1,e e ??????

C. 74

160,,e e e ????

?? ???

??

D.

74

6,e e ??????

5.

已知函数()()3

21ln 2

f x x x ax ax a R =+

-∈. （1）当0a =时，求f (x )的最值；

（2）若函数()()

f x

g x x

=

存在两个极值点()1212,x x x x ≠，求()()12g x g x +的取值范围. 6.

已知函数3()f x x x

=-

． （1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；

（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 7.

已知函数()3

2

9f x x mx x n =+++在1x =处取得极值，且()02f =.

（1）求实数m ，n 的值；

（2）求函数f (x )的极大值和极小值. 8.

已知函数(1)(1)

()2ln x mx f x x x

-+=-

．

（Ⅰ）当1m =时，试判断f (x )零点的个数； （Ⅱ）若1x ≥时，()0f x ≤，求m 的取值范围．

函数与导数（五）答案

热点一 导数的几何意义 例1 (1)答案 D

解析 方法一 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.

方法二 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数，∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D. (2)答案 ln 2

解析 设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋1和曲线y ＝ln(x ＋2)的切点分别为(x 1，ln x 1＋1)，(x 2，ln(x 2＋2))．∵直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋2)的切线， ∴1x 1＝1x 2＋2，即x 1－x 2＝2.∴切线方程为y －(ln x 1＋1)＝1x 1(x －x 1)，即为y ＝x x 1＋ln x 1或y －ln(x 2

＋2)＝1x 2＋2(x －x 2)，即为y ＝x x 1＋2－x 1x 1＋ln x 1，∴2－x 1x 1＝0，则x 1＝2，∴b ＝ln 2.

跟踪演练1 (1)答案 2x －y ＝0

解析 ∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2

x ＋1.令x ＝0，得y ′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为

2，又切线过点(0,0)，∴切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. (2)答案 A

解析 设公切线与函数f (x )＝ln x 切于点A (x 1，ln x 1)(x 1>0)，则切线方程为y －ln x 1＝1

x 1

(x

－x 1)．设公切线与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a 切于点B (x 2，x 22＋2x 2＋a )(x 2

<0)，则切线方程为y －(x 22＋2x 2＋a )＝2(x 2＋1)(x －x 2)，∴?????

1x 1＝2(x 2＋1)，ln x 1－1＝－x 22＋a ，∵x 2<0

<2.又a ＝ln x 1

＋????12x 1－12－1＝－ln 1x 1＋14????1x 1－22－1，令t ＝1x 1，∴0

4t 2－t －ln t (0

<0，∴h (t )在(0,2)上为减函数，则h (t )>h (2)

＝－ln 2－1＝ln

1

2e

，∴a ∈????ln 12e ，＋∞. 热点二 利用导数研究函数的单调性

例2 解 (1)由题意得f ′(x )＝2e x －k ，x ∈(0，＋∞)，因为x >0，所以2e x >2.当k ≤2时，f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增．当k >2时，由f ′(x )>0得x >ln k

2，此时f (x )单调递增；

由f ′(x )<0得0

2，此时f (x )单调递减．综上，当k ≤2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；

当k >2时，f (x )在????0，ln k 2内单调递减，在???

?ln k

2，＋∞内单调递增． (2)①当00.这时|f (x )|>2x 可化为f (x )>2x ，即2e x －(k ＋2)x －2>0.设g (x )＝2e x －(k ＋2)x －2， 则g ′(x )＝2e x －(k ＋2)，令g ′(x )＝0，得x ＝ln k ＋22>0，所以g (x )在????

0，ln k ＋22内单调递减，

且g (0)＝0，所以当x ∈?

???

0，ln k ＋22时，g (x )<0，不符合题意．

②当k >2时，由(1)可得f (x )在????0，ln k

2内单调递减，且f (0)＝0，所以存在x 0>0，使得对于任意的x ∈(0，x 0)都有f (x )<0.这时|f (x )|>2x 可化为－f (x )>2x ，即－2e x ＋()k －2x ＋2>0. 设h (x )＝－2e x ＋()k －2x ＋2，则h ′(x )＝－2e x ＋()k －2.

(ⅰ)若2

(ⅱ)若k >4，令h ′(x )>0，得x

???

0，ln k －22内单调递增，且h (0)＝0，

所以对于任意的x ∈????0，ln k －22，都有h (x )>0，此时取m ＝min ?

?????

x 0，ln

k －22，则对于任意的x ∈(0，m )，不等式|f (x )|>2x 恒成立．综上可得k 的取值范围为()4，＋∞. 跟踪演练2 (1)答案 B

解析 f (x )＝()x 2＋2ax ln x －1

2

x 2－2ax ，f ′(x )＝2(x ＋a )ln x ，∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，

∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x ＝1时，f ′(x )＝0满足题意，当x >1时，ln x >0，要使f ′(x )≥0恒成立，则x ＋a ≥0恒成立．∵x ＋a >1＋a ，∴1＋a ≥0，解得a ≥－1，当0

解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )，f ′(x )＝[]f (－x )′＝－f ′(－x )，∴f ′(－x )＝－f ′(x )，f (x )>f ′(－x )＝－f ′(x )，即f (x )＋f ′(x )>0，设g (x )＝e x f (x )，则[]e x f (x )′＝e x []f (x )＋f ′(x )>0， ∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，由f ????x －12＋f (x ＋1)＝0，得f (x )＋f ????x ＋32＝0，f ????x ＋3

2＋f ()x ＋3＝0，相减可得f (x )＝f ()x ＋3，f (x )的周期为3，∴e 3f ()2 018＝e 3f (2)＝1，g (2)＝e 2f (2)＝1e ，f (x ＋2)>1e x ，结合f (x )的周期为3可化为e x －

1f (x －1)>1e ＝e 2f (2)，g (x －1)>g (2)，x －1>2，x >3，

∴不等式的解集为()3，＋∞，故选B. 热点三 利用导数求函数的极值、最值

例3 解 (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.

(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈????1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤1

2，则当x ∈(0,2)时，x

－2<0，ax －1≤1

2x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范

围是????12，＋∞.

跟踪演练3 解 (1)f ′(x )＝e ＋1e x －1x 2－1＝－()x －e ????x －1

e x 2

，令f ′(x )＝0，可得x ＝1

e 或x ＝e.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：

所以f (x )的极小值为f ????1e ＝－2e ，极大值为f (e)＝2

e

. (2)由(1)可知，当x ∈[1，＋∞)时，函数f (x )的最大值为2

e ，对于任意x 1∈[0，＋∞)，x 2∈[1，

＋∞)，总有g (x 1)≥e

2f (x 2)成立，等价于对于任意x ∈[0，＋∞)，g (x )≥1恒成立，g ′(x )＝e x

＋

1

x ＋1

－a (x ≥0)， ①当a ≤2时，因为e x ≥x ＋1，所以g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a ≥x ＋1＋1

x ＋1－a ≥2－a ≥0，

即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (0)＝1恒成立，符合题意．

②当a >2时，设h (x )＝e x

＋1x ＋1－a (x ≥0)，h ′(x )＝e x

－1(x ＋1)2＝(x ＋1)2e x －1(x ＋1)2

≥0，

所以g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，且g ′(0)＝2－a <0，则存在x 0∈(0，＋∞)，

使得g ′(x 0)＝0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，又g (x 0)

课时作业

1.BCD 【分析】

将函数x

y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，转化为函数()2x

f x me x m =--有

两个零点，导函数为()1x

f x me '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在R 上

单调递减，不可能有两个零点；当0m >时，令()0f x '=，可得ln x m =-，函数在

(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增，()f x 的最小值为

()ln 1ln 2f m m m -=+-，再令()ln 0f m -<求解即可.

【详解】因为函数x

y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，

所以函数()2x

f x me x m =--有两个零点，

求导得：()1x

f x me '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，

所以函数()f x 在R 上单调递减，不可能有两个零点； 当0m >时，令()0f x '=，可得ln x m =-，

当(),ln ∈-∞-x m 时，()0f x '<，当()ln ,x m ∈-+∞时，()0f x '>， 所以函数在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()ln 1ln 2f m m m -=+-. 令()()1ln 20g m m m m =+->，则()1

2g m m

'=

-， 当10,2x ??∈ ???时，()0g m '>，当1,2x ??

∈+∞ ???

时，()0g m '<，

所以()g m 在10,2?

? ???上单调递增，在1,2??

+∞

???

上单调递减. 所以()max 1ln 202g m g ??

==-<

???

， 所以()f x 的最小值()ln 0f m -<，

则m 的取值范围是()0,∞+. 所以m 可以取 1，2，3. 故选：BCD

【点睛】本题主要考查导数在函数的零点中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 2.A 【分析】

构造函数()()f x g x x =，求导()()()2

f x xf x f x x x ''-??=????，由()()0xf x f x '->，得()f x y x

=

在()0,∞+上单调递增，再根据e π<求解.

【详解】令()()f x g x x

=

因为()()()2

f x xf x f x x x ''-??=????

，且()()0xf x f x '->， 所以()f x y x

=

在()0,∞+上单调递增，

因为e π<，

所以

()

()f f e e

ππ

>. 故选：A

【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了构造函数的方法，属于中档

3.D 【分析】

根据函数()f x 在1x =处取得极值10，得()()'10

110

f f ?=??=??，由此求得,a b 的值，再验证,a b 是

否符合题意即可.

【详解】函数

1,)+∞（在1x =处取得极值10， 所以()2

'32f x x ax b =++，

且()()2

'1320,1110f a b f a b a =++==+++=，

解得4,11a b ==-或3,3a b =-=，

当3,3a b =-=时，()()2

2'363310f x x x x =-+=-≥， 根据极值的定义知道，此时函数()f x 无极值； 当4,11a b ==-时，()2

'3811f x x x =+-，

令()'0f x =得1x =或11

3

x =-，符合题意； 所以4a =， 故选D.

【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目. 4.D

【分析】

先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.

【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1

ax g x x

='-， 下面讨论()g x 的单调性：

当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减；

当10,a e ??∈ ???

时，()0,x e ∈时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减；

当1a e >

时，令()0g x '=，解得1x a

=， 故()g x 在区间10,

a ?

? ??

?单调递减，在区间1,e a ?? ???

上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ??

=+=-

???

，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ??

∈????

；

根据题意，对(0,)x e ?∈，12,(0,)x x e ?∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，

只需()111

,54

g g e a ??<≥

???， 即可得111,154a

lna e

+<

-≥，

解得746,a e e ??∈??

??

故选：D.

【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题. 5.（1）最小值是1

e

-，无最大值；（2）(,3ln 4)-∞--． 【分析】

（1）求出导函数()f x '

，由导函数确定函数的单调性得最值；

（2）求出()g x '，有函数有两个极值点，即方程有两个不等正根，得a 的范围，同时求出

1212,x x x x +，可得12()()()h a g x g x =+，由单调性可得所求取值范围．

【详解】（1）由题意()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，易知1

(0,)x e

∈时，()0f x '<，()f x 递减，1(,)x e

∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．

∴()f x 有极小值1111

()ln f e e e e

=

=-，也是最小值，无最大值． （2）由题意21()ln 2g x x ax ax =+-，211

()ax ax g x ax a x x

-+'=+-=，

()g x 在两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，

∴21240

10

a a x x a ??=->?

?=>??

，∴4a >，121x x =+，12

1x x a =， ∴22

1211122211()()()ln ln 22

h a g x g x x ax ax x ax ax =+=+

-++-

2121212121112ln()[()2]()ln (1)22x x a x x x x a x x a a a a

=++--+=+--1

ln 12a a =---，

显然1

()ln 12

h a a a =-

--是关于a 的减函数， ∴()(4)3ln 4h a h <=--，

∴12()()g x g x +的取值范围是(,3ln 4)-∞--．

【点睛】本题考查导数与函数的最值，考查与函数极值点有关的范围问题，解题时可根据极值点的定义找到极值点与参数a 的关系，把待极值点的问题化为a 的函数，然后利用a 的范围求出结论． 6.（1）7

34

y x =-（2）见解析 【分析】

（1）由导数的几何意义求解即可；

（2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程，求出切线与直线0x =和直线y x =的交点，根据三角形面积公式，即可得出答案. 【详解】（1）31(2)222

f =-

= 2

3()1f x x '=+

，37(2)144

f '

∴=+= 则曲线()y f x =在2x =处的切线方程为17

(2)24y x -

=-，即734

y x =- （2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程为

231()y n x m m ?

?-=+- ???

即2331()y m x m m m ????--

=+- ? ??

???

令0x =，得6y m

=-

令y x =，得2y x m ==

从而切线与直线0x =的交点为60,m ??- ??

?，切线与直线y x =的交点为(2,2)m m

∴点(,)P m n 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积16

|2|62S m m

=

?-?=，为定值.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题. 7.（1）6,2m n =-=；（2）极大值为(1)6f =，极小值为(3)2f =． 【分析】

（1）求出导数()f x '

，由()01f '=和(0)2f =可求得,m n ；

（2）由导数确定函数的单调性，得极值．

【详解】（1）由题意2

()329f x x mx '=++，∴(1)3290f m '=++=，6m =-，

又(0)2f n ==．∴6,2m n =-=；

（2）由（1）32

()692f x x x x =-++，

2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，

当1x <或3x >时()0f x '>，13x <<时，()0f x '<，

∴()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上递增，在(1,3)上递减．

()f x 的极大值为(1)6f =，极小值为(3)2f =．

【点睛】本题考查导数与函数的极值之间的关系，掌握极值的概念和求法是解题关键． 8.（Ⅰ）f (x )有且只有一个零点；（Ⅱ）[1,)+∞． 【分析】

（Ⅰ）求导数判断函数的单调性及(1)0f =即可确定函数的零点；

（Ⅱ）分0m ≤和0m >两种情况，分别判断函数的单调性，根据单调性求函数()f x 的最大值，由max ()0f x ≤求解即可．

【详解】（Ⅰ）当 1 m =时，(1)(1)

()2ln x x f x x x

-+=-

，

2

2

(1)()x f x x

--'=． 所以()0f x '≤，()f x 在(0,)+∞上单调递减，

又(1)0f =，

∴()f x 有且只有一个零点．

（Ⅱ）∵()10f =，22

21

()mx x f x x

-+-'=． （1）当0m ≤时，在[1,)+∞上()0f x '≥恒成立， ∴()f x 在[1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0f x f ≥=，不符合题意．

（2）当0m >时，设2

()21g x mx x =-+-，

当440m ?=-≤即m 1≥时，2

()210g x mx x =-+-≤恒成立，

所以在[1,)+∞上()0f x '

≤恒成立， ∴()f x 在[1,)+∞上单调递减， ∴()(1)0f x f ≤=，符合题意， ∴m 1≥．

当440m ?=->即01m <<时，()0g x =有两不等实根，设为12,x x

因为(1)10g m =->，可知121x x ，

所以()21,x x ∈时()0f x '>，()2,x x ∈+∞时()0f x '< 即()f x 在区间()21,x 上单调递增，()2,x +∞单调递减 所以()2(1)0f x f >=，不符合题意． 综上，m 的取值范围为[1,)+∞．

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，零点，最值，不等式恒成立问题，属于中档题.

2021新高考数学二轮总复习专题二函数与导数2.1函数概念性质图象专项练学案含解析.docx

专题二 函数与导数 2.1 函数概念、性质、图象专项练 必备知识精要梳理 1.函数的概念 (1)求函数的定义域的方法是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解. (2)求函数值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、有界函数法(含有指、对数函数或正、余弦函数的式子). 2.函数的性质 (1)函数奇偶性:①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有: f (x )是偶函数?f (-x )=f (x )=f (|x|); f (x )是奇函数?f (-x )=-f (x ). ②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). (2)函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法. (3)函数周期性的常用结论:若f (x+a )=-f (x )或f (x+a )=± 1f (x ) (a ≠0),则T=2a ;若f (x+a )=f (x-b ),则 T=a+b ;若f (x )的图象有两条对称轴x=a 和x=b (a ≠b ),则T=2|b-a|;若f (x )的图象有两个对称中心(a ,0)和(b ,0),则T=2|b-a|(类比正、余弦函数). 3.函数的图象 (1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质:根据函数性质判断图象的位置,对称性,变化趋势等;③看变换:看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到. (2)若y=f (x )的图象关于直线x=a 对称,则有f (a+x )=f (a-x )或f (2a-x )=f (x )或f (x+2a )=f (-x );若y=f (x )对?x ∈R ,都有f (a-x )=f (b+x ),则f (x )的图象关于直线 x=a+b 2 对称;若y=f (x )对?x ∈R 都有 f (a-x )=b-f (x ),即f (a-x )+f (x )=b ,则f (x )的图象关于点 a 2, b 2 对称. (3)函数y=f (x )与y=f (-x )的图象关于y 轴对称,函数y=f (a-x )和y=f (b+x )的图象关于直线x=a -b 2 对 称;y=f (x )与y=-f (x )的图象关于x 轴对称;y=f (x )与y=-f (-x )的图象关于原点对称. (4)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数范围问题. 考向训练限时通关

高三数学专题复习：导数及其应用

【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．

3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．

函数与导数专题试卷(含答案)

高三数学函数与导数专题试卷 说明：1．本卷分第Ⅰ卷(选择题)，第Ⅱ卷(填空题与解答题)，第ⅠⅡ卷的答案写在答题卷的答案纸上，学生只要交答题卷． 第Ⅰ卷 一.选择题（10小题，每小题5分，共50分） (4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2f x x =+，则(7)f =（ ） A ． 3 B ． 3- C ． D ． 1- 2．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝?，则实数t 的取值范围是（ ） A ．t ＜－3 B ．t ≤－3 C ．t ＞3 D ．t ≥3 3.设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a << 4.函数x x f +=11)(的图像大致是( ) 5.已知直线ln y kx y x ==是的切线，则k 的值为（ ） A. e B. e - C. 1e D. 1e - 6．已知条件p ：x 2+x-2＞0，条件q ：a x >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．1≥a B ．1≤a C ．1-≥a D.3-≤a 7.函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. [3,)+∞ B. [3,)-+∞ C. (3,)-+∞ D. (,3)-∞- 8. 已知函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)，则使f (x )为减函数的区间是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(1,2) D ．(－3，－1)

高中高考数学专题复习《函数与导数》

高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

(完整版)函数与导数专题(含高考试题)

函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

考点一：导数几何意义： 角度一 求切线方程 1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′? ?? ?? π4，f ′(x )是f (x ) 的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．4x －3y ＋1＝0 C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0 解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝ f ′? ?? ??π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 角度二 求切点坐标 2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1，－1) C ．(1,3) D ．(1,0) 解析：选C 由题意知y ′＝3 x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)． 角度三 求参数的值 3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7 2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )

高中数学 多项式函数的导数素材

多项式函数的导数 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(/ /f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数： 2、导数的运算法则： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）37x y = （2）43x y -= （3）3 534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数 )

例2：已知曲线331x y =上一点)3 82(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。

2020届高考数学导数的11个专题

目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)

导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性； 二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论， 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参 变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较；

函数与导数专题复习

函数与导数专题复习 类型一 导数的定义 运算及几何意义 例1：已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，且满足x xf x f ln )1(2)(' +=，则=)1('f （ ） A ．-ｅ B.-1 C.1 D.e 解：x f x f 1)1(2)(''+=，1)1(1)1(2)1('''-=∴+=f f f 【评析与探究】求值常用方程思想，利用求导寻求)('x f 的方程是求解本题的关键。 变式训练1 曲线33+-=x x y 在点（1,3）处的切线方程为 类型二 利用导数求解函数的单调性 例2：d cx bx x x f +++= 233 1)(何时有两个极值，何时无极值？)(x f 恒增的条件是什么？ 解：,2)(2'c bx x x f ++=当0442>-=?c b 时， 即c b >2时，0)('=x f 有两个异根2,1x x ，由)('x f y =的图像知，在2,1x x 的左右两侧)('x f 异号，故2,1x x 是极值点，此时)(x f 有两个极值。 当c b =2时，0)('=x f 有实数根0x ，由)('x f y =的图像知，在0x 左右两侧)(' x f 同号，故0x 不是)(x f 的极值点 当c b <2时，0)(' =x f 无根，当然无极值点 综上所述，当时c b ≤2，)(x f 恒增。 【评析与探究】①此题恒增条件c b ≤2易掉“=”号，②c b =2 时，根0x 不是极值点也易错。 变式训练2 已知函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，它们的图像在1=x 处有相同的切线 ⑴求函数)(x f 和)(x g 的解析式；

2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文

第2讲导数及其应用 配套作业 一、选择题 1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3 －3ax ＋14 ，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为() A.12B ．－12 C ．－34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2 －3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则 ??? ?? x30－3ax0＋14＝0，3x2 0－3a ＝0，解得????? x0＝1 2，a ＝1 4， 故选D. 2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12 x 2 －ln x 的递减区间为() A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1 x ＝ x2－1 x ， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1， 故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B. 3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x x ，则() A ．f (2)＞f (e)＞f (3) B ．f (3)＞f (e)＞f (2) C ．f (3)＞f (2)＞f (e) D ．f (e )＞f (3)＞f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－ln x x2 ，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0； x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)， 而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9 6 ， f (e)>f (3)>f (2)．故选D. 4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f

2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题

2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->

(通用版)高考数学复习专题二函数与导数2.1函数的概念、图象和性质练习理

（通用版）高考数学复习专题二函数与导数2.1函数的概念、图象和 性质练习理 命题角度1函数的概念及其表示 高考真题体验·对方向 1.(2017山东·1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=() A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 答案 D 解析由4-x2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A∩B=[-2,1).故选D. 2.(2014江西·3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f[g(1)]=1,则a=() A.1 B.2 C.3 D.-1 答案 A 解析由题意可知f[g(1)]=1=50,得g(1)=0, 则a-1=0,即a=1.故选A. 3.(2019江苏·4)函数y=的定义域是. 答案[-1,7] 解析要使式子有意义,

则7+6x-x2≥0, 解得-1≤x≤7. 典题演练提能·刷高分 1.(2019江西新余一中一模)已知f(x)=,则函数f(x)的定义域为() A.(-∞,3) B.(-∞,2)∪(2,3] C.(-∞,2)∪(2,3) D.(3,+∞) 答案 C 解析要使函数f(x)有意义,则 即x<3,且x≠2, 即函数的定义域为(-∞,2)∪(2,3),故选C. 2.设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为() A.(1,2] B.(2,4] C.[1,2) D.[2,4) 答案 B 解析f(x)的定义域为?1

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1．

12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

2012函数与导数(较难)含答案)

函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析【考情分析】 【常见题型及解法】 1. 常见题型 2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

【基本练习题讲练】 【例1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发 现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚 乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ） 【答案】 B 【解析】在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．【点评】函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力， 在复习时应引起重视． 【例2】（山东高考题）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若 方程 ()(0 f x m m =>在区间 [8,8 -上有四个不同的根 123,,,x x x x ，则 1234 _________.x x x x +++= A B C D

【例3】若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ） A ． 2 3错误！未指定书签。 B ． 3 2 C ．3 D ． 31 【例4】若函数 ()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【例 5】已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是（ ） （A ）（ 1，2） (B) ［1，2） (C)（1，2） (D) ［1，2）

专题2 函数与导数(五)-2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义

函数与导数（五） 热点一 导数的几何意义 1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同． 例1 (1)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝－x C ．y ＝2x D ．y ＝x (2)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋2)的切线，则实数b ＝_____. 及时归纳 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解． 跟踪演练1 (1)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． (2)若函数f (x )＝ln x (x >0)与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( ) A.????ln 1 2e ，＋∞ B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(－ln 2，＋∞) 热点二 利用导数研究函数的单调性 1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0. 2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性． 例2 已知函数f (x )＝2e x －kx －2. (1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)内的单调性；

(完整版)高三文科数学导数专题复习

高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标.

4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系；

近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总--导数及其应用

2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用 一、选择题（在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的） 1（2017北京文）已知函数1()3()3 x x f x =-?则()f x （ ） .A 是偶函数?且在R 上是增函数 .B 是奇函数?且在R 上是增函数 .C 是偶函数?且在R 上是减函数 .D 是奇函数?且在R 上是增函数 2.（2017新课标Ⅱ文）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ） .A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1, )+∞ .D (4,)+∞ З.（2017山东文）设()()1 21,1x f x x x <<=-≥?? ,若()()1f a f a =+,则 1f a ?? = ??? （ ）2.A 4.B 6.C 8.D 4.（2017山东文）若函数()e x f x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性 质.下列函数中具有M 性质的是（ ） x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.（2017新课标Ⅰ文数）函数sin21cos x y x = -的部分图像大致为（ ） б.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-?则（ ） .A )(x f y =在)2,0(单调递增 .B )(x f y =在)2,0(单调递减 .C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称 7.（2017天津文）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若 0.8221 (log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==?则,,a b c 的大小关系为（ ） .A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b <<