一、八年级数学分式解答题压轴题(难)
1.已知分式 A =2344(1)11
a a a a a -++-÷-- (1)化简这个分式;
(2)当 a >2 时,把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ,问:分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了?试说明理由;
(3)若 A 的值是整数,且 a 也为整数,求出符合条件的所有 a 值的和.
【答案】(1)
22a a +-;(2)原分式值变小了,见解析;(3)11 【解析】
【分析】
(1)根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得;
(2)根据题意列出算式2622
a a A B a a ++-=--+,化简可得16(2)(2)A B a a -=-+,结合a 的范围判断结果与0的大小即可得;
(3)由24122
a A a a +=
=+--可知,2a -=±1、±2、±4,结合a 的取值范围可得. 【详解】 解:(1)A=2344(1)11
a a a a a -++-÷-- =22
1311(2)a a a a ---?-- =2
(2)(2)11(2)a a a a a +--?-- =22
a a +-; (2)变小了,理由如下: ∵22
a A a +=
-, ∴62
a B a +=+, ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+; ∵2a >,
∴20a ->,24a +>,
∴0A B ->,
∴分式的值变小了;
(3)∵A 是整数,a 是整数, 则24122
a A a a +=
=+--, ∴21a -=±、2±、4±, ∵1a ≠,
∴a 的值可能为:3、0、4、6、-2;
∴3046(2)11++++-=;
∴符合条件的所有a 值的和为11.
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
2.阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现:当0a >,0b >时,∵2()20a b a ab b -=-+≥,∴2a b ab +≥,当且仅当a b =时取等号.请利用上述结论解决以下问题:
(1)当0x >时,1x x +的最小值为_______;当0x <时,1x x
+的最大值为__________. (2)当0x >时,求2316x x y x
++=的最小值. (3)如图,四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,△AOB 、△COD 的面积分别为4和9,求四边形ABCD 面积的最小值.
【答案】(1)2,-2;(2)11;(3)25
【解析】
【分析】
(1)当x >0时,按照公式ab a=b 时取等号)来计算即可;x <0时,由于-x >0,-1x
>0,则也可以按照公式ab a=b 时取等号)来计算; (2)将2316x x y x
++=的分子分别除以分母,展开,将含x 的项用题中所给公式求得最小值,再加上常数即可;
(3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9,则由等高三角形可知:S △BOC :S △COD =S △AOB :S △AOD ,用含x 的式子表示出S △AOD ,四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来,再按照题中所给公式求得最小值,加上常数即可.
【详解】
解:(1)当x >0时,12x x +
≥= 当x <0时,11x x x x ??+=--- ??
?
∵12x x --≥= ∴12x x ?
?---≤- ???
∴当0x >时,1x x +的最小值为2;当0x <时,1x x
+的最大值为-2; (2)由2316163x x y x x x
++==++ ∵x >0,
∴163311y x x =+
+≥= 当16x x
= 时,最小值为11; (3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9
则由等高三角形可知:S △BOC :S △COD =S △AOB :S △AOD
∴x :9=4:S △AOD
∴:S △AOD =36x
∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号,即四边形ABCD 面积的最小值为25.
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用,同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质,本题难度中等略大.
3.阅读下面材料并解答问题
材料:将分式322231
x x x x --++-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. 解:由分母为21x -+,可设()
322231()x x x x x a b --++=-+++,
则323223x x x x ax x a b --++=--+++
∵对任意x 上述等式均成立,
∴2a =且3a b +=,∴2a =,1b =
∴()
2322221(2)12312111x x x x x x x x x -+++--++==++-+-+-+ 这样,分式322231
x x x x --++-+被拆分成了一个整式2x +与一个分式211x -+的和 解答:(1)将分式371
x x +-拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式 (2)求出422681
x x x --+-+的最小值. 【答案】(1)3+
101
x -;(2)8 【解析】
【分析】
(1)直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可;
(2)由分母为-x 2+1,可设-x 4-6x 2+8=(-x 2+1)(x 2+a)+b ,按照题意,求出a 和b 的值,即可把分式422681
x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. 【详解】
解:(1)
371x x +-=33101x x -+- =()31101
x x -+- =3+
101x -; (2)由分母为21x -+,
可设4268x x --+()()
221x x a b =-+++,
则4268x x --+ ()()
221x x a b =-+++
422x ax x a b =--+++ 42(1)()x a x a b =---++.
∵对于任意的x ,上述等式均成立,
∴168a a b -=??+=?
解得71a b =??=?
∴422681
x x x --+-+
()()222171
1x x x -+++=-+
()()222217
11
1x x x x -++=+-+-+ 221
71
x x =++-+. ∴当x=0时,221
71x x ++-+取得最小值8,即 422681
x x x --+-+的最小值是8. 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算,解答本题的关键是理解阅读材料中的方法,并能加以正确应用.
4.一件工程,甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23;若由甲队先做 20 天,剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元,乙队每天的施工费用为 5.4 万元,工程预算的施工费用为 1000 万元,若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短,问安排预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元?
【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天 (2)工程预算的施工费用不够用,需追加预算8万元
【解析】
试题分析:(1)首先表示出甲、乙两队需要的天数,进而利用由甲队先做20天,剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案;
(2)首先求出两队合作需要的天数,进而求出答案.
试题解析:解:(1)设乙队单独完成这项工程需要x 天,则甲队单独完成这项工程需要23
x 天. 根据题意,得201160()12233
x x x ++=,解得:x =180.
经检验,x =180是原方程的根,∴
23x =23×180=120,答:甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天;
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天,则有11(
)1120180
y +=,解得 y =72. 需要施工费用:72×(8.6+5.4)=1008(万元).
∵1008>1000,∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算8万元.
点睛:此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用,正确得出等量关系是解题关键.
5.甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山,今年1月甲参加了两次登山活动.
(1)1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山,甲的平均攀登速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早15分钟到达顶峰.求甲的平均攀登速度是每分钟多少米?
(2)1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山,甲保持第(1)问中的速度不变,比丙晚出发0.5小时,结果两人同时到达顶峰,问甲的平均攀登速度是丙的多少倍?(用含h 的代数式表示)
【答案】(1)甲的平均攀登速度是12米/分钟;(2)
360h h
+倍. 【解析】
【分析】
(1)根据题意可以列出相应的分式方程,从而可以求得甲的平均攀登速度;
(2)根据(1)中甲的速度可以表示出丙的速度,再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题.
【详解】
(1)设乙的速度为x 米/分钟, 900900151.2x x
+=, 解得,x=10,
经检验,x=10是原分式方程的解,
∴1.2x=12,
即甲的平均攀登速度是12米/分钟;
(2)设丙的平均攀登速度是y 米/分,
12
h +0.5×60=h y , 化简,得 y=12360
h h +, ∴甲的平均攀登速度是丙的:1236012360
h h h h ++=倍, 即甲的平均攀登速度是丙的360h h
+倍.
6.已知分式A=2344(1)11
a a a a a -++-÷--. (1) 化简这个分式;
(2) 当a >2时,把分式A 化简结果的分子与分母同时..
加上3后得到分式B ,问:分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了?试说明理由.
(3) 若A 的值是整数,且a 也为整数,求出符合条件的所有a 值的和.
【答案】(1)22
a A a +=
-;(2)变小了,理由见解析;(3)符合条件的所有a 值的和为11.
【解析】
分析:(1)分解因式,再通分化简.(2)用作差法比较二者大小关系.(3)先分离常数,再尝试让分子能被分母整除.
详解: (1)A =2344111a a a a a -+??+-÷ ?--??=()()()2113211
a a a a a -+--÷--=22a a +-. (2)变小了,理由如下:
()()()()()()()()
21522512212121a a a a a a A B a a a a a a ++-+-++-=-==-+-+-+ . ∵a >2 ∴a -2>0,a+1>0,∴()()1221A B a a -=
-+>0,即A >B (3) 24122
a A a a +==+-- 根据题意,21,2,4a -=±±± 则a =1、0、-2、3、4、6, 又1a ≠ ∴0+(-2)+3+4+6=11 ,
即:符合条件的所有a 值的和为11.
点睛:比较大小的方法:
(1)作差比较法:0a b a b ->>;0a b a b -<(a b ,可以是数,也可以是一个式子)
(2)作商比较法:若a >0,b >0,且
1a b >,则a >b ;若a <0,b <0,且1a b
>,则a <b .
7.某商店用1000元人民币购进水果销售,过了一段时间,又用2400元人民币购进这种水果,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每千克的价格比第一次购进的贵了2元. (1)该商店第一次购进水果多少千克;
(2)假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售,最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售.若两次购进水果全部售完,利润不低于950元,则每千克水果的标价至少是多少元?
注:每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差,两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和.
【答案】(1)该商店第一次购进水果100千克;(2)每千克水果的标价至少是15元.
【解析】
【分析】
(1)首先根据题意,设该商店第一次购进水果x千克,则第二次购进水果2x千克,然后根据:(1000÷第一次购进水果的重量 +2)×第二次购进的水果的重量=2400,列出方程,求出该商店第一次购进水果多少千克即可.
(2)首先根据题意,设每千克水果的标价是x元,然后根据:(两次购进的水果的重量﹣20)×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数+950,列出不等式,求出每千克水果的标价是多少即可.
【详解】
解:(1)设该商店第一次购进水果x千克,则第二次购进水果2x千克,
(1000
x
+2)×2x=2400
整理,可得:2000+4x=2400,解得x=100.
经检验,x=100是原方程的解.
答:该商店第一次购进水果100千克.
(2)设每千克水果的标价是x元,则(100+100×2﹣20)×x+20×0.5x≥1000+2400+950
整理,可得:290x≥4350,解得x≥15,∴每千克水果的标价至少是15元.
答:每千克水果的标价至少是15元.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用,以及一元一次不等式的应用,要熟练掌握,注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.
8.京广高速铁路工程指挥部,要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数
的2
3
;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元,乙队每天的施工费用为5.6万元.工程预算的施工费用为500万元.为缩短工期并高效完成工程,拟安排预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由.
【答案】(1)甲队单独完成需60天,乙队单独完成这项工程需要90天;
(2)工程预算的施工费用不够,需追加预算4万元.
【解析】
【分析】
(1)设甲单独完成这项工程所需天数,表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率.根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解;
(2)根据题意,甲乙合作工期最短,所以须求合作的时间,然后计算费用,作出判断.【详解】
(1)解:设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成需要2x
3
填;
4030
1
2x
x
3
+=
解得:x90
=
经检验,x=90是原方程的根.
则22
x9060
33
=?=(天)
答:甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天.(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,
则有y(1
60
+
1
90
)=1.
解得y=36.
需要施工费用:36×(8.4+5.6)=504(万元).
∵504>500.
∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算4万元.
9.某商家用1200元购进了一批T恤,上市后很快售完,商家又用2800元购进了第二批这种T恤,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了5元.
(1)该商家购进的第一批T恤是多少件?
(2)若两批T恤按相同的标价销售,最后剩下20件按八折优惠卖出,如果希望两批T恤全部售完的利润率不低于16%(不考虑其它因素),那么每件T恤的标价至少是多少元?【答案】(1)商家购进的第一批恤是40件;(2)每件恤的标价至少40元.
【解析】
【分析】
(1)可设该商家购进的第一批衬衫是x件,则购进第二批这种衬衫是2x件,根据第二批这种衬衫单价贵了5元,列出方程求解即可;
(2)设每件衬衫的标价y元,求出利润表达式,然后列不等式解答.
【详解】
(1)解:设购进的第一批恤是x件.
由题意,得12002800
5
2
x x
=-
解得x=40.
经检验,x=40是所列方程的解.
所以商家购进的第一批恤是40件.
(2)设每件的标价是y元
由题意,(40+40×2-20)y+0.8×20y≥(1200+2800)(1+16%)解得y≥40.
即每件恤的标价至少40元.
【点睛】
本题考查的知识点是分式方程的应用和一元一次不等式的应用,解题关键是弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程.
10.某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场,现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品,已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等,而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品,在加工过程中,公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品?
(2)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品,乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元,请问:乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时,有望加工这批产品?【答案】
(1)甲工厂每天加工16件产品,则乙工厂每天加工24件;(2)乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时,有望加工这批产品.
【解析】
【分析】
(1)此题的等量关系为:乙工厂每天加工产品的件数=甲工厂每天加工产品的件数+8;甲工厂单独加工48件产品的时间=乙工厂单独加工72件产品的时间,设未知数,列方程求出方程的解即可;(2)先分别求出甲乙两工厂单独加工这批新产品所需时间,再求出甲工厂所需费用,然后根据乙工厂所需费用要小于甲工厂所需费用,设未知数,列不等式,再求出不等式的最大整数解即可.
【详解】
(1)设甲工厂每天加工x件产品,则乙工厂每天加工(x+8)件产品,
根据题意得:4872
8
x x
=
+
,
解得:x=16,
检验:x(x+8)=16(16+8)≠0,
∴x=16是原方程的解,
∴x+8=16+8=24,
答:甲工厂每天加工16件产品,则乙工厂每天加工24件.
(2)解:甲工厂单独加工这批新产品所需时间为:960÷16=60,
所需费用为:60×800+50×60=51000,
乙工厂单独加工这批新产品所需时间为:960÷24=40,
解:设乙工厂向公司报加工费用每天最多为y元时,有望加工这批产品则:40y+40×50≤51000
解之y≤1225
∴y的最大整数解为:y=1225
答:乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时,有望加工这批产品.
【点睛】
本题考查分式方程的应用,涉及到的公式:工作总量=工作效率×工作时间;分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
八年级数学下册《分式》综合讲解 姓名: 班级: 学校: 一、选择题:(每小题2分,共20分) 1.下列各式: 2b a -,x x 3+,πy +5,()1432+x ,b a b a -+,)(1y x m -中,是分式的共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列判断中,正确的是( ) A .分式的分子中一定含有字母 B .当B =0时,分式 B A 无意义 C .当A =0时,分式 B A 的值为0(A 、B 为整式) D .分数一定是分式 3.下列各式正确的是( ) A .11++=++b a x b x a B .22x y x y = C .()0,≠=a ma na m n D .a m a n m n --= 4.下列各分式中,最简分式是( ) A .()()y x y x +-8534 B .y x x y +-22 C .222 2xy y x y x ++ D .() 222y x y x +- 5.化简2 293m m m --的结果是( ) A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m -3 6.若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值( )
A .扩大3倍 B .不变 C .缩小3倍 D .缩小6倍 7.A 、B 两地相距48千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地,又立即从B 地逆 流返回A 地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水 中的速度为x 千米/时,则可列方程( ) A .9448448=-++x x B .9448448=-++x x C .9448=+x D .94 96496=-++x x 8.已知230.5 x y z ==,则32x y z x y z +--+的值是( ) A .17 B.7 C.1 D.13 9.一轮船从A 地到B 地需7天,而从B 地到A 地只需5天,则一竹排从B 地漂到A 地需 要的天数是( ) A .12 B.35 C.24 D.47 10.已知226a b ab +=,且0a b >>,则a b a b +-的值为( ) A .2 B .2± C .2 D .2± 二、填空题:(每小题3分,共24分) 11.分式392--x x 当x _________时分式的值为零,当x ________时,分式x x 2121-+有意义. 12.利用分式的基本性质填空: (1)())0(,10 53≠=a axy xy a (2)() 1422=-+a a 13.分式方程1 111112-=+--x x x 去分母时,两边都乘以 .
15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式.
小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?