【人教版】初中数学九年级知识点总结：23旋转
【编者按】学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。
一、目标与要求
1.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质。
2.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题。
3.理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
4.理解旋转前、后的图形全等，掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用。
5.了解中心对称的概念并理解它的基本性质。
6.运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案，并运用它解决一些实际问题。
7.了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法。
二、知识框架
三、重点
1.图形旋转的基本性质
2.中心对称的基本性质
3.两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系
4.图形的旋转的基本性质及其应用
5.用旋转的有关知识画图
6.利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题
四、难点
1.图形旋转的基本性质的归纳与运用
2.中心对称的基本性质的归纳与运用
3.运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质
4.根据需要设计美丽图案
5.从一般旋转中导入中心对称
五、知识点、概念总结
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
如下图所示：
2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
3.旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
4.中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
5．中心对称和中心对称图形的区别
区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。
6.中心对称图形的判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
7.中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
8.坐标系中对称点的特征
（1）关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
（2）关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
（3）关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
9.图案设计：利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．
（参考教材：初中数学九年级人教版）
旋转 章末小结 ※教学目标※ 【知识与技能】 掌握本章重要的知识点，能用相关函数知识解决实际问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识，回顾解决实际问题中所涉及的数形结合思想、方程思想、分类思想的过程，加深对本章知识的理解. 【情感态度】 在这用本章知识解决实际问题的过程中，进一步增强数学应用知识，感受数学的应用价值，激发学生的学习兴趣. 【教学重点】 本章知识结构梳理及其应用. 【教学难点】 灵活运用二次函数性质解决问题. ※教学过程※ 一、整体把握 二、加深理解 1.旋转的性质有哪些？你能举出旋转的实例吗？ 2.在现实生活中，存在着大量的中心对称现象，你能举出一些例子吗？成中心对称的图形有什么特点？ 3.请列举学过的中心对称图形，说说如何判别一个图形是否是中心对称图形. 4.关于原点对称的点的坐标有什么特征？ 5.用平移、轴对称和旋转的组合进行图案设计的关键是什么？你能进行简单的图案设计吗？ 三、复习新知 例1 如图,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°,得到Rt△AB′ C′, 点C′恰好落在斜边AB上,连接BB′,则∠BB′C′= .
分析：根据旋转的性质可得AB =AB ′，∠BAB ′=40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB ′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 答案：20° 例2 如图,在平面直角坐标系中,将线段AB 绕点A 按逆时针方向 旋转90°后,得到线段AB ′,则点B ′的坐标为 . 分析：抓住旋转的三要素：旋转中心A ，旋转方向逆时针，旋转角 度90°，通过画图得B ′坐标. 答案：（4，2） 例3 在方格纸上按以下要求作图,不用写作法: (1)作出“小旗子”向右平移6格后的图案. (2)作出“小旗子”绕O 点按逆时针方向旋转90°后的图案. 分析：（1）先把旗杆的两个端点向右平移6格，再把旗横的边 的另一端点向右移6格，最后照原图形的形状连点；（2）先把旗杆 绕O 点按逆时针方向旋转90°，原来旗杆是竖着，绕O 点按逆时针方向旋转90°后是横着，旗的横边是坚着，再照原图形的形状连线. 答案： 例4 一财主有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘．财主立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间的池塘也要平分，但不知怎么做，你能帮忙想个办法吗？ 分析：根据平行四边形是中心对称图形，对称中心是平行四边形的中心，所以井和平行四边形对角线的交 点所在的直线把地平分. 解：井和平行四边形对角线交点所在的直线把地平分.理由如下：平行 四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，所以四边形AEFD 绕点 O 逆时针旋转180°可与四边形CFEB 重合，故四边形AEFD 的面积与四边形CFEB 面积相等. 例5 如图①，在四边形ABCO 中，∠A =∠C =90°，OA =1，AB =3，把四边形ABCO 绕点O 每次旋转120°，连续旋转两次后得到图②的等边三角形12BB B .求： （1）∠B ，∠AOC 的度数；（2）等边三角形12BB B 的面积． ① ② 分析：（1）根据图形旋转的性质，可得∠AOC 与∠11A OC 与∠22A OC 的关系，可得∠AOC 的大小，根据四边形的内角和，可得∠B 的大小；（2）根据旋转图形的性质，可得∠B 与∠1B 与∠2B ，可得三角形12BB B 的形状，根据三角形的面积公式，可得答案. 解：（1）把四边形ABCO 绕点O 每次旋转120°，连续旋转两次后得到图②的等边△12BB B ，∴∠AOC =∠11A OC =∠22A OC =120°.由四边形的内角和公式,得∠B =360°-∠A -∠C -∠AOC =360°-90°-90°-120°=60°. （2）由旋转的性质，得∠B =∠1B =∠2B =60°，OC =OA ，AB =AC ，∴B 1B =2AB =23. ∴等边三角形12BB B 的面积=12332 ??=33. 四、巩固练习 1.如图，已知△AOB 和△DOC 成中心对称，△AOB 的面积是12，AB =3， 则△DOC 中CD 边上的高是（ ） A.3 B.6 C.8 D.12 2.如图，在△ABC 中，∠BAC =15°,将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°
旋转知识点总结与练习 知识点1 旋转的定义 把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度的图形变换叫做_____，点O 叫做旋转中心， ________叫做旋转角. 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 1. 如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是 （ ） 2. 如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自 身重合的是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离________； (2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于________； (3)旋转前后的两个图形______. 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 3. 如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B′位置，A 点落在A′ 位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC 的度数是（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 4.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把△绕点顺 时针旋转90°后得到△，则点的坐标是 A. （3，4） B. （4，5） C. （7，4） D. （7，3） 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键，沿指定的方 72o 108o 144o 216o 443 y x =-+x y A B AOB A AO B ''B '
向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 5．在下图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其 旋转中心可能是（） A.点A B.点B C.点C D.点D 知识点2 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转_____，如果它能够与另一个图形____，那么就说这两个图形关于这个点对 称或______，这个点叫做______，旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的_______. 要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) 6.如图所示，在下列四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有_______. 中心对称的性质： 中心对称的两个图形，对称点所连线段经过_____，并且被对称中心所_____.中心对称的两个图形是____. 7.如图，已知△ABC和点O.在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于O点成中心对称. 知识点3 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形____，那么这个图形叫做_________，这个点叫它的_______.
初中九年级数学上册 第15讲：图形的旋转 一：思维导图 二：知识点讲解 知识点一：旋转的定义 ?旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 ?旋转角：转动的角叫做选择角，且任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角。 ?旋转三要素：旋转中心，旋转角，旋转方向 ?旋转中心既可以在图形的外部，也可以在图形的内部，还可以在图形上 ?确定旋转角时，其关键是确定旋转中心和旋转前、后对应点的位置。 例1：如下图所示，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，△ABD 经过旋转后到达△ACP的位置。 1)旋转中心是点； 2)旋转角度是； 3)△ADP是三角形 知识点二：旋转的性质 ?性质： ?对应点到旋转中心的距离相等
? 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ? 旋转前、后的图形全等 ? 注意： ? 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度 ? 对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等 ? 图形的大小和形状都没有发生变化，只改变了图形的位置 例2：如下图，已知△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，直角∠DFE 的顶点F 是AB 中点，两边FD ，FE 分别交AC ，BC 于D ，E 两点，当∠DFE 在△ABC 内绕顶点F 旋转时（点D 不与A ，C 重合），给出以下结论：①CD=BE ；②四边形CDFE 不可能是正方形；③△DFE 是等腰直角三角形；④ABC CDFE S S ?=2 1 。上述结论中始终正确的是（ ） A . ①②③ B . ②③④ C . ①③④ D . ①②④ 知识点三：旋转作图 ? 旋转作图的依据 ? 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ? 对应点到旋转中心的距离相等 ? 作图要素：原图、旋转中心、旋转方向、旋转角、一对对应点 ? 作图步骤： ? 连：连接原图形中一个关键点与旋转中心 ? 转：根据旋转方向与旋转角度，以“连”中关键点与旋转中心的
旋转知识点总结与练习 知识点 1 旋转的定义 旋转知识点总结与练习O 旋转知识点总结与练习 _____,点 O 叫做旋转中心 ,________叫做旋转角 . 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 1. 如图 , 将正方形图案绕中心 O旋转 180°后 , 得到的图案是（） 2.如图 2,该图形围绕自己的旋转中心 ,按下列角度旋转后 ,不能与其自 身重合的是（） Ａ．72 Ｂ． 108Ｃ． 144Ｄ． 216 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离 ________； (2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于________； (3)旋转前后的两个图形 ______. 要点诠释：图形绕某一点旋转, 既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 3.如图 , 将△ ABC绕着点 C 按顺时针方向旋转 20° ,B 点落在 B′位置 ,A 点落在 A′ 位置 , 若 AC⊥A′B′, 则∠BAC的度数是（） A．50°B．60°C．70°D．80° 4.如图 , 直线y 4 x 4 与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺 3 时针旋转 90°后得到△ AO B , 则点 B 的坐标是 A. （3,4 ） B.（4,5） C.（7,4） D.（7,3） 旋转的作图:在画旋转图形时 ,首先确定旋转中心 ,其次确定图形的关键点 ,再将这些关键 ,沿指定的方向旋转 指定的角度 ,然后连接对应的部分 ,形成相应的图形． 5．在下图 4× 4 的正方形网格中 , △ MNP绕某点旋转一定的角度 , 得到△ M1N1P1 , 则其 旋转中心可能是（） A.点A B.点B C.点C D.点D 知识点 2 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转_____,如果它能够与另一个图形____,那么就说这两个图形关于 这个点对称或______,这个点叫做 ______,旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的 _______. 要点诠释：（ 1）有两个图形 , 能够完全重合 , 即形状大小都相同； （ 2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 ( 全等图形不一定是中心对称的, 而中心对称的两个图形一定是全等的) 6.如图所示,在下列四组图形中,右边图形与左边图形成中心对称的有_______. 1 / 5
旋转知识点总结与练习 知识点1 旋转的定义 把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度的图形变换叫做_____，点O 叫做旋转中心， ________叫做旋转角. 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 1. 如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是 （ ） 2. 如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自 身重合的是（ ） Ａ． 72 Ｂ．108 Ｃ．144 Ｄ．216 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离________； (2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于________； (3)旋转前后的两个图形______. 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 3. 如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B′位置，A 点落在A′ 位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC 的度数是（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 4.如图，直线4 43 y x =- +与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺 时针旋转90°后得到△AO B ''，则点B '的坐标是 A. （3，4） B. （4，5） C. （7，4） D. （7，3） 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键，沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． N 1 A B O x y O ' B ' （第4题）
5．在下图4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1，则其 旋转中心可能是 （ ） A.点A B.点B C.点C D.点D 知识点2 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转_____，如果它能够与另一个图形____，那么就说这两个图形关于这个点对称或______，这个点叫做______，旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的_______. 要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) 6.如图所示，在下列四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有_______. 中心对称的性质： 中心对称的两个图形，对称点所连线段经过_____，并且被对称中心所_____.中心对称的两个图形是____. 7.如图，已知△ABC 和点O.在图中画出△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 关于O 点成中心对称. 知识点3 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形____，那么这个图形叫做 _________，这个点叫它的_______. A B C D N P P 1 M 1 N 1 第11题图
旋转知识点归纳 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个 角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时 针转动0 90得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中 心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质： ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等. 例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则 ADD '∠的度数是（ ）Ｄ Ａ．25 Ｂ．30 Ｃ．35 Ｄ．45 分析:抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质，本题就很容易解决. 由△C D A '是由△ADB 旋转所得,可知 △ADB ≌△C D A ',∴AD =D A ',∠DAB =∠AC D ',∵∠DAB +∠DAC =090, ∴∠AC D '+∠DAC =090,∴∠045='D AD ,故选Ｄ． ' 图1 D 图2
第十五章图形的平移与旋转 一、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动 称为平移。 一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形与原图形是互相重合的， 互相重合的点称为，互相重合的角称为，互相重合的线段称为。 注意：1. 平移有两个要素：（1）沿某一方向移动；（2）移动一定的距离； 2. 平移的方向就是原图上的点指向它的对应点的方向；图像上每点都沿同 一方向移动距离，这个距离是指对应点之间的长度； 3. 平移前后两图形是全等的。 平移的特征：平移不改变图形和，只改变了图形的位置； 经过平移，对应点所连的线段（或) 且相等； 对应线段（或）且相等，对应角。二、1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个沿某个方向转动一定，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为，转动的角称为。任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是. 注意：1. 旋转中心在旋转过程中保持不动； 2. 图形的旋转是由，和所决定的； 3. 作平移图与旋转图。（确定关键点，将关键点沿一定的方向移动相同的 距离，连接关键点） 旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小 的；对应点到旋转中心的距离；对应线段，对应角；图形的形状与大小都没有发生变化。 图形的变换包括、和旋转，这三种图形变换的共同点是：只改变图的，不改变图形的和。 2、旋转对称图形：在平面内，一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自 身，这样的图形称为旋转对称图形。 3、中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转角度，如果旋转前 后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做对称中心。 中心对称图形是旋转角度为°的特殊旋转对称图形，但旋转对称图形不一 定是中心对称图形。 4、成中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180o，如果它能够和另一个图形重 合，就称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点，叫做关于中心的。
旋转知识点归纳 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个 角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时 针转动0 90得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中 心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质： ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等. 例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则 ADD '∠的度数是（ ）Ｄ Ａ．25 Ｂ．30 Ｃ．35 Ｄ．45 分析:抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质，本题就很容易解决. 由△C D A '是由△ADB 旋转所得,可知 △ADB ≌△C D A ',∴AD =D A ',∠DAB =∠AC D ',∵∠DAB +∠DAC =090, ∴∠AC D '+∠DAC =090,∴∠045='D AD ,故选Ｄ． ' 图1 图2
新航道教育四年级寒假培优小册 第一章平移、旋转、轴对称 平移 1、物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。 注意：平移只是沿水平方向左右移动（×） 平移不仅仅局限于左右运动。 2、平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。 将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。 3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。 4、在方格纸上平移图形的方法： （1）找出图形的关键点； （2）以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点； （3）把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。 注意：用箭头标明平移方向（→） 旋转 1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。 2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向； 与时针运动方向相反的是逆时针方向； 3、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度。 4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向变了。 5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转相 同的角度，对应点到旋转点的距离相等。 6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。 7、简单图形旋转90°的画法： （1）找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板作关键线段的垂线，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线； （2）从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度取点，即所找的点是原图形关键点的对应点； （3）参照原图形顺次连接所画的对应点。 关键线段：水平的、竖直的、过旋转点的线段。
轴对称图形 1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。 注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线 （虚线、尺子、露头） 2、轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。 3、对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。 4、在方格纸上补全轴对称图形关键： 找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。 5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。 图形正方形长方形 等腰 三角形 等边 三角形 等腰 梯形 菱形圆形 对称轴4条2条1条3条1条2条无数条 第一章平移、旋转、轴对称复习题 1、下面哪些是平移，哪些是旋转？ （）（）（） （）（）（）
第二十三章 旋转知识点总结，经典例题，单元测试 ： 1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，就叫做图形的旋转。点0叫做旋转中心，旋动的角叫做旋转角。 旋转方向：顺时针和逆时针。 2.旋转的特征：（旋转不改变图形的大小和方向） （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 3.旋转对称图形：一个图形绕着某一动点转动一定的角度后能与自身完全重合，这种图形称为旋转对称图形，绕着转动的这一点，称为旋转中心。 注：结合旋转对称图形的定义知：正三角形绕其中心旋转1200后能与自身完全重合，故正三角形是旋转对称图形；正方形绕其对角线的交点（旋转中心）旋转900后能与自身完全重合，故正方形是旋转对称图形。一般的正n（n≥3）变形是旋转对称图形，那么最少旋转时，能与自身完全重合。 4.设计旋转对称图形： （1）确定旋转中心、旋转角度和旋转方向；这是旋转的三要素。（2）确定图形中的关键点； （3）将这些关键点绕旋转中心绕指定方向旋转指定的角度。（4）顺次连接新关键点，得到所求图形。 旋转的定义： 【例1】如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： 1.旋转中心是什么？旋转角是什么？ 2.经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
【例2】如图所示，⊿ABC 和⊿ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠AED 都是直角，点C 在AD 上，如果⊿ABC 经旋转后能与⊿ADE 重合，那么哪一点是旋转中心？旋转角度是多少？并指出对应点。 C B D E A M D B C E A N 练一练：如图所示，⊿ABC 是等腰三角形，∠ACB=900 ，D 是AB 边上一点，⊿CBD 经逆时针旋转后到达⊿CAE 的位置，则旋转中心是 ，旋转角度是 ，点B 的对应点是 ，点D 的对应点是 ，线段CB 的对应线段是 ，线段CD 的对应线段是 ，∠CBD 的对应角是 ，如果点M 是线段BC 的中点，点N 是线段AC 的中点，那么经过上述旋转之后，点M 旋转到了 。如果连接DE ，则⊿ECD 是什么三角形？ 【例3】 根据图回答下面问题。 1．线段OA 与OA ′，OB 与OB ′，OC 与OC ′有什么关系？ 2．∠AOA ′，∠BOB ′，∠COC ′有什么关系？ 3．△ABC 与△A ′B ′C ′形状和大小有什么关系？ 综合以上得出： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 旋转对称图形： 【例1】如图所示，它由哪个“基本图形”旋转得到的？旋转中心是哪里？旋转了多少度？ j D E F C G H F G A B D C E H 【例2】如图，四边形ABCD 、四边形EFGH 都是边长为1的正方形． 1.这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
第二十三章旋转 23.1图形的旋转 1、旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转. 2、转动的角度叫做旋转角. 3、图形的点经过旋转，到另一个点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 4、旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等. 例1．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度后得到△A′B′C′，若∠A=30°，∠1=70°，则旋转角等于（）A．30° B．50° C．40° D．100° 【答案】C 【解析】 试题分析：根据旋转的性质可得：∠A′=∠A=30°，∠1=∠A′+∠ACA′，∴∠ACA′=40°，即旋转角为40°． 考点：旋转图形的性质． 例2．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA （） A．顺时针旋转90° B．顺时针旋转45° C．逆时针旋转90° D．逆时针旋转45° 【答案】C． 【解析】 试题解析：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA， ∴△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA， 故选C． 考点：旋转的性质．
例3．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 试题分析：A．最小旋转角度=360 3 =120°； B．最小旋转角度=360 4 =90°； C．最小旋转角度=360 2 =180°； D．最小旋转角度=360 5 =72°； 综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选A． 考点：旋转对称图形． 例4．将图a绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（） 【答案】A 【解析】 试题分析：根据旋转变换的性质，旋转后图形的大小形状不发生变化，只是位置发生变化，因此可知A正确，B 是顺时针旋转了240°，C 是顺时针旋转了120°，D 是顺时针旋转了300° 故选A 考点：旋转变换 例5．正方形绕中心至少旋转___________度后能与自身重合． 【答案】90° 【解析】 试题分析：正方形的对称中心为对角线的交点，对角线互相垂直平分且相等，则最小的旋转角度为90°． 考点：中心对称图形的性质．
第二十三章旋转
y）
旋转 1．（2018·湖南中考模拟）如图，将正方形ABCD 中的阴影三角形绕点A 顺时针旋转90°后，得到的图形为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 顺时针90°后，AD 转到AB 边上，所以，选A 。 2．（2018·甘肃中考真题）如图， 点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，若四边形AECF 的面积为25，DE=2，则AE 的长为（ ）
A ．5B C．7D 【答案】D 【详解】 ∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置， ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25， ∴AD=DC=5， ∵DE=2， ∴Rt△ADE中， AE== 故选D． 3．（2019·天津中考模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是()
A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】C 【详解】 ∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°，
旋转知识点归纳 1、旋转的定义及其有关概念: 旋转中心、旋转角、对应点.如图,线 段AB 绕点O 顺时针转动0 90得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中 心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 2、旋转的性质：不改变图形的大小和形状（两个图形是全等的）.由此得到如下性质： ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等. 例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（）Ｄ Ａ．25o Ｂ．30o Ｃ．35o Ｄ．45o 3、旋转作图:略 4:钟表的旋转问题：钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针 12小时旋转一周,则每小时旋转,301236000=这样时针每分钟旋转;5.00 分针每小时旋转一周,则每分钟旋转.660 36000 = 例3 从1点到1点25分,分针转了多少度角时针转了多少度角1点25分时时针与分针的夹角是多少度 解: 分析:(1)时针每分钟旋转0 5.0;(2)分针每分钟旋转.60 分针旋转的角度为;15025600=?时针旋转的角度为;5.12255.000=? 分针与时针的夹角为.5.1075.12301500000=-- A ' 图 图2
五.典例剖析 1、如图1，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能．．与其自身重合的是（ ） Ａ．72o Ｂ．108o Ｃ．144o Ｄ．216o 2、如图2，ABC △是等腰直角三角形，90AB AC BAC ==?，∠，D 是BC 上一点，ACD △经过 旋转后到达ABE △的位置． （1）旋转中心是哪一点 （2）旋转了多少度 （3）若P 是AC 的中点，那么经过上述旋转后，点P 旋转到了什么位置 （解：（1）点A 是旋转中心；（2）顺时针旋转了90?；（3）点P 旋转到了AB 的中点．） 3、求旋转90°后点的坐标 例1、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，4)，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是 ． 解：如图所示，做出OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到的线段OA′，则A ′的坐标为(4，－1) 规律总结：已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为()b a -，，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得2A ，则点2A 的坐标为()b a -，， 2、求旋转180°后点的坐标 例2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A ′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在 A 第一象限 B 第二象限 c 第三象限 D 第四象限 图1 B E 图2
知识点一、旋转的概念 几个图形的共同特点是如果我们把时针、螺旋桨、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 1.旋转的定义： 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点. 重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 2.旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等. 3.作图： 在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角. 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 知识点二、中心对称与中心对称图形 1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 2.中心对称的两条基本性质： (1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． (2)关于中心对称的两个图形是全等图形． 3.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 4. 5. 关于原点对称的点的坐标特征： 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点 的坐标为
第二十三章旋转 23.1 图形的旋转 1. 图形的旋转 （1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。 （2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。 （3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。 （4）会找对应点，对应线段和对应角。 2. 旋转的基本特征： （1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等； （3）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。 3. 几点说明： （1）在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。 （2）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。 （3）旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。 23.2 中心对称 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，假如它能够与另一个图形重合，那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。 中心对称的性质：①关于中心对称的刘遇图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。②关于中心对称的刘遇图形是全等形。 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 对称点的坐标规律：①关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，②关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变，③关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。 23.3 课题学习图案设计 灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计． 图案设计就是通过图形变换(平移、旋转、轴对称或几种的组合)把基本图形组成具有一定意义的新
教案 教学内容 图形的旋转 1、旋转：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 对应点：如果图形上一点P经过旋转后，变为P’，那么这两个点叫做对应点。 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 2、旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转后的两个图形全等。 例：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）． （1）画出坐标轴，画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1； （2）点A1的坐标为_________； （3）四边形AOA1B1的面积为_________． 想一想：在第（1）题中，旋转中心与旋转角分别是什么？ 并且，你能得出哪些线段相等？哪些角相等呢？ 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 推论：两个图形同时绕某一点旋转180°，旋转后的图形不变，那么这两个图形成中心对称。 4、中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 5、中心对称图形的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 6、坐标系中对称点的特征： （1）关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（X，Y）关于原点的对称点为点Q（-X，-Y） （2）关于X轴对称的点的特征：两个点关于X轴对称时，它们的坐标中X相等、Y符号相反，即点P（X，Y）关于原点的对称点为点Q（X，-Y） （3）关于Y轴对称的点的特征：两个点关于Y轴对称时，它们的坐标中Y相等、X符号相反，即点P（X，Y）关于原点的对称点为点Q（-X，Y） 1
【人教版】初中数学九年级知识点总结：23旋转 【编者按】学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。 一、目标与要求 1.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质。 2.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题。 3.理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 4.理解旋转前、后的图形全等，掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用。 5.了解中心对称的概念并理解它的基本性质。 6.运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案，并运用它解决一些实际问题。 7.了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法。 二、知识框架 三、重点 1.图形旋转的基本性质 2.中心对称的基本性质 3.两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系 4.图形的旋转的基本性质及其应用 5.用旋转的有关知识画图 6.利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题 四、难点
1.图形旋转的基本性质的归纳与运用 2.中心对称的基本性质的归纳与运用 3.运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质 4.根据需要设计美丽图案 5.从一般旋转中导入中心对称 五、知识点、概念总结 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 如下图所示： 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 3.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 4.中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
第二十三章旋转 一、图形的旋转 1、旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转 . 点O叫作，转动的角度叫作 . 2、性质：(1)对应点到旋转中心的距离； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于； E e (3)旋转前、后的图形 . 3、旋转三要素：旋转、旋转、旋转 . 基础训练一： 1、如图，把△绕点C顺时针旋转某个角度α后得到△A′B′C′，若∠30°， ∠1=70°，则旋转角α等于（） A．30° B．50° C．40° D．100° 2、如图，为正方形，O为对角线、的交点，则△绕点O经过下列哪种旋转可以得到△（） A．顺时针旋转90° B．顺时针旋转45° C．逆时针旋转90° D．逆时针旋转45° 3、正三角形绕中心至少旋转度后能与自身重合．有正方形方形绕中心至少旋转度后能与自身重合． 正正五边形形方形绕中心至少旋转度后能与自身重合． 是正六边形方形绕中心至少旋转度后能与自身重合． 4、下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（） A． B． C． D． 5、将图a绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（） 6、如图，在6?4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（） A.格点M B.格点N C.格点P D.格点Q 第6题第7题第8题
7、如图，在△中，∠65°，将△在平面内绕点A 旋转到△′C′的位置，使′∥，则旋转角的度数为（ ） A ．35° B．40° C ．50° D ．65° 8、如图,ABC ?中,已知o o 55,90=∠=∠B C ,点 D 在边上,CD BD 2=.把ABC ?绕着点D 逆时针 旋转()1800<
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