学悟有别，你我自取，教学践行，适切至
数学解题五境界
第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．
第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它
的合理解释．
第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．
第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库．
第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。不是所有的老师都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个
错误，他也能够很快地纠正纠偏．
刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．
一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！
版块一引入问题
1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝
图1-1图1-2
2．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 是BC 边上的高，BD ＝3，DC ＝2，则AD 的长为_________．版块二“123”+“45”的来源
一般化结论：若45αβ+=?则有1tan 1a a α-=
+，1tan a β=（1a >），当32a =时，则得到21tan tan =3
5αβ=（了解）当a =2时，则得到1
1tan tan =23
αβ=（重要）当52a =时，则得到23tan tan =5
7αβ=（了解）;当4a =时，则得到1
3tan tan =45
αβ=（次重要）
【例1】（济南市中考题）如图2-1，AOB ∠是放置在正方形网络中的一个角，则cos AOB ∠的值是．
图2-1
【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在AB ，AD 上，若CE =53，
且∠ECF =45°，则CF 的长为（）
A ．102
B ．53
C D
图2-2倍角与半角构造
当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“??顶角底角顶角”解题依据“1902
?－顶角＝底角”．
如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ．
⑴若tan 2BCA ∠=，则tan BAC ∠=．⑵若4tan 3BAC ∠=，则tan ABC ∠=．
【例3】如图2-3，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，
折痕为MN ．若3
1tan =
∠AEN ，DC ＋CE ＝10．⑴求△ANE 的面积；⑵求ENB ∠sin 的值．
图2-3
【例4】如图2-4，已知正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在BC 上，且CE=2BE ，
过B 点作BF ⊥AE 于点F ，连接OF ，则线段OF 的长度为。
图2-4
【例5】（2011?武汉）如图2-5，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，
交⊙O 于点B ，延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E ．
⑴求证：PB 为⊙O 的切线；
⑵若tan ∠ABE =，求sin ∠E ．
图2-5
【例6】如图2-6，正方形ABCD 中，点P 是BC 的中点，把△PAB 沿着PA 翻折得到△PAE ,过C 作
CF ⊥DE 交DE 延长线于点F ，若CF =2，则DF =．
图2-6
（2002?盐城）已知：如图2-7，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E 为AC 上一点，点G 在BE 上，连接DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE ＝45°．
⑴求证：BD ?BC ＝BG ?BE ；⑵求证：AG ⊥BE ；⑶若E 为AC 的中点，求EF ：FD 的值．
【例7】（江苏省竞赛题）如图2-8，等腰Rt ABC △中，90C ∠=?，D 为BC 中点，将ABC △折叠，使
A 点与D 点重合，若EF 为折痕，则sin BED ∠的值为．
图2-8
【例8】（全国初中数学联赛试题）如图2-9，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的
点，且MBC NMB ∠=∠，则有=∠ABM tan ．
图2-9
【例9】（天津市竞赛试题）如图2-10，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD
上一点，∠ABE ＝450，则AEB ∠tan 的值等于（）
A ．23
B ．2
C ．25
D ．3
图2-10
【例10】如图2-11，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AD，点E在对角线AC上，且AE=AB,连接
BE，tan∠ABE=2．若∠DAC=60°，CD BE的长为．
图2-11
【例11】（2010?上海）如图2-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．
⑴若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
⑵若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．
图2-12
【例12】如图2-13，在平面坐标系中，点A(3，0),B(0，4),点C在x轴的负半轴上，且∠OAB=2∠BCO，求点C的坐标．
图2-13
【例13】如图2-14，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB与点F，若AB=4，BE=3，则BF的长为．
图2-14
【例14】如图2-15，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =20，若在BC 、BD 上分别取一点M 、N ，使得MN +NC 的值最小，则这个最小值为．
图2-15
【例15】如图12-16，将矩形ABCD 沿BE 折叠，使得点C 落在点G 处，若DE =1，CE =2，BC =6，则AF 的长为．
图2-16
版块三
12345拓展若定义符号“2”表示正切值为2的锐角，其余类似，则⑴．"1""1""2"90,"3"9023+=?+=?；
⑵．"1""1"45,"2""3"13523
+=?+=?；
⑶．"1""1"2=+45,"3"4532
?=?；
⑷．"1""1""4""1""1""3",223334
+=+=；
【例16】（202年泰州市中考题）如图3-7，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、
D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan APD ∠的值是．
图3-7
【例17】如图3-8，二次函数223y x x =--，D （,0），在第四象限的抛物线上存在点P ，使线段AP 与直
线CD 的夹角为45°，求点P 的坐标．
图2-8
【例18】如图3-20，在边长为2的正方形ABCD 中，边CD 上有一个动点，将△ADE 沿AE 翻折得△AEF ，
连接BD ，分别交AE 、AF 于点M ，O ，作∠BAF 的角平分线AN 交BD 于点N ，若BN =则OE =．
图3-20
【例19】(盘锦2015)如图3-9-⑴，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +3交x 轴于A （﹣，0）和B （5，0）两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D
顺时针旋转90°得到线段DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴于H ，过点C 作CF ⊥l 于F ．⑴求抛物线解析式；()()3155
y x x =-+-
⑵如图3-9⑵，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；
⑶在⑵的条件下：
①连接DF ，求tan ∠FDE 的值；
②试探究在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG =45°？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
版块四
20．如图，在正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上,13
DE DC =，连接AE ，将△ADE 沿AE 翻折，点D 落在点F 处，点O 是对角线BD 的中点，连接OF 并延长OF 交CD 于点G ，连接BF ，BG ，则△BFG 的周长是．
DK BG ==DF FG DG
DC CK DK ==,62DF FG ==,
55DF FG ==,5
BF ===,
12
5105BFG C =△．2,3CG HG ==,
10BG =,35BH =,355FH =,65FJ =,2105FG =12
5105BFG C =△我打算从四个方面讲解．临时拉了一个提纲：
一、角的拓展
“12345”主要是研究特殊角的大小．大家可以思考，你在这个图形，能够获得哪些角的大小？
图（1）
图（1）显然∠1与∠2两个角的正切值为1/3,由"1""1""3"334
+=,因此可得∠1＋∠2正切值为3/4从而可得∠BAF 正切值为4/3（这是基于两个角互余，正切值互为倒数）；不要以为这是高中知识．实际上就是同一个直角三角形中两个互余锐角的事情．
图（2）
图（2）由"1""1""4"223
+=，因此可得∠BAF （即顶角）一半的正切值为1/2．从而可得∠ABF 的正切值为2,由("1""2"902+
=?)，因此∠FBC 的正切值为1/2
要知道，这些知识，写得慢，对于会的人，在头脑中盘算极快．
本身，你要学会口算，自然得掌握一些基本功．
没有这样的基本功，你第一次听这样的讲座是非常累人的．
二、适度几何．
既然是几何问题，就尽可能挖掘其中的几何性质．
就这个图形中，有哪些几何性质可值得挖掘呢？
图（3）图（4）图（5）
图（3）：由于△ABM∽△EDM，因此MB＝2MD
由此可得MB＝2MD，进一步可得MO＝MD，即M是OD的中点．MB=3MD
图（4）由于翻折，因此DN＝NF，且DF⊥AE．因此AE∥OG
图（5）考虑AE与DF垂直关系，且∠DAE的正切值为1/3．这样又可以得到一大片角的信息．∠FDG的正切值为1/3，∠DGF的正切值为3
最最关健的还得到一个重要的几何信息：E、G是边CD的三等分点！
图（6）如此一来，大家注意了没有：OG与BG相当于光反射．
这是由于∠OGD与∠BGC的正切值均为3．
图（6）
镜面为CD,满足光反射，通常反向延长，得到在一条直线上．由上立马得到GB＝GP，这一点非常关键．因此要求△BFG的周长，就只要求BF＋FP的长．由此简化了原问题．
三、“2316模型”
其实，“12345”这些问题，在哈尔滨地区研究得最多．他们甚至研究到“2316模型”
我也是刚刚不久，在与刘俊勇老师共同揣摩下，才自认为有点熟悉了所谓“2316模型”
所谓的“2316”模型，是指两个基本图形：模型1．231；模型2．236
大家有没有注意，∠B＋∠C＝45°，就是纪博士今天讲解的内容．
对于“231模型”，仅仅了解这一点还是不够的．还要了解外围大三角形三边长之间的关系．而这并不是一件困难的事情．
即三边之比为5236模型”是指这个图形．这里就不展开了．
四、发起总攻！
图（7）请大家看这个图形，△FBP就是标准的“231模型”．
图（7）
这是由于∠FBP 的正切值为1/2，∠FPB 的正切值为1/3．下面发起总攻！BP ＝12，占5份，一份是多少？当然是12/5．在这种情况下，BF ＋FP 是多少份？当然是“根10＋根5”份了，那么BF ＋FP 是多
少呢？当然也就是△BFG 周长＝BF ＋FP ＝125
！21．已知一次函数的图像经过A (-2，-1)、B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ,
求一次函数解析式，求tan ∠OCD 的值,求∠AOB 的度数．
22．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，点D 是腰CA 上一动点，过点C 作CE 垂直BD 的延长线，
垂足为E ，(1)如图（1），若BD 是AC 的中线，求的值
BD CE ；(2)如图（2）若1AD AC n =,求BD CE
的值．
23（2016?常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线7y kx =-与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，
抛物线214y ax bx a =++经过B 、C 两点，与x 轴的正半轴交于另一点A ，且OA ：OC ＝2：7．
（1）求抛物线的解析式；219722
y x x =-+-（2）点D 为线段CB 上一点，点P 在对称轴的右侧抛物线上，PD ＝PB ，当tan 2PDB ∠＝，求P 点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q （7，m ）在第四象限内，点R 在对称轴的右侧抛物线上，若以点P 、D 、Q 、
R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 、R 的坐标．
24．（2015?南通）?已知抛物线2221y x mx m m =-++-m 是常数）的顶点为P ，直线l ：y ＝x ?1⑴求证：点P 在直线l 上；
⑵当m ＝?3时，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，与直线l 的另一个交点为Q ，M 是x 轴下方抛物线上的一点，∠ACM ＝∠PAQ （如图），求点M 的坐标；
⑶若以抛物线和直线l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条
件的m 的值．
25．(2016新疆建设兵团第23题)如图，抛物线23(0)y ax bx a =+-≠的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、
B 两点，与y 轴交于点
C ，且BO =OC =3AO ，直线113
y x =-+与y 轴交于点D ．⑴求抛物线解析式；
⑵证明△DBO ≌△EBC ；
⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．
如图所示，作边长为3、4、5的直角三角形的内心O ，过点O 作三边的垂线，则有:
1tan 3OAD ∠=,1tan 2
OBD ∠=,而45OAD OBD ∠+∠=?；tan 3,tan 2AOD BOD ∠=∠=,而135AOD BOD ∠+∠=?；
1
tan tan 3OAD OAE ∠=∠=,而3tan 4BAC ∠=’1tan tan 2OBD OBF ∠=∠=,而4tan 3
ABC ∠=．1．如图⑴，在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =BA ，D 是AC 上一点，CE 垂直BD ，AF ⊥BD ．
⑴当CE =2BE ，则DE :CE 的值为；
⑵如图⑵，过CD 的中点作MN ⊥AC 分别交BC 、CE 于点N 、O ，若MO =NO =2，则△ABC 的面积为．
2．如图，AB =AC ,M 为BC 的中点，AM =BC ，∠ABD =45°，∠DCB =90°，若AD =2015，那么BC 的长为．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（0,2），点C 在第一象限，∠ABC =135°，AC 交y 轴于点D ，CD =3AD ,反比例函数k y x =的图像经过点C ，则k 的值为．
4．如图，正方形ABCD 的边长为，对角线AC 、BD 交于点O ，Q 是BC 延长线上一点,AQ 交BD 于点E ，交CD 点P ，OQ 交CD 点E ，若EF ∥AC ，则OF 的长为．
5．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（5,3），M 5，一束光线从点A （0,2）出发，经过x 轴上点P 反射后，恰好与M 相切，则点P 的坐标为．
6．如图，抛物线2722y x x =-++与直线122
y x =+交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点P 是y 轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F ,若存在点P ，使得∠PCF =45°，则点P 的坐标为．
7．如图，直线122
y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点，点C 是抛物线上一点，满足∠ABC =45°，则点C 的坐标为．
8．如图，在△ABC 中，BC =30，CA =40，AB =50，D 、E 是△ABC 内两点，满足AD 平分∠CAB ，BE 平分∠CBA ，DE ∥AB ，且DE =10，则△CDE 的面积为
9．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，连接AD ，若∠CAD =∠B ，3tan 4
DAB ∠=，25BD =,则线段AC 的长为．
10．如图，抛物线245y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，直线334
y x =-+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，点P 是第一象限的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 与点E ,设点P 的横坐标为m ，若点E '是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P 使点E '落点落在y 轴上？若存在，请求出相应的点P 坐标；若不存在，请说明理由．
知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y=3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1.
【1】中点+平行模型如图，如果AB ‖DE ，且C 为AE 中点，则有△ABC ≌△EDC 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长） 【例题1】（2014 深圳某模拟） 【例题2】（2014 ） 答案：1.3 2；2.D 【2】一线三等角模型如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90)则一定有△BDE 与△CEF 相似。十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。经常在矩形里出题。
【例题1】（2009 ） 【例题 2】（2006 ） 【例题3】（原创） 答案：1. 2或3-24或25 2.(5 453-，) 【3】巧造旋转模型在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题：
通过观察可得∠ ABC=∠C=45°，AB=AC。我们可以将△ACD绕A顺时针旋转90°得到△ABE，使得AC与AB 重合。那么就有EB⊥BC，而在RT△AED中，DE2=2AD2（等腰直角三角形）所以BE2+BD2=DE2，即BD2+CD2=2AD2是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！【例题1】（2014 ） 【例题2】【例题3】（2014 菏泽改编）
答案：1.41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略 【4】等腰模型这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形首先：平行+角平 分线，如图，若AD‖BE，BC 平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。其次：垂直+角平分这个不难理解，因为等 腰三角形三线合一。这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）【例题1】（原创）
初中数学常用公式汇总大全初中数学有不少常用的数学公式，不过有粗心的同学总是不会认真去记这些最常用也是最有用的基础公式。下面给大家带来一份初中常用该公式，喜欢的同学可以参看一下。 实用工具:常用数学公式公式分类公式表达式乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√
如图，如果AB ‖DE ，且C 为AE 中点，则有△ABC ≌△EDC 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长） 【例题1】（2014 深圳某模拟） 【例题2】（2014 ） 答案：1.3 2 ；2.D
如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90) 则一定有△BDE与△CEF相似。 十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。经常在矩形里出题。 【例题1】（2009 ） 【例题2】（2006 ） 【例题3】（原创）
答案：1. 2或3-24或 25 2.(5 453-，) 【3】巧造旋转模型 在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。 巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题： 通过观察可得∠ABC=∠C=45°，AB=AC 。 我们可以将△ACD 绕A 顺时针旋转90°得到△ABE ，使得AC 与AB 重合。 那么就有EB ⊥BC ，而在RT △AED 中，DE2=2AD2（等腰直角三角形） 所以BE2+BD2=DE2，即BD2+CD2=2AD2 是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！ 【例题1】（2014 ） 【例题2】 【例题3】（2014 菏泽改编）
答案：1.41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略【4】等腰模型 这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形 首先：平行+角平分线， 如图，若AD‖BE，BC平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。 其次：垂直+角平分 这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。 这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）
人教版初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
初中数学几个数学模型 模型１、l:r=3600:n0 ①圆锥母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心 角等于（ C ）A．45°Ｂ．60°C．90°Ｄ．120° ③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm，母线长为４cm，在一个边长为8cm的正 方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做（Ｂ）能做一个（Ｃ）可做二个（Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是（D ）A、2r=R B、C、 D、 模型2、角平分线+平行=等腰三角形 如图，ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC， 交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的 大小关系（ B ）. （A）EF>BE+CF （B）EF=BE+CF （C）EF ③（2006邵阳T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于（1：3 ） ④（2005年浙江绍兴T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分） 选做第________小题，答案为________ （1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积:之比等于________ （2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积 : 之比等于________ ⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图①摆放， 点E 、A 、D 、B 在一条直线上，且D 是AB 的中点。将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，垂足为G 、H 。 （1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG =DH ； （2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。 ⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300 的直角三角形组成,利用这副三角板构成 一个含有150 角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD, 则∠ADB 的余切值为 . ⑧如图， 中， ， ， ，过点 作 于 ， A G D H M E F C B N 第24题图 图③ E F M N D A B G H 图④ C 45° 60° A E D B C F A G D H M E F C B (N ) 第24题图 图① 图② 初 中 数 学 几 个 数 学 模 型 模型１、l:r=3600 :n 0 ①圆锥母线长5cm ，底面半径长3cm ，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（ C ） A ．45° Ｂ．60° C ．90° Ｄ．120° ③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm ，母线长为４cm ，在一个边长为8cm 的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D ）A 、2r=R B 、R r =4 9 C 、R r =3 D 、r 4模型2、角平分线+平行=等腰三角形 如图，?ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系（ B ）. （A ）EF>BE+CF （B ）EF=BE+CF （C ）EF 初中数学常用公式大全 初中数学公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 D （1）等边三角形 O O C E C A 图 1B A 图 2 【条件】：△ OAB和△ OCD均为等边三角形； 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=60°；③ OE平分∠ AED D （2）等腰直角三角形 O C E A B A 图 1 D E B D O E C B 图2 【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰直角三角形； 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=90°；③ OE平分∠ AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 D O O C 【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰三角形； D E 且∠ COD=∠AOB E 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；C ②∠ AEB=∠AOB； ③OE平分∠ AED A图 1B A图 2B O O 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 D 【条件】： CD∥ AB，C D 将△ OCD旋转至右图的位置 A B 【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD； ②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA O （2）特殊情况 C D 【条件】：CD∥ AB，∠ AOB=90° 将△ OCD旋转至右图的位置 A B 【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD； ②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA； ③ BD OD OB tan ∠ OCD；④ BD⊥AC； AC OC OA ⑤连接 AD、 BC，必有AD2BC 22 2 ；⑥ S△BCD ABCD 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型 -90 ° 【条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC平分∠ AOB E C A B D O C E A B 1 A C BD 2A C D O E B 图 1 【结论】：①；② OD+OE=2；③S △DCE S △OCD S △OCE 1 OC2 CD=CE OC2 证明提示：A C M ①作垂直，如图 2，证明△ CDM≌△ CEN D ②过点 C 作 CF⊥ OC，如图 3，证明△ ODC≌△ FEC ※当∠ DCE的一边交 AO的延长线于 D 时（如图4）：O N EB 图 2 以上三个结论：① CD=CE；② OE-OD= 2 OC；A 1 OC 2M C ③ S S △OCE△OCD2A C D O N B E O图 3E F B D 图 4 初中数学常用公式定理 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋ b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn．④(ab)n＝a n b n．⑤()n＝n． ⑥a－n＝1 n a ，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9， (－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如： ①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝ 24 b b ac -±- ，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体 初 中 数 学 几 个 数 学 模 型 ①圆锥母线长5cm ，底面半径长3cm ，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（ C ） A ．45° Ｂ．60° C ．90° Ｄ．120° ③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm ，母线长为４cm ，在一个边长为8cm 的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D ）A 、2r=R B 、R r =4 9 C 、R r =3 D 、r 4 模型2如图，?ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ， 交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系（ B ）. （A ）EF>BE+CF （B ）EF=BE+CF （C ）EF ③（2006邵阳T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于（1：3 ） ④（2005年浙江绍兴T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分） 选做第________小题，答案为________ （1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积1S :2S 之比等于________ （2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积1A :2A 之比等于________ ⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图①摆放， 点E 、A 、D 、B 在一条直线上，且D 是AB 的中点。将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，垂足为G 、H 。 （1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG =DH ； （2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。 ⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300 的直角三角形组成,利用这副三角板构成 一个含有150 角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD, 则∠ADB 的余切值为 . ⑧如图，ABC ?中，?=∠90ACB ，?=∠30B ，1=AC ，过点C 作AB CD ⊥1于1D ，A G D H M E F C B N 第24题图 图③ E F M N D A B G H 图④ C 45° 60° A E D B C F A G D H M E F C B (N ) 第24题图 图① 图② 初中数学常用公式 一?代数： 1.1绝对值运算 2.1平面几何：角 1.2有理数的运算 2.2 三角形 1.3整式的乘法运算 2.3四边形 1.4整式乘法公式 2.4比例性质 1.5整式除法公式 2.5三角函数 1.6分式的运算公式 2.6与圆有关的公式1.7 一兀二次方程 2.7点与圆的位置1.8因式分解 2.8直线与圆的位置1.9不等式 2.9两圆的位置 1.10二次根式 1.1绝对值运算 1.2有理数的运算 1.3整式的乘法运算 1.4 整式乘法公式 1.5 整式除法公式 1.6 分式的运算公式 1.7 一元二次方程：的解1.8 因式分解 1.9 不等式若，则 若，则 若，则 1.10 二次根式 2.1 角 1周角=360 ° 1 平角=180 ° 1 直角=90 ° 1°= 60 ；1 = 60”若，则/ A与/ B互为余角。 若，则/ A与/ B互为补角。 2.2 三角形 若，则 若，则 若，则为直角三角形 正弦定理： 余弦定理： 2.3 四边形 （a为底边长，h为底边上的高）（ab 为两邻边长） （ab 为菱形的两条对角线） 2.4 比例性质 若，则 若，则 2.5 三角函数 2.6 与圆有关的公式 圆周长 圆面积 弧长 扇形面积 2.7 点与圆的位置 设P点到圆心的距离为d，圆的半径长为r,则点P 在圆上 点P 在圆内 点P 在圆外 2.8 直线与圆的位置 设圆心到直线的距离为d，圆半径长为r,则 直线与圆相切 直线与圆相离 直线与圆相交 2.9 两圆的位置 设两圆半径分别为R和r，圆心距为d,则 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 蚂蚁行程 模型1 立体图形展开的最短路径 模型分析 上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬行一周。到点B 的最短路径就是展开图中AB ′的长，22''''AB AA A B =+。做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。 模型实例 例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子 最短有 多长？ 例2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径2r =， 若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短 路线长是 。 例3．已知长方体的长、宽、高分别为30cm 、20cm 、10cm ，一只蚂蚁从A 处出发到B 处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号） 热搜精练 1．有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。 2．如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为。 3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。 4．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为。 实际问题与一元二次方程的几种常见模型 繁殖问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得 1+x+（1+x）x=81 整理得： X2 +2x-80=0 解得 X1=8 x2=-10(舍去) 三轮后被感染的电脑总数为： 1+ x+ x（x +1）+x（x +1）2=739(台) 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑为739台，超过700台 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出x小分支，依题意得 1+x（x +1）=91 解得：X1=9 x2=-10(舍去) 答：每个支干长出9小分支 单（双）循环问题 1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？ 解：设共有x队参加依题意列方程得 x（x -1）=90 解得：X1=10 x2=-9(舍去) 答：共有10队参加 2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会? 解：设共有x人参加聚会，依题意列方程得 2)1 (- x x=66 解得：X1=12 x2=-11(舍去) 答：共有12人参加聚会 3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀x个球队参加，依题意列方程得 2)1 (- x x=28 解得：X1=8 x2=-7(舍去) 答：应邀8个球队参加 4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人? 解：有x人，依题意列方程得 初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 初中数学知识点总结及公式大全 1、一元一次方程根的情况 △=b2-4ac 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根; 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根; 当△<> 2、平行四边形的性质： ① 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ② 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。 ③ 平行四边形的对边/对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。 3、菱形： ①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。 4、矩形与正方形： ① 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ② 矩形的对角线相等，四个角都是直角。 ③ 对角线相等的平行四边形是矩形。 ④ 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。 5、多边形： ①N边形的内角和等于(N-2)180度 ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和(都等于360度) 6、平均数：对于N个数X1，X2…XN，我们把(X1+X2+…+XN)/N叫做这个N 个数的算术平均数，记为X 7、加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理） A ． 代数篇： 1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108???化为分数。 设S=0.108108108??? （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108???（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S= 108 999 余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ； 22x y + 中，知二求二。 222222()2()2x y x y x y x y x y x y +=++?+= +- 2222()2()4x y x y x y x y x y -=+-=+- 加减配合，灵活变型。 3．特殊公式 22 1 1 2x x x x ±=+±2 （）的变型几应用。 4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+m （）（） 5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+222+2017的和。三种方法举例：略 6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。 例.求1+2+4+8+16+32+2222n 令S=1+2+4+8+16+32+222+2n （1） 两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+222+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。 7． 11n m m n --=mn 的灵活应用：如：1111 62323 ==-?等。 8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路： 一、测量 ⒈长度L：主单位:米；测量工具:刻度尺；测量时要估读到最小刻度的下一位；光年的单位是长度单位。 ⒉时间t：主单位:秒；测量工具:钟表；实验室中用停表。1时＝3600秒，1秒＝1000毫秒。 ⒊质量m：物体中所含物质的多少叫质量。主单位：千克；测量工具：秤；实验室用托盘天平。 二、机械运动 ⒈机械运动：物体位置发生变化的运动。 参照物：判断一个物体运动必须选取另一个物体作标准，这个被选作标准的物体叫参照物。 ⒉匀速直线运动： ①比较运动快慢的两种方法：a 比较在相等时间里通过的路程。b 比较通过相等路程所需的时间。 ②公式：1米／秒＝3.6千米／时。 三、力 ⒈力F：力是物体对物体的作用。物体间力的作用总是相互的。 力的单位：牛顿（N）。测量力的仪器：测力器；实验室使用弹簧秤。 力的作用效果：使物体发生形变或使物体的运动状态发生改变。 物体运动状态改变是指物体的速度大小或运动方向改变。 ⒉力的三要素：力的大小、方向、作用点叫做力的三要素。 力的图示，要作标度；力的示意图，不作标度。 ⒊重力G：由于地球吸引而使物体受到的力。方向：竖直向下。 重力和质量关系：G=mg m=G/g g=9.8牛／千克。读法：9.8牛每千克，表示质量为1千克物体所受重力为9.8牛。 重心：重力的作用点叫做物体的重心。规则物体的重心在物体的几何中心。 ⒋二力平衡条件：作用在同一物体；两力大小相等，方向相反；作用在一直线上。物体在二力平衡下，可以静止，也可以作匀速直线运动。 物体的平衡状态是指物体处于静止或匀速直线运动状态。处于平衡状态的物体所受外力的合力为零。 ⒌同一直线二力合成：方向相同：合力F=F1+F2 ;合力方向与F1、F2方向相同； 方向相反：合力F=F1-F2，合力方向与大的力方向相同。 ⒍相同条件下，滚动摩擦力比滑动摩擦力小得多。 滑动摩擦力与正压力，接触面材料性质和粗糙程度有关。【滑动摩擦、滚动摩擦、静摩擦】 7．牛顿第一定律也称为惯性定律其内容是：一切物体在不受外力作用时，总保持静止或匀速直线运动状态。惯性：物体具有保持原来的静止或匀速直线运动 1 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形）。 对称：角平分线或垂直或半角。 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转。 2 对称全等模型 说明： 以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 3 对称半角模型 说明： 上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 4 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段。 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等。 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等。 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。 5 旋转半角模型 说明： 旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 6 自旋转变换构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形； 遇90度旋90度，造等腰直角； 遇等腰旋顶点，造旋转全等； 遇中点旋180度，造中心对称。 7 共旋转模型 说明： 旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 8 模型变形 说明： 模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 9 中点旋转模型 说明： 两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。(完整)初中数学几个常用模型资料
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