Leslie 人口模型
现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。
模型假设
(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;
(2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记
)](,),(),([)(21t n t n t n t n m =
第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记
1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;
(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;
(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。 建立模型与求解
根据以上假设，可得到方程
)1(1+t n =∑=m
i i i t n b 1
)(
)()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为
)()1(t Ln t n =+
其中，L =??????
?
? ??--000000000121121m m m s s s b b b b
（1） 记
)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2）
假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则
t
1
+t
()(0),
0,1,2,t n t L n t ==
为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：
(i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;
(ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。
易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i ）、（ii ）下，下面的结果是成立的： 定理1
L 矩阵有唯一的单重的正的特征根0λλ=，且对应的一个特征向量为
*n =[1，s 1/0λ，s 1s 2/20λ，…，s 1s 2 …s m -1/1
-m λ]T
（3） 定理2
若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ≤。 定理3
若L 第一行中至少有两个顺次的0,1>+i i b b ，则
（i ）若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ<。
（ii ）t t t n 0/)(lim λ+∞
>-=*cn ， （4）
其中c 是与n （0）有关的常数。
定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当t 充分大时，有
*)(0n c t n t λ≈ (5) 定理4
记12
1i i i b s s s β-=，q （λ）=1β/λ+2β/λ2+…+m β/m λ，则λ是L 的非零特征根的充
分必要条件为
q （λ）=1 （6）
所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长。由（5）式可得到如下结论：
(i) 当λ>1时，人口数最终是递增的； (ii) 当λ<1时，人口数最终是递减的； (iii) 当λ=1时，人口数是稳定的。 根据（6）式，如果λ=1，则有
b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1
记
R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + b m s1s2…s m-1（7）
R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R>1时，人口递增；当R<1时，人口递减。
Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。
公园大象管理
南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。
近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。
公园有一些关于大象的资料，供建模参考：
1几乎不再迁入或迁出大象；
2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；
3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%
4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；
5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；
6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；
7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；
8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；
公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；
你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：
1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；
2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性
对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60
年)；
3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平
衡两种方案；
4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使
停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；
5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型
指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管
理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程(最多3页)回答公共关心
的问题。
6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000
头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.
附过去两年的迁出数据
年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
总量1 103 77 71 70 68 61 58 51 52 51
母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29
总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57
母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25
年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42
母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25
总量2 60 63 64 60 63 59 52 55
49 50
母象2 26 36 38 30 33 34 24 30
21 30
年龄 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47
母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27
总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40
母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16
年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37
38 39
总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41
母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24
总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26
母象2 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13
年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47
48 49
总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26
母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11
总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19
母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9
年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58
59
总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4
母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2
总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0
母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0
年龄 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70
总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2
母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2
总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0
母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
假设与分析
1大象性别比接近1：1，初生象的性别比也是大约1：1，采取控制后，也希望维持这个
比例；
2过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；
3 避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个年龄的母象是等比例避孕的，
比例系数为k ，仅通过调节k 来控制公园大象数量；
4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁，当前状态下，成年象的成活率为s ，生育母象率为r ，老年象的成活率是线性逐渐递减的，因此其成活率可表示为
(70)/10,(6070)i s s i i =-≤≤
设初生象活到1岁的存活率为0s 。
5避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是否怀孕，一旦打了避孕针，母象就被避孕或中止怀孕，平均每年有γ比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为η，每年的避孕方案时瞬时完成的。
6 假设大象的年龄结构是稳定的。
数据处理与分析
（1）2-60岁大象的存活率与年龄结构 母象生育率为
r =1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448头/年 12岁的母象生育母象的生育率为r /6。
由题设知道存活率)99.0,95.0(∈s 。 以下是第一年迁移出0至70岁大象数据
x1=[103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4, 4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ]; 以下是第二年迁移的0-70岁大象数据
x2=[98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0];
x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);
以下是第一年迁移的0-59岁母象数据
y1=[50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2];
以下是第二年迁移的0-59岁母象数据
y2=[57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0];
考虑到有些数据较小及抽样的随机性，我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据。
t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);
tt=t1+t2;
tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;
mean(tn)
ans =
0.9672
t1=x1(12:21);t2=x2(12:21); tt=t1+t2; tt1=tt(1:9);
tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9820
t1=x1(12:31);t2=x2(12:31); tt=t1+t2; tt1=tt(1:19);
tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9859
t1=x1(12:41);t2=x2(12:41); tt=t1+t2; tt1=tt(1:29);
tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9765
t1=x1(12:51);t2=x2(12:51); tt=t1+t2; tt1=tt(1:39);
tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9771
t1=x1(12:60);t2=x2(12:60); tt=t1+t2;
tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9719
n1=zeros(1,71);
n1(1)=1;n1(2)=0.75;
for i=3:61
n1(i)=n1(i-1)*0.98;
end
n1;
n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10); end n1;
N1=n1(12:50); xx=x(12:50);
xx=100*xx/norm(xx,1); N1=100*N1/norm(N1,1);
t=1:39;plot(t,N1,t,xx);axis([10,40,0,5]);title('图1')
通过以上分析大致可以得到，1-60岁大象的存活率约为0.98。0-70岁年龄结构向量见图2。
y0=100*x0/norm(x0,1);
a=0:70;
bar(a,y0,'stacked'); title('图2')
下面我们取0120.75,0.98s s s ===。
m1=zeros(1,71);
m1(2)=0.75/1.029;
for i=3:61
m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;
end
m1;
for i=62:71
m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);
end
m1;
m1=100*m1/norm(m1,1);
bar(a,m1,'stacked');
title('图3 稳定的年龄结构')
plot(a,m1,'r-',a,y0,'b-.');
title('图4 年龄结构当前状态与稳定状态比较')
ans =
0.1981 -0.0694
从所给的数据来看，象群的年龄结构还没有达到相对稳定的状态。 根据以上数据，大体可以得到
l=zeros(71,71); l(1,13)=0.1448/6;l(2,1)=0.75; for i=14:61 l(1,i)=0.1448; end l; for j=3:61 l(j,j-1)=0.98; end; l;
for k=62:71
l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10; end l;
eig(l);
矩阵的唯一正特征值为1.0322。
对于不同的存活率，得到的唯一正特征值为：
0000.75,0.97, 1.023;0.75,0.98, 1.0322;0.75,0.99, 1.042.
s s p s s p s s p =========
下面我们估计每年处于避孕状态母象的比率γ。此时，女性生育率为0.1448(1)γ-。
记
0120.75,0.98s s s ===
1111
12
130101
20.1448(1)/6,0.1448(1)(1461)i i s s s s s i βγβγ-=-=-≤≤
由（6）式得
131461(1)1q βββ=+++=
解得
1148
012221
10.376,0.6240.1448[1/6(1)/(1)]
s s s s s γγ-=
==+-- 1-1/(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98-0.98^49)/0.02))
ans =
0.6240
即每年应该有62.4%的母象处于避孕状态。
为了保证有62.4%的母象处于避孕状态，下面分析每年应该打避孕针母象的比例η。 在假设3和假设5的前提下，如果每年打避孕针母象比例为η。母象可以分成3类：即
当年被打避孕针而上一年没有被打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针,比例为
2(1)ηη-；连续两年被打避孕针2η；连续两年没有被打避孕针。只有最后一类母象具有生育
能力。因此，只需要η满足方程 2
2(1)γηηη=-+ 1-sqrt(0.376)
ans =
0.3868
ans =
0.3868 0.3868*5500 ans =
2.1274e+003
解得 0.387η=，即每年大约需要给2127头母象打避孕针。
在方案实施过程中，实际上根本不需要打这么多针，因为许多小象还是可以识别的。可以采取随机抽样的打针方式，对于抽到的小象只计数不打针，直至计满2127头母象，就算完成当年任务。采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的，下面给出了打与不打避孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群数的比较。 m1=zeros(1,71);
m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322; for i=3:61
m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322; end; m1; for i=62:71
m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10); end; m1;
n1=zeros(1,71);
n1(1)=1;n1(2)=0.75; for i=3:61
n1(i)=n1(i-1)*0.98; end; n1; for i=62:71
n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10); end;n1;
subplot(1,2,1) a=0:70;
plot(a,m1,'r-',a,n1,'b--'); title('图5年龄结构比较'); axis([0,70,0,1]);
M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1); a=0:70;
subplot(1,2,2)
plot(a,M1,'r-',a,N1,'b--')
title('图5各年龄段大象数比较图')
axis([-0,70,0,300])
通过以上两个图的比较，可以发现采取避孕措施，将使幼象、小象数减少，中老年象数增加。
由于采取避孕措施，使得初生小象数减少，因此会不可避免地引起象群年龄结构的改变，下面分析，15年、30年、60年后的象群年龄结构。
L=zeros(71,71);
L(1,13)=0.1448*0.376/6;L(2,1)=0.75;
for i=14:61
L(1,i)=0.1448*0.376;end; L;
for j=3:61
L(j,j-1)=0.98; end; L;
for k=62:71
L(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10; end; L;
eig(L);
n15=L^15*x0';n30=L^15*n15;n60=L^30*n30;
n15=100*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1);
n60=100*n60/norm(n60,1);
M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1);
M60=5500*n60/norm(n60,1);
bar(a,55*y0)
title('图6a 避孕前种群量分布');axis([0,70,0,250])
bar(a,M15)
title('图6b 避孕15年后种群量分布');axis([0,70,0,250])
bar(a,M30)
title('图6c避孕30年后种群量分布');axis([0,70,0,250])
M60=5500*n60/norm(n60,1);
bar(a,M60)
title('图6d 避孕前种群量分布');axis([0,70,0,250])
n70=L^70*x0';n70=100*n70/norm(n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);
图7给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比较
plot(a,k1,'r-',a,n70,'b-.');
title('图7 避孕前后稳定的年龄结构');axis([0,70,0,5])
数据不确定性对结果的影响
分别取0120.7,0.8,0.95,0.99s s s ===
1148
012221
10.421,0.5790.1448[1/6(1)/(1)]
s s s s s γγ-=
==+-- 1-1/(0.1448*0.7*0.95^11*(1/6+(0.95-0.95^49)/0.05))
ans =
0.0115
1-sqrt(1-0.0115)
ans =
0.0058
1-1/(0.1448*0.8*0.99^11*(1/6+(0.99-0.99^49)/0.01))
ans =
0.7466
1-sqrt(1-0.7466) ans =
0.4966
[0.012,0.757]γ∈
每年需避孕的母象比例为0.6%—49.7% 。
对于每年可以迁移50-300头大象及0120.75,0.98s s s ===，下面分析避孕方案的变化及最经济的方案。
设增长率为p ，对于 0120.75,0.98s s s ===
1111
12130101
20.1448(1)/6,0.1448(1)(1461)i i s s s s s i βγβγ-=-=-≤≤
1213
60131461()///1q p p p p βββ=++
+=
令
001122111112130114012
'/,'/,'/'0.1448(1')'/6,'0.1448(1')'(')(')
(1461)
i s s p s s p s s p
s s s s s i βγβγ-====-=-≤≤
131461()'''1q p βββ=+++=
1148
012221
1'0.1448''[1/6'(1')/(1')]
s s s s s γ-=
+-- 当 1.01p =，每年的避孕率为28.2%，每年迁出110头； 当 1.02p =，每年的避孕率为16.8%，每年迁出220头； 当 1.025p =，每年的避孕率为11.3%，迁出275头。
1-1/(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98-0.98^49)/0.02)) ans =
0.6240
1-sqrt(0.376) ans =
0.3868
p=1.01;
1-p^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).^49)/(1-0.98./p)))
ans =
0.4848
1-sqrt(0.5152) ans =
0.2822
p=1.02;
1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)^49)/(1-0.98/p))) ans =
0.3080 1-sqrt(0.692) ans =
0.1681
p=1.025;
1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)^49)/(1-0.98/p))) ans =
0.2036
1-sqrt(0.7864) ans =
0.1132 进一步分析可以知道，对于 0120.75,0.98s s s ===，如果增长率为
(1 1.0322,11000(p-1))p p ≤≤即每年移，
令
001122111112130114012
'/,'/,'/'0.1448(1')'/6,'0.1448(1')'(')(')
(1461)
i s s p s s p s s p
s s s s s i βγβγ-====-=-≤≤
1148
012221
'10.1448''[1/6'(1')/(1')]
s s s s s γ=-
+-- 每年需要避孕的母象为5500'γ，每年需要迁移的大象数为11000(1)p -。从相关的文献
中我们大致可以得到，设平均每迁移一头大象的成本约避孕一头大象费用的λ倍，由此得到增长率为p 时的总费用函数为
()(5500*'11000**(1))c p k t p γ=+-
记
()'2(1)y p t p γ=+-
易见，1,0.3868, 1.01,0.346, 1.02,0.396p y p y p y ======
clear;
p=1:0.002:1.032;
q=1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).^49)./(1-0.98./p))) q =
Columns 1 through 5
0.6240 0.5989 0.5725 0.5446 0.5154 Columns 6 through 10
0.4848 0.4526 0.4189 0.3836 0.3467 Columns 11 through 15
0.3080 0.2676 0.2254 0.1814 0.1354 Columns 16 through 17
0.0875 0.0376
a=1-sqrt(1-q)
a =
Columns 1 through 5
0.3868 0.3667 0.3461 0.3252 0.3039 Columns 6 through 10
0.2822 0.2601 0.2377 0.2149 0.1917 Columns 11 through 15
0.1681 0.1442 0.1199 0.0952 0.0702 Columns 16 through 17
0.0448 0.0190
y=a+15*(p-1)
y =
Columns 1 through 5
0.3868 0.3967 0.4061 0.4152 0.4239 Columns 6 through 10
0.4322 0.4401 0.4477 0.4549 0.4617 Columns 11 through 15
0.4681 0.4742 0.4799 0.4852 0.4902 Columns 16 through 17
0.4948 0.4990
Leslie 矩阵模型预测人口 Leslie 矩阵模型的基本概念 参数定义[11] 我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到： x k (i )——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数 i =1,2,3,…n 注：这里的x k (1)表示的最低年龄段的人数，如0岁~5岁的人数；一定存在整数n 使得 x k (n )表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。 其他关于人口的参数： 1）b k (i)——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率 2）d k (i)——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率 Leslie 矩阵 1.转移过程 在一个时间周期内x k?1(i )里的人数转移到x k (i +1)里，考虑死亡的人数我们得到如下式子： 11(1)()(1()),1,2, k k k x i x i d i i n --+=-= (4-1) 下面来讨论i =0的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k 的第个i 年龄段的女性人数为 1 ()2 k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下： 1111 ()() ()2 n k k k i x i b i x i --==∑ (4-2) 2. 人口发展模型 1 11111111 11 1(0) (1)(1)()22 2 2 1(0) 00 001(1)00001(1) 0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------??- ? ?- ? =? ?- ? ? ?--? ? (4-3)
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250
图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1． 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2． 假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3． 不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4． 在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5． 假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人口 的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1963年、1980年、2005年到2012年四组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
人口增长模型的确定 摘要 人口增长模型对于人口的预测、环境评估、经济评价等方面有着很重要的作用，本文通过matlab对已有的数据进行拟合，分析，统计学计算，在前人的基础上做出马尔萨斯指数增长模型、logistic阻滞增长模型，再对这些模型进行对比分析，从而确定了我们所使用的logistic阻滞增长模型。 关键词：人口增长模型matlab 马尔萨斯指数增长模型logistic阻滞增长模型cftool 工具箱
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题假设 1.假设随着时间的增长，人口数量是增加的。 2.假设在此期间，无重大自然灾害，传染病及战争因素影响。 3.假设每年影响人口数量的因素相同。 4.假设每年影响人口数量的作用强度和相同。 5.假设无迁入迁出影响。 三、符号说明 四、问题分析 根据所给的数据和题目要求建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，那么我们直接建立马尔萨斯增长模型进行求解的结果与实际值相近，则说明所建立的模型是可行的。否则进一步改进所给模型，寻找更优秀的模型。
（一）五、模型建立 马尔萨斯增长数学模型：马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N(t)的变化率与生物总数成正比。[1]其数学模型为 （1） 方程的解为 (2) 其中 用matlab 中cftool 工具箱进行指数拟合得到下图 图一 00()()d N rN dt N t N ==??? 0() 0()r t t N t N e -=001790, 3.9 t N ==
Leslie 人口模型 现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。 模型假设 (1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记 )](,),(),([)(21t n t n t n t n m = 第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记 1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。 建立模型与求解 根据以上假设，可得到方程 )1(1+t n = ∑=m i i i t n b 1 )( )()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为 )()1(t Ln t n =+ 其中，L =?????? ? ? ??--00000000 0121121m m m s s s b b b b （1） 记 )]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2） 假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则 t 1 +t
人口增长的预测 关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1．Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。 2．Logistic模型 1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为： ，（2.1） 上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解： N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’） N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0) 化简后得： 四利用数学模型对中国人口的预测
软件学院 人口增长模型数学建模报告 专业：软件工程 班级：卓越131班 学号：201370044120 学生姓名：郭俊成 指导教师：于志云 2015 年11 月12 日 题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要 本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。 同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。 论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。 关键字 单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型 一、问题描述
l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增 长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r - = （3）
将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0) 解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5 得到1954-2005实际人口与理论值的结果： 根据《国家人口发展战略研究报告》 我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年
数学建模论文 题目：人口增长模型的确定专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名：
人口增长模型 摘要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。关键词：人口预测Logistic模型指数模型
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 年份1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口(?106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(?106) 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。 人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。 三、问题假设 1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故 或战争等而受到大的影响； 2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则 3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制 四、变量说明
数学建模 ———关于人口增长的模型
摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首 先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。 一、 问题的提出： 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百 模型一（指数增长模型） 1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。 附图A
2、基本假设：人口的增长率是常数 增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。 故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。 设人口增长率为常数r 。时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O 由假设，对任意△t>0 ，有 )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数 当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即： o t →?lim )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 引入微分方程： )1( )0()(0 ??? ??==x x t rx dt dx 3、模型求解： 从（1）得 rdt x dx = 两边求不定积分： c rt x +=ln ∵t=0时0x x =，∴C x =0 ln rt e x rt x x 00ln ln ln =+= ∴rt e x t x 0 )(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长. 备注； r 的确定方法： 要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33 .5==r ,359.1307.0=e ,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(?= 4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):
人口增长模型综述 一、引言 当前中国的人口正在以一个较快的速度增长，随着人口的增长，环境和社会的压力正在不断的加大，然而，环境的承载能力是有限的，人口不可能无限制的，故人口最后会趋于一个稳定的数字。世界上大多数国家的人口年龄结构，都是随着人口转变以及社会经济发展，逐渐从年轻型、成年型到老年型转变的。西方发达国家的人口转变是伴随着工业化和现代化逐步深化的渐进过程，经历了大约150多年的时间。我国则是在经济不发达的条件下进行的，且明显带有人为的痕迹，经历着更加迅速的人口转变，人口年龄结构也发生了比较快的变化，即从相对年轻型人口结构，直接转变为相对老年化的人口结构。因此，对于人口的未来趋势的预测将变得尤为重要，产业、服务、环境等方面都依赖于人员，只有对未来人口的发展趋势进行准确的把握，才能够及时地对社会各个部门进行调控，以缓解人口对于社会环境的压力！利用数学建模的知识建立人口增长模型，进而才能够得到较为准确的未来的人口数据。 然而，何为人口增长模型？人口增长模型[1]就是通过人口现状及对影响人口发展的各种因素的假设，对未来人口的规模、结构、变动和趋势所做的测算。当前人口老龄化，人口出生率以及人口死亡率等问题已经成为人口问题的焦点问题，同时，对于一个城市或国家的人口预测还必须考虑到移民率等。 二、中国人口增长研究的现状[6] 新中国成立60年来，中国人口发展经历了两个不同的时期：一是实行计划生育政策之前，人口发展处于无计划、自发的高增长时期；二是实行计划生育政策之后，人口发展逐步走向有计划、可控制的平稳增长时期。这两个不同发展时期的区别，不仅表现在出生率、死亡率的变化上，而且还表现在人口发展模式的转变，以及人口年龄结构的变化上。 现如今，中国面临着严峻的人口压力，我们的国家虽然地大物博，然而人均资源占有量确实相当的稀少，因此，解决人口增长问题已经变得迫在眉睫。中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 当前我国对于人口增长预测的模型主要考虑到了环境所能接受的最大数量，人口出生率，人口死亡率，人口老龄化，以及平均寿命等因素对于未来人口的增长所带来的影响。其中人口老龄化是最近几年中国人口发展出现的新问题。 一般来说，当前普遍是通过莱斯利模型，马尔萨斯模型为基础模型，对其中
Logistic人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic人口阻滞增长模型，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测 的效果好并结合中国实情分析原因。 表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示 为x的函数 ) (x r。则它应是减函数。于是有： )0( , ) (x x x x r dt dx = =
（1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） ） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 m x ，当 m x x =时人口不再增长，即增 长率 )(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; # x=[,,,,66,,,,,,,,,,,,83,,,,,,,95,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]; x1=[,,,,66,,,,,,,,,,,,83,,,,,,,95,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]; x2=[,,,66,,,,,,,,,,,,83,,,,,,,95,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r \ x0=; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');
人口增长模型的确定 Prepared on 22 November 2020
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想
到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0) 起始年人口容纳量 N(t) t年后人口容纳量 t 年份 r 增长率 五、模型建立 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。
毕业设计—— 人口增长模型及其应用 孙建锋第一章绪论 1.研究背景 2.国内外研究现状 3.人口概念介绍 第二章人口增长模型的概述 1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型） 2.Logistic模型（人口阻滞增长模型） 3.年龄移算法模型 4.Leslie人口增长模型 5.灰色GM（1，1）预测模型 6.人口发展方程 7.各模型的优缺点对比 第三章基本人口预测 1.出生人数的预测 2.死亡人数的预测 3.分年龄分性别人口数预测 4.人口总数预测 第四章人口实例预测
1.数据准备 2.模型应用与求解 3.结果分析 4.结论及相关建议
第一章绪论 1.1研究背景 人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定.人口问题事关国计民生，是影响经济社会发展全局的重大问题。以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。 人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。 众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。中国在世纪之交的2000年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、
中国人口增长趋势预测 摘要 人口总数的预测对未来资源分配，划分有着重要的意义，本文根据人口预测模型结合所给数据进行人口预测，并进行模型改进结合最小二乘法拟合出较理想的人口变化趋势。 第一问中，采用Logistic模型描述了人口的增长规律，通过简要的假设设置相应的预测系数 第二问中，根据表中所给的数据，运用Matlab以及Excel得出人口随时间变化的曲线 第三问中，通过运用非线性最小二乘法拟合，Matlab编程得到相关的系数x =r 万人，并判断模型的可用性。 0253 .0 248205= m 第四问中，根据所得的模型，带入相关数值得到2030年人口数量将达到144210万人 第五问中，通过改进求解拟合参数的方法，将非线性最小二乘法改为线性最小二乘法估计模型参数，通过分析可知2030年可能会达到我国人口数量的峰值近似为145168万人，与国家人口预测结果基本相符合。 关键词：Logistic模型；最小二乘估计；Matlab；线性拟合 一. 问题提出 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料，对于表中所给出的数据，研究人口增长的规律。 问题一，作出适当的简化假设，在此基础上建立中国大陆人口群体增长的数学模型。 问题二，对表中所给出的数据，画出1949~2017年中国大陆人口总数随时间变化的曲线； 问题三，对第1问模型中的参数进行估计 问题四，预测2030年中国大陆的人口总数。 问题五，模型的评价与改进。
二．问题分析 由于人口的增长受到自然资源，环境条件等因素的影响，因此第一问的模型选取应该选用能够反映阻滞作用对人口增长率的影响，使增长率r能够随着人口数量的增长而下降，基于此选择了典型的人口增长模型logistic函数，并对相应的参数进行设置。 第二问中由Matlab能够得到表中数据的变化趋势。 第三问中对于大数据处理要得到模型中的相应参数需要用最小二乘法进行系数估计，通过分析曲线的特点评价模型的可用性。 在第四问，根据模型带入相应的时间预测对应的人口总数。 第五问中，由分析可知，线性最小二乘法估计参数要比非线性最小二乘法估计参数的精度要更高，因此通过观察人口增长率的曲线可以近似拟合成一次函数的现象，将估计参数的方法改为线性最小二乘法估计参数，并结合数据实际曲线，确定相应的模型参数。 三．模型的基本假设 （1）生育模式相对不变 （2）所用数据真实可靠 （3）不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影 （4）较短的时期内的死亡率是稳定的 四．符号约定