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二次根式常见题型

二次根式常见题型
二次根式常见题型

二次根式常见题型

一、知识要点:

1.二次根式的有关概念

(1)二次根式

式子)0(≥a a 叫做二次根式.注意被开方数只能是正数或O . (2)

最简二次根式

被开方数所含因数是整数,因式是整式,不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.

(3)同类二次根式

化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式.

2.二次根式的性质

).0;0();

0;0();

0(),0(||);

0()(22>≥=≥≥?=???<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a

3.二次根式的运算

(1)二次根式的加减

二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类三次根式分别合并.

(2)三次根式的乘法

二次根式相乘,等于各个因式的被开方数的积的算术平方根,即

).0,0(≥≥=?b a ab b a

二次根式的和相乘,可参照多项式的乘法进行.

两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个三次根式互为有理化因式.

(3)二次根式的除法

二次根式相除,通常先写成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式,把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去,叫做分母有理化.

二、常见题型:

类型一:考查最简二次根式、同类二次根式概念.

例1、判断下列各式是否是最简二次根式?

解:被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断.

(1)

不能分解因式, 显然满足最简二次根式的两个条件. (2)

例2、把下列二次根式化为最简二次根式

解:

例3、把下列二次根式化为最简二次根式

解:

例4、下列二次根式中与是同类二次根式的是()

A.B.C.D.

解:∵,,,∴与是同类二次根

式.

故答案选择D.

例5、最简根式与是同类根式,求,的值.

解:∵与为同类根式,

∴,,解方程组

得当,时,两根式都为,符合题意.

类型二:考查二次根式的计算或化简求值. 例6、计算: (12 - 13 )-( 4.5 -0.75 ) 解:原式=(12 2 -13 3 )-(32 2 -12 3 ) = 12 2 -13 3 - 32 2 +12 3 =(12 - 32 ) 2 +(-13 +12

) 3 = - 2 +16 3 例7、当

, 时,求代数式 的值.

解:

当 时, 时,

原式

类型三:求二次根式的近似值.

例8、已知:

=1.732,如何求出 的近似值? 解法1:

解法2:

(完整版)二次根式经典题型分类复习

二次根式复习 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念: (1)形如 的 式子叫做二次根式. (即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 (2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质: (1) 非负性 3.二次根式的运算: 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 ) (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; ( 3)合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0) a b = ≥> (0,0) a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>

常考题型: 题型一、形如: 若见到“a 为二次根式”或“a 有意义”,则马上可以得到 a≥0 例1、式子1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x ≥1 C .x ≤-1 D .x <-1 变式1、要使式子 有意义,则x 的取值范围是( ) A .x >0 B .x≥﹣2 C .x≥2 D .x≤2 变式2、若代数式 1 x x -有意义,则实数x 的取值范围是( ) A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 变式3、式子 有意义的x 的取值范围是( ) A . x≥﹣且x≠1 B . x≠1 C . D . 题型二、二次根式的运算(加减乘除)b a ab ?=(a≥0,b≥0)b a b a = (a≥0,b>0) 基础练习1、实数0.5的算术平方根等于( ). A.2 B.2 C. 22 D.2 1 基础练习2、16的算术平方根是( ) A. 4± B. 4 C. 2± D. 2 例1、下列运算正确的是( ) A . x 6+x 2=x 3 B . C . (x+2y )2=x 2+2xy+4y 2 D . 例2、计算1 489 3 -的结果是( ) (A)3-. (B)3. (C)11 33 - . (D) 11 33 . 例3、下列计算正确的是( ) . 4 B . C . 2 = D . 3 例4、下列各式计算正确的是( ) A . 3a 3+2a 2=5a 6 B . C . a 4?a 2=a 8 D . (ab 2)3=ab 6

二次根式知识点总结材料和习题

二次根式的知识点汇总 知识点一:二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注: 在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。 知识点二:取值围 1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根 式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。知识点三:二次根式()的非负性 ()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。 注: 因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:

二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,. 知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本 身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即; 2、中的a的取值围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义; 3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六:与的异同点 1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实 数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而 2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的运算 (1)因式的外移和移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

《二次根式》典型例题和练习题之欧阳歌谷创编

《二次根式》分类练习题 欧阳歌谷(2021.02.01) 二次根式的定义: 【例1】下列各 式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、 2、在、、、中是二次根式的个数有 ______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是.[来源:学*科* 网Z*X*X*K] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、

第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 举一反三: 1 2()x y =+,则 x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y= 4x 233x 2+-+-,求 xy 的值 3、当a 取什么值时,代数式1取值最小,并求出这个最小值。 已知a b 是1 2a b + +的值。 若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3。 若 17 的整数部分为x ,小数部分为y ,求 y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若 ()2 240a c -+-=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若 0)1(32=++-n m ,则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数,且()0 2312 =-+-y x ,则y x -的值为 ( ) A .3 B .– 3 C .1 D .– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2 -4|+6 52+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 (公式 )0()(2 ≥=a a a 的运用)

《二次根式》典型例题和练习题

《二次根式》分类练习题 二次根式的定义: 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A B C D 2______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .[来源:学*科*网Z*X*X*K ] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x >3 ??B 、x≥3 C 、 x>4 ??D 、x ≥3且x ≠4 有意义的x的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y =5-x +x -5+2009,则x+y = 举一反三: 2 ()x y =+,则x -y的值为( )

A .-1 B .1 C.2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求x y的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ,小数部分为y,求y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数,且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A .3 ? B .– 3? C.1? D.– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x2-4|+652+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 (公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、0 C、2a —4 D 、4

二次根式知识点归纳及题型总结精华版

二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质: 1.; 2.; 3.; 4.积的算术平方根的性质:; 5.商的算术平方根的性质:. 6.若,则. 知识点二、二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理;

(3) 乘法公式的推广: 2.二次根式的加减运算 先化简,再运算, 3.二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3)45++x x (6). (7)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (8)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 4.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=,则2 2004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 6.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ,且0>y 时,则( ) A 、10<)0() 0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +=-x 3+x ,则( ) A.x ≤0 B.x ≤-3 C.x ≥-3 D.-3≤x ≤0 2..已知a

二次根式知识点及典型例题练习

第十六章 二次根式 知识点: 1、二次根式的概念:形如(a ≥0)的式子叫做二次根式。“”= “”,叫做二次根号,简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件:a ≥0; 二次根式没有意义的条件:a 小于0; 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时,12--x 有意义,当x ______时,3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ,则x 的取值范围是______。 例6、(1)当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 2x 在实数范围内有意义?3x 呢? 3、二次根式的双重非负性: ≥0;a ≥0 。 例1、 已知+ =0,求x,y的值. 例2、 若实数a、b满足 +=0,则2b-a+1=___. 例3、 已知实a满足,求a-2010的值. 例4、 在实数范围内,求代数式 的值. 例5、 设等式=在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值. 例6、已知9966 x x x x --=--,且x 为偶数,求(1+x )22541x x x -+-的值. 4、二次根式的性质: (3)

例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 (1)9=_____ (2)2(4)-=_____ (3)25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ (4)2(3)- =_____ 例3.(1)若2a =a ,则a 可以是什么数? (2)若2a =-a ,则a 是什么数? (3)2a >a ,则a 是什么数? 例4.当x>2,化简2(2)x --2(12)x -. 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0,b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根,等于积中各因式的 算术平方根的积。 , 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0,b >0) 商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 (1)57 (2139(3927 (412 6 例2、化简 (1916?(21681?(3229x y (4)54

初二下册二次根式所有题型专题

二次根式专题 题型一:二次根式的概念 【例题1】 当为实数时,下列各式,,, 属于二次根式的有 ________个. 【练一练】 1. 下列式子中二次根式的个数有 ( ) (1) ;( 2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) (x >1) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 2. 下列各式① ;② ;③ ;④ ;⑤ ,其中二次根式的个数有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 题型二:二次根式的意义(取值范围) 【例题2】 x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1) (2)y=-; 【练一练】 1. 若使二次根式 有意义,则x 的取值范围是 ; 2. 使式子 x 211 -有意义的x 的取值范围为______________________; 3. 代数式x -9有意义时,实数x 的取值范围是__________________; 4. 函数x x y 2 += 的自变量x 的取值范围是_____________________; 5. 函数2 1 -+= x x y 中,自变量x 的取值范围是___________________; 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义,则x 满足的条件是______________________. x () 2 223,1,,, , x x x x x --y =2+x x 23-

题型三:二次根式的性质()0 ( ) (2 2≥ = =a a a a a,) 【例题2】 1.计算下列各式: (1)(3)(4) 2.已知a,b,c在数轴上如图所示,化简:. 3.已知a、b 都是实数,且b,化简?+1的结果是多少? 【练一练】 1.=________. 若,则______.若=0,则=__________. 2.若,则____________;若,则______________. 3.已知,求的值为____________. 4.若,则化简的结果是__________. 5.已知c b a, ,为三角形的三边,则2 2 2) ( ) ( ) (a c b a c b c b a- + + - - + - += . 2 3 2() 4 --2 (3.14)π -2) 2 5 2 (-2) 2 ( 2a a- - - 22 x x -+- 2 (1) 1 x x - -

初三数学二次根式经典习题

二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1);2-x (2)121+-x (3)x x -++21 (4)45++x x (5)1 213-+-x x (6)若1)1(-=-x x x x ,则x 的取值范围是 (7)若 1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 5..当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=,则22004a -=_____________. 7.若433+-+-=x x y ,则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--,求m 的值. 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ,当0>y 时,m 的取值范围是( ) A 、10<

二次根式知识点归纳及题型知识讲解

一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 题型一:判断二次根式 (1)下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x 、x (x>0)、0、42、-2、1x y +、x y +(x≥0,y ≥0). (2)在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中,二次根式有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 (3)下列各式一定是二次根式的是( )A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二:判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: (1)43-x (2)a 83 1- (3)42+m (4)x 1- 2、21 x x --有意义,则 ;3、若x x x x --=--32 32成立,则x 满足_____________。 练习:1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、 x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3) . (5)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (6)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 4.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=,则2 2004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 6.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是

二次根式知识点归纳及题型总结 精华版

二次根式知识点归纳和题型归类 二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质: 鳥<0); [爲工Og叭2“)= 9-0);3^ ★4 L 4. 积的算术平方根的性质:、’、:、「??「〔; E=^a>Of Z>>0) 5. 商的算术平方根的性质:* . 6. 若7 '. 知识点二、二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号 (2) 注意每一步运算的算理; 2. 二次根式的加减运算先化简,再运算, 3. 二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用

.利用二次根式的双重非负性来解题 (岛 0 (a > 0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。 ) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。A 、弋3 ; i" 2 2 ?等式 J (X 1) = 1 — x 成立的条件是 _____________ . 3?当x _____________ 时,二次根式 J2x 3有意义. 4. x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (2) (4)若 x (x 1) . X I X 1,则x 的取值范围是 _______ ( 5)若X 3 . X 3 ,则x 的取值范围是 ______________________ \ X 1 J x 1 6若J3m 1有意义,则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若J 20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是 ___________ 7. 当X 为何整数时, ______________________________________ 10X 1 1有最小整数值,这个最小整数值为 。 8. 若 2004 a V a 2005 a ,则 a 20042= _____________________ ;若 y 4,则 x y _________ m 2 9 . 9 m 2 2 — 9. 设 m 、n 满足 n ,贝V . mn = ________ 。 m 3 10. 若三角形的三边 a b 、c 满足a 2 4a 4 - b 3=0,则第三边c 的取值范围是 ____________________________ 11. 若 |4x 8| x y m 0,且 y0 时,则( ) A 、0 m 1 B 、m 2 C 、m 2 D m 2 二.利用二次根式的性质 a 2=|a|= a (a b ) (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 )来解题 u (a 0) a (a 0) 3.若化简| 1-x | - x 2 8x 16的结果为2x-5则( ) 4.已知a , b , c 为三角形的三边,则 (a b c)2 , (b c a)2 . (b c a)2 = 5.当-3— 3 D. — 3< x w 0 2..已知a

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. (1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; (2)判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. (3)形如a m (a ≥0)的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=(a ≥0); (4)根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: (1)双重非负性:a ≥0,a ≥0;(主要用于字母的求值) (2)回归性: () a a =2 (a ≥0);(主要用于二次根式的计算) (3)转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .(主要用于二次根式的化简) 重要结论: (1)若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.

(2) ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. (3)()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. (4)() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.

二次根式经典练习题汇总

二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数),下列等式总能成立的是(8. )1.下列式子一定是二次根式的是( 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. .AD. B . C . ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. )m有意义,则2能取的最小整数值是(.若 m=3 .m=0 A.Bm=1 .DC.m=2 29x?),以下说法中不正确的是( 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是()3.若x<0,则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 .—C.0D.2 或—B 0 A.227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是()A. ?? B. ( 4.下列说法错误的是)28?649a?6a?是二次根式B.A.是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是.C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5.是整数,则正整数的最小值是();②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12.化简:计算= ________13.的结果为().化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14.化简:的结果是113033030.B .A .C .D3030 2?? _____________??1x?5x?时,。5x1 15.当≤<1?????20012000.把.7a 根号外的因式移入根号内的结果是()______________33???22a.16。

最新二次根式最常见题型(答案)

精品文档 二次根式 二次根式: 当 ______________ 时,J x +2 + J 1 —2x 有意义。 若.— 1有意义,则 m 的取值范围是 。 m 1 当x __________ 时,J (1 -X $是二次根式。 在实数范围内分解因式: x 4 —9 = ,x 2 —2j2x+2 = 已知\ I. x - 2 = 2 - x ,则x 的取值范围是 。 化简:X 2—2X , 1 x -1 的结果是 ______________________________ 。 当 w x < 5 时,J (x X j 斗 x -5 = ________________ ° 把a j _*1的根号外的因式移到根号内等于 ______________________ ° 使等式、x 1 x-1 =_x —1「,x , 1成立的条件是 ____________________ 若a —b +1与J a +2b +4互为相反数,则( a — b 『°5 = ______________ 在式子石 d 心戸(y")工2^( X 却 两,J x 2出,x 中,二次根式有( A. 2个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 若 2 w a w 3, 则 J (2 £ f -J (a d j 等于( ) -H-* 1.2二次根式的乘除 1. 当 a 兰 0,b w 0 时, _________________________ ° 2. 若J 2m 2 和J 33m _2"都是最简二次根式,则 m= ___________ ,n= ______ 3. 计算:\[3 = ___________________ ; J 36 工 9 = _________ ° 4. 计算: (届 _3厉尸73= ____________ ° 5. 长方形的宽为 3 ,面积为2^6,则长方形的长为 ______________ ° 6. 下列各式不是最简二次根式的是( A . , a 2 1 B. . 2x 1 ) ■ 2b D. C. 7.已知xy > 0,化简二次根式 ... 0.1y A . , y B.、丐 8.对于所有实数a,b ,下列等式总能成立的是( ) (T a +V b j=a +b B. J a W a +b C. 扣+2 j A. 10. =a 2 ■ b 2 对于二次根式 x 2 9 ,以下说法中不正确的是( ) A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D. a ■ b 2 =a ■ b D.它的最小值为3 A . 5 ~ 2a B. 1 2a c. 2a - 5 D. 2a -1 能使等式 x _ x 成立的x 的取值范围是( ) A. X = 2 B. X - 0 C. x w 2 D. 计算:J(2a -1 $ + J(1 -2a 2 的值是( A . o B. 4a-2 c. 2-4a D. 若? x - y y 2 -4y 4 =0,求 xy 的值。 x_2 ) 2 -4a 或 4a -2 已知a, b 为实数,且叩a ■ ib -1 ":」1 —b =0,求a 2005 —b 2006的值。 11.计算: 1.1 2. 3. 4. 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 18. 19. 21. 25.

二次根式考试题型汇总

二次根式 题型一 二次根式的定义 例1、(1)18n -是整数,求自然数n 的值. (2)当x __________时,式子3 1 -x 有意义. 题型二 二次根式有意义的条件 例2、当x 时,二次根式1x +有意义。 例3、已知x 、y 为实数,22991 3 x x y x -+-+=-,求5x+6y 的值. 例4、已知334y x x =-+-+,求23 8163y y xy ++-的值。 题型三 二次根式的性质与化简 例5、已知实数a ,b 在数轴上的位置如图所示:

试化简( ) ( ) 2 2 223 23 2a b a ab b +- ---+ 例6、计算 (1)() 13218---+ (2)()2 11111x x x ??-?- ?-+?? (3)已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简 2 2 22d c ab d c ab +-=______. 例7、化简求值 (1)化简:() 2 2a a b c a b c -++-++ (2)先化简再求值:2 22 11xy x y x y x y ??-÷ ?-+-??,其中21,21x y =+=-

(3)若x <y <0,则222y xy x +-+222y xy x ++=( ) (A )2x (B )2y (C )-2x (D )-2y (4)若0<x <1,则4)1(2+-x x -4)1 (2-+x x 等于( ) (A )x 2 (B )-x 2 (C )-2x (D )2x (5)化简a a 3 -(a <0)得( ) (A )a - (B )-a (C )-a - (D )a ( 6)当a <0,b <0时,-a +2ab -b 可变形为( ) (A )2)(b a + (B )-2)(b a - (C )2)(b a -+- (D )2)(b a --- 题型四 最简二次根式 例8、(1)下列式子中,属于最简二次根式的是( ) A (2)x 8,3 1 ,29x +都不是最简二次根式.( ) 题型五 二次根式的乘除法 例9、已知(3m ?=-?- ?? ,则有( ) A .5<m <6 B .4<m <5 C .-5<m <-4 D .-6<m <-5

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二次根式知识点总结及常见题型 资料编号 :20190802一、二次根式的定义 形如 a ( a ≥0)的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a叫做被开方数.(1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围; (2)判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“” ; ②被开方数是否为非负数 . 若两个标准都符合, 则是二次根式 ; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式 . ( 3)形如m a(a≥ 0)的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : m a m a ( a ≥0); (4)根据二次根式有意义的条件, 若二次根式A B 与B A 都有意义,则有A B. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质 : (1)双重非负性 : a ≥0, a ≥0;(主要用于字母的求值) (2)回归性 : 2 a a ( a ≥0);(主要用于二次根式的计算) (3)转化性 : a 2 a(a0) a a(a .(主要用于二次根式的化简) 0) 重要结论 : (1)若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.若 A B 2C0 ,则 A 0, B 0,C 0 . 应用与书写规范 : ∵ A B 2C0 , A ≥0,B2≥0, C ≥0 ∴ A 0, B0, C0 . 该性质常与配方法结合求字母的值.

(2) A B 2 A B A B A B ;主要用于二次根式的化简. B A A B A2 B A 0 (3)A B, 其中B≥ 0; A2 B A 0 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的. (4) A B 2 A2 B ,其中B≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例 1. 式子1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _________. x1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0.解: 由二次根式有意义的条件可知: x10 ,∴ x 1. 例 2.若 x, y 为实数,且y x11 1y1 x,化简 :. 2y1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论 : 若二次根式 A B 与 B A 都有意义 , 则有A B . 解: ∵x 1≥ 0,1 x≥ 0 ∴ x ≥1, x ≤1 ∴ x1 ∴ y0011 1 22 y11y 1 . ∴ 1y1 y 习题 1.如果3a 5 有意义,则实数 a 的取值范围是__________.习题 2.若 y x33x 2 ,则 x y_________. 习题 3.要使代数式 12x有意义 ,则x的最大值是 _________. 习题 4.若函数 y 1 2 x ,则自变量x 的取值范围是__________. x 习题 5.已知 b3a1282a 1 ,则 a b_________.

人教版八年级数学下二次根式典型题训练

初中数学试卷 八年级二次根式典型题训练 典型例题一 例01.在下列各式中,m 的取值范围不是全体实数的是( ) A .1)2(2+- m B .1)2(2-m C .2)12(--m D .2)12 (-m 分析 不论m 为任何实数,A 、C 、D 中被开方数的值都不是负数. 说明 考查二次根式的意义. 只要理解了二次根式的意义,记住在0≥a 时,式子a 才有意义,这样的题目都不在话下. 例02. y x 是二次根式,则x 、y 应满足的条件是( ) A .0≥x 且0≥y B . 0>y x C .0≥x 且0>y D . 0≥y x 分析 要使 y x 有意义,则被开方数y x 是非负数.应满足条件是0≥x 且0>y 或0≤x ,0

(7)12--a (8)122++a a 说明 判定一个式子是否二次根式,主要观察两方面:第一,被开方数是否非负;第二,是否为二次根式. 例04.求使x x 3132-++有意义的x 的取值范围. 说明 本题主要考察二次根式的基本概念,要弄清每一个数学表达式的含义. 根据二次根式的意义求解. 例05.在实数范围内分解因式: (1)_________32=-x (2)________652 4=+-m m (3)________3222=--x x 例06.若x ,y 为实数,且42112=+-+-y x x ,则_______=xy . 例07.求231294a a a a -+-+--+的值. 例08.当x 取什么值时,119++x 取值最小,并求出这个最小值. 例09.已知m 是13的整数部分,n 是13的小数部分,计算)(n m -的值. 说明 一部分学生总是想求13的算术平方根,在不允许查表的情况下,尽管可知 13的整数部分是3,但不易知道13的小数部分,从而陷入误区.而忽视了由13=+n m 可求出13的小数部分n . 练习: 1.填空题 (1)当x ______时,1-x 是二次根式. (2)=-2 )6.1(_______. (3)把7写成一个数的平方得_______. (4)在实数范围内因式分解=-22 x _____. (5)=2 )23(________. (6)若x +3不是二次根式,则x 取值范围是_______. (7)2 ) (9=ab .

二次根式典型例题

二次根式典型例题讲解 【知识要点】 10)a ≥的式子叫做二次根式。 注意:这里被开方数a 可以是数,也可以是单项式,多项式,分式等代数式,其中0a ≥根式的前提条件。 2、二次根式的性质: (10(0)a ≥ (2)2(0)a a =≥ (3a (4))0b ,0a (b a ab ≥≥?= (50,0) a b ≥> 3、二次根式的乘法法则:两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变。 即)0b ,0a (ab b a ≥≥=?。 4、二次根式的除法法则:两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变。 0,0) a b =≥>。 5、最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)根号下不含分母,分母中不含根号。 6、分母有理化:把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式2 (0)a a =≥。 有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就称这两个代数式互为有理化因式。 一般常见的互为有理化因式有如下几种类型: ①;③a a ④ 7、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。 8、二次根式的加减法 二次根式的加减,就是合并同类二次根式。 二次根式加减法运算的一般步骤: (1)将每一个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式。 【典型例题】 例1、下列各式哪些是二次根式?哪些不是?为什么? (1 (2 (3 (4 (5 (6 例2、x 是怎样的实数时,下列各式有意义。

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