2017 年中考数学真题分类解析汇编专题11：圆的问题
一、单选题
1、（ 2017 ·金华）如图，在半径为13cm 的圆形铁片上切下一块高为8cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（)
21
A 、 10cm
B、 16cm
C、 24cm
D、 26cm
2、（2017?宁波）如图，在Rt△ ABC 中，∠ A ＝ 90°，BC＝．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB 、AC 相切于 D、 E 两点，则的长为（）
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A、
B、
C、
D、
3、（ 2017 ·丽水）如图，点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点， AC=2 ，则图中阴影部分的面积是（）
A、
B、
C、
D、
4、（ 2017 ·衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙ O 的直径， CD ，EF 是⊙ O 的弦，且AB ∥ CD ∥ EF， AB=10 ，CD=6 ， EF=8 。则图中阴影部分的面积是（）
A、
B、
C、
D、
二、填空题
5、（ 2017?杭州）如图， AT 切⊙ O 于点 A ， AB 是⊙ O 的直径．若∠ ABT=40°，则∠ ATB=________ ．
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6、（ 2017?湖州）如图，已知在中，．以为直径作半圆，交于点．若
，则的度数是 ________度．
7、（ 2017 ·台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ， AC 的夹角为120 °， AB 长为 30cm，则弧 BC 的长为 ________cm （结果保留）
8、（ 2017?绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点 A 在⊙ O 上，边 AB ，AC 分别与
9、（ 2017 ·嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________．
10、（ 2017?湖州）如图，已知，在射线上取点，以为圆心的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；在射线上取点，以
为圆心，为半径的圆与相切；；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切．若的半径为，则的半径长是________．
11、（ 2017 ·衢州）如图，在直角坐标系中，⊙ A 的圆心 A 的坐标为（ -1，0），半径为 1，点
P 为直线上的动点，过点 P 作⊙ A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是 ________
三、解答题
点，交于点．已知，．
(1) 求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
13、（ 2017 ·台州）如图，已知等腰直角△ ABC ，点 P 是斜边 BC 上一点（不与 B ，C 重合）， PE 是△ ABP 的外接圆⊙ O 的直径
【出处： 21 教育名师】
(1)求证：△ APE 是等腰直角三角形；
(2) 若⊙ O 的直径为2，求的值
14、（ 2017 ·衢州）如图， AB 为半圆 O 的直径， C 为 BA 延长线上一点，CD 切半圆 O 于点 D。连结 OD ，作BE ⊥ CD 于点 E，交半圆 O 于点 F。已知 CE=12， BE=9
https://www.doczj.com/doc/429772968.html,
(1)求证：△ COD ∽△ CBE ；
(2)求半圆 O 的半径的长
15、（ 2017 ·丽水）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=Rt ∠，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D，切线 DE 交 AC 于点 E.
(1)求证：∠ A= ∠ ADE ；
(2)若 AD=16 ， DE=10 ，求 BC 的长 .
16、（ 2017?温州）如图，已知线段 AB=2 ， MN ⊥ AB 于点 M ，且 AM=BM ， P 是射线 MN 上一动点， E， D 分别是 PA ，PB 的中点，过点 A ，M ，D 的圆与 BP 的另一交点 C（点 C 在线段 BD 上），连结 AC ，DE ．
https://www.doczj.com/doc/429772968.html,
(1) 当∠ APB=28°时，求∠ B 和的度数；
(2)求证： AC=AB ．
(3)在点 P 的运动过程中
①当 MP=4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三
角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；
②记 AP 与圆的另一个交点为F，将点 F 绕点 D 旋转 90°得到点 G，当点 G 恰好落在 MN 上时，连结 AG ，CG， DG ， EG，直接写出△ACG 和△ DEG 的面积之比．21*cnjy*com
17、（ 2017?温州）如图，在△ ABC 中， AC=BC ，∠ ACB=90°，⊙ O（圆心 O 在△ ABC 内部）经过 B、 C 两点，交 AB 于点 E，过点 E 作⊙ O 的切线交 AC 于点 F．延长 CO 交 AB 于点 G，作 ED ∥ AC 交 CG 于点
D
(1)求证：四边形 CDEF 是平行四边形；
(2)若 BC=3 ， tan∠ DEF=2 ，求 BG 的值．
18、（ 2017?杭州）如图，已知△ ABC 内接于⊙ O，点 C 在劣弧 AB 上（不与点 A ， B 重合），点 D 为弦 BC 的中点， DE ⊥ BC，DE 与 AC 的延长线交于点 E，射线 AO 与射线 EB 交于点 F，与⊙ O 交于点 G，设∠ GAB= ɑ，∠ ACB=β，∠ EAG+ ∠ EBA=γ，
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(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ30°40 °50° 60°
β120 130 140 150
° ° ° °
γ150 140 130 120
° ° ° °
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
(2)若γ =135，°CD=3 ，△ ABE 的面积为△ ABC 的面积的 4 倍，求⊙ O 半径的长．
19、（ 2017?宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
(1) 如图 1，在半对角四边形ABCD 中，∠ B＝∠ D，∠ C＝∠ A，求∠ B与∠ C的度数之和；
(2)如图 2，锐角△ ABC 内接于⊙ O，若边 AB 上存在一点 D，使得 BD＝ BO．∠ OBA 的平分线交 OA 于点
E，连结 DE 并延长交AC 于点 F，∠ AFE ＝2∠ EAF ．
求证：四边形DBCF 是半对角四边形；2-1-c-n-j-y
(3)如图 3，在（ 2）的条件下，过点 D 作 DG⊥ OB 于点 H，交 BC 于点 G．当 DH ＝ BG 时，求△ BGH 与△ ABC 的面积之比．
20、（ 2017 ·金华） (本题 10 分) 如图，已知：AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上， CD 是⊙ O 的切线， AD ⊥CD 于点 D.E 是 AB 延长线上一点， CE 交⊙ O 于点 F,连结 OC,AC.
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(1)求证 :AC 平分∠ DAO.
(2)若∠ DAO=105°，∠ E=30°.
①求∠ OCE 的度数 .
②若⊙ O 的半径为2，求线段EF 的长 .
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】 C
【考点】勾股定理的应用，垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵OB=13cm,CD=8cm;
∴OD=5cm;
在RT △ BOD 中，
∴ BD===12 （ cm）
∴ AB=2BD=24 （ cm）
【分析】首先先作OC⊥ AB 交点为 D，交圆于点C，根据垂径定理和勾股定理求AB的长。
2、【答案】 B
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，正方形的判定，切线的性质，弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ O 为 BC 中点 .BC=2.
∴ OA=OB=OC=.
又∵ AC 、 AB 是⊙ O 的切线，
∴ OD=OE=r.OE ⊥ AC,OD ⊥ AB,
∵∠ A ＝90°.
∴四边形 ODAE 为正方形 .
∴∠ DOE=90° .
∴（ 2r）2+（ 2r）2=.
∴ r=1.
∴弧 DE=== .
故答案为 B.
【分析】根据O 为 BC 中点 .BC=2.求出 OA=OB=OC=；再根据 AC 、AB 是⊙ O 的切线，得出四边形
ODAE 为正方形；由勾股定理求出r 的值，再根据弧长公式得出弧DE 的长度 .
3、【答案】 A
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接 OC，∵点 C 是以 AB 为直径的半圆O 的三等分点，
∴∠ ABC=30°，∠ BOC=120°，
又∵ AB 为直径，
∴∠ ACB=90°，
则 AB=2AC=4 ，BC=，
则 S 阴 =S 扇形BOC -S△BOC=-=-.
故选 A.
【分析】连接OC，S 阴 =S 扇形BOC -S△BOC，则需要求出半圆的半径，及圆心角∠BOC；由点 C 是以 AB 为
4、【答案】 A
【考点】垂径定理的应用，扇形面积的计算
【解析】【解答】解：作GH⊥AB, 交 CD 于 G，交 EF 于 H ，连接 OC、OD、 OE、 OF.
∵⊙ O 的直径 AB=10 ，CD=6 ， EF=8 ，且 AB‖ CD‖ EF，
∴OG⊥CD,OH ⊥ EF,
∴∠ COG= ∠ DOG, ∠EOH= ∠FOH,
∴OE=OF=OC=OD=5 ， CG=3 ，EH=4 ，
∴OG=4 ， OH=3 ，
∵AB‖ CD‖ EF,
∴S△OCD =S△BCD， S△OEF=S△BEF，
2
π.
∴ S 阴影 =S 扇形ODC +S 扇形OEF=S 半圆 = π×5=
故答案是：π.
【分析】作GH⊥ AB, 交 CD 于 G，交 EF 于 H，连接 OC、 OD、OE、OF.由 AB‖CD‖EF，可得 OG⊥ CD,OH ⊥EF,∠ COG= ∠DOG, ∠ EOH= ∠ FOH,
S△OCD =S△BCD， S△OEF=S△BEF
2
π .，所以 S 阴影 =S 扇形ODC+S 扇形OEF =S 半圆 = π×5=
二、填空题
5、【答案】 50°
【考点】三角形内角和定理，切线的性质
【解析】【解答】解：∵AT 切⊙ O 于点 A ， AB 是⊙ O 的直径，∴∠ BAT=90°，
∵∠ ABT=40°，
∴∠ ATB=50°，
故答案为： 50°
【分析】根据切线的性质和三角形内角和定理即可求出答案．
6、【答案】 140
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD （如图） ,
∵AB 为⊙ O 的直径，
∴ AD ⊥ BC，
又∵ AB=AC, ∠BAC=40° ,
∴∠ BAD=20° ,∠ B=70°,
∴弧 AD 度数为 140°.
故答案为140.
可知 AD 平分∠ BAC ，可得∠ BAD=20°，然后求得∠ B=70°，再根据同弧所的周角等于其所心角的一半，从而得出答案 .
7、【答案】 20
【考点】弧的算
【解析】【解答】解：依可得：弧BC 的 ===20.
【分析】根据弧公式即可求得.2·1 ·c·n·j· y
8、【答案】 90°
【考点】心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∠DAE 与∠ DOE 在同一个中，且所的弧都是，
∠ DOE=2 ∠ DAE=2× 45°=90°.
故答案90°.
【分析】运用周角与心角的关系即可解答.
9、【答案】（ 32+48π） cm2
【考点】扇形面的算
【解析】【解答】解：接OA， OB，
因弧 AB 的度数是 90°，
所以心角∠AOB=90°，
S 空白 =S 扇形AOB -S△AOB ==（ cm2） ,
S 阴影 =S 圆 -S 空白 =64- （） =32+48 （ cm2）。
故答案（ 32+48π）cm2
【分析】先求出空白部分的面，再用的面减去空白的面就是阴影部分的面.接 OA ， OB， S
空白 =S 扇形AOB -S△AOB，由弧AB的度数是90°，
可得心角∠AOB=90°，即可解答 .
10、【答案】 512
【考点】含 30 度角的直角三角形，切的性，探索数与式的律
【解析】【解答】解：如，接O1A 1,O2A 2,O3A 3,
∵⊙ O1,⊙ O2,⊙ O3,??都与 OB 相切，
∴O1A1⊥ OB ，
又∵∠ AOB=30° ,O1A 1=r1 =1=20 .
∴OO1=2,
在Rt△ OO 2A 2中，
∴ OO1+O 1O2=O 2A 2.
∴2+O 2A 2=2O 2A 2.
∴OO2=4=2 2,
??
依此推可得O n A n=r n=2=2 n-1.
∴O10A 10=r10=2=210-1=29=512.
故答案512.
【分析】根据的切性，和Rt 三角形中 30°角所的直角等于斜的一半；可知OO1=2; 同可知O1O2=2,OO2 =2+2=2 2; ?? OO n=2 n;O n A n=r n=2=2 n-1; 因此可得第 10 个⊙ O10的半径 .
11、【答案】 2
【考点】点到直的距离，勾股定理的用，解直角三角形
【解析】【解答】解：接 AP,依可得：要使 PQ 最小，只要 AP 最小即可，即 AP 垂直直，直与 x 交于 C（ 4，
0），与 y 交于 B（ 0，3），
在Rt△ COB 中，
∵ CO=4,BO=3,
∴AB=5,
∴ sinA==,
在Rt△ CPA 中，
∵ A （ -1， 0），∴
AC=5,
∴ sinA===
∴PA=3 ，
在Rt△ QPA 中 ,
∵QA=1,PA=3,
∴ PQ=
【分析】要使PQ
==2
最小，只要AP最小即可，即AP垂直直,求出直与坐的交点坐，再根据角
三角函数sinA====，从而求出PA, 再根据勾股定理求出PQ即可。
三、解答
12、【答案】（ 1）解：在Rt△ABC中， AB===2.∵ BC⊥ OC
∴BC 是⊙ O 的切又∵
∴BD=BC=
∴AD=AB-BD=
== .
（ 2）解：在Rt△ ABC 中， sinA=
∴∠ A=30°.
∵ AB 切⊙ O 于点 D.
∴ OD⊥ AB.
∴∠ AOD=90° -∠ A=60°.
∵=tanA=tan30 °.
∴=.
∴OD=1.
S 阴影 == .
【考点】勾股定理，切线的性质，扇形面积的计算，解直角三角形
【解析】【分析】（ 1）在 Rt△ ABC 中，利用勾股定理求出AB 的长，然后根据切线的判定证出BC 为切线，然后可根据切线长定理可求解.
（ 2）在 Rt△ ABC 中，根据∠ A 的正弦求出∠ A 度数，然后根据切线的性质求出OD 的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.【版权所有：21教育】
13、【答案】（ 1）证明：∵△ ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ C=∠ ABC=45° ,
∴∠ PEA= ∠ABC=45°
又∵ PE 是⊙ O 的直径，
∴∠ PAE=90° ,
∴∠ PEA= ∠APE=45° ,
∴ △ APE 是等腰直角三角形.
（ 2）解：∵△ ABC 是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理 AP=AE,
又∵∠ CAB= ∠ PAE=90° ,
∴∠ CAP= ∠BAE,
∴△ CPA ≌△ BAE,
∴CP=BE,
在Rt△ BPE 中，∠ PBE=90° ,PE=2,
222
∴ PB+BE =PE ,
∴ CP2+PB2=PE2=4.
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰
直角三角形
【解析】【分析】（ 1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ ABC= ∠ PEA=45°，再由PE 是⊙ O的直径，得出∠ PAE=90°,∠ PEA= ∠APE=45° ,从而得证 .
14、【答案】（ 1）解：∵ CD 切半圆于点 D ，OD 为⊙ O 的半径，
∴CD⊥ OD,
∴∠ CDO=90° ,
∵BE⊥ CD 于点 E,
∴∠ E=90°.
∵∠ CDO= ∠ E=90°,∠ C=∠C,
∴△ COD ∽△ CBE.
（2）解：∵在 Rt△ BEC 中， CE=12,BE=9,
∴CE=15,
∵△ COD ∽△ CBE,
∴,
即,
∴ r=.
【考点】切线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（ 1）根据 CD 切半圆于点D， BE ⊥ CD 于点 E,得出∠ CDO= ∠ E=90°,根据三角形两个角对应相等的两个三角形相似得出△COD ∽△ CBE.
（ 2）根据（ 1）中△ COD ∽△ CBE, 得出
15、【答案】（ 1）证明：连结OD ，∵ DE是⊙ O
，从而求出半径。
的切线，
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∴∠ ODE=90°，
∴∠ ADE+ ∠ BDO=90°，
∵∠ ACB=90°，
∴∠ A+ ∠ B=90°，
又∵ OD=OB ，
∴∠ B=∠ BDO ，
∴∠ ADE= ∠ A.
（2）解：连结 CD ，∵∠ ADE= ∠ A，∴ AE=DE ，
∵BC 是⊙ O 的直径，∠ ACB=90° .∴EC 是⊙ O 的切线，∴ DE=EC ，
∴AE=EC.
∴AC=2DE=20 ，
在 Rt△ ADC 中， DC=.
设BD=x ，
在Rt△ BDC 中， BC 2=x 2+12 2, 在 Rt△ ABC 中， BC 2=(x+16) 2-202,
2222
∴ x+12 =(x+16)-20 ,解得 x=9
，
∴ BC=.
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（ 1）连结 OD ，根据切线的性质和同圆的半径相等，及圆周角所对的圆周角为90°，得到相对应的角的关系，即可证明；（2）由（ 1）中的∠ ADE= ∠ A 可得 AE=DE ；由∠ ACB=90°，可得 EC 是⊙ O 的切线，由切线长定理易得DE=EC ，则 AC=2DE ，由勾股定理求出CD ；设 BD=x ，再可由勾股定理 BC 2= x2+12 2=(x+16) 2-202,可解出 x 的值，再重新代入原方程，即可求出BC.21 教育网
16、【答案】（ 1）解：∵ MN ⊥ AB ， AM=BM ，
∴ PA=PB ，
∴∠ PAB= ∠B ，
∵∠ APB=28°，
∴∠ B=76°，
如图 1，连接 MD ，
∵MD 为△ PAB 的中位线，
∴ MD ∥AP ，
∴∠ MDB= ∠APB=28°，
∴=2∠MDB=56°；
又∵∠ BAP=180° ﹣∠ APB ﹣∠ B ，∠ ACB=180° ﹣∠ BAC ﹣∠ B，∴∠ BAP= ∠ACB ，
∵∠ BAP= ∠B ，
∴∠ ACB= ∠ B ，
∴AC=AB ；
（ 3）解：①如图2，记 MP 与圆的另一个交点为R，
∵MD 是 Rt△ MBP 的中线，
∴ DM=DP ，
∴∠DPM= ∠DMP= ∠RCD，
∴ RC=RP，
∵∠ ACR= ∠ AMR=90°，
∴ AM 2+MR 2 =AR 2=AC 2+CR 2，
2222
∴ 1 +MR =2 +PR，
∴ 12+（ 4﹣ PR）2=22+PR2，
∴ PR=，
∴ MR=，
Ⅰ．当∠ ACQ=90°时， AQ 为圆的直径，
∴Q 与 R 重合，
∴MQ=MR=；
Ⅱ．如图3，当∠ QCD=90°时，
在 Rt△ QCP 中， PQ=2PR=，
∴ MQ=；
Ⅲ．如图4，当∠ QDC=90°时，
∵BM=1 ，MP=4 ，
∴ BP=，
∴ DP=BP=，
∵ cos∠ MPB==，
∴ PQ=，
∴ MQ=；
Ⅳ．如图5，当∠ AEQ=90°时，
由对称性可得∠AEQ= ∠ BDQ=90°，
∴ MQ=；
综上所述， MQ 的值为或或；
．②△ ACG 和△ DEG 的面积之比为
理由：如图 6，∵ DM ∥ AF ，∴
又由对称性可得GE=GD ，
∴△ DEG 是等边三角形，
∴∠ EDF=90° ﹣60°=30°，
∴∠ DEF=75° =∠MDE ，
∴∠ GDM=75° ﹣ 60°=15°，
∴∠ GMD= ∠PGD ﹣∠ GDM=15°，
∴GMD= ∠ GDM ，
∴GM=GD=1 ，
过C 作 CH⊥ AB 于 H，
由∠ BAC=30°可得 CH=AC=AB=1=MG ， AH=，
∴CG=MH=﹣1，
∴ S△ACG =CG×CH=，
∵ S△DEG =，
∴ S△ACG： S△DEG =．
【考点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据三角形 ABP 是等腰三角形，可得∠ B 的度数，再连接 MD ，根据 MD 为△ PAB 的中位线，可得∠MDB= ∠ APB=28°，进而得到=2∠ MDB=56°；（ 2）根据∠ BAP= ∠ ACB ，∠ BAP=∠ B ，即可得到∠ACB= ∠ B ，进而得出AC=AB ；（ 3 ）①记 MP 与圆的另一个交点为R ，根据AM 2+MR 2=AR 2=AC 2+CR 2，即可得到 PR=， MR=，再根据 Q 为直角三角形锐角顶点，分四种
情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠ QCD=90°时，当∠ QDC=90°时，当∠ AEQ=90°时，即可求得 MQ 的值为或或；②先判定△ DEG 是等边三角形，再根据GMD= ∠GDM ，得到 GM=GD=1 ，过 C 作CH ⊥AB于H，由∠ BAC=30°可得CH=AC=1=MG ，即可得到CG=MH=﹣1，进而得出S△ACG =
17、【答案】（ 1）解：连接CE ，
∵在△ ABC 中， AC=BC ，∠ ACB=90°，∴∠ B=45°，
∵ EF 是⊙ O 的切线，
∴∠ FEC= ∠ B=45°，∠ FEO=90°，
∴∠ CEO=45°，
∵DE∥ CF，
∴∠ ECD= ∠ FEC=45°，
∴∠ EOC=90°，
∴EF∥OD ，
∴四边形 CDEF 是平行四边形；
（ 2）解：过G 作 GN⊥ BC 于 M ，
∴△ GMB 是等腰直角三角形，
∴MB=GM ，
∵四边形 CDEF 是平行四边形，
∴∠ FCD= ∠FED ，
∵∠ ACD+ ∠ GCB= ∠ GCB+ ∠ CGM=90°，∴∠ CGM= ∠ACD ，
∴∠ CGM= ∠DEF ，
∵tan∠DEF=2 ，
∴ tan∠CGM==2，
∴CM=2GM ，
∴GM=1 ，
∴ BG=GM=．
【考点】平行四边形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形
【解析】【分析】（ 1）连接 CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据切线的性质得到∠FEC=∠B=45°，∠ FEO=90°，根据平行线的性质得到∠ ECD= ∠ FEC=45°，得到∠ EOC=90°，求得 EF∥ OD ，于
是得到结论；（ 2）过 G 作 GN⊥ BC 于 N ，得到△ GMB 是等腰直角三角形，得到 MB=GM ，根据平行四边形的性质得到∠ FCD= ∠ FED，根据余角的性质得到∠ CGM= ∠ACD ，等量代换得到∠ CGM= ∠DEF ，根据三角函数的定义得到 CM=2GM ，于是得到结论．
18、【答案】（ 1）解：β =α +90，°γ=﹣α +180 °
连接 OB ，
∴由圆周角定理可知：2∠ BCA=360° ﹣∠ BOA ，
∵OB=OA ，
∴∠ OBA= ∠ OAB=α，
∴∠ BOA=180° ﹣ 2α，
∴2β=360°﹣（ 180°﹣ 2α），
∴β=α+90，°
∵D 是 BC 的中点， DE⊥ BC ，
∴ OE 是线段 BC 的垂直平分线，
∴ BE=CE ，∠ BED= ∠ CED，∠ EDC=90°
∵∠ BCA= ∠ EDC+ ∠CED ，
∴ β=90°+∠ CED ，
∴∠ CED=α，
∴∠ CED= ∠ OBA=α，
∴O、A 、 E、 B 四点共圆，
∴∠ EBO+ ∠ EAG=180°，
∴∠ EBA+ ∠ OBA+ ∠ EAG=180°，
∴γ+α=180°
（ 2）解：当γ=135°时，此时图形如图所示，
∴ α=45°，β=135°，
∴∠ BOA=90°，∠ BCE=45°，
由（ 1）可知： O、 A 、 E、B 四点共圆，
∴∠ BEC=90°，
∵△ ABE 的面积为△ ABC 的面积的 4 倍，
∴，
∴，
设CE=3x ， AC=x ，
由（ 1）可知： BC=2CD=6 ，
∵∠ BCE=45°，
∴CE=BE=3x ，
∴由勾股定理可知：（3x）2+（ 3x）2=62，
x=，
∴ BE=CE=3，AC=，
∴ AE=AC+CE=4，
在Rt△ ABE 中，
由勾股定理可知：AB2=（ 3）2+（4）2，
∴ AB=5，
∵∠ BAO=45°，
∴∠ AOB=90°，
在 Rt△ AOB 中，设半径为r，
由勾股定理可知： AB2=2r2，
∴ r=5，
∴⊙ O 半径的长为5．
【考点】余角和补角，三角形的面积，勾股定理，圆的综合题
【解析】【分析】（ 1）由圆周角定理即可得出β=α+90，°然后根据 D 是 BC 的中点，DE⊥ BC，可知∠ EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠ CED=α，从而可知 O、 A 、 E、 B 四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：
∠EBO+ ∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；（2）由（ 1）及γ=135°可知∠ BOA=90°，∠ BCE=45°，∠BEC=90°，
由于△ABE的面积为△ABC的面积的 4 倍，所以，根据勾股定理即可求出AE 、AC的长度，从
而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O 的半径r；
19、【答案】（ 1）解：在半对角四边形ABCD中，∠B=∠ D，∠ C=∠A.
∵∠ A+ ∠ B+∠ C+∠ D=360°，
∴3∠B+3 ∠C=360°.
∴∠ B+∠ C=120°.
即∠ B 与∠ C 的度数之和120 °.
（ 2）证明：在△BED 和△ BEO 中，