椭圆
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
6.若在椭圆外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
7.椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为
.
8.椭圆(a>b>0)的焦半径公式:
,( , ).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则
,即。
12.若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是
.
13.若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
.
双曲线
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)
5.若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方
程是.
6.若在双曲线(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方
程是.
8.双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:( ,
当在右支上时,,.
当在左支上时,,
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11.AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB 的中点,则,即
。
12.若在双曲线(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦
的方程是.
13.若在双曲线(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹
方程是.
椭圆
1.椭圆(a>b>o)的两个顶点为,,与y轴平行的直
线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹
方程是.
2.过椭圆 (a>0, b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的
直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且
(常数)
3.若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,
, ,则
.
4.设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为
椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记
, ,,则有.
5.若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则
当0<e≤时,可在椭圆上求一点P,使
得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6.P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,
则,当
且仅当三点共线时,等号成立.
7.椭圆与直线有公共点的充要条件是
.
8.已知椭圆(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且
.(1);
(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是. 9.过椭圆(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,
弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
10.已知椭圆( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂
直平分线与x轴相交于点, 则
.
11.设P点是椭圆( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其
焦点记,则(1)
.(2) .
12.设A、B是椭圆( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,
, ,,c、e分
别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2)
.(3) .
13.已知椭圆( a>b>0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右
焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在
右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点
与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连
线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴
交点分别称为内、外点.)
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1.双曲线(a>0,b>0)的两个顶点为,,与y轴平行
的直线交双曲线
于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2.过双曲线(a>0,b>o)上任一点任意作两条倾斜角互补的
直线交双曲线于B,C两点,则直
线BC有定向且(常数).
3.若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,
F 2是焦点, ,
,则(或).
4.设双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)
为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,
记, ,,则有.
5.若双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,
则当1<e≤时,可在双曲线上
求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6.P为双曲线(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内
一定点,则,当
且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立.
7.双曲线(a>0,b>0)与直线有公共点的充要条
件是.
8.已知双曲线(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,
且.
(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)
的最小值是.
9.过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N
两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则
.
10.已知双曲线(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB
的垂直平分线与x轴相交于点, 则
或.
11.设P点是双曲线(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2
为其焦点记,则(1)
.(2) .
12.设A、B是双曲线(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一
点,,
,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1).
(2) .(3) .
13.已知双曲线(a>0,b>0)的右准线与x轴相交于点,过双曲
线右焦点的直线与双曲线相交
于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应
交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的
连线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之
比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、
外点).
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2O M A B b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 , 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-,即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?????>=0e ,e d |PF ||P ,其中 F 为定点,d 为P 到定直线的距离,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
第51讲 双曲线 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F 1,F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做__双曲线的焦点__,两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__. 集合P ={}M ||| ||MF 1-||MF 2=2a ,||F 1F 2=2c ,其中a ,c 为常数,且a >0,c >0. (1)当__a <c __时,点P 的轨迹是双曲线; (2)当__a =c __时,点P 的轨迹是两条射线; (3)当__a >c __时,点P 不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x ≥a 或x ≤-a ,y ∈R y ≤-a 或y ≥a ,x ∈R
3.常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2-y b 2=0(a >0,b >0)的距离为b .如右图△OFH 是分别以边a ,b ,c 为边长的直角三角形. (2)如下图: x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0) 则有:P 1,P 2两点坐标都为????c ,b 2 a ,即||FP 1=||FP 2=b 2 a . 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)平面内到点F 1 (0,4),F 2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (3)方程x 2m -y 2 n = 1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × ) (4)双曲线方程x 2m 2-y 2n 2=λ(m >0,n >0,λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2-y 2n 2=0,即x m ±y n = 0.( √ ) 解析 (1)错误.由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部. (2)错误.因为||||MF 1-||MF 2=8=||F 1F 2,表示的轨迹为两条射线. (3)错误.当m >0,n >0时表示焦点在x 轴上的双曲线,而m <0,n <0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式:10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于 点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-,即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和 A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 双曲线 1.双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. (1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线; (2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线; (3)当2a>|F1F2|时,P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2- y2 b2=1 (a>0,b>0) y2 a2- x2 b2=1 (a>0,b>0) 图形 性质 范围x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点 顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线y=± b a x y=± a b x 离心率e= c a,e∈(1,+∞),其中c=a 2+b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双 曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做 双曲线的虚半轴长 a,b,c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) 概念方法微思考
1.平面内与两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗?为什么? 提示 不一定.当2a =|F 1F 2|时,动点的轨迹是两条射线; 当2a >|F 1F 2|时,动点的轨迹不存在; 当2a =0时,动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线. 2.方程Ax 2+By 2=1表示双曲线的充要条件是什么? 提示 若A >0,B <0,表示焦点在x 轴上的双曲线;若A <0,B >0,表示焦点在y 轴上的双曲线.所以Ax 2+By 2=1表示双曲线的充要条件是AB <0. 3.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a ,b 只限制a >0,b >0,二者没有大小要求,若a >b >0,a =b >0,0b >0时,1
椭圆与双曲线性质--(重要结论) 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =(a >b >0)的焦半径公式: 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22 O M AB b k k a ?=- , 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=, 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于 点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 02y a x b K K AB OM = ?,即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - .
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结 姓名: (一)椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数(大于两定点的距离),则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点,F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 长半轴的长短半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越 准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1,F2分别为椭圆的下上两焦点,P为椭圆上的一点) 4.椭圆系 (1)共焦点的椭圆系方程为 22 2 1 x y k k c += - (其中k>c2,c为半焦距) (2 )具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数(小于两定点间的距离),那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数,常数的绝对值小于两定点间的距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1,F2为两定点,P为一动点,(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 二、双曲线 1、(21)(本小题满分14分)08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F,一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. (Ⅰ)求双曲线C的方程; (Ⅱ)若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 2 81 ,求k的取值范围. (21)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力.满分14分. (Ⅰ)解:设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=(0,0 a b >>).由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ,解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ,所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=. 的方程为y kx m =+(0 k≠).点 11 (,) M x y, 22 (,) N x y的坐标满足方程组(Ⅱ)解:设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式,得 22 () 1 45 x kx m + -=,整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=. 此方程有两个一等实根,于是2 50 4k -≠,且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>.整理得22 540 m k +->.③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - , 002 5 54 m y kx m k =+= - . 从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- . 此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - , 2 9 (0,) 54 m k - .由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- .整理得 22 2 (54) || k m k - =,0 k≠. 将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->,整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->,0 k≠. 椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(< 双曲线知识点总结班级姓名 知识点一:双曲线的定义在平面内,到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数(大于0 且)的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意:1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解; 2. 若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件:(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;若(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支; 3. 若常数满足约束条件:,则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点); 4.若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在; 5.若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二:双曲线的标准方程 1.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中; 2.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中. 注意:1.只有当双曲线的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程; 2.在双曲线的两种标准方程中,都有; 3.双曲线的焦点总在实轴上,即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时,焦点在轴上, 双曲线的焦点坐标为,;当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为, . 知识点三:双曲线的简单几何性质 双曲线(a>0,b>0)的简单几何性质 (1)对称性:对于双曲线标准方程(a>0,b>0),把x换成― x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、―y,方程都不变,所以双曲线(a>0,b >0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。 (2)范围:双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧,是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。(3)顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线(a>0,b>0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐标分别为A1(―a,0),A2(a,0),顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴;设B1(0,―b),B2(0,b)为y轴上的两个点,则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长。 注意:①双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 (4)离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,记作。 ②因为c>a>0,所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2,可得, 所以决定双曲线的开口大小,越大,e也越大,双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示 双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线,所以离心率。 (5)渐近线:经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b,四条直线 围成一个矩形(如图),矩形的两条对角线所在直线的方程是,我们把直线叫做双曲线的渐近线。 注意:双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交。 标准方程 图形 性质 焦点,, 焦距 范围,, 【学习目标】 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的实际背景及其简单应用. 【高考模拟】 一、单选题 1.设、分别是双曲线C:的左右焦点,点在双曲线C的右支上,且,则() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的性质求出c的值,结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可. 【详解】 【点睛】 本题主要考查双曲线性质的意义,根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键. 2.设是双曲线的左右焦点,为左顶点,点为双曲线右支上一点, , ,, 为坐标原点,则 A . B . C . D . 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出双曲线的方程为,再求出点P 的坐标,最后求 . 【详解】 【点睛】 (1)本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算,考查双曲线方程的求法,意在考查学生对这些 知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 双曲线的通径为. 3.已知直线的倾斜角为,直线与双曲线()的左、右两支分别交于、两点,且、都垂直于轴(其中、分别为双曲线的左、右焦点),则该双曲线的离心率为() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意设点,,则,又由直线的倾斜角为,得,结合点在双曲线上,即可求出离心率. 【详解】 直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点,且、都垂直于轴, 根据双曲线的对称性,设点,, 则,即,且, 又直线的倾斜角为, 直线过坐标原点,, ,整理得,即,解方程得,(舍) 故选D. 【点睛】 本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法,考查化简整理的运算能力和转化思想,属于中档题. 圆锥曲线离心率的计算,常采用两种方法: 1、通过已知条件构建关于的齐次方程,解出. 根据题设条件(主要用到:方程思想,余弦定理,平面几何相似,直角三角形性质等)借助之间的关系,得到关于的一元方程,从而解得离心率. 第2讲椭圆、双曲线、抛物线 考情解读 1.以选择、填空的形式考查,主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基础知识、基本技能,属于基础题.2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系,常常在知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形式出现.该部分题目多数为综合性问题,考查分析问题、解决问题的能力,综合运用知识的能力等,属于中、高档题,一般难度较大. 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 |x|≤a,|y|≤b |x|≥a x≥0 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 若椭圆C :x 29+y 2 2=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且|PF 2|=4则∠F 1PF 2等于( ) A .30° B .60° C .120° D .150° (2)已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点与双曲线x 2-y 2=-1 2的一个焦点重合,且在抛物线上有一 动点P 到x 轴的距离为m ,P 到直线l :2x -y -4=0的距离为n ,则m +n 的最小值为________. 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2;(2)根据抛物线定义得m =|PF |-1.再利用数形结合求最值. 答案 (1)C (2)5-1 解析 (1)由题意得a =3,c =7,所以|PF 1|=2. 在△F 2PF 1中, 由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1=42+22-(27)22×4×2=-12. 又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°,180°),所以∠F 2PF 1=120°. (2)易知x 2=2py (p >0)的焦点为F (0,1),故p =2, 因此抛物线方程为x 2=4y . 根据抛物线的定义可知m =|PF |-1, 设|PH |=n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足), 因此m +n =|PF |-1+|PH |. 易知当F ,P ,H 三点共线时m +n 最小, 因此其最小值为|FH |-1=|-1-4| 5 -1=5-1. 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|,双曲线的定义中要求||PF 1|-|PF 2||<|F 1F 2|,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化. (2)注意数形结合,画出合理草图. (1)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为3 2 .双曲线x 2-y 2=1的渐近线与椭 圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( ) A.x 28+y 2 2=1 B.x 212+y 2 6=1 C.x 216+y 2 4 =1 D.x 220+y 2 5 =1 双曲线中常见结论: 1、离心率e=a c =21)(a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2,中心到准线的距离c a 2 8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点,则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+) ( 例(湖南卷)已知双曲线22a x -22 b y =1(a >0,b >0)的右焦点为F ,右准线与一条渐近线 交于点A ,△OAF 的面积为2 2 a (O 为原点),则两条渐近线的夹角为 (D ) A .30o B .45o C .60o D .90o 例双曲线)(0122≠=-m n n y m x 的离心率为2,则n m 的值为( ) A .3 B . 3 1 C .3或 3 1 D .以上都不对 椭圆的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用. (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力. (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等. 二、教材分析 1.重点:椭圆的几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生利用方程研究曲线的性质,最后进行归纳小结.) 2.难点:椭圆离心率的概念的理解. (解决办法:先介绍椭圆离心率的定义,再分析离心率的大小对椭圆形状的影响,最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.) 3.疑点:椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变. (解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结. 四、教学过程 (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么? 第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程(焦点在x 轴) )0,0(122 22>>=-b a b y a x 标准方程(焦点在y 轴) )0,0(122 22>>=-b a b x a y 定义 第一定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离的差的绝对值是常数(小于12F F )的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M 22 1 =-()212F F a < 第二定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ,当1e >时,动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e (1e >)叫做双曲线的离心率。 范围 x a ≥,y R ∈ y a ≥,x R ∈ 对称轴 x 轴 ,y 轴;实轴长为2a ,虚轴长为2b 对称中 心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c 1(0,)F c - 2(0,)F c 焦点在实轴上,22c a b =+;焦距:122F F c = 顶点坐标 (a -,0) (a ,0) (0, a -,) (0,a ) x y P 1 F 2 F x y P x y P 1F 2F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1F 2F x y P 离心率 e a c e (= >1) 准线方 程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离:c a 2 2 顶点到准线的 距离 顶点1A (2A )到准线1l (2l )的距离为c a a 2 - 顶点1 A (2A )到准线2l (1l )的距离为a c a +2 焦点到准线的 距离 焦点1F (2F )到准线1l (2l )的距离为c a c 2 - 焦点1F (2F )到准线2l (1l )的距离为c c a +2 渐近线 方程 x a b y ±= x b a y ±= 共渐近 线的双曲线系 方程 k b y a x =-2222(0k ≠) k b x a y =-22 2 2(0k ≠) 1. 双曲线的定义 ① 当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,则表示点M 在双曲线右支上; 当a MF MF 212=-时,则表示点M 在双曲线左支上; ② 注意定义中的“(小于12F F )”这一限制条件,其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时,即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-,动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线;当2112F F MF MF =-时,动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线; 若2a >2c 时,动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是: 如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上; 如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上. 对于双曲线,a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<.高考数学-圆锥曲线-双曲线题型总结
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