数学归纳法(资料整理)

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【内封面】南通大学毕业论文摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，它的应用极其广泛。

本文讨论了数学归纳法的原理，以数学归纳法原理为基础，在不同条件下对数学归纳法原理进行变易，扩大数学归纳法的应用范围。

并对数学归纳法的分类、应用进行总结，给出数学归纳法在初等代数、高等代数中的应用典例。

关键字：数学归纳法、原理、变易、应用。

ABSTRACTMathematical induction is a common method of proof, and its applications is very broad. This article discusses the principle of mathematical induction, promotes the principle of mathematical induction under different conditions, and expands the range of applications induction on the basis of the principle. It summarizes the classification and application of mathematical induction. Typical examples of applications of mathematical induction are given in elementary algebra and advanced algebra.Key words: Mathematical induction,Principle,Variation,Application目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................... I I1.引言 (1)2.数学归纳法原理及变易 (1)2.1数学归纳法的本原 (3)2.2数学归纳法原理 (3)2.3数学归纳法原理变易 (4)3．数学归纳法的表现形式 (6)3.1 第一数学归纳法 (6)3.2 第二数学归纳法 (6)3.3 跳跃归纳法 (7)3.4 双向归纳法 (8)3.5 反向归纳法 (8)4.数学归纳法的应用 (10)4.1数学归纳法在初等代数中的典型应用 (10)4.1.1 证明恒等式 (10)4.1.2 证明不等式 (12)4.1.3 证明整除问题 (12)4.1.4 证明几何问题 (12)4.2 数学归纳法在高等数学中的应用 (13)4.2.1 数学归纳法证明德摩根定律推广式 (13)4.2.2 数学归纳法证明行列式 (14)5.结论 (16)参考文献 (17)致谢......................................................................... 错误!未定义书签。

2019-2020学年苏教版数学精品资料1．数列1,1＋3,1＋3＋5,1＋3＋5＋7，…的一个通项公式为________．2．用数学归纳法证明不等式2n ＞n 2成立时，n 应取的第一个值为________．3．用数学归纳法证明不等式n 3＋1≥4n ＋1时，n 所取的第一个值n 0为__________．4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋121n ＜n (n ∈N *，且n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)与f (n )之间的关系为．6．用数学归纳法证明2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N )时，第一步的验证为____________________．7．已知x ＞－1且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2，求证：(1＋x )n ＞1＋nx .8．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n －3)＝2n 2－n .9．求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.10．已知函数31x f x x (x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，用数学归纳法证明1(31)2nn n b .参考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.5答案：f(n＋1)＝f(n)＋n－1 解析：如图，设凸n＋1边形为A1A2…A n A n＋1，连结A1A n，则凸n＋1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线加上A1A n，再加上从A n＋1点出发的n－2条对角线，即f(n＋1)＝f(n)＋1＋n－2＝f(n)＋n－1.6答案：当n＝0时，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，结论成立7答案：证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.∴左边＞右边，不等式成立.(2)假设当n＝k时，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，则当n＝k＋1时，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x).∵x＞－1，∴1＋x＞0.∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2.∵x≠0，∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.∴(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，即当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2的正整数都成立.8答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝2k2－k＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1).∴当n＝k＋1时，命题成立.综上所述，原命题成立.9答案：证明：(1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·（a ＋1)2k －1＝a ＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a ＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立. 根据(1)(2)知，对任意n ∈N*，命题成立.10答案：证明：当x ≥0时，f (x )＝1＋21x ＞1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N *).下面用数学归纳法证明不等式1(31)2n n n b . (1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即1(31)2k k k b ，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝1(31)|3|31(31)122k kk k ka b a . 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N*都成立.。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学学习方法归纳高一年级数学学习方法归纳运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题能力的重任。

它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。

有两个方面的原因：一个是知识特点和认知规律。

与初中相比，高中数学内容更多，难度加大，抽象思维与逻辑要求能力更高。

在模仿与创新方面，高中学习善于模仿的同学，成绩只能一般，高中更注意对知识的深刻理解，对题目的分析。

为了避免“高分低能”现象，在平时还要注意创新，在自学能力方面，有很多初三学生，可能只要听听课做做练习，就可以考得高分了，但在高中就不行。

由于课程进度的要求，老师不可能把每个知识点再延伸下去，这就要求学生一定要多看资料书，对于考试中常见题型的解法要熟练掌握。

还有一个原因就是学生的思维习惯，由二维到三维，由简单到复杂，由惯性到逻辑思考，这是初中到高中学生自身思维发展的一个必经阶段。

思维习惯和学习方式若还没有转变过来，后果是很严重的，因为学习是非常连贯和逻辑的，如果前面的部分没有学好，又如何听得懂后面的`知识呢?发现问题，我们最重要的还是要解决问题。

天下事有难易乎?为之，则难者亦易矣;不为，则易者亦难矣。

解决它的第一个法宝就是自信，绝不气馁!只要你相信这只不过是你学习必经的一个阶段，其他很多同学也遇到了相同的问题。

在专业老师的指导下，你一定会解决这个问题的。

学好高中数学的重中之重在于深刻理解概念，知道公式定理的来龙去脉，重视听讲，课后及时复习养成良好的学习习惯。

数学属于理科，所谓“拳不离手，曲不离口”，学好数学肯定需要多练，但只做题不行，每做完一道题后要多思考总结，能够举一反三，每一节后总结，形成知识网络，每一章后总结，形成知识体系。

还有几个小建议：1、纠错本，很多同学都说自己有，但你真正把作业、试卷、资料书上做错的写在上面了吗?还有些非常典型的例题都抄在上面了吗.?关键在于执行，每过段时间要仔细再看一遍，直到你一看到它就知道解决办法，而且不会再犯以前那样的错误。

高中数学容易混淆的知识点归纳总结大家都知道，高中数学知识点繁多，而我们大部分的同学基础不牢固，导致很多知识点总是记错，特别是一些易混淆的内容，也没有足够的耐心去整理归纳。

就是因为这样，很多同学丢不少分。

为了让大家避免出现这样的错误，小编为大家整理了高中数学易错易混淆知识点，希望对大家有所帮助!1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。

若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。

例4已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以 ，则 ，故
所以数列 的通项公式为
例5.设 是首项为1的正项数列，且 （ =1，2，3，…），则它的通项公式是 =________.
解：已知等式可化为：
( ) (n+1) ,即
时，
= = .
评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .
练习2．已知数列 满足
，求数列 的通项
说明：(1)若方程 有两不同的解s , t,
则 , ,
由等比数列性质可得 , ,
由上两式消去 可得 .
(2)若方程 有两相等的解 ，则
，
,即 是等差数列，
由等差数列性质可知 ，
所以 ．
例26、数列 满足 ，且 求数列 的通项。
解： ……①
令 ，解得 ，将它们代回①得，
分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19已知数列 的各项均为正数，且前n项和 满足 ，且 成等比数列，求数列 的通项公式。
解：∵对任意 有
∴当n=1时， ，解得 或
当n≥2时， ⑵
-⑵整理得：
∵ 各项均为正数，∴
当 时， ，此时 成立
当 时， ，此时 不成立，故 舍去
令 ,则可化为 .然后转化为类型5来解，
.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p q，否则待定系数法会失效。
例7已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，

数 学E 单元 不等式E1 不等式的概念与性质 5．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C. sin x ＞sin yD. x 3＞y 3 5．D 4．[2014·四川卷] 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c4．DE2 绝对值不等式的解法 9．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.E3 一元二次不等式的解法 2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0] 2．B12．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)y －2≤0，2y －2≤0，－y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不．5．D6．[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－126．D11．[2014·福建卷] 若变量________．11．1＝2x ＋y 的最大值和最小值C ．7D ．8 3．B14．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.14．－214．[2014·全国卷] 设x ，y ．14．5⎪⎧x ＋y ≥1，D ，有下面四个命题：9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．20，b ＞(x ，y )∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，S 2．[2014·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．B13． [2014·浙江卷]⎪⎧x ＋2y －4≤0，数a 的取值范围是________．13.⎣⎡⎦⎤1，32a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B 14．，[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．14．5E7 不等式的证明方法 20．[2014·北京卷] 对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.19．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．A.t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，21}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，．a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1－1E8 不等式的综合应用9．、[2014·安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为() A．5或8 B．－1或5C．－1或－4 D．－4或89．D13．[2014·福建卷] 的底面造价是每平方米20________(单位：元)．13．160 21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f 函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n ＋n)与n －f (n )的大小，并加以证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，>0. ＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>13， ……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 而12＋23＋…＋n n ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴1＋2＋…＋n >⎛n x d x ＝ a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |f (x )满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |. 若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18 12．B新课标第一网系列资料 。

第一章集合与函数概念
必修一 第二章基本初等函数
第三章函数的应用
第一章空间几何体
必修二 第二章点、直线、平面之间的位置关系
第三章直线与方程 第四章圆与方程
第一章算法初步
必修三 第二章统计
第三章概率 第一章三角函数
必修四第二章平面向量
第三章三角恒等变换 第一章解三角形
必修四第二章平面向量平面22向..23量平的面基向本量定的理线及性坐运标算表示


第三章三角恒等变换





2.4 平面向量的数量积
2.5 平面向量应用举例
第一章解三角形应用111举...123 例正实弦习定作理业和余弦定理


必修五 第二章数列等差22数..23列等的差前数项列和 n

第三章导数及其应用
3.1 不等关系与不等式
33..23
3.4
一元二次不等式及其解法 一元二次不等式（组）与简单的线性规划问题
基本不等式：ab
1.1 命题及其关系
111...234

a+b 2
充分条件与必要条件 简单的逻辑连接词 全称量词与存在量词
2.3 抛物线
第一章导数及其应用
( 理) 选修2-2第二章推理与证明
第三章数系的扩充与复数的引入
第一章计数原理
( 理) 选修2-3第二章随机变量及其分布
第三章统计案例
选修几4-1何证明选讲
选修坐4-4标系与参数方程
选修不4-5等式选讲
第一讲相似三角形的判定及有关性质 第二讲直线与圆的位置关系 第三讲圆锥曲线性质的探讨


第三章不等式

数学归纳法相关知识点总结一、数学归纳法的基本概念数学归纳法的基本思想是：如果我们能够证明一个结论对于第一个自然数成立（通常是对于n=1），并且能够证明结论对于某一个自然数成立时，它也对于下一个自然数成立，那么我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。

因此，数学归纳法通常包括两个步骤：基础步骤（base case）和归纳步骤（inductive step）。

基础步骤是证明一个结论对于第一个自然数成立，通常是证明结论对于n=1时成立。

这个步骤通常是比较直接的，可以通过代入数值或者简单的推理来进行证明。

归纳步骤是假定结论对于某一个自然数n成立，然后证明结论对于下一个自然数n+1也成立。

这个步骤通常是通过数学推理和逻辑推导来进行证明，因此需要一定的数学技巧和思维能力。

通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。

这就是数学归纳法的基本思想和步骤。

二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理是非常简单的，可以用如下的语言来描述：如果一个结论对于第一个自然数成立，并且对于某一个自然数n成立时，它也对于下一个自然数n+1成立，那么这个结论对于所有自然数都成立。

这个原理也可以用数学符号来表达。

假设P(n)是关于自然数n的一个命题，那么数学归纳法的原理可以用如下的数学表达来描述：(1) 基础步骤：证明P(1)成立；(2) 归纳步骤：假设对于某一个自然数n，命题P(n)成立，证明P(n+1)也成立。

通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。

这就是数学归纳法的原理。

三、数学归纳法的应用数学归纳法是数学中非常重要的一种证明方法，它被广泛应用于代数、数论、组合数学、离散数学等多个数学领域中。

下面我们将介绍数学归纳法在不同数学领域中的具体应用。

1. 代数在代数中，数学归纳法常常被用来证明各种恒等式和不等式的成立。

例如，我们可以用数学归纳法来证明各种整式的恒等式、不等式和递推关系式。

数学归纳法1、知识与技能(1)了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

(2)会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感态度价值观通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

教学重点、难点:教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

教学难点:(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

第2课时一、复习巩固数学归纳法的两个步骤二、实例应用例1、平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且无3个圆交于一点。

求证：这n 个圆将平面分成()22f n n n =-+个部分。

解析：当1n =时，一个圆将平面分成2个部分，()12f =，结论成立； 假设当n k =时，结论成立，即n 个圆将平面分成()22f k k k =-+个部分，当1n k =+时，第（k+1）个圆与前面k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将第（k+1）个圆分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以k+1个圆将平面分成了()()12f k f k k +=+个部分，()()22212221(1)2f k k k k k k k k +=-++=++=+-++； 所以，当1n k =+时，结论成立。

综上所述，这n 个圆将平面分成()22f n n n =-+个部分。

例2、对于n N *∈，求证：()1211(2)n n x x +-+++，可被()233x x ++整除。

高三数学一轮复习：根底学问归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素及集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 〔2〕德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.〔3〕A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=留意：探讨的时候不要遗忘了φ=A 的状况. 〔4〕集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数及导数1．映射：留意: ①第一个集合中的元素必需有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义〔斜率、间隔 、 肯定值的意义等〕；⑧利用函数有界性〔xa 、x sin 、x cos 等〕；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: 〔1〕复合函数定义域求法：① 假设f(x)的定义域为［a ，b ］,那么复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 假设f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.〔2〕复合函数单调性的断定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为根本函数：内函数)(x g u =及外函数)(u f y = ②分别探讨内、外函数在各自定义域内的单调性③依据“同性那么增，异性那么减〞来推断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域〔最值〕、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

递推数列题型高考归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是数列问题的难题。

本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1．解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列满足，，求。

解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….（I）求a3, a5；（II）求{ a n}的通项公式.解：∵，∴，即∴，…………将以上k个式子相加，得将代入，得，。

经检验也适合，∴类型2．解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列满足，，求。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例2:已知，，求。

解：。

例3:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n}，满足a1=1，(n≥2)，则{a n}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得类型3．（其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例1:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.例2:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项＝_____（key:）例3:（2006.福建.理22.）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{b n}滿足证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）证明：（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即（II）证法一：①②②－①，得即③－④，得即是等差数列证法二：同证法一，得，令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立根据（1）和（2），可知对任何都成立是等差数列（III）证明：变式:递推式：。

数学小报苏教版资料内容一、角度与三角函数1.角度的概念及表示方法，包括弧度制和度数制。

2.特殊角的性质和计算方法，如零度角、锐角、直角、钝角等。

3.三角函数的定义及其图像特征，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

4.三角恒等式和周期性质的运用。

二、平面几何与解析几何1.平面图形的性质和分类，如直线、角、三角形、四边形等。

2.平面几何的一些基本定理，如等腰三角形、全等三角形、相似三角形的判定条件等。

3.解析几何的基本概念和方法，如坐标系、点的坐标、直线的方程等。

4.直线、圆和抛物线等简单曲线的性质和方程的求解。

三、函数与方程1.函数的概念及其分类，包括常函数、一次函数、二次函数等。

2.一次函数的性质和图像特征，如斜率、截距和变化规律等。

3.二次函数的性质和图像特征，如顶点坐标、对称轴、单调性等。

4.一元一次方程和一元二次方程的解法，如整数解、有理数解和无理数解等。

四、数列与数学归纳法1.数列的概念和常见数列的表示方法，如等差数列、等比数列等。

2.数列的性质和计算方法，如通项公式、前n项和、等差中项等。

3.数列的应用，如找规律、求和、证明等。

4.数学归纳法的基本思想和应用，如证明等差数列、等比数列等的性质。

五、概率与统计1.随机事件的概念和性质，如必然事件、不可能事件等。

2.概率的定义和计算方法，如概率的四则运算、互斥事件和相互独立事件的概率计算等。

3.统计方法的基本概念和应用，如数据的收集和整理、频数表和频率表的制作等。

4.统计图表的制作和解读，如条形图、折线图等的绘制和分析。

六、立体几何与体积1.立体图形的特征和性质，如点、线、面等。

2.立体几何的基本定理和公式，如平行四边形面积、正方体体积等。

3.形体与面的关系，如棱柱的展开图等。

4.立体几何的应用，如物体的体积、曲面的面积等的计算。

以上是数学小报苏教版的主要内容，涵盖了数学的各个方面，从基础概念到高级应用，对学生的数学思维能力和解题能力的培养都有很大的帮助。

高数第二章极限知识点（精选3篇）以下是网友分享的关于高数第二章极限知识点的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一：高中数学知识点总结第十三、四章极限与导数高中数学第十三章-极限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极限知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个n 0时结论正确；②假设当n =k （k ∈N +, k ≥n 0）时，结论正确，证明当n =k +1时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设P (n ) 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当n =n 0（n 0∈N +）时，P (n ) 成立；②假设当n ≤k （k ∈N +, k ≥n 0）时，P (n ) 成立，推得n =k +1时，P (n ) 也成立. 那么，根据①②对一切自然数n ≥n 0时，P (n ) 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法：①lim a n =an →∞②当n →∞时，a n →a . ⑵几个常用极限：①lim C =C （C 为常数）n →∞②limn →∞1nk=0(k ∈N , k 是常数)③对于任意实常数，当|a | 1时，lim a n =0n →∞当a =1时，若a = 1，则lim a n =1；若a =-1，则lim a n =lim (-1) n 不存在n →∞n →∞n →∞当a 1时，lim a n 不存在n →∞⑶数列极限的四则运算法则：如果lim a n =a , lim b b =b ，那么n →∞n →∞①lim (a n ±b n ) =a ±bn →∞②lim (a n ⋅b n ) =a ⋅bn →∞③lima n a=(b ≠0)n →∞b n b特别地，如果C 是常数，那么n →∞lim (C ⋅a n ) =lim C ⋅lim a n =Ca .n →∞n →∞⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S =a 1(q 1) . 1-q（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数x 0（但不等于x 0）时，如果函数f (x ) 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于x 0时，函数f (x ) 的极限为a . 记作lim f (x ) =a 或当x →x 0时，f (x ) →a .x →x 0注：当x →x 0时，f (x ) 是否存在极限与f (x ) 在x 0处是否定义无关，因为x →x 0并不要求x =x 0. （当然，f (x ) 在x 0是否有定义也与f (x ) 在x 0处是否存在极限无关. ⇒函数f (x ) 在x 0有定义是lim f (x ) 存在的既不充分又不必要条件. ）x →x 0如P (x ) =⎨⎧x -1x 1在x =1处无定义，但lim P (x ) 存在，因为在x =1处左右极限均等于零.x →1⎩-x +1x 1⑵函数极限的四则运算法则：如果lim f (x ) =a , lim g (x ) =b ，那么x →x 0x →x 0①lim (f (x ) ±g (x )) =a ±bx →x 0②lim (f (x ) ⋅g (x )) =a ⋅bx →x 0③limx →x 0f (x ) a=(b ≠0) g (x ) b特别地，如果C 是常数，那么x →x 0lim (C ⋅f (x )) =C lim f (x ) .x →x 0x →x 0lim [f (x )]n =[lim f (x )]n （n ∈N +）x →x 0注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限：1①lim =0 n →∞x ②lim a x =0（0＜a ＜1）；lim a x =0（a ＞1）x →+∞x →-∞③limsin x x=1⇒lim =1x →0x x →0sin x1④lim (1+) x =e ，lim (1+x ) x =e （e =2. 71828183）x →0x →∞x14. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点x =x 0连续，那么函数f (x ) ±g (x ), f (x ) ⋅g (x ), 在点x =x 0处都连续.⑵函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足三个条件：①函数f （x ）在点x =x 0处有定义；②lim f (x ) 存在；③函数f （x ）在点x =x 0处的极限值x →x 0f (x )(g (x ) ≠0) g (x )等于该点的函数值，即lim f (x ) =f (x 0) .x →x 0⑶函数f （x ）在点x =x 0处不连续（间断）的判定：如果函数f （x ）在点x =x 0处有下列三种情况之一时，则称x 0为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点x =x 0处没有定义，即f (x 0) 不存在；②lim f (x ) 不存在；③lim f (x ) 存在，x →x 0x →x 0但lim f (x ) ≠f (x 0) .x →x 05. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数f （x ）在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b ) 0. 那么在开区间(a , b ) 内至少有函数f (x ) 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使f (ξ) =0.⑵介值定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f (a ) =A , f (b ) =B ，那么对于A , B 之间任意的一个数C ，在开区间(a , b ) 内至少有一点ξ，使得f (ξ) =C （a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当0 |x -x 0| δ时，有g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ，且lim g (x ) =lim h (x ) =A ，则x →x 0x →x 0必有lim f (x ) =A .x →x 0注：|x -x 0|：表示以x 0为的极限，则|x -x 0|就无限趋近于零. （ξ为最小整数） 6. 几个常用极限：①lim q n =0, q 1 n →+∞a n=0(a 0) ②limn →+∞n !③limn k ann →+∞=0(a 1, k 为常数）④lim ⑤limln n=0n →+∞n(lnn ) k n εn →+∞=0(ε 0, k 为常数）高中数学第十四章导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数) 、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14. 导数知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；比值∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)称为函数y =f (x ) 在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率；如果极限=∆x ∆x f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y存在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim∆x →0∆x ∆x →0∆x limy =f (x ) 在x 0处的导数，记作f … (x 0) 或y … |x =x 0，即f … (x 0) =lim注：①∆x 是增量，我们也称为“改变量”，因为∆x 可正，可负，但不为零.②以知函数y =f (x ) 定义域为A ，y =f … (x ) 的定义域为B ，则A 与B 关系为A ⊇B . 2. 函数y =f (x ) 在点x 0处连续与点x 0处可导的关系：⑴函数y =f (x ) 在点x 0处连续是y =f (x ) 在点x 0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y =f (x ) 在点x 0处可导，那么y =f (x ) 点x 0处连续. 事实上，令x =x 0+∆x ，则x →x 0相当于∆x →0.于是lim f (x ) =lim f (x 0+∆x ) =lim [f (x +x 0) -f (x 0) +f (x 0)]x →x 0∆x →0∆x →0f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y. =lim∆x →0∆x ∆x →0∆xf (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x 0+∆x ) -f (x 0)⋅∆x +f (x 0)]=lim ⋅lim +lim f (x 0) =f … (x 0) ⋅0+f (x 0) =f (x 0).∆x →0∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x⑵如果y =f (x ) 点x 0处连续，那么y =f (x ) 在点x 0处可导，是不成立的. =lim [例：f (x ) =|x |在点x 0=0处连续，但在点x 0=0处不可导，因为∆y ∆y ∆y不存在. =1；当∆x ＜0时，=-1，故lim∆x →0∆x ∆x ∆x∆y |∆x |，当∆x ＞0时，=∆x ∆x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是f … (x 0) ，切线方程为y -y 0=f … (x )(x -x 0).4. 求导数的四则运算法则：(u ±v ) … =u … ±v … ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y … =f 1‟ (x ) +f 2‟ (x ) +... +f n … (x )(uv ) … =vu … +v … u ⇒(cv ) … =c … v +cv … =cv … （c 为常数）vu … -v … u ⎛u ⎫(v ≠0) ⎪=v 2⎝v ⎭…注：①u , v 必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.22例如：设f (x ) =2sin x +，g (x ) =cos x -，则f (x ), g (x ) 在x =0处均不可导，但它们和x xf (x ) +g (x ) =sin x +cos x 在x =0处均可导.5. 复合函数的求导法则：f x … (ϕ(x )) =f … (u ) ϕ‟ (x ) 或y … x =y … u ⋅u … x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f … (x ) ＞0，则y =f (x ) 为增函数；如果f … (x ) ＜0，则y =f (x ) 为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数y =f (x ) 在区间I 内恒有f … (x ) =0，则y =f (x ) 为常数.注：①f (x ) 0是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如y =2x 3在(-∞, +∞) 上并不是都有f (x ) 0，有一个点例外即x =0时f （x ）= 0，同样f (x ) 0是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x 0附近所有的点，都有f (x ) ＜f (x 0) ，则f (x 0) 是函数f (x ) 的极大值，极小值同理）当函数f (x ) 在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f … (x ) ＞0，右侧f … (x ) ＜0，那么f (x 0) 是极大值；②如果在x 0附近的左侧f … (x ) ＜0，右侧f … (x ) ＞0，那么f (x 0) 是极小值.也就是说x 0是极值点的充分条件是x 0点两侧导数异号，而不是f … (x ) =0. 此外，函数不①可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.②注①：若点x 0是可导函数f (x ) 的极值点，则f … (x ) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y =f (x ) =x 3，x =0使f … (x ) =0，但x =0不是极值点.②例如：函数y =f (x ) =|x |，在点x =0处不可导，但点x =0是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：…I. C … =0（C 为常数）(sinx ) =cos x (arcsinx ) =…1-x2(x n ) … =nx n -1（n ∈R ）(cosx ) … =-sin x (arccosx ) … =- 1-x2II. (lnx ) … =1‟ 11(loga x ) … =log a e (arctanx ) =2 x x x +11x 2+1(e x ) … =e x (a x ) … =a x ln a (arc cot x ) … =-III. 求导的常见方法：①常用结论：(ln|x |)‟ =1. x②形如y =(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n ) 或y =求代数和形式. (x -a 1)(x -a 2)...(x -a n )两边同取自然对数，可转化(x -b 1)(x -b 2)...(x -b n )③无理函数或形如y =x x 这类函数，如y =x x 取自然对数之后可变形为ln y =x ln x ，对两边y (1)求导可得=ln x +x ⋅⇒y … =y ln x +y ⇒y … =x x ln x +x x . y x篇二：高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点：(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。