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【内封面】南通大学毕业论文摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，它的应用极其广泛。
本文讨论了数学归纳法的原理，以数学归纳法原理为基础，在不同条件下对数学归纳法原理进行变易，扩大数学归纳法的应用范围。
并对数学归纳法的分类、应用进行总结，给出数学归纳法在初等代数、高等代数中的应用典例。
关键字：数学归纳法、原理、变易、应用。
ABSTRACTMathematical induction is a common method of proof, and its applications is very broad. This article discusses the principle of mathematical induction, promotes the principle of mathematical induction under different conditions, and expands the range of applications induction on the basis of the principle. It summarizes the classification and application of mathematical induction. Typical examples of applications of mathematical induction are given in elementary algebra and advanced algebra.Key words: Mathematical induction,Principle,Variation,Application目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................... I I1.引言 (1)2.数学归纳法原理及变易 (1)2.1数学归纳法的本原 (3)2.2数学归纳法原理 (3)2.3数学归纳法原理变易 (4)3．数学归纳法的表现形式 (6)3.1 第一数学归纳法 (6)3.2 第二数学归纳法 (6)3.3 跳跃归纳法 (7)3.4 双向归纳法 (8)3.5 反向归纳法 (8)4.数学归纳法的应用 (10)4.1数学归纳法在初等代数中的典型应用 (10)4.1.1 证明恒等式 (10)4.1.2 证明不等式 (12)4.1.3 证明整除问题 (12)4.1.4 证明几何问题 (12)4.2 数学归纳法在高等数学中的应用 (13)4.2.1 数学归纳法证明德摩根定律推广式 (13)4.2.2 数学归纳法证明行列式 (14)5.结论 (16)参考文献 (17)致谢......................................................................... 错误!未定义书签。
2019-2020学年苏教版数学精品资料1．数列1,1＋3,1＋3＋5,1＋3＋5＋7，…的一个通项公式为________．2．用数学归纳法证明不等式2n ＞n 2成立时，n 应取的第一个值为________．3．用数学归纳法证明不等式n 3＋1≥4n ＋1时，n 所取的第一个值n 0为__________．4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋121n ＜n (n ∈N *，且n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)与f (n )之间的关系为．6．用数学归纳法证明2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N )时，第一步的验证为____________________．7．已知x ＞－1且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2，求证：(1＋x )n ＞1＋nx .8．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n －3)＝2n 2－n .9．求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.10．已知函数31x f x x (x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，用数学归纳法证明1(31)2nn n b .参考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.5答案：f(n＋1)＝f(n)＋n－1 解析：如图，设凸n＋1边形为A1A2…A n A n＋1，连结A1A n，则凸n＋1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线加上A1A n，再加上从A n＋1点出发的n－2条对角线，即f(n＋1)＝f(n)＋1＋n－2＝f(n)＋n－1.6答案：当n＝0时，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，结论成立7答案：证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.∴左边＞右边，不等式成立.(2)假设当n＝k时，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，则当n＝k＋1时，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x).∵x＞－1，∴1＋x＞0.∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2.∵x≠0，∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.∴(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，即当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2的正整数都成立.8答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝2k2－k＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1).∴当n＝k＋1时，命题成立.综上所述，原命题成立.9答案：证明：(1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·（a ＋1)2k －1＝a ＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a ＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立. 根据(1)(2)知，对任意n ∈N*，命题成立.10答案：证明：当x ≥0时，f (x )＝1＋21x ＞1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N *).下面用数学归纳法证明不等式1(31)2n n n b . (1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即1(31)2k k k b ，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝1(31)|3|31(31)122k kk k ka b a . 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N*都成立.。
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学学习方法归纳高一年级数学学习方法归纳运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题能力的重任。
它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。
有两个方面的原因：一个是知识特点和认知规律。
与初中相比，高中数学内容更多，难度加大，抽象思维与逻辑要求能力更高。
在模仿与创新方面，高中学习善于模仿的同学，成绩只能一般，高中更注意对知识的深刻理解，对题目的分析。
为了避免“高分低能”现象，在平时还要注意创新，在自学能力方面，有很多初三学生，可能只要听听课做做练习，就可以考得高分了，但在高中就不行。
由于课程进度的要求，老师不可能把每个知识点再延伸下去，这就要求学生一定要多看资料书，对于考试中常见题型的解法要熟练掌握。
还有一个原因就是学生的思维习惯，由二维到三维，由简单到复杂，由惯性到逻辑思考，这是初中到高中学生自身思维发展的一个必经阶段。
思维习惯和学习方式若还没有转变过来，后果是很严重的，因为学习是非常连贯和逻辑的，如果前面的部分没有学好，又如何听得懂后面的`知识呢?发现问题，我们最重要的还是要解决问题。
天下事有难易乎?为之，则难者亦易矣;不为，则易者亦难矣。
解决它的第一个法宝就是自信，绝不气馁!只要你相信这只不过是你学习必经的一个阶段，其他很多同学也遇到了相同的问题。
在专业老师的指导下，你一定会解决这个问题的。
学好高中数学的重中之重在于深刻理解概念，知道公式定理的来龙去脉，重视听讲，课后及时复习养成良好的学习习惯。
数学属于理科，所谓“拳不离手，曲不离口”，学好数学肯定需要多练，但只做题不行，每做完一道题后要多思考总结，能够举一反三，每一节后总结，形成知识网络，每一章后总结，形成知识体系。
还有几个小建议：1、纠错本，很多同学都说自己有，但你真正把作业、试卷、资料书上做错的写在上面了吗?还有些非常典型的例题都抄在上面了吗.?关键在于执行，每过段时间要仔细再看一遍，直到你一看到它就知道解决办法，而且不会再犯以前那样的错误。
高中数学容易混淆的知识点归纳总结大家都知道，高中数学知识点繁多，而我们大部分的同学基础不牢固，导致很多知识点总是记错，特别是一些易混淆的内容，也没有足够的耐心去整理归纳。
就是因为这样，很多同学丢不少分。
为了让大家避免出现这样的错误，小编为大家整理了高中数学易错易混淆知识点，希望对大家有所帮助!1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
数 学E 单元 不等式E1 不等式的概念与性质 5．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C. sin x ＞sin yD. x 3＞y 3 5．D 4．[2014·四川卷] 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c4．DE2 绝对值不等式的解法 9．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.E3 一元二次不等式的解法 2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0] 2．B12．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)y －2≤0，2y －2≤0，－y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不．5．D6．[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－126．D11．[2014·福建卷] 若变量________．11．1＝2x ＋y 的最大值和最小值C ．7D ．8 3．B14．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.14．－214．[2014·全国卷] 设x ，y ．14．5⎪⎧x ＋y ≥1，D ，有下面四个命题：9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．20，b ＞(x ，y )∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，S 2．[2014·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．B13． [2014·浙江卷]⎪⎧x ＋2y －4≤0，数a 的取值范围是________．13.⎣⎡⎦⎤1，32a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B 14．，[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．14．5E7 不等式的证明方法 20．[2014·北京卷] 对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.19．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．A.t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，21}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，．a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1－1E8 不等式的综合应用9．、[2014·安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为() A．5或8 B．－1或5C．－1或－4 D．－4或89．D13．[2014·福建卷] 的底面造价是每平方米20________(单位：元)．13．160 21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f 函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n ＋n)与n －f (n )的大小，并加以证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，>0. ＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>13， ……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 而12＋23＋…＋n n ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴1＋2＋…＋n >⎛n x d x ＝ a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |f (x )满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |. 若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18 12．B新课标第一网系列资料 。
数学归纳法相关知识点总结一、数学归纳法的基本概念数学归纳法的基本思想是：如果我们能够证明一个结论对于第一个自然数成立（通常是对于n=1），并且能够证明结论对于某一个自然数成立时，它也对于下一个自然数成立，那么我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
因此，数学归纳法通常包括两个步骤：基础步骤（base case）和归纳步骤（inductive step）。
基础步骤是证明一个结论对于第一个自然数成立，通常是证明结论对于n=1时成立。
这个步骤通常是比较直接的，可以通过代入数值或者简单的推理来进行证明。
归纳步骤是假定结论对于某一个自然数n成立，然后证明结论对于下一个自然数n+1也成立。
这个步骤通常是通过数学推理和逻辑推导来进行证明，因此需要一定的数学技巧和思维能力。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的基本思想和步骤。
二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理是非常简单的，可以用如下的语言来描述：如果一个结论对于第一个自然数成立，并且对于某一个自然数n成立时，它也对于下一个自然数n+1成立，那么这个结论对于所有自然数都成立。
这个原理也可以用数学符号来表达。
假设P(n)是关于自然数n的一个命题，那么数学归纳法的原理可以用如下的数学表达来描述：(1) 基础步骤：证明P(1)成立；(2) 归纳步骤：假设对于某一个自然数n，命题P(n)成立，证明P(n+1)也成立。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的原理。
三、数学归纳法的应用数学归纳法是数学中非常重要的一种证明方法，它被广泛应用于代数、数论、组合数学、离散数学等多个数学领域中。
下面我们将介绍数学归纳法在不同数学领域中的具体应用。
1. 代数在代数中，数学归纳法常常被用来证明各种恒等式和不等式的成立。
例如，我们可以用数学归纳法来证明各种整式的恒等式、不等式和递推关系式。
数学归纳法1、知识与技能(1)了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
(2)会证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感态度价值观通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
教学重点、难点:教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
教学难点:(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
第2课时一、复习巩固数学归纳法的两个步骤二、实例应用例1、平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且无3个圆交于一点。
求证：这n 个圆将平面分成()22f n n n =-+个部分。
解析：当1n =时，一个圆将平面分成2个部分，()12f =，结论成立； 假设当n k =时，结论成立，即n 个圆将平面分成()22f k k k =-+个部分，当1n k =+时，第（k+1）个圆与前面k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将第（k+1）个圆分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以k+1个圆将平面分成了()()12f k f k k +=+个部分，()()22212221(1)2f k k k k k k k k +=-++=++=+-++； 所以，当1n k =+时，结论成立。
综上所述，这n 个圆将平面分成()22f n n n =-+个部分。
例2、对于n N *∈，求证：()1211(2)n n x x +-+++，可被()233x x ++整除。
数学归纳法(资料)学归纳法证明与递归定义法的合法性依据(如何避免一个表面上的“恶性循环”,即用归纳法定义自然数，然后由此出发来证明自然数上数学归纳法的可行性?)算术理论的形式展开. (一个少年时代的疑问之终结：如何严格证明加法与乘法的结合律，交换律与分配律? “定律”(Postulates)转化为“定理”(Theorems))^ *Digression, 归纳与递归的数值与非数值形式，不动点计算over sets.归纳与递归目录中文摘要 (1)ABSTRACT (1)引言 (2)1. 数学归纳法的历史由来 (1)1．1 基本步骤 (3)1．2 基本形式 (3)⒉．数学归纳法解决应用问题 (4)2．1 代数恒等式方面的问题 (4)2．2 几何方面的应用 (4)2．3 排列和组合 (5)2．4 对于不等式的证明，有时适当放大或缩小，有时用综合法和分析法 . 63. 常见误区及剖析 (7)3．1 忽略了归纳的基础 (7)3．2 归纳推理出错 (7)4. 应用技巧 (9)4．1 配凑“归纳假设”法 (9)4．2 分析法 (10)5. 数学归纳法的推广 (11)6. 小结 (12)２３参考文献 (13)1、数学归纳法的理论依据2、数学归纳法的表现形式2.1.第一数学归纳法2.2.第二数学归纳法2.3.反向归纳法3、数学归纳法的应用3.1.数学归纳法在初等代数中的应用3.2.数学归纳法在高等数学中的应用3.3.数学归纳法在离散数学中的应用3.4.数学归纳法在中学竞赛中的应用4、对数学归纳法的认识5.数学归纳法在应用中要注意的问题5.1在应用第一数学归纳法时，只有第2步而无第1步的证明可能导致错误.5.2在应用第一数学归纳法时，只第1步骤而无第2步骤的归纳证明可能导致错误的结论.5.3并不是凡与自然数相关的命题()T n 都要用数学归纳法来证明，而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明的.摘要 (1)1.数学归纳法的定义概述 (2)1.1常用数学证明方法 (2)1.2数学归纳法的定义 (3)2.数学归纳法的步骤 (4)４3.易错分析 (5)3.1弄不清n k =到1n k =+时的式子变化 (5)3.2运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件 (5)4.运用数学归纳法的典型例题 (5)5.中学数学中关于数学归纳法的用途............................................................6 参考文献 (6)中文摘要英文摘要1 引言 (1)2 数学归纳法原理 (1)2.1 良序原理 (1)2.2 数学归纳法 (2)2.3 第二数学归纳法 (3)2.4 数学归纳法的有效性 (4)3 数学归纳法应用举例 (4)3.1 数学归纳法在解题和证明中的一些应用 (4)3.2 数学归纳法在递归定义上的应用 (10)3.3 数学归纳法在递归算法上的应用 (13)参考文献 (17)一 归纳法的特点５二 求同法三 求异法四 求同求异并用法五 共变法六 剩余法七 在高等数学中的归纳法运用举例八 总结递归法设一个未知函数f ，用其自身构成的已知函数g 来定义：f(n)=g(n ，f(n-1)) n>0f(0)=a n=0为了定义f(n)，必须先定义f(n-1)，为了定义f(n-1)，又必须先定义f(n-2)…，上述这种用自身的简单情况来定义自己的方式称为递归定义。
一个递归定义必须是有确切含义的，也就是说，必须一步比一步简单，最后是有终结的，决不能无限循环下去。
在f(n)的定义中，当n 为0时定义一个已知数a ，是最简单的情况，称为递归边界，它本身不再使用递归的定义。
与递推一样，每一个递归定义都有其边界条件。
但不同的是，递推是由边界条件出发，通过递推式求f(n)的值，从边界到求解的全过程十分清楚； 而递归则是从函数自身出发来达到边界条件。
在通往边界条件的递归调用过程中，系统用堆栈把每次调用的中间结果(局部变量和返回地址值)保存在栈区，直至求出递归边界值f(0)=a 。
然后返回调用函数。
返回过程中，中间结果相继出栈恢复，f(1)=g(1，a) → f(2)=g(2，f(1)) →…→f(n)=g(n ，f(n-1))为止。
描述递归定义的函数或求解递归问题的过程称为递归算法。
一个递归算法，本质上是将较复杂的处理归结为简单处理，直到最简单的处理。
从实际问题中抽象递归定义和边界条件的过程是一种归纳，通过这种归纳方式能使一个蕴含递归关系且结构复杂的程序简洁精炼，增加可读性。
特别是在难于找到从边界到解的全过程的情况下，如果把问题推进一步，其结果仍维持原问题的关系，则采用递归算法编程比较合适。
但递归算法也有致命的缺点，其执行的效率比较低，尤其在边界条边设置不当的情况，极有可能陷入死循环或者内存溢出的窘境。
递归按其调用方式分1. ⑴直接递归──过程P 直接自己调用自己；⑵间接递归──即过程Ｐ调用一过程Ｄ，而过程Ｄ又调用过程P ，即两个过程都通过另一６过程调用它们自己，故称为间接递归；由于人们通常使用直接递归方式编程，很少有人问津间接递归，因此这里主要介绍直接递归方式。
递归算法适用的一般场合为：1、数据的定义形式按递归定义。
如裴波那数列的定义f n =f n-1 +f n-2 ，f 0 =1，f 1 =2。
对应的递归程序为：function fib(n:integer)：integer ；beginif n=0 then fib ←1 {递归边界}else if n=1 then fib ←2else fib ←fib(n-2)+fib(n-1)； {递归}end ；{fib}这类递归问题可转化为递推算法，递归边界作为递推的边界条件。
例如上例f[0]←1；f[1]←2； {递推边界}for i ←2 to n do f[i]←f[i-1]+f[i-2]；fib←f(n)；2、数据之间的关系(即数据结构)按递归定义。
如树的遍历，图的搜索等。
3、有些问题本身没有明显的递归结构，但使用递归求解比其它方法更简单。
例如递归的分治策略对于2、3，可利用堆栈结构将其转换为非递归算法，但结构不如递归算法简洁清晰，可读性较差。
限于篇幅，这里不作介绍。
编写递归程序时应注意解决如下几个问题：2. ⑴问题的递归定义，即如何用自身的简单情况定义自己；3. ⑵递归边界，即递归至哪个边界值后开始回溯；4. ⑶参与递归运算的变量有哪些，其中哪些作为值参，哪些作为局部变量。
如果有全局变量参与递归运算的话（初始值由主程序传入，受内存限制不便作为值参），回溯过程中必须恢复其递归前状态；【例题11.3.4】计算交点数在平面上有n 条直线，且无三线共点。
问这些直线能有多少种不同的交点数。
输入：n输出：以下若干行列出所有相交方案。
其中一行为一个交点数。
分析：我们将n 条直线排成一个序列。
直线2与直线1最多有一个交点；直线3与直线1和直线2最多有2个交点，……，直线n 与其它n-1条直线有n-1个交点。
由此得出n 条直线互不７ 平行且无三线交于一点的最多交点数为1+2+…+（n-1）=2)1(*-n n 。
设 ⎩⎨⎧=;1;0][存在交点数不存在交点数i i i g （0≤i≤2)1(*-n n ）我们来具体分析n=4的情况⑴ 四条直线全部平行，无交点，g[0]=1⑵ 其中三条直线平行，交点数为(n-1)*1+0=3，g[3]=1⑶ 其中二条直线平行。
这两条直线与另外两条直线之间的交点数为(n-2)*2=4。
而另外两条直线本身既可能平行亦可能相交，因此交点数据分别为(n-2)*2+0=4 g[4]=1(n-2)*2+1=5 g[5]=1⑷ 四条直线互不平行。
交点数为(n-1)*1+3条直线的相交情况(n-1)*1+0=3 g[3]=1(n-1)*1+2=5 g[5]=1(n-1)*1+3=6 g[6]=1即n=4时，有0个、3个、4个、5个、6个不同的交点数。
由此得出m 条直线的交点方案=(m-r)条平行线与r 条直线交叉的交点数+r 条直线本身的交点方案 =(m-r)*r+r 条直线本身的交点数（1≤r ≤m ）显然，计算不同交点数的问题是递归的，可以描述成如下递归算法：procedure try (m ，j) {值参m 为直线数， j 为交点数}beginif m>0 {若直线存在，则递归计算所有的交叉情况}then for r ←m downto 1do try(m-r ，j+r*(m-r))else g[j]←1； {否则确定m 条直线存在j 个交点}end ；{try}有了递归过程try(m ，j)后，我们便可以通过下述方式计算和输出n 条直线的交点方案；2)1(-←n n k ； {计算n 条直线的最多交点８数}fillchar(g ，sizeof (g)，0)；try(n ，0)；方案数total 初始化为0；for i ←0 to k doif g[i]=1 then begin total ←total+1；输出第total 个方案为交点数i ；end ；{then}“数”之概念的起源，its Meaning & Representations, 数系的形成：One, t wo, three; … and then extend up to arbitrary large but bounded numbers (including zero)考古学与人类学的证据；语言学与文化史的背景；认知心理学的实验与分析。
９e.g. 为什么汉语（或亚洲）语言文化圈内儿童学习与掌握的数字及其运算的能力，在整体上，优于欧美语言文化圈内的儿童？从notches on the bones, finger counting ，body counting ，到tally marks ，进而数的几何表示；“数”的“语义”与“语法”：numbers vs . numerals （& digits ），from logic point of view;Numeral Systems vs. Codings : from information – theoretic point of view.方法论译注：i. 1-1 对应方法的原始呈现及其在Abstraction & Generalization 过程中的意义；ii. Coding/Decoding 是现代计算理论中的三大支柱(A. Rosenberg 语)之一Ⅱ A Constructive Way (from scratch) to Natural Numbers and their Operations, w.r.tthe Axiomatic Approach to Peano Arithmetic: von Neumann vs. G.Peano嵌入在自然数构造中的归纳与递归(Induction & Recursion), 数学归纳法证明与递归定义法的合法性依据(如何避免一个表面上的“恶性循１０ 环”,即用归纳法定义自然数，然后由此出发来证明自然数上数学归纳法的可行性?)算术理论的形式展开 . (一个少年时代的疑问之终结：如何严格证明加法与乘法的结合律，交换律与分配律? “定律”(Postulates)转化为“定理”(Theorems))^ *Digression, 归纳与递归的数值与非数值形式， 不动点计算 over sets.*只介绍 basic ideas, 具体细节作为homeworks 由学生自己完成。
