复变函数与积分变换作业答案

14分式线性映射

一、选择题：

【 A 】1、分式线性变换z

z w --=

21

2把圆周1=z 映射为 （A ）1=w （B) 2=w （C ）11=-w (D) 21=-w 【 D 】2、点z 关于单位圆周1||=z 的对称点是 （A ）z （B ）z （C ）z 1 （D ）z

1

二、填空题：

1、把点1,,1-=i z 分别映射成点0,1,-∞=w 的分式线性映射是.1

1

)(-+-=z z i

z f 2、i +1关于圆周2|1|=-z 的对称点是.41i +

三、求把点i i z -=,,1分别映射成点1,0,1-=w 的分式线性映射 【解】 由分式线性映射的保比性可得

i

i z i i z w w ++--=++--11111010, 化简可得所求映射为

)

2()21(i z i z

i w +-+-=

.

四、求把上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1

【解】 由于0)(=i f , 根据分式线性映射的保对称性可知∞=-)(i f . 故可令

i z i

z k

z f +-=)(, (其中k 为待定常数) . 又因为1)1(=-f , 代入上式得

i

i

k

+---=111, 解之可得i k -=, 从而所求映射为

i

z i

z i

z f +--=)(.

（2）0)(arg ,0)(='=i f i f 。

【解】 由于0)(=i f , 根据分式线性映射的保对称性可知∞=-)(i f . 故可令

i

z i

z e z f i +-=θ

)(, (其中θ为待定常数) . 由此可得

2')(2)(i z i e

z f i +=θ, )2('

2

1)(π

θ-=i e i f . 又因为,02)(arg '

=-=πθz f 所以2

πθ=. 从而所求映射为

i

z i z i i z i z e z f i +-?

=+-?=2

)(π

.

2、求把单位圆1

1

(=-=f f 【解】 由于0)2

1(=f , 故可设

z z e z f i 2

1121)(--

?=θ. 又1)1(=-f , 代入上式可得 1-=θ

i e . 从而所求映射为

21212

121)(--=--

=z z z z z f .

（2）0)2

1(arg ,0)21(='=f f 【解】 由于0)2

1(=f , 故可设

z z e z f i 2

1121)(--

?=θ, 由上式可得

2

')2

11(43

)(z e z f i -=θ

, 34)21('?=θi e f . 又因为 ,0)2

1(arg '

==θf 所以1=θ

i e . 从而所求映射为

z z z f 2

1121)(--

=

.

15唯一确定分式线性映射的条件、几个初等函数所构成的映射 一、选择题：

【 B 】1、把带形域2

)Im(0π

<

w 的一个映射为

（A ）z e w 2= （B ）z

e w 2= （C ）z

ie w = （D ）iz

e w = 【 D 】2、把角形域2

)arg(0π

<

w 的一个映射为

（A ）2iz w = （B ）2

z w -= （C ）2

iz w -= （D ）2

2z w =

二、填空题：

1、把角形域4

arg 0π

<

2、映射z w ln =将上半z 平面映射为π<

三、求一个共形映射将下列区域映射成上半平面： （1）D ：0)Im(>z ，2||

所求满足要求的映射为

2

22??

? ??-+=z z w .

2

22??

?

??-+=z z w

2

1w w =

（2）D ：1,3

arg 0<<

；

【解】 如下图所示:

2

3311???

? ??-+=z z w .

四、求把偏心圆环域?

??

???

<

->2511::z z z D 且映射为同心圆环域R w <<1的一个映射 【解】 如下图所示: 为简便起见，在单位圆内实轴上取一点 a 映射成原点， 对单位圆1||=z 而言，根据保对称性，a

1

映射成无穷远点 所求的映射为 a

z a

z k

w 1--= 对园2

5

|1|=

-z 也有保对称性，且为同心圆 则 425

)11)(1(=--a a

解得 4

1

-=a

因此所求映射为 4

41++=z z k

w 因为单位圆1||=z 映射成单位圆1||=w ，则取1)1(=w 代入得 4

1=k 故所求映射为 4

1

4++=z z w

2

33

11???

? ??-+=z z w

1

1112-+=w w w

16傅氏变换的概念

一、设周期函数)(t f 在一个周期上的表达式为??

?<≤-<≤=0

1,

010,1)(t t t f ，求)(t f 的傅里叶

级数的指数形式，并作出)(t f 及振幅与相位频谱图像。 【解】 ππ

ω==

T

2 ?--=22

d )(1T

T

t in n t e t f T c ω?-=1021dt e t in ω,...2,10

2

112)12(20±±=???????=-=--

==k n k n k i

k n π

所以)(t f 指数形式为：∑+∞-∞=--+k t k i e i

k ππ)12()12(1

21

振幅频谱图||n c

x

相位频谱图)arg(n c

x

二、求函数????

???-=,0,

1,1,0)(t f +∞

<<<<<<--<<∞-t t t t 110011的傅里叶积分，并作出)(t f 及振幅与相位频谱图像。

【解】 由于()()t e t f F t i d ωω-+∞

∞

-?

=

()

t e t e t i t i d d 1

01

??-+=--ωω

()()

1111-+--

=-ω

ωωωi i e i e i ()1cos 2

-=ωω

i , 故)(t f 的傅里叶积分为

()ωω

ωωωπωωωπω??+∞+∞∞---=-0d sin sin cos 2d 1cos 221t t e i t

i .

振幅频谱图)1(cos 2

|)(|-=

ωω

ωF

x

振幅频谱图????

??

?>+<-=0

2

2)(arg ωπωπωF

x

17单位脉冲函数

一、选择题：

【 B 】1、下面结论不正确的是 （A ）

)()(d d

t t u t

δ= (B))(d )()(00t f t t t f t =-?+∞∞-δ

（C ）)(t δ是偶函数 (D))(t δ的傅里叶变换是1 【 D 】2、函数t

j e

0ω的傅里叶变换是

（A ）1 （B ）)(2ωπδ （C ）)(20ωωπδ+ （D ）)(20ωωπδ-

二、填空题：

1、单位跳跃函数)(t u 的傅里叶变换是

)(1

ωπδω

+i 2、衰减函数t

e

t u β-)(的傅里叶变换是

ω

βi +1

三、求函数??

??

?>

<-=2||,02||,2

1)(τ

ττt t t t f 的傅里叶变换，并作出)(t f 及频谱图像。 【解】 dt e

t f F t

i ωω-+∞

∞

-?=

?

)()(dt e t t i ωτ

ττ-+

-????

??-=?22

21

dt e dt e t t i t i ωτ

ωτττ---????

??-+???? ?

?+=??200

221212

2

22112τωωωττω---???????+???? ??+?-=t i t i e i e t ??? ?

?-=τωτω2cos 142

x

四、求函数)6

2sin()(π

-

=t t f 的傅氏变换，并作出)(t f 及其频谱图。

【解】 it it e i e i t t t f 224

314312cos 212sin 23)(---+-=-=

, 则 )2(2

3

1)2(231)]([+---+-

=ωπδωπδi i t f F

x

五、求函数)]()([)(00ωωδωωδω-++=F 的傅氏逆变换)(t f 。并作出)(t f 及其频谱图。 【解】 根据Fourier 逆变换的定义, 有

ωωωδωωδππ

ωd e t f t

i ?+∞∞--++=

)]()([21)(00 {}

ωωωδωωωδωωd e d e t i t

i ??+∞∞

-+∞∞--++=)](

)(2100

.cos )(2

1

000t e e t i t i ωωω=+=- 下面取10=ω

x

18傅氏变换的性质

一、选择题：

【 C 】1、设)(t f 的傅里叶变换为)(ωF ，则)(t f t ?的傅里叶变换为 （A ）)(ωF ' （B ）)(ωF '- （C ）)(ωF j ' （D ）)(ωF j '-

【 A 】2、设)(t f 的傅里叶变换为)(ωF ，则)(t f e jat

的傅里叶变换为

（A ）)(a F -ω （B ）)(a F +ω （C ）)(ωω

F e

ja - （D ）)(ωωF e ja

【 D 】3、设)(t f n 的傅氏变换为)(ωn F （2,1=n ），则)()(21t f t f ?的傅氏变换为 （A ）)()(21ωωF F ? （B ）)(*)(21ωωF F （C ）)()(2121ωωπF F ? （D ）)(*)(21

21ωωπ

F F

二、填空题：

1、设)(t f 的傅里叶变换为)(ωF ，则)12(-t f 的傅里叶变换为)2

(212ωω

F e i -．

2、设)(t f 的傅里叶变换为)(ωF ，则

?

∞

-t

f ττd )(的傅里叶变换为

)(1

ωω

F i ． 三、利用傅氏变换的性质，求下列函数)(t f 的傅氏变换： （1）)32sin()(0-=ωt e

t f t

j ；

【解】 由于三角函数 )]2()2([]2sin [--+=ωδωδπi t F , 由Fourier 变换原像函数的位移性质, 可得

)]2()2([]2sin [)]32sin([2

32

3--+==---ωδωδπωωi i ie

t e

t F F ,

再由Fourier 变换像函数的位移性质, 可得

)]32sin([)]([0-=t e

t f t

i ωF F )]2()2([)(2

3

0---+-=--ωωδωωδπωωi ie

（3）)3()(2t u e

t t f t

-=

【解】 由于衰减函数有 F ω

i t u +=

321

)]([e t 3

2-

由相似性质得 F ω

i t u +=21

)](3[e 2t

-

,

由Fourier 变换像函数的微分, 可得

)]([)]([2t u te t f t i -=F F '

???

??+-=ωi i 2112

)

2(1ωi +-=

（4）t t u e

t f t

2cos )()(3-=

【解】 由于 ti t ti t e t u e e t u e t f 2323)(21)(21)(---+=

t i t i e t u e t u 00)(2

1

)(21ωω-+=, 而 ω

i t u +=31)]([e 3t

-F ,

再由Fourier 变换的线性性质和像函数的位移性质, 可得

]2cos )([)]([3t t u e t f t -=F F ])(2

1

)(21[00t i t i e t u e t u ωω-+=F

])([2

1

])([2100t i t i e t u e t u ωω-+=F F )

(31

21)(312100ωωωω+++

-+=

i i . 四、设??

?

???

?

>≤=2||02||1)(ππt t t f ，t t g cos )(=，求)(*)(t g t f 。 【解】 根据卷积的定义, τττd )()()()(-=*?

+∞

∞

-t g f t g t f ,

下面根据t 的不同取值范围进行讨论.

1) 当2

π

-

2) 当2

π

-

≥t 时, ?--=

*22

d )cos()()(π

πττt t g t f

)2

sin()2

sin(π

π

+

+-

-=t t .t cos 2=

19拉斯变换的概念

一、选择题：

【 C 】1、函数kt t f cos )(=的拉斯变换是

（A)

22k s k + (B)2

2k s k

-

（C)22k s s + (D)2

2k s s

-

【 D 】2、函数m

t t f =)(的拉斯变换为 （A)m s m ! (B)1)!1(++m s m (C)m s m )!1(+ (D)1!+m s

m

二、提空题：

1、函数kt

e t

f -=1)(的拉斯变换为

k s s --1

1。 2、单位跳跃函数)(t u 的拉斯变换是

s

1。 三、用拉氏变换的定义求下列函数)(t f 的拉氏变换： （1）)(2

15cosh )(55t t

e e t t

f -+=

= 【解】 根据Laplace 变换的定义，有

??

+∞---+∞

+=

==0550

d e )e e (2

1d e ch5)]([)(t t t t f s F st

t t st L +∞

+---?

?

?

??++--=0

)5()5(515121t s t s e s e s ??

?

??++-=515121s s , )5)(Re(>s . （2）)(4)()(3t e

t u t f t

δ+=-

【解】 根据Laplace 变换的定义，有

t t f t f s F st d )e ()]([)(0

-+∞

?

==L

[]

?+∞--+=

3d e )(4e

)(t t t u st t

δ

??+∞-+∞--+=0

3d e )(4d e e )(t t t t u st st

t δ43

1

++=

s , )3)(Re(->s .

（3）t t u t t t f sin )()1cos()()(+-=δ 【解】 根据Laplace 变换的定义，有

t t f t f s F st d )e ()]([)(0

-+∞

?==L

[]?

+∞-+-=0d e sin )()1cos()(t t t u t t st δ

??+∞-+∞

-+-=0

d e sin )(d e )1cos()(t t t u t t t st st

δ

1

1

1cos 2

++

=s , )0)(Re(>s .

（4）??

?

??≥<≤-<≤=4,043,130,2)(t t t t f ；

【解】 根据Laplace 变换的定义，有

t t f t f s F st d )e ()]([)(0

-+∞

?

==L

??---+=4

3

3

d e d 2e t t st st

s s st st s s e s e s 343403e 5

3e 1212-----+=+-=

（5）?

?

?≥≤<<=ππt t t t t f ,0,00,sin )(。

【解】 根据Laplace 变换的定义，有

??

--+∞

===π

d e sin d )e ()]([)(t t t t f t f s F st st

L

)1(e 1

1e )cos sin (1

12

2++=

--+=

--t

st

s t t s s ππ.

20拉氏变换的性质

一、选择题：

【 D 】1、设)(t f 的拉斯变换为)(s F ，则

)(d d t f e t

t

-的拉斯变换为 （A ）)1(-s sF (B))1(+s sF （C ）)0()1(f s sF -- (D))0()1(f s sF -+

【 C 】2、设)(t f 的拉斯变换为)(s F ，则)(t f t n

的拉斯变换为

（A ）)()

(s F

n (B))()(s F n -

（C ）)()1()

(s F n n

- (D))()1()(1s F n n +-

二、填空题：

1、设函数)(t f 的拉斯变换为)(s F ，则)12(-t f 的拉斯变换为)2

(212s

F e S

-。

2、设函数)(t f 的拉斯变换为)(s F ，则)(s F '的拉斯逆变换为)(t tf -。 三、利用常见函数的拉斯变换公式及拉斯变换的性质求下列函数的拉斯变换： （1）t

e t t

f 32)(-=； 【解】 由于3

1

]e [3-=

s t

L , 由像函数的微分性质，有 2

3)3(131]e [-='??

?

??--=s s t t L . 再利用线性性质, 可得

]e []2[]e 2[)]([33t t t t t f L L L L -=-=2)

3(1

2--=

s s , )0)(Re(>s . （2）)3()(3

-=-t u e

t f t 。

【解】 由于1

1

)]([-=

s t u e t

L , 由延迟性质，有 1

1

)]3([33-=---s e t u e s t L ，)1)(Re(>s .

（3）t e

t t f t

2cos )(3-=；

【解】 由于4

]2[cos 2

+=

s s

t L ,由像函数的位移性质, 有 4

)3(3

]2cos e [23+++=

-s s t t L ,

再利用像函数的微分性质，有

[]

22

2234)3(4)3(4)3(3]2cos e [++-+='

???

? ??+++-=-s s s s t t t

L , )0)(Re(>s .

（4）t

t

t f cos 1)(-=

【解】 由于L 1

1]cos 1[2+-=-s s s t

, 再利用像函数的积分性质，有

L ?∞??

? ??+-=-s s s s s t t d 11]cos 1[2 ()

∞+-=s s s 1ln ln 2

1ln 11ln 2

2+-=???? ?

?+=∞

s s s s s ，)0)(Re(>s

3、设以a T 4=为周期的函数在一个周期上的表达式????

???<<<<-<<<<=a

t a a t a a t a a

t t f 4303212001)(，求)(t f 的

拉氏变换。

【解】 根据周期函数Laplace 变换的公式，可得

t t f t f T st sT d )e (e

11

)]([0

?---=

????

??--=??---t t a st a st as d e d e e 1132a 04 )1e e (e )

e 1(1234+---=

----as

as as as

s .

21拉氏逆变换

一、选择题： 【 A 】1、函数2

)2(1

)(-=

s s F 的拉斯逆变换为

（A ）t

te 2 （B ）t

te

2- （C ）2-t （D ）2+t

【 D 】2、函数2

22)(a s e s s F s

+=-拉斯逆变换为

（A ）)2cos(-at (B))2cos(+at （C ）)2(cos -t a (D))2(cos +t a

二、填空题： 1、函数2

21)(a

s s F -=

的拉斯逆变换为()at

at e e a --21 2、函数函数2

21

)(a

s s F +=的拉斯逆变换为at a sin 1

三、用留数方法求下列函数)(s F 的拉氏逆变换： （1）)

9)(4()(22++=

s s s

s F

【解】 由于i s i s 3,2±=±=是st

s F e )(的一级极点, 由Heaviside 展开式, 有

)(t f i

s s s s i s s s s st

st 2264e 2264e 3

3-=++=+= i

s s s s i s s s s st

st 3264e 3264e 3

3-=++=++ )3cos 2(cos 5

1

t t -=.

（2）2

2)

1(1

2)(+-+=s s s s s F 【解】 由于0=s 是st s F e )(的一级极点, 1-=s 是st s F e )(的二级极点, 且有

1)1(1

2lim ]0,e )(Res[2

20-=+-+=→s s s s s s F s st

;

t

t s st t s s s s s s F ---→+='?????

?+-++=-e 2e 2)1(12)1(lim 1],e )(Res[22

21, 故有 )]([)(1

s F t f -=L

1e 2e 2-+=--t t t .

四、利用拉氏变换的性质求函数2

21

ln )(s s s F -=的拉氏逆变换。

【解】 由于 )1(2

1ln )(222-='

???

? ??-='s s s s s F ,且有 2e e )]([1

-+='--t t s F L .

根据微分性质, 有 =-)(t tf 2e e )]([1

-+='--t t s F L ,

因此, 有 t

t t s F t f t t ----==e e 2)]([)(1

L

.

二、求下列函数在拉斯变换下的卷积：

???=-,,0)(1t e t f 00≥

??

?

><≤≤=2,0,020,sin )(2ππt t t t t f 。 【解】 根据卷积的定义, 有τττd )()()()(20

121-=*?

t f f t f t f t

,

下面根据t 的不同取值范围进行讨论.

1) 当0≤t 时,显然有0)()(21=*t f t f ; 2) 当2

0π

≤

121-=

*?

t f f t f t f t

τττd e sin )(0

--?=?t t

0)cos (sin 21e t t

e ??????-=-τττ)e cos (sin 2

1t

t t +-=;

3) 当2π>t 时, 有τττπ

d e

sin )()()(2021--?=*?t t f t f )1e (e 2

12+=-πt

.

22拉氏变换的应用

一、用拉氏变换求解下列微分方程 （1）1)0()0(,

34='==+'+''-y y e y y y t ；

【解】 设)()]([s Y t y =L ,方程两边取Laplace 变换, 可得

1

1)(3)0(4)(4)0()0()(2+=

+-+'--s s Y y s sY y sy s Y s , 代入初始条件, 化简得

)

3)(1(5

)3()1(1)(2

++++++=

s s s s s s Y . 由于

4e 2e 4e )3()1(1

321

t t t t s s -----+=??

????++L

,

t

t s s s ---+-=??

????+++e 2e )3)(1(531

L

, 取Laplace 逆变换,可得原方程的解为

t t t t t y e 4

72e e 43)(3++-=--.

（2）0)0()0()0(,

2=''='=='-'''y y y e y y t

；

【解】 设)()]([s Y t y =L ,方程两边取Laplace 变换, 可得

2

1

)0()()0()0()0()(23-=

+-''-'--s y s sY y y s y s s Y s , 代入初始条件, 化简得

s

s s s s s s s Y 221

)2)(1(1)(2

342+--=--=

. 由于2,1,0±均为)(s Y 的一级极点,对上式取Laplace 逆变换, 可得原方程的解为

??????--=-)2)(1(1)(21

s s s t y L

∑±=+--=2

,1,0232264e s st

s s s 6

e 6e 2e 212t

t t +--=-.

二、质量为m 的物体挂在弹性系数为k 的弹簧一端，作用在物体上的外力为 t m

k

t f sin

)(=， 若物体从静止平衡位置0=x 处开始运动，求该物体的运动规律)(t x .。

【解】由牛顿定律, ?

????='=-=''0

)0()0(sin x x kt t m k

x m

设 L )

()]([s X t x =

方程两边同时取拉斯变换得：

m

k s m

k s kX s X m s +

=

+22

1)()(

令

2

0ω=m k ，整理得： 22020)

(1)(ωω+=s m s X 因为 )cos (sin 21

])(1[

L 0003

022021

t t t s ωωωωω-=+- 所以 )cos (sin 21

)(0002

t t t m t x ωωωω-=

)cos (sin 21

)(0002

t t t m t x ωωωω-=