高等数学
一、填空 、选择题〔每题3分，共30分〕
1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,那么
D
yd σ=⎰⎰ .
3.假设曲线L 是2
2
1x y +=在第一象限的局部,那么L
xds =⎰
.
4.设(,)ln()2y
f x y x x
=+
,那么(1,0)xx f = . 5.假设级数
1
(2)n
n u
∞
=+∑收敛,那么lim n n u →∞
= .
6.函数3
2
2
(,)42f x y x x xy y =-+-,以下说法正确的选项是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2
2
(,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2
24x y +=顺时针一周,那么
12
L
xdy ydx -=⎰
( ).
(A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9.
累次积分1
(,)y
dy f x y dx ⎰
改变积分次序后等于( ).
(A) 2
1
(,)x x
dx f x y dy ⎰⎰
; (B)
21
(,)x
x
dx f x y dy ⎰
⎰;
(C)
10
(,)x
dx f x y dy ⎰ ;
(D)
21
(,)x dx f x y dy ⎰.
10. 以下各级数中条件收敛的是〔 〕
(A)
1
1
(1)
n n ∞
+=-∑; (B) 1
2
1
1
(1)n n n ∞
+=-∑; (C)
1
1
(1)
1
n n n
n ∞
+=-+∑; (D) 1
1
1
(1)
(1)
n n n n ∞
+=-+∑;
二解答题(6*4)
1.设函数22
ln()y x
z x y e =++,求(1,0)
dz
.
2.设sin ,,2u
z e v u xy v x y ===-,求
,z z x y
∂∂∂∂. 3.
设()xy
z f e y =,求
,z z x y
∂∂∂∂.
4. 设方程sin y z
e
x z e +-=所确定的隐函数),(y x z z =求
(0,1)(0,1)
,
z z x
y
∂∂∂∂.
三 计算题(5*5) 1.
求(2D
dxdy ⎰⎰，其中D 4:2
2≤+y x . 2.求
⎰⎰⎰
Ω
zdv ，其中Ω是曲面22
z x y =+及平面1z =所围成的闭区域. 3.
求
∑
⎰⎰
,其中∑为曲面2
2y x z +=在10≤≤z 之间的局部.
4. 计算曲面积分
⎰⎰∑
zdxdy ，其中∑为曲面22y x z +=
在10≤≤z 之间局部的下侧。
5.求
()()L
x y dx x y dy +--⎰
,其中L 为沿222x y +=顺时针方向一周.
四解答题(5+5+6) 1.判别级数
1
1
(1)3n n
n n
∞
-=-∑是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛? 2. 求幂级数
1
1
n n nx
∞
-=∑的收敛区间及和函数)(x s ,并求12
n
n n
∞
=∑
3. 将函数1
()f x x
=展成(x -2)的幂级数 五证明题(5)
设函数()f x 连续,证明: 2
11()
()()()1b
x
b
n n a
a
a
dx x y f y dy b x f x dx n ---=--⎰
⎰⎰ 参考答案 一 1.
122211x y z ---==
-. 2.0.[因为积分区域D 关于x 轴对称,被积函数y 是关于y 的奇函数] 3.1. 4.1
4
-. 5.-2. 6.B 7.选(A)或(B)都对. 8. (C)[利用格林公式,注意此题中的方向是顺时针] 9. (B); 10. (A)
二 1. 因为22222221(),)y y
x x
z x y z y e e x x y x y x y x ∂∂=+-=+∂+∂+,那么(1,0)
(1,0)
2,
1z z
x
y
∂∂==∂∂,所以(1,0)
dz
2dx dy =+.
2. 由sin ,,2u
z e v u xy v x y ===-,得sin(2)xy
z e x y =-.于是
sin(2)cos(2),xy xy z
ye x y e x y x
∂=-+-∂. sin(2)2cos(2)xy xy z
xe x y e x y y
∂=---∂.
3.
xy z z u z v z ye x u x v x u ∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂
xy z z u z v z z xe y y u y v y u v
∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂. 4. 方程化为sin 0y z
e
x z e +--=,那么(,,)sin y x F x y z e x z e +=--,
sin x F z =-,y z y F e +=,cos y z z F e x z +=-.且当0,1x y ==时,0z =所以
(0,1)
(0,1)
(0,1)
(0,1)
0,
1y x
z
z
F F z z x
F y
F ∂∂=-==-
=-∂∂.
三 1. 用极坐标计算
3
22
2
200
8(2(2)2()3
3
D
dxdy d d πρπ
θρρρπρ=-=-
=
⎰⎰⎰⎰. 2.用柱坐标计算
⎰⎰⎰Ω
zdv 2421
1
1
001223
d d zdz d π
ρρπ
θρρπρρ-===⎰⎰⎰⎰.
3.这是第一类曲面积分,先求
dS ===,
再明确∑在xOy 面上的投影区域22:1xy D x y +≤.下面计算
∑
xy
D ==
⎰⎰3
21
1
3
3
d d π
ρθρρρ==
⎰
⎰. 4. 这是第二类曲面积分,先求明确∑在xOy 面上的投影区域2
2
:1xy D x y +≤.且∑取下侧,下面计算
zdxdy ∑
⎰⎰xy
D =-=3
21
10
00223
3
d d πρπθρρρπ
-=-=-
⎰⎰. 5.利用格林公式,注意方向是顺时针.
,P x y Q x y =+=-+;
1,1P Q y x
∂∂==-∂∂. ()()L
x y dx x y dy +--⎰
(
)24xy
xy
D D Q P
dxdy dxdy x y π∂∂=--==∂∂⎰⎰⎰⎰. 四 1.先判别是否绝对收敛.
因为由比值法 11
1
113lim lim lim 1333n n n n n n
n n u n n u n +→∞→∞→∞-++===<,所以113n n n ∞-=∑收敛.
所以
1
1
(1)3n n
n n
∞
-=-∑绝对收敛.
2.
1
1
201
11
1
()()()1(1)x
n n n n n n x nx
nx dx x x x ∞
∞∞
--==='''====--∑∑∑⎰,(-1,1). 〔注:其中收敛域为(-1,1)〕111
()22
22n n n S ∞
===∑
3. 1111
()2(2)2212
f x x x x =
==
--++.下面用到公式: 于是2
2
1112(2)22
()[1(1)(
),(11)222222
2
12
n n
x x x x f x x ----=
=-+-+-+-<
<-+即收敛域为04x <<. 五证明 交换积分次序
第九章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、22 2)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：
§ 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=∂∂+∂∂y z y x z x 2、求空间曲线⎪⎩⎪ ⎨⎧=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点（ 1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，z u ∂∂ 解：1 -=∂∂y z x y z x u ，x x y z y u y z ln 2-=∂∂ x x y z u y z ln 1=∂∂ 5、设2 22z y x u ++=，证明 : u z u y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂ 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由 ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续； 201 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→ （2f x (a,b)）
高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量
高等数学 一、填空 、选择题〔每题3分，共30分〕 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,那么 D yd σ=⎰⎰ . 3.假设曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的局部,那么L xds =⎰ . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,那么(1,0)xx f = . 5.假设级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,那么lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,以下说法正确的选项是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,那么 12 L xdy ydx -=⎰ ( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ⎰ 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 (,)x x dx f x y dy ⎰⎰ ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ⎰ ⎰; (C) 10 (,)x dx f x y dy ⎰ ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ⎰. 10. 以下各级数中条件收敛的是〔 〕 (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 1 1 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1) (1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ∂∂∂∂. 3. 设()xy z f e y =,求 ,z z x y ∂∂∂∂.
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下） 一、选择题（3分×10） 1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）. A.a∥b B.a⊥b C.a,b= D.a,b= 3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）. A.{(x,y)|1 A.2 B.-2 C.1 D.-1 6.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）. A.2/√2 B.-2/√2 C.2 D.-2 7.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）. A.p1 D.p≥1 8.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）. A.[-1,1] B.(-1,1) C.[-1,1) D.(-1,1] 9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）. A.1/(1-x) B.2/(1-x)^2 C.2/(1+x) D.1/(1+x) 10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）. A.y=cx B.y=e^x C.y=cxe^x D.y=ex 二、填空题（4分×5） 1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________. 2.函数z=sin(xy)的全微分是 ______________________________. 3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=- ___________________________. 三、计算题（5分×6） 4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y. 2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求 ∂z/∂x. 3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量 i+j的值. 4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P， 其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点. 《高等数学》（下）习题参考答案 第七章 空间解析几何与矢量代数 习题 一、 1．(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z ------； 2．k j i 573--； 3．2y z +=或210x y z +-=； 4．圆， 圆柱面； 5．2340x y z --+=． 二、 1. 2. 3. 4. 5.B C B A C 三、 1.u = 11232.cos cos cos 223 4 3 π π π αβγαβγ=- == == = ； 3.4-； 4.32550x y z +-+=； 5.3 π θ= ； 6.P r j βα=； 7.2OAB S ?= 222 8.9x y z ++=； 222289.0x x y z ?-+=?=? ； 10．??? ??--8343,8356 ,83 273； 11.0 x y z -+=． 第八章 多元函数微分学 习题一 一、 1、y y x +-112 ； 2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥； 3、1，2； 4、???? ??++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，2 2812x y -，xy 16-． 二、1. 2. 3. 4. 5.D D B B A 三、 1 11ln ln ln z z z z y y z y z u u u y x x y z x x y x y x y z --???===???、 2、 )ln (1z x y z y x x u x z y +=??-，)ln (1z x y z y x y u x z y +=??-，)ln (1y z x z y x z u x z y +=??- 大学高等数学下考试习题库(附答案) 《高等数学》试卷6（下） 一.选择题（3分?10） 1.点M1?2,3,1?到点M2?2,7,4?的距离M1M2?（）.A.3B.4C.5D.6 2.向量a？？i?2?j?k?,b？2?i？j，则有（）. A.a?∥b? B.a?⊥b? C.a?,b？?3 D.a?,b？?43.设有直线L:某?1y?5z?8?某?y?611？2?1和L2:？2y?z?3，则L1与L2的夹角为（（A）6；（B）?4；（C）?3；（D）?2. 4.两个向量a?与b?垂直的充 要条件是（）. A.a？b？0 B.a？b？?0 C.a？b？?0 D.a？b？?0 5.函数z?某3?y3?3某y的极小值是（）. A.2 B.?2 C.1 D.?1 6.设z?某siny，则?z?y?＝（）. ？？1,4？A. 22 B.?22 C.2 D.?2 ?7. 级数?(?1)n(1?cos?) (？0)是（n?1n ）（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性与?有关. ?某n8.幂级数?的收敛域为（）. n?1nA.？1,1? B？1,1? C.？1,1? D.？1,1? n9.幂级数？某？2？在收敛域内的和函数是（）. n?0A. 11?某B.22?某C.211?某D.2?某二.填空题（4分?5） 页脚内容 1.一平面过点A?0,0,3?且垂直于直线AB，其中点B?2,?1,1?，则此 平面方程为______________________. 2.函数z?sin?某y?的全微分是______________________________. 2z_____________________________.3.设z?某y?3某y?某y?1， 则 某?y32324. 设L为取正向的圆周：某2?y2?1，则曲线积分?(2某 y?2y)d某?(某?4某)dy?____________. ?L(某?2)n5. .级数?的收敛区间 为____________. nn?1?三.计算题（5分?6） 1.设z?eusinv，而u?某 y,v?某?y，求?z?z,. ?某?y?z?z,. ?某?y2.已知隐函数z?z?某,y?由方程 某2?2y2?z2?4某?2z?5?0确定，求3.计算？sin某2?y2d?，其中D:?2? 某2?y2?4?2. D4. ．计算. 10dyyysin某d某某试卷6参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.2某?y?2z?6?0. 2.cos?某y？yd某?某dy? . 3.6某2y?9y2?1 . 4. ?n?0？?1?n某n. 2n?15.y？C1?C2某?e?2某.三.计算题1. zze某y?某sin?某?y？cos?某?y？. ?e某y?ysin?某?y？cos? 某?y？，?y?某页脚内容 z某?2?某z?1,?z?y?2yz?1. 3.?2?d？2?0sin？?d？?6?2?. 4. 163R3.5.y?e3某?e2某.四.应用题 1.长、宽、高均为32m时，用料最省. 2.y?13某2.《高数》试卷7（下）一.选择题（3分?10）1.点M1?4,3,1?，M2?7,1,2?的距离M1M2?（）.A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为某?2y?2z?1?0和? 某?y?5?0，则两平面的夹角为（A. 欢迎共阅 一.选择题（3分⨯10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3B.4 C.5D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数 y A.(){ 1,y x C.(){1,y x 4.A.=⋅b a 5.函数z A.2B.2-6.设x z =A. 2 2B.7.若p A.p 1<8.幂级数=1n n 的收敛域为（）. A.[]1,1-B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分⨯5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =∂∂∂y x z 2_____________________________. 4. x +21 5.三.1.设e z =2.3.计算D ⎰⎰4.5.四.1.省？ 2..曲线y ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛31,1， 试卷1参考答案 一.选择题CBCADACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.19622--y y x . 高等数学(同济第七版下)课后习题及解答高等数学(同济第七版下)课后习题及解答 一、函数与极限 1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2, 求以下极限： (1) lim(x→2) f(x) (2) lim(x→-1) f(x) 解答： (1) 当x → 2 时，f(x) = x^2 + 3x - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 12 所以，lim(x→2) f(x) = 12 (2) 当x → -1 时，f(x) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = -2 所以，lim(x→-1) f(x) = -2 2. 求以下极限： (1) lim(x→0) (sin3x)/(sin4x) (2) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1) 解答： (1) 利用极限的性质，lim(x→0) (sin3x)/(sin4x) = lim(x→0) (3x)/(4x) = 3/4 (2) 利用极限的性质，lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1) = lim(x→∞) x(x - 2)/(x - 1) = ∞ 二、导数与微分 1. 求以下函数的导数： (1) y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 (2) y = sin(2x) + cos(3x) (3) y = e^x/(1 + e^x) 解答： (1) y' = 3x^2 + 4x - 3 (2) y' = 2cos(2x) - 3sin(3x) (3) 利用商链规则和指数函数的导数性质，y' = e^x/(1 + e^x) - e^x*e^x/(1 + e^x)^2 = e^x/(1 + e^x) - (e^x)^2/(1 + e^x)^2 = e^x(1 - e^x)/(1 + e^x)^2 2. 求以下函数的微分： (1) y = 3x^2 + 4x - 2 (2) y = sin(3x) + cos(2x) (3) y = ln(x) + e^x 解答： (1) dy = (6x + 4)dx 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ⎰⎰ ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψϕ≤≤⎩⎨ ⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++⎰⎰ ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(2 2→∆+∆y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ⎰ ⎰⎰20 20 1 3cos sin π π ϕϕϕθdr r d d ； 高等数学（下册）试题及详细答案（精讲版） 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．向量a ={1,1,2}与y 轴的夹角β为（ ） A ．6π B ．4π C ． 3 π D ． 2 π 【答案】C 【解析】本题考查了向量与坐标轴的夹角。 1 cos 2 β= = ，所以2πβ=。 【提醒】本题还可以转化为求两向量a={1,1,2}与{0,1,0}之间的夹角。 【点评】本题涉及内容是空间解析几何中的重点，考试热度：☆☆☆；大部分出现在选择题或填空题中。 2．函数f (x , y )=22y x +在点（0，0）处（ ） A ．连续 B ．间断 C ．可微 D ．偏导数存在 【答案】A. ()()() 00,00,00,0lim lim x x x x f x f f x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆ 不存在，所以函数在（0,0）处偏导数不存在，从而在该点一定不可微。故本题选A 。 【提醒】记住以下结论：（1）二元初等函数在其定义域内的每一点都连续。（2）可微必定连续且偏导数存在，连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续，连续未必可微，偏导数存在也未必可微，偏导不存在一定不可微，偏导数连续是可微的充分不必要条件。 【点评】本题涉及内容是多元函数微分学中的难点，考试热度：☆☆☆；大部分出现在选择题中。 3．设函数P （x , y ），Q （x , y ）具有连续的偏导数，且P (x ，y )dx +Q （x , y ）dy 是某函数u （x , y ）的全微分，则（ ） A ．x Q y P ∂∂= ∂∂ B ．x P y Q ∂∂= ∂∂ C ． x Q y P ∂∂- =∂∂ D ． x P y Q ∂∂- =∂∂ 【答案】A. 【解析】本题考查了二元函数的全微分求积定理：设开区域G 是一单连通域，函数P （x , y ）， 【提醒】若P （x ，y ）dx+Q （x,y ）dy=du(x,y)，则称P （x ，y ）dx+Q (x,y)dy=0为全微分方程。显然，这时该方程通解为u(x,y)=C (C 是任意常数)。 【点评】本题涉及内容是求解全微分方程的基础，大部分出现在选择、填空题中。考试热度：☆☆☆☆； 【历年考题链接】（2007，7）3．设函数),(y x f 具有连续的偏导数，且xdy y x f ydx y x f ),(),(+是某个函数),(y x u 的全微分，则),(y x f 满足（ ） A ．0=∂∂-∂∂y f x x f y B ． 0=∂∂-∂∂y f x f C ．0=∂∂-∂∂y f y x f x D ．0=∂∂+∂∂y f y x f x 答案：C 。 1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，已知AM=MC，DM MB. 故 AB AM MB MC DM DC. 即AB//DC且|A B|=|DC|，因此四边形ABCD是平行四边形. 3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量D1A,D2A,D3A,D A 4 . 证如图8-2，根据题意知 1 BD a, 1 5 1 D1D a, 2 5 1 D2D a, 3 5 1 D3D a, 4 5 故D A 1=-（AB BD1）=- 1 5 a-c D2A=-（AB BD2）=- 2 5 a-c D3A=-（AB BD3）=- 3 5 a-c D 4 A =-（ AB BD）=- 4 4 5 a-c. 4.已知两点M1（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示 向量M1M2及-2M1M2. 解M1M2=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -2M1M2=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量. 解向量a的单位向量为a a ，故平行向量a的单位向量为 a a = 1 （6，7，-6）= 11 67 ,, 1111 6 11 ， 22 2 其中a67(6)11. 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，-3，1）. 解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各 点的位置： A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D（0， 高等数学下册习题答案 高等数学是大学数学的一门重要课程，它是数学的一门基础性课程，也是培养 学生数学思维和解决问题能力的重要途径。在高等数学学习过程中，习题是必 不可少的一部分，通过解答习题可以帮助学生巩固所学知识，提高解决实际问 题的能力。下面我将为大家提供一些高等数学下册习题的答案，希望对大家的 学习有所帮助。 1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 的极值点和极值。 首先，我们需要求出函数的导数 f'(x)。对于 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，求导 得到 f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。 接下来，我们将 f'(x) = 0，解得 x = -1 和 x = 2。将这两个解代入 f(x) 中，得到 f(-1) = 20 和 f(2) = -11。 因此，函数 f(x) 的极值点为 x = -1 和 x = 2，极小值为 f(-1) = 20，极大值为 f(2) = -11。 2. 求函数 f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 的拐点。 为了求出函数的拐点，我们需要求出函数的二阶导数 f''(x)。对于 f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2，求导得到 f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x，再次求导得到 f''(x) = 12x^2 - 24x + 12。 接下来，我们将 f''(x) = 0，解得 x = 1。将这个解代入 f(x) 中，得到 f(1) = 3。 因此，函数 f(x) 的拐点为 x = 1，拐点坐标为 (1, 3)。 3. 求曲线 y = e^x 在点 (0, 1) 处的切线方程。 为了求出切线方程，我们需要求出曲线在点 (0, 1) 处的斜率。对于曲线 y = e^x，求导得到 y' = e^x。 高等数学下册试卷及答案 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。 2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。 3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy，其值为e-1. 4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。y=ψ(t)} (α≤t≤β)，则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。 5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧， 则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2. 6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。 7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)- 1/2cosxsinx。 8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1. 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B） f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。 2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x²+y²等于（A）x+y。 3、设Ω：x+y+z≤1.z≥0，则三重积分I=∭ΩzdV等于（D）∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。 4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体 积V=（C）8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。 第八章检验题之樊仲川亿创作创作时间：二零二一年六月三十日 一、选择题： 1、若, 为共线的单元向量, 则它们的数量积 (). (A) 1；(B)1； (C)0；(D). 向量与二向量及的位置关系是().共面；(B)共线； (C) 垂直；(D)斜交 . 3、设向量与三轴正向夹角依次为 , 当 时, 有() 5、() (A)；(B)； (C)；(D). 6、设平面方程为, 且 , 则平面(). (A) ；(B) ； (C) ；(D) .7、设直线方程为且 ,则直线(). (A) 过原点；(B)； (C)；(D). 8、曲面与直线 的交点是(). (A)；(B)； (C)； (D) 9、已知球面经过且与面圆周 , 则此球面的方程是( ). (A)； (B)； (C)； (D). 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转面的是( ). (A)；(B)； (C)；(D). 二、已知向量的夹角即是 , 求 . 三、求向量在向量上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 , 求其面积 . 五、已知为两非零不共线向量, 求证：. 六、一动点与点的距离是它到平面的距离的一半, 试求该动点轨迹曲面与面的交线方程 . 七、求直线：在三个坐标面 上及平面上的投影方程 . 八、求通过直线且垂直于平面的平面方程 .九、求点并与下面两直线 ：, 都垂直 的直线方程 . 十、求通过三平面：, 和的交点, 且平行于平面的平面方程 .十一、在平面内, 求作一使它通过直线与平面的交且与已知直线垂直 . 十二、判断下列两直线 ,是否在同一平面上同一平面上求交点, 不在同一平面上直线间的距离 . 第九章检验题 一、选择题: 1、二元函数 说域是( ). (A)； (B) (C)； (D) 2、设,则( ). (A)；(B)； (C)；(D). 3、( ). (A)0；(B)1； (C)2；(D). 高等数学(下)典型习题及参考答案 LT 9、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 10、求曲面1232222=++z x y 在点（1，-2，1）处的切平面方程； 求曲面xy z =在点（1，1，1）处的切平面方程。 11、()() y x y x f +=2sin 2,在点（0，0）处（）A 、无定义 B 、无极限 C 、有极限，但不连续 D 、连续 12、设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，求 x z ∂∂，y z ∂∂； 13、如果()00,y x 为()y x f ,的极值点，且()y x f ,在()00,y x 处的两个一阶偏导数存在，则()00,y x 必为 ()y x f , 的（ ）A 、最大值点 B 、驻点 C 、连续点 D 、最小值点 14、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数连续是它在该点可微的（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上均不对 15、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数存在是它在该点可微的（ ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、既非必要又非充分条件 16、如果函数()y x f ,在 () 00,y x 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 ()()()0,,,0000002 <-y x f y x f y x f yy xx xy ，则()00,y x f （ ）A 、必为()y x f ,的极小值 B 、必为()y x f ,的极大值 C 、必为()y x f ,的极值 D 、不一定为()y x f ,的极值 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、为可微函数，，其中已知 f x y y x f z ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ =,2y z x z ∂∂∂∂,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ∂∂，y z ∂∂。 4、求函数22y x z +=在条件22=+y x 下的极值。 5、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为 最大。 6、将正数a 分成三个数之和，使它们的乘积为最大。 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、假设a → ，b → 为共线的单位向量，那么它们的数量积 a b →→ ⋅= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→⨯与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 ()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 那么 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,那么直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 x y z ⎧+=⎨=⎩，那么此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)222 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、以下方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)2 2 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、向量,a b 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -⋅+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-⨯+2()a b →→ =⨯. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-⎧⎪ =-+⎨⎪=+⎩ 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线122 232 x y z -+-==-且垂直于平面 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||= 5)1(202 22=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++⋅-++⨯-+⨯+⨯= ⋅⋅= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．《高等数学》(下)习题参考答案
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