六节点三角形单元
单元节点位移向量：
T e v u v u v u v u v u v u } {}{665544332211=δ
单元内任意一点的位移是单元节点位移的插值函数
已知u(x,y)和v(x,y)在六个顶点的函数值，可分别设u(x,y)和v(x,y)为具有六个待定系数的
插值多项式
2
652
432126524321y
B xy B x B y B x B B v y A xy A x A y A x A A u +++++=+++++=
将已知条件代入，可解得其中的待定系数
u(x,y)和v(x,y)也可用Lagrenge 插值公式表示为： ∑=+++++==6
1665544332211k k k u N u N u N u N u N u N u N u
∑=+++++==61
665544332211k k k v N v N v N v N v N v N v N v
写成矩阵形式：
????????
?
??????????
?????????????????????????=??????66554433221165
4
3
2
1
654321v u v u v u v u v u v u 0
000000N N N N N N N N N N N N v u
缩写为： {}e ][δδN v u =?
??
???=
单元内任意一点的应变
x
v y u y
v x
u xy y x ??+
??=??=??=
γεε 矩阵形式： {}{}e N H v u H x y y x
δε]][[][v u 0
0=??????=???
????????
??
?
????????????
????
= }[B]{}{ e δε=∴
[]12
365
4
3
2
1
65
4
3
2
1
654321
0000000 0
0]][[][?=??
???????????
?
????????????????
==B B B B B B N N N N N N N N N N N N x y y x
N H B []??
??
???
?????????????????=x N y N y N x
N B k k k k
k 0
0 k = 1,2,3...6 N k (k=1,2,3...6)为六节点三角形单元的形函数，N k 的表达式： 26524321),(y a xy a x a y a x a a y x N k k k k k k k +++++= k =1,2,3 (6)
k
i y x N y x N i i k k k k ≠== 0),(1
),(
y
a x a a y
N y
a x a a x
N
k k k k
k k k k 6535422 2 ++=??++=??∴
单元内任意一点的应力：}]{][[}]{[}{e
B D D δεσ==
单元刚度矩阵： ?=A T
e dxdy B D B t k ]][[][][
《认识三角形》教材分析 一、教材内容 本节课的教学内容是苏教版义务教育教科书四年级数学下册教科书第75、76页的例1、例2及其“试一试”、“练一练”练习题。 二、教材编排体系和知识之间的联系 （一）教材在小学阶段的位置 在小学数学新课标中，小学阶段几何与图形的学习分为两个学段（第一学段：1~3年级，第二学段4~6年级），本课教学内容处在第二学段。在此之前，学生在第一学段已经对“三角形”有了直观的认识，学生能辨认三角形，会用三角形拼图，还学习了角的认识和分类及垂线的认识。本节课的内容是了解三角形的基本特征，初步形成三角形的概念，是小学阶段几何与图形部分十分重要的基础知识之一，它为后面要学习的“三角形的三边关系、三角形的内角和、三角形的分类、三角形的面积计算”以及其它多边形的特征、多边形的面积计算等起到关键性的作用。即：为后面进一步学习三角形的相关知识打下基础，同时也积累认识图形的一些活动经验。此内容的编排位置特点，注重知识的层次性，由易到难的阶梯式呈现，起到了承上启下的作用。 （二）教材在不同版本的对比分析 本课教学内容是苏教版教材，与相同内容的人教版教材的比较后发现，它们有以下共同点： 1．情境图都是生活中的现实情景，体现数学来源于生活的理念，使学生感受到数学的价值和趣味。 2．教学内容体现了数学教学从学生已有的知识经验出发，使学生体验由具体情景中抽象出图形特征的过程，从中积累认识图形的基本活动经验，发展空间观念。 3．例题中安排的“画、量”等活动都体现教学中注重引导学生动手操作，观察分析概括。从中培养学生动手操作、认真观察、抽象概括的能力。 三、教材重、难点分析 1．教材重点 教学三角形的认识，是在学生直观认识三角形、垂线等基础上教学的，主要通过观察、操作、比较、想像等具体活动，帮助学生进一步认识三角形的基本特征及三角形的底和高的含义，学会画三角形的高。因此在教学例1时要重点引导学生找和说生活中常
. 一、题目 如图1所示，一个厚度均匀的三角形薄板，在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。已知：P=150N/m ，E=200GPa ，=0.25，t=0.1m ，忽略自重。试计算薄板的位移及应力分布。 要求： 1. 编写有限元计算机程序，计算节点位移及单元应力。（划分三角形 单元，单元数不得少于30个）； 2. 采用有限元软件分析该问题（有限元软件网格与程序设计网格必 须一致），详细给出有限元软件每一步的操作过程，并将结果与程序计算结果进行对比（任选取三个点，对比位移值）； 3. 提交程序编写过程的详细报告及计算机程序； 4. 所有同学参加答辩，并演示有限元计算程序。 有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下： 1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。 2）单元分析，建立单元刚度矩阵。 3）整体分析，建立总刚矩阵。 4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵 5）边界条件处理。 6）解方程，求出节点位移。 7）求出各单元的单元应力。 8）计算结果整理。 一、程序设计 网格划分 如图，将薄板如图划分为6行，并建立坐标系，则
刚度矩阵的集成 建立与总刚度矩阵等维数的空矩阵，已变单元刚度矩阵的集成。 由单元分析已知节点、单元的排布规律，继而通过循环计算求得每个单元对应的节点序号。 通过循环逐个计算：（1）每个单元对应2种单元刚度矩阵中的哪一种； （2）该单元对应总刚度矩阵的那几行哪几列 （3）将该单元的单元刚度矩阵加入总刚度矩阵的对应行列 循环又分为3层循环：（1）最外层：逐行计算 （2）中间层：该行逐个计算 （3）最里层：区分为第 奇/偶 数个计算 单元刚度的集成：[ ][][][][][]' '''''215656665656266256561661e Z e e e Z e Z e e e e k k k K k k k k k k +?++=? =?==?==?=?????? 边界约束的处理：划0置1法 X Y P X Y P
第五单元三角形 单元教材分析： 学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习 对三角形已经有了直观的认识 能够从平面图形中分辨出三角形 本单元内容的设计是在上述内容基础上进行的 通过这一内容的教学进一步丰富学生对三角形的认识和理解 三角形是常见的一种图形 在平面图形中 三角形是最简单的多边形 也是最基本的多边形 一个多边形都可以分割成若干个三角形 三角形的稳定性在实践中有着广泛的应用 因此把握好这部分内容的教学不仅可以从形的方面加深学生对周围事物的理解 发展学生的空间观念 而且可以在动手操作、探索实验和联系生活应用数学方面拓展学生的知识面 发展学生的思维能力和解决实际问题的能力 同时也为以后学习图形的面积计算打下基础 单元教学内容： 本单元主要内容有：三角形的特性、三角形两边之和大于第三边、三角形的分类、三角形内角和是180°及图形的拼组 单元教学目标： 1、使学生认识三角形的特性 知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180° 2、使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形 知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们 3、联系生活实际并通过拼摆、设计等活动 使学生进一步感受三角形的特征及三角形与四边形的联系 感受数学的转化思想 感受数学与生活的联系 学会欣赏数学美 4、使学生在探索图形的特征、图形的变换以及图形的设计活动中进一步发展空间观念提高观察能力和动手操作能力 单元教学重点： 认识三角形的特性 知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180° 能够辨认和区别锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形
第五单元三角形（第一部份） 台州市路桥小学施仙素 教学内容 原省编教材把“角的度量、垂直与平行、三角形、平行四边形和梯形”共同安排在第八册第三单元，现在人教版教材把《三角形》单独放在第八册教学，其余内容提前在第七册教学。 本单元主要内容有：三角形的特性（定义、各部分名称、稳定性；三边的关系、三角的关系）、三角形的分类、三角形的内角和、图形的拼组。 本单元具体例题安排如下表： 教学目标 （一）教学目标 1．通过观察、操作和实验探索等活动，认识三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180？。 2．通过分类、操作活动，认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们。 3．联系生活实际并通过拼摆、设计等活动，进一步感受三角形的特征及三角形与四边形的联系，感受数学的转化思想，感受数学与生活的联系，学会欣赏数学美。
4．在探索图形的特征、图形的变换以及图形的设计活动中进一步发展空间观念，提高观察能力和动手操作能力。 5.进一步发展空间观念，提高观察能力和动手操作能力。 编排特点 1．重视创设问题情景。 教材在提供大量形象的感性材料，让学生在动手操作、积极探索的活动过程中掌握知识；同时加强了数学问题情景、操作探索活动的设计。例如“三角形任意两边的和大于第三边”这一部分内容，创设了“我上学走中间这条路最近”“这是什么原因呢？”这种学生熟悉而有趣的问题情境，让学生去探索、去实验、去发现。 2．关注学生已有经验。 教材的编写注意从学生已有的经验出发，创设丰富多彩的与现实生活联系紧密的情境和动手实验活动，以帮助学生理解数学概念。例如：对“三角形的分类”这一内容，根据学生已懂得了角的分类，能区分锐角、钝角、直角、平角与周角这一基础，设计了“给三角形分类”活动，放手让学生自己在“给三角形分类”的探索活动中了解和把握各种三角形的特征。又如，对三角形的稳定性的设计，教材提供了较丰富的三角形在生活中应用的直观图，让学生联系生活思考：“哪儿有三角形？它们有什么作用？”然后让学生亲自做一个实验感受三角形的稳定性，强调数学知识与现实生活的密切联系。 3．极大丰富认识内容。 本单元（1）增加了三边的关系、按边分类：从三角形内在的联系来认识三角形。（2）增加了图形的拼组。体会三角形与其他图形的关系，初步体会三角形是最基本的图形（由它可以拼组成其他图形，其他图形可以分解成三角形），提高学习的兴趣。极大地丰富了学生对三角形认识的内容，进一步发展学生的空间观念和动手操作、探索能力。 4．留足学生探索空间。 本单元的教学内容呈现不但体现知识的形成过程，而且给学生留有充分自主探索和交流的空间。主要体现在：本单元图形的特征及关系，概念的形成不直接告诉学生结论，而是提供丰富的动手实践的素材，设计思考性较强的问题和适当的活动，让学生通过实验、探索、讨论、交流获得。例如，三角形的稳定性、三边之间的关系，三角形的内角和、三角形与四边形的联系等。 具体编排 1．三角形的特征 主题图是一幅建筑工地场景图，图上有楼房建筑框架、起手架，都包含有大量的三角形。让学生体会三角形的应用。同时让学生联系生活实际思考并说一说“哪些物体上有三角形？”让学生感受三角形在生活中的广泛应用，而且引起学生对三角形的作用的思考。教学时，也可出示一些其他的情境图。 例1：教学三角形的定义、各部分的名称。在“画三角形”的操作活动中进一步感知三角形的属性，抽象出概念。在已学的垂直概念的基础上，引入了三角形的底和高。为了便于表述，教材说明如何用字母表示三角形。但要注意的是在钝角三角形两条短边上作的高在三角形外，学生比较难理解，在小学阶段不做要求。 例2：稳定性是三角形的重要特性，在生活中有着广泛的应用。设计思路是“情景、问题—实验、解释—特性应用”。对它进行教学可以让学生对三角形有更为全面和深入的认识。教材给出了三个不同情境下三角形的应用，让学生说说它有什么作用，并通过实验体会它的
有限元课程总结 一三节点三角形单元 1位移函数 移函数写成矩阵形式为： 确定六个待定系数 a4 v玉＞ 矩阵形式如下： J“= TV, 0 Nj 0 N m bJ _ 0 TV, 0 Nj 0 2单元刚度矩阵的计算 1）单元应变和节点位移的关系 由几何方程可以得到单元的应变表达式, 5 6 > = ----------------- b . 「2A ' 7 厂 f Mg Y — A ”——， Y Cd As _ u i 匕? 宀=[N]{5丫 V7 u i 8x dv du dv ----- 1 ---- dy dx J_ 2A C C i bj 0 0 Cj C J b J u j V J
2）单元应力与单元节点位移的关系 [KJ = [B r ]T [D][B s ] b r b s + — c r c s t s 2 * s “也+与仏 (T = i,jjn;s = i,jjn) 3) 单元刚度矩阵 卩心][K“] [K]J [K }i ] [K 〃] [心][K mj ] 3载荷移置 1）集中力的移置 图3 由虚功相等可得， （㈤丁附=（Q YJW ｛P ｝ 由于虚位移是任意的，则皿｝"=["卩｛鬥 2）体力的移置 [S M D I B .] = E 2A(1-Z /2) Mi Ci % 2 z 如图3所示, 令单元所受的均匀分布体力为｛〃｝= Et 4(1 —“2)A 地C$ + [DfB i % [K 加 [K 如 6
由虚功相等可得， （{J*r）r{7?r =^}>f[N]r{p}tdxdy {R}e =\\[N]r{p}tdxdy 3）分布面力的移置 设在单元的边上分布有面力{可二[片了r,同样可以得到结点载荷, {R}e=\[N]T{P}tds 4.引入约束条件，修改刚度方程并求解 1）乘大数法处理边界条件 图3?4所示的结构的约束和载荷情况，如图3?7所示。结点1、4上有水平 方向的位移约束，结点4、6上有垂直方向的约束，结点3上作用有集中力（'， 匕）。 整体刚度矩阵[K]求出后，结构上的结点力可以表示为: {F} = [K]{5} 根据力的平衡，结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。用{?}表示结 点载荷和支杆反力，则可以得到结点的平衡方程： [K]0}={P} （3.4） 这样构成的结点平衡方程组，在右边向量{P}中存在未知量，因此在求解平衡
第2章 弹性力学平面问题有限单元法 2.1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是: ①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵 设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。 在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数 前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构 造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: (,)123 u u x y x y ααα==++ 546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a 式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}??? ?? ?????=????? ???? ?????????????=m j i m e d d d d m j j i v u v u v u i {} i i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i e j m m F F F F ?? ?? ???? ???? ??==??????????????????
第一章 1.有限单元法求得的解为：[ ]3 A.精确解 B.解析解 C.近似解 D.整数解 2.弹性力学问题的基本解法有：[ ] ABD A.按位移求解 B.按应力求解 C.按单元刚度求解 D. 混合求解 E.按整体刚度求解 23.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，按应力求解和[ ]3 A. 按单元刚度求解 B. 按整体刚度求解 C. 混合求解 D.按平衡方程求解 24.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，混合求解和[]4 A. 按平衡方程求解 B. 按单元刚度求解 C. 按整体刚度求解 D. 按应力求解 25.弹性力学问题的基本解法有：按应力求解，混合求解和[ ]2 A. 按整体刚度求解 B. 按位移求解 C. 按单元刚度求解 D. 按平衡方程求解 3.用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难在于：[ ]4 A.对弹性体离散化的复杂性 B.刚度矩阵求解的困难性 C.受力分析的复杂性 D.求解偏微分方程的复杂性 4.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的：[ ]BDE A.弯矩 B.应变 C.扭矩 D.应力 E.结点力 26.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，应力和[ ]3 A. 扭矩 B. 弯矩 C. 结点力 D.外力 27.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，结点力和[ ]4 A.弯矩 B. 外力 C. 扭矩 D. 应力 28. 用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应力，结点力和[ ]4， A. 外力 B. 扭矩 C. 弯矩 D. 应变 5.将各个单元集合成离散化的结构模型进行整体分析，问题最后归结为求解[ ]。2 A.结点位移 B. 以结点位移为未知量的线性方程组 C.整体刚度矩阵 D.单元刚度矩阵 6.对于三角形三结点单元，其结点按照[]顺序进行排列。3 A.从左至右 B. 顺时针 C. 逆时针 D.以上均可 7.对于三角形三结点单元，每个结点位移在单元平面内有[ ]个分量 2 A.1 B.2 C.3 D.4 8.对于三角形三结点单元，共有[ ]个位移分量。4 A.3 B.4 C.5 D.6 9.形函数 N在结点i上的值等于[ ]。2 i A.0 B.1 C. -1 D.2 10.在单元中任意一点，三个形函数之和等于[ ]2 A.0 B.1 C.2 D.3 11.有了单元的位移模式，就可以应用[ ]求得单元的应变3 A.平衡微分方程 B.物理方程 C. 几何方程 D.积分方程 12.单元应力矩阵[S]与弹性矩阵[D]和单元应变矩阵[B]的关系是：[ ]C A. [S]= [D]+ [B] B. [S]= [D]—[B] C. [S]= [D] [B] D. [S]= [D]/ [B] 13.三角形三结点单元中，单元应力矩阵[S]是一个[ ]4 A.对称矩阵 B.零矩阵 C.非常数矩阵 D.常数矩阵 14.三角形三结点单元的应力分量为[ ]1 A.常量 B.变量 C.零 D.不确定
【MATLAB算例】基于3节点三角形单元的矩形薄板分析将此结构按三角形单元划分成432个三角形（X方向分成18段，Y方向分成12段），总共分成19X13=247个结点的有限元模型，具体步骤详细程序如下： tic; Initial_info=[0.09 0.06 18 12]; disp(该程序计算的是',num2str(Initial_info(3)+1),'X',num2str(Initial_info(4)+1),'=',... num2str((Initial_info(3)+1)*(Initial_info(4)+1)),'个结点的有限元模型']); LX=Initial_info(1); LY=Initial_info(2); nx=Initial_info(3); ny=Initial_info(4); ne=2*nx*ny; np=(nx+1)*(ny+1); for i=1:nx+1; j=1:ny+1; Np(i,j)=j+(i-1)*(ny+1); end 生成节点编号矩阵Np for i=1:nx+1; j=1:ny+1; XX(i,j)=(i-1)*LX/nx; YY(i,j)=(j-1)*LY/ny; end XY=[reshape(XX',np,1),reshape(YY',np,1)]; nx2=nx/2; Np1=Np(1:nx2+1,:); Np2=Np(nx2+1:end,:); for i=1:nx2*ny; if rem(i,nx2)==0 xp=nx2; yp=i/nx2; else xp=rem(i,nx2); yp=fix(i/nx2)+1; end Dof1(i,:)=[Np1(xp,yp),Np1(xp+1,yp),Np1(xp,yp+1)]; Dof1(i+nx2*ny,:)=[Np1(xp+1,yp),Np1(xp+1,yp+1),Np1(xp,yp+1)]; Dof2(i,:)=[Np2(xp,yp),Np2(xp+1,yp),Np2(xp+1,yp+1)]; Dof2(i+nx2*ny,:)=[Np2(xp,yp),Np2(xp+1,yp+1),Np2(xp,yp+1)]; end Dof=[Dof1;Dof2];
第八章 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用 第一节 概述 分析弹性力学平面问题时，最简单的单元式由三个结点组成的三角形单元。当用以分析平面应力问题时，可将其视为三角板；当用以分析平面应变问题时，则可式为三棱柱。各单元在结点处为铰结。图8-1所示位移悬臂梁离散为三角形单元的组合体 以矩阵形式列出弹性力学平面问题的基本量和基本方程。 谈形体所受体力分量可表示为 [ ] T y x y x p p p p p =??? ? ????= (8-1) 所受面力分量可表示为 [ ] T y x y x p p p p p =??? ? ????= （8-2） 体内任一点应力分量可表示为 []T xy y x τδδδ= （8-3） 任一点的应变分量可表示为 []T xy y x γεεε= （8-4） 任一点的位移分量可表示为 []T v u =δ （8-5） 弹性力学平面问题的几何方程的矩阵表达式为 ?? ???? ???????? ??? ???+??????=????????????=x u y v y v x u xy y x εεεε （8-6） 平面应力问题的物理方程的矩阵表达式为 ? ???? ? ?????????? ????????? ?--= ????? ? ??????xy y x xy y x E γεεμμμ μτσσ210 0010112 （8-7） 或简写成为 εσD = （8-8） 式中
???? ?? ? ?????? ?--=210 0010112μμμ μ E D （8-9） 称为弹性矩阵。 平面应变问题的物理方程也可写成式（8-8），但须将式（8-9）中的E 换成 2 1μ -E ，μ换成 2 1μμ -，因此得出 ???? ?? ????????? ?? ?-----+-= )1(2210 00110 11)21)(1()1(2 2 μμμμμμ μμμE D （8-10） 平衡微分方程及边界条件也可以用矩阵表示，但弹性力学有限元位移法中，通常用虚功 方程代替平衡微分方程和应力边界条件。虚功方程的矩阵表达式为 ?????***=+tdxdy tds p f ptdxdy f T T σε （8-11） 式中：[ ] T v u f ** * =，表示虚位移； []T xy x x * ***=γεεε，表示与虚位移相对应的虚应变。 为了便于计算，作用于弹性体上的体力和面力替换为作用在结点上的集中力，即等效结 点荷载。设作用于各个结点上的外力分量用如下列阵来表示 []T n n V U V U V U F ?=2211 与这些结点外力分量相对应得结点虚位移分量列阵为 []T n n v u v u v u * ******?=2211δ 则外力在虚位移上做的虚功为 F v V u U v V u U v V u U T n n n n ** *****=++?++++δ22221111 如平面弹性体的厚度为t ，该虚功除以t ，即可得出单位厚度薄板上的外力虚功。于是，式（8-11）所示虚功方程可写成 ??**=tdxdy F T T σεδ （8-11） 虚功方程不仅仅应用于弹性力学，也可用于塑性力学。其应用条件是：只要变形体的全部外力和应力满足平衡方程；位移是微小的，并满足边界条件，位移与应变满足几何方程。
最新整理四年级数学教案《三角形》单元教材分析《三角形》单元教材分析 一、教学内容 本单元教学三角形的相关知识,这是在学生直观认识过三角形的基础上教学的,也是以后学习三角形面积计算的基础。内容分四段安排:第一段通过例1、例2形成三角形的概念,认识三角形的特征;第二段通过例3教学三角形的分类,认识锐角三角形、直角三角形和钝角三角形;第三段通过例4教学三角形的内角和;第四段通过例5、例6认识等腰三角形和等边三角形。 二、教材编写特点和教学建议 1.联系现实情景和实际操作认识三角形及其基本特征 ◆联系现实世界具体感知——形成表象——抽象出图形 空间与图形的概念教学,一般要让学生经历感知——表象——形成概念的过程,教材注意按学生的认识规律安排教学过程。在P22例题认识三角形时,先观察现实情景中的三角形,并联系生活里的三角形进行交流,感知三角形;接着让学生想办法做一个三角形,在小组里交流,进一步强化表象;在此基础上抽象出三角形的图形让学生认识,并观察三角形图形的特征。教学时要注意让学生充分感知,促进形成表象,在图形出示以后要通过观察,明确三角形是由三条线段围成的图形。 ◆通过实际操作体验三角形边的长短之间的关系 按照课程标准具体目标,要使学生了解三角形中任意两边之和大于第三边。教材通过学生的具体体验来使学生知道这一点。在P23例题中,要求学生从指定长度的小棒中任意选三根围三角形,充分交流围成和围不成的情况,感受当两根小棒长度和大于第三根时才能围成三角形,体会不能围三角形时三根小棒长度关
系的原因,讨论有什么发现,得出三角形两边长度的和大于第三边。 ◆联系实例并测量认识三角形的底和高 三角形的底和高是三角形里的重要概念,为了让学生自己感受底和高,P24例题用人字梁为素材,利用学生在生活中对人字梁“高度”的认识进行测量,感受三角形人字梁的高,以此为基础引入三角形高的概念,这就有利于学生认同由一个顶点到对边的垂直线段的长度是三角形的高,并说明这条对边就是三角形的底。“试一试”安排三个高、底的位置有变化的三角形,要求学生测量三角形的高和底的长度,使学生在操作中进一步体会高的概念,认识只要是从一个顶点到对边的垂直线段就是三角形的高,感受底和高的相应关系,进一步理解三角形底和高的意义。 ◆让学生阅读资料了解三角形的稳定性 三角形的稳定性是其重要特性,教材P25安排了“你知道吗”,让学生通过阅读并做实验体会这一特性。 2.引导学生通过观察、分析,认识并掌握三角形的分类 ◆让学生自己观察三角形内角的不同特点 三角形的分类教学,必须使学生在充分的感知中体会三个内角大小有几种情况,理解三角形分类的方法及分类的合理性。教材P26例题首先出示几个三角形,引导学生观察、分析每个三角形三个内角的特点,列成表格。 ◆引导学生分类并体验各类三角形特征 在学生观察分析的基础上,引导学生根据表内三角形内角大小的情况,讨论可以怎样分类,探索和交流分类结果,获得直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的认识,掌握不同三角形的特点。 ◆在操作、画图中掌握各类三角形的特征
【ANSYS 算例】4.7.1(3) 基于3节点三角形单元的矩形薄板分析 如图4-20所示为一矩形薄平板，在右端部受集中力100 000N F =作用，材料常数为：弹性模量7110Pa E =?、泊松比1/3μ=，板的厚度为0.1m t =，在ANSYS 平台上，按平面应力问题完成相应的力学分析。 (a) 问题描述 (a) 有限元分析模型 图4–20 右端部受集中力作用的平面问题(高深梁) 解答 在ANSYS 平台上，完成的分析如下。 1. 基于图形界面的交互式操作(step by step) (1) 进入ANSYS(设定工作目录和工作文件) 程序 → ANSYS Interactive →Working directory (设置工作目录) →Initial jobname (设置工作文件名): 2D3Node →Run → OK (2) 设置计算类型 ANSYS Main Menu : Preferences… → Structural → OK (3) 选择单元类型 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete… →Add… →Solid ：Quad 4node 42 →OK (返回到Element Types 窗口) → Options… →K3: Plane Strs w/thk(带厚度的平面应力问题) →OK →Close (4) 定义材料参数 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic → Isotropic: EX:1.0e7 (弹性模量)，PRXY: 0.33333333 (泊松比) → OK → 鼠标点击该窗口右上角的“ ”来关闭该窗口 (5) 定义实常数以确定平面问题的厚度 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constant s… →Add/Edit/Delete →Add →Type 1→ OK →Real Constant Set No: 1 (第1号实常数), THK: 0.1 (平面问题的厚度) →OK →Close (6) 生成单元模型 生成4个节点 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling → Create → Nodes → On Working Plane →输入节点1的x,y,z 坐标(2,1,0)，回车→输入节点2的x,y,z 坐标(2,0,0)，回车→输入节点3的x,y,z 坐标(0,1,0)，回车→输入节点4的x,y,z 坐标(0,0,0)，回车→OK 定义单元属性 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling → Create → Elements → Elem Attributes →Element type number:1 →Material number:1→Real constant set number:1 →OK 生成单元 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling → Create → Elements → User Numbered → Thru Nodes →Number to assign to element:1→Pick nodes:2,3,4→OK →Number to assign to element:2→Pick nodes:3,2,1→OK (7) 模型施加约束和外载 左边两个节点施加X,Y 方向的位移约束 ANSYS Main Menu: Solution → Define Loads → Apply →Structural → Displacement → On
第五单元三角形教材分析 教材学情分析： 学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。本单元内容的设计是在上述内容基础上进行的，通过这一内容的教学进一步丰富学生对三角形的认识和理解。 三角形是常见的一种图形，在平面图形中，三角形是最简单的多边形，也是最基本的多边形，一个多边形都可以分割成若干个三角形。三角形的稳定性在实践中有着广泛的应用。因此把握好这部分内容的教学不仅可以从形的方面加深学生对周围事物的理解，发展学生的空间观念，而且可以在动手操作、探索实验和联系生活应用数学方面拓展学生的知识面，发展学生的思维能力和解决实际问题的能力。同时也为以后学习图形的面积计算打下基础。 单元教学内容： 本单元主要内容有：三角形的特性、三角形两边之和大于第三边、三角形的分类、三角形内角和是180°及图形的拼组。 单元教学目标： 知识与能力：使学生认识三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°。使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们。 过程与方法：联系生活实际并通过拼摆、设计等活动，使学生进一步感受三角形的特征及三角形与四边形的联系，感受数学的转化思想，感受数学与生活的联系，学会欣赏数学美。情感态度与目标：使学生在探索图形的特征、图形的变换以及图形的设计活动中进一步发展空间观念，提高观察能力和动手操作能力。 单元教学重点：
认识三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°，能够辨认和区别锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形。 单元教学难点： 通过拼摆、设计等活动，使学生感受三角形的特征及三角形与四边形的联系，感受数学的转化思想，感受数学与生活的联系，学会欣赏数学美。 教法学法：动手操作与归纳 教学时间安排：8课时
单元节点和积分节点的联系和区别 有限元方法的实质： 通过变分原理极小值转化为矩阵的极小值（(变分原理)→ (最小势能原理) (虚功原理) 变分原理：把一个物理学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题 （或其他学科的问题）的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier ）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。 最小势能原理：最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡。势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。宇宙万物，如果其势能未达到“最小”（局部概念），它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置。举个例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有正的势能（非最小），因而它总有向地面运动的“能力”（向地面“跃迁”）（其力学本质是其处于一种不稳平衡状态）。因此，它试图（也只有）向下运动，才能保证其达到一个相对平稳的状态。λ 最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题中取最小值。形象的说，当你在一百米高的钢丝绳上走的时候你总是希望尽早回到地上，但其实只要你不动你也是平衡的，因为驻值也可以是极大值（此时称为随遇平衡）。而当你在一百米高的大楼里的办公室里时，你并不害怕，因为周围的物体的势能均不比你小，此时驻值取的是极小值而不是最小值。在有限元的理论中，最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时，满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。公式如下： 在江见鲸的有限元就很清晰的介绍了有限元的原理，再参考汪新老师的ppt ，理解就十分透彻。以下是我在网上搜索到的关于有限元的书，很值得一看。另外cook 的书也很好，是陈贡发老师介绍的，很值得一看。 1《The Finite Element Method 》O.C.Zienkiewicz ，R.Taylor 著，第五版，三卷本，有中文译本 《有限元法》(英)监凯维奇著（第四版中译本1985年出版，上下册，尹泽勇等译，权威著作，有限元研究者必读；第五版译名改成了《有限单元法》，曾攀译，2008年出版~~） 2.《Nonlinear Finite Element for Continua and Structures 》T .Belytschko 等著，有中文译本 《连续体和结构的非线性有限元》庄茁译，清华大学出版社，固体力学非线性有限元的集大成之作~~ ：外力对系统作的功势能：W U 21???? ??--+??? ??=+=∏???dS dV dV W U S T V T V T σf u f u εσ
基于Matlab语言的按平面三角形单元划分的结构有限元程序设计 专业：建筑与土木工程 班级：建工研12-2 姓名：韩志强 学号： 471220580
基于Matlab语言的按平面三角形单元划分 结构有限元程序设计 一、有限单元发及Matlab语言概述 1. 有限单元法 随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切的预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。有限单元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。 有限元法把一个复杂的结构分解成相对简单的“单元”，各单元之间通过结点相互连接。单元内的物理量由单元结点上的物理量按一定的假设内插得到，这样就把一个复杂结构从无限多个自由度简化为有限个单元组成的结构。我们只要分析每个单元的力学特性，然后按照有限元法的规则把这些单元“拼装”成整体，就能够得到整体结构的力学特性。 有限单元法基本步骤如下： (1)结构离散：结构离散就是建立结构的有限元模型，又称为网格划分或单元划分，即将结构离散为由有限个单元组成的有限元模型。在该步骤中，需要根据结构的几何特性、载荷情况等确定单元体内任意一点的位移插值函数。 (2)单元分析：根据弹性力学的几何方程以及物理方程确定单元的刚度矩阵。 (3)整体分析:把各个单元按原来的结构重新连接起来，并在单元刚度矩阵的基础上确定结构的总刚度矩阵，形成如下式所示的整体有限元线性方程： {}[]{}δ F=① K 式中，{}F是载荷矩阵,[]K是整体结构的刚度矩阵,{}δ是节点位移矩阵。 (4)载荷移置:根据静力等效原理，将载荷移置到相应的节点上，形成节点载荷矩阵。 (5)边界条件处理:对式①所示的有限元线性方程进行边界条件处理。 (6)求解线性方程:求解式①所示的有限元线性方程，得到节点的位移。在该步骤中，若有限元模型的节点越多，则线性方程的数量就越多，随之有限元分析的计算量也将越大。 (7)求解单元应力及应变根据求出的节点位移求解单元的应力和应变。
北方工业大学 高等有限元课程总结 姓名:韩双鹏学号: 2011303310105 专业班级:结构研-11 系(部、院):建筑工程学院 2012 年5 月25 日
高等有限元学习总结——六节点三角形等参数单元 1 概述 从弹性力学基本方程到有限元原理再到最新进展，经过本课程的学习，比较系统的掌握了有限元相关内容，更学习到了一种方法、一些生活中的哲理。首先从大方向掌握所学内容，避免迷失在局部造成一叶遮目不见泰山之悲剧，比如弹性力学原理从大方向说就是三类方程，以及其在各类问题中的应用；其次了解了科研的相关过程及创新之处，从已知的东西到无知的领域，正如老师所说，能成功地把某一领域的东西搬到相关领域，这就是一大创造，比如有限元中将梁弯曲的理论研究厚板弯曲问题，由有限元标准单元到等参元的研究等；再有，我们生活中的常识、学习中的某些东西值得我们细细品味，也许这就是平时所说的小事反应大道理，老师的理论：“很多想法都是错误的”“很好想到的方法也许很难走通”“有缺陷的东西才更体现出美”“平衡的理论，吃点亏也许是福”等等，受益匪浅。不再一一赘述，本文将取其中的一个知识点，总结六节点三角形等参单元的相关内容。 我们知道，无论三节点或者六节点三角形单元还是四节点或者八节点矩形单元，它们形状简单、规则但计算精度低，且对于复杂边界的适应性差，难以很好的拟合曲边边界，解决这一问题的通用方法是细分边界，以直代曲，利用更多的简单单元去拟合边界复杂的区域。但这样处理仍存在折线代替曲线所带来的误差，且这种误差不能通过提高单元位移函数的精度来补偿。那么能否构造出单元形状任意、边界适应性好、计算精度高的曲边单元，以便在给定的精度下用较少数目的单元去解决实际问题？这就是有限元中一类重要的单元——等参数单元。本文将总结等参数单元的基本概念，并以六节点三角形单元为例讲述等参元实现过程中的三种变换，以及该等参元的收敛性等问题。 2 等参数单元及实现过程 2.1 等参数单元概念 由于实际问题的复杂性，通常需要使用一些形状不规整和形状复杂的单元来离散边界形状复杂的原问题。如下图所示（a）中为常见的几何形状不规整的实际单元，称为实际单元，也称为参数单元。（b）中为对应的形状规整的单元，称为标准单元。对于形状复杂的实际单元的单元分析，若仍采用前面介绍的方法进行，则在单元位移函数的建立和单元刚度矩阵计算方面会遇到许多困难。由此可考虑利用前面介绍过的形状规整的标准单元的单元分析来研究实际单元，几何形状的不同可认为是坐标变换的结果。
《三角形》单元教学分析 一、教学内容 本单元具体例题安排如下表： 二、教学目标 1. 通过观察、操作和实验探索等活动，使学生理解三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180?。 2. 通过度类、操作活动，使学生理解锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们。 3. 联系生活实际并通过拼摆、设计等活动，使学生进一步感受三角形的特征及三角形与四边形的联系，感受数学的转化思想，感受数学与生活的联系，学会欣赏数学美。 4. 使学生在探索图形的特征、图形的变换以及图形的设计活动中进一步发展空间观点，提升观察水平和动手操作水平。 三、编写特点 1．注重学生的已有经验，强调数学知识与现实生活的密切联系。 儿童有一种与生俱来，以自我为中心的探索性学习方式，他们的知识经验是在与客观世界的相互作用中逐渐形成的，这些知识与经验是他们进一步学习的基础。为使儿童以一种积极的心态调动原有的知识经验，理解新问题，建构他们自己新的知识与经验，教材的编写注意从学生已有的经验出发，创设丰富多彩的与
现实生活联系紧密的情境和动手实验活动，以协助学生理解数学概念，构建数学知识。例如：对“三角形的分类”这个内容，教材根据学生已懂得了角的分类，能区分锐角、钝角、直角、平角与周角这个基础，设计了“给三角形分类”活动，放手让学生自己在“给三角形分类”的探索活动中了解和把握各种三角形的特征。 2．重视创设问题情景，让学生在动手操作、积极探索的活动过程中掌握知识。 几何初步知识无论是线、面、体的特征还是图形特征、性质，对于小学生来说，都比较抽象。要解决数学的抽象性与小学生思维特点之间的矛盾，就要充分使用其直观性实行教学。基于这样的考虑，教材在提供大量形象的感性材料的同时，增强了数学问题情景、操作探索活动的设计。例如“三角形任意两边的和大于第三边”这个部分内容，创设了“我上学走中间这条路最近”“这是什么原因呢？”这种学生熟悉而有趣的问题情境，让学生去探索、去实验、去发现。从而让学生在动手操作积极探索的活动过程中掌握知识，积累数学活动经验，发展空间观点和推理水平。 3．教学内容的表现不但体现知识的形成过程，而且给学生留有充分自主探索和交流的空间。 经过第一学段的学习，学生已经具备一定的关于三角形的理解的直接经验,获得相对应的知识和技能，为感受、理解抽象的概念，自主探索图形的性质打下了基础。为方便教师领会教材编写的理念与意图，展开有效的教学，更好地发展学生的空间观点、培养学生各种水平，教材在表现具体教学内容时，不但重视体现知识形成过程，而且注意留给学生充分实行自主探索和交流的空间，为教师灵活地组织教学提供了清晰的思路。这主要体现在：概念的形成不直接给出结论，而是提供丰富的动手实践的素材，设计思考性较强的问题，让学生通过探索、实验、发现、讨论、交流获得。例如，三角形三边之间的关系，三角形的内角和、三角形与四边形的联系等，均是让学生在操作、探索中发现，形成结论。 4．增强对图形之间的关系的理解。 本单元增加了“图形的拼组”，让学生再次感受三角形的特征及三角形与四边形的联系与区别，从而了解数学知识之间的内在联系，进一步发展学生的空间观点和动手操作、探索水平。
有限元八种三维单元介绍 有限元三维体单元常见单元有四面体4、10节点单元、六面体8、20、27节点单元、三棱柱6、15节点单元。我们在2000年新问世的四面体20节点单元。下面分别介绍如下： 1 四面体4节点单元（常应变单元、一次单元），见图一。 单元内部的位移插值函数为一次多项式，即只含常数项和Z Y X ,,四项。应变是位移的偏导数，故在单元内部，应力和应变为常数，位移和应力收敛速度都很慢，是非常落后的单元。 图一 四面体4节点单元（常应变单元） 2 四面体10节点单元（二次单元），见图二。 用体积坐标定义的单元：单元内位移插值函数为二次完全多项式，即含常数项和Z Y X ,,,YZ XZ XY Z Y X ,,,,,222十项，在单元内部，应力和应变为一次完全多项式，位移收敛速度很快，但应力收敛速度仍较慢。由于整体加密使用的节点数太多，而局部加密生成的单元奇异，刚度阵病态，故应力集中问题中很难得到精度较高的解，在不考虑应力集中、疲劳寿命的问题中，由于该单元使用节点较少、几何适应性强，被人们经常使用。 用直角坐标定义的单元：由六面体20节点单元通过节点重合退化得到。这种单元误差较大，无法求节点应力,只能求出 GAUSS 积分点的应力值，不推荐使用。 3 四面体20节点单元（三次单元），见图三。 用体积坐标定义的单元，单元内位移插值函数为完全三次多项式，即含常数项和Z Y X ,,, YZ XZ XY Z Y X ,,,,,222，XYZ Y Z X Z Z Y X Y Z X Y X Z Y X ,,,,,,,,,222222333二十项， 在单元内部，应力和应变为完全二次多项式，位移和应力收敛速度都很快，精度最高、几何适应性强，在应力集中、疲劳寿命分析问题中使用是非常有用和令人放心的单元。 4 三棱柱6节点单元（一次单元），见图四。 与四面体4 节点单元类似。