解一元二次方程练习题(公式法)
1、一元二次方程的根的判别式
关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是：
2、性质
（1）当b 2－4ac ＞0时， ；
（2）当b 2－4ac ＝0时， ；
（3）当b 2－4ac ＜0时， .
3、（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．-4或2
4、若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值为多
少？
5、不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况。
6、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
．
用公式法解下列方程：
7、x2+ 2x + 3=0 8、5x2－4x－12＝0 9、（x-2）（3x-5）=0 10、x2－2x－1 =0 12、 2x2+3x+1=0 13、3x2+2x－1 =0
14、5x 2－3x+2 =0 15、7x 2－4x －3 =0
16、-x 2-x+12 =0 17
、4x 2＋4x ＋10＝1－8x
19、223
14y y -= 20、y y 32132=+
22、0
=
42-
-x
x
8
-
5
1
22=
+
-x
x 23、1
24、0
-x
x 25、2x2-4x-1=0
2
-
22=
3
26、5x+2=3x2 27、3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1)
《公式法解一元二次方程》教案 教学目标 、知识技能 掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程． 、数学思考 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性． 、解决问题 培养学生准确快速的计算能力． 、情感态度 通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想． 重难点、关键 重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程． 难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解． 关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程． 教学过程 一、复习引入 【问题】（学生总结，老师点评） .用配方法解下列方程 （）－ （）－ ．总结用配方法解一元二次方程的步骤。 （）移项； （）化二次项系数为； （）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （）原方程变形为（）的形式； （）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】 复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫． 一、 探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式（≠），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 【问题】 已知（≠）且－4ac≥，试推导它的两个根为2b a -+，2b a - 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把、、?也当成一个具体数字，根据
上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：－ 二次项系数化为，得 b a － c a 配方，得：b a （2b a ）－c a （2b a ） 即（2b a ）2244b ac a - ∵－4ac≥且4a> ∴2244b ac a -≥ 直接开平方，得：2b a 即2b a - ∴2b a -，2b a -- 【说明】 这里a ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式 【活动方略】 鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式． 【设计意图】 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。 【思考】 利用公式法解下列方程，从中你能发现什么 （）2320;x x -+=（）2222 -=-x x （）24320x x -+= 【活动方略】 在教师的引导下，学生回答，教师板书 引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点： （）一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:
公式法解一元二次方程及答案详细解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
21.2.2公式法 一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣ 4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（） A．c≤0B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2 二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得 △，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．
三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积． 10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值． 11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0． 13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1． 14．（2011秋?江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1． 15．（2014秋?藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0； （2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x． 16．（2013秋?大理市校级月考）解一元二次方程： （1）4x2﹣1=12x（用配方法解）； （2）2x2﹣2=3x（用公式法解）． 17．（2013?自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0． 18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5 （2）解关于x的一元二次方程：． 20．（2011?西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；
解二元一次方程：“十字交叉法” 十字相乘就是把二次项拆成两个数的积 常数项拆成两个数的积 拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项 看一下这个简单的例子m2+4m-12 m -2 ╳ M 6 把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写) -12拆成-2与6的积(也是竖着写) 经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m) 所以十字相乘成功了 m2+4m-12=(m-2)(m+6) 重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。 解释说明：
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 十字相乘法解题实例 常规题例1：把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）
例2：把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4， -4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 ╳ 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3：解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为 1 -3 ╳ 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4：解方程6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2 -5 ╳ 3 5
公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形
解二元一次方程公式知识点设ax+by=c，dx+ey=f，x=(ce-bf)/(ae-bd),y=(cd-af)/(bd-ae),其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母解二元一次方程组一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。消元将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:{5x+6y=72x+3y=4,变为{5x+6y=74x+6y=8消元的方法代入消元法。加减消元法。顺序消元法。(这种方法不常用)消元法的例子(1)x-y=3(2)3x-8y=4(3)x=y+3代入得(2)3(y+3)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。(3)另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4
用因式分解法解一元二次方程 一.公因式： （一）1.解方程 x2-5x=0 x(x-1)=0 3x2=6x x2-5x=7x t(t＋3)＝28 x2＝7x x2＋12x＝0(1＋2)x2－(1－2)x＝0 (3－y)2＋y2＝9 （二）1.解方程 4x(x+3)+3(x+3)=0 3x(x+1)+4(x+1)=0 (2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0 x(x－5)＝5－x (2t＋3)2＝3(2t＋3) 二、平方差,解方程： (x+5)(x-5)=0 x2-25=0 4x2－1＝0 (x－2)2＝256 0 1 92x 三、十字交叉,解方程： 4x2-4x+1=0 (x+3)(x+2)=0 x2-5x+6=0 x2-2x-3=0 x2－4x－21＝0 (x－1)(x＋3)＝12 3x2＋2x－1＝0 (x－1)2－4(x－1)－21＝0 5x2－(52＋1)x＋10＝0 四、完全平方,解方程： x2-6x+9=04X2-4X+1=0 (Y-1)2+2(Y-1)+1=0 五、三角形的一边长为10，另两边长为方程x2-14x+48=0的两个根，求三角形的周长？ 六、解关于x的方程(1)x2－2mx－8m2＝0；(2)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0 七、6．已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，试求 y x y x 的值 八、已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值． 九、已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值 十、一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．
第6课时 22.2.3 公式法 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程 （1）x2=4 (2)(x-2) 2=7 提问1 这种解法的（理论）依据是什么？ 提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊 二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。） （学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x （老师点评）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 二、探索新知 用配方法解方程 （1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式a x2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的 步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=
21.2.2公式法 教案设计（张荣权） 教学内容：用公式法解一元二次方程 教材分析：在解一元二次方程时，仅仅是直接开平方法、配方法解一元二次 方程是远远不够的。对于系数不特殊的一元二次方程，这两种方法就不方便了。而用求根公式法解较复杂的一元二次方程教方便了。因此，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的一个重要内容。而公式法是一元二次方程的基本解法，它为进一步学习一元二次方程的解法级简单应用起到铺垫作用。 教学目标： 知识与技能目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导。 2.会用求根公式解简单数字的一元二次方程。 3.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。 过程与方法：在教师的指导下，经过观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结能力。 情感态度与价值观：培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。 教学重点、难点及突破 重点：1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。 2.熟练的利用求根公式解一元二次方程。 难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 教学突破 本节课我主要采用启发式、探究式教学法。教学中力求体现“试——究——升”模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配方能力有限，所以，崩皆可借助于多媒体辅助教学，指导学生通过观察，分析，总结配方规律，从而突破难点。学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性，主动性和创造性。 教学设想 通过复习配方法解一元二次方程，导入对一般形式的一元二次方程的解法探讨，通过提问引导学生观察思考，产生问题，进行小组合作探讨，发现结论。加深对应用公式法的理解。渗透由特殊到一般和分类讨论及化归的数学思想，运用解一元二次方程的基本思想----开方降次，重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解一元二次方程的基本策略。 教学准备 教师准备：课件精选例题 学生准备：配方法解一元二次方程、二次根式的化简 教学过程：
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。接下来分享二元一次方程的万能公式， 供参考。 二元一次方程万能公式 b^2-4ac>=0,方程有实数根，否则是虚数根。 实数解是: [-b+sqrt(b^2-4ac)]/2a [-b-sqrt(b^2-4ac)]/2a 二元一次方程的解法 代入消元法 (1)等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个 未知数(例如y)，用另一个未知数(如x)的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b 的形式; (2)代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元 一次方程; (3)解这个一元一次方程，求出x的值; (4)回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解; (5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。 换元法 解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某 些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。 加减消元法 (1)变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以 适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等。
(2)加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。 (4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值。
一元二次方程练习题 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2 (21)3x +=； （3）2 (61)250x --=． （4）2 81(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2）21 (31)644 x +=； （3）2 6(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）22 3x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2 ． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程
1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21 (1)2(1)02 x x ---+= 7. 方程22 103 x x - +=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． 12. 用适当的方法解方程 （1）2 3(1)12x +=； （2）2 410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2 310y y ++=． 13. 已知关于x 的一元二次方程2 2 (21)10m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．
二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：
- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2 =b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x 2 +6x+m 2 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2 -5x=2． （2）x 2 +8x=9 （3）x 2 +12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值
解一元二次方程练习题——公式法 一．填空题。（每小题5分，共25分） 1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程a x2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________． 4．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________． 5．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________． 二．选择题。（每小题5分，共25分） 6．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（） A．．． D． 7．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A、k>-1 B、k>1 C、k≠0 D、k>-1且k≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是（） A、3x2－x－1=0; B、x2－2x－1=0; C、9x2=4（3x－1）; D、x2＋7x＋15=0. 10．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）． A． 4或-2 B． -4或2 C． 4 D．-2 11．（20分）用公式法解方程 (1)x2+15x=-3x; (2)x2+x-6=0; (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0
第二章一元二次方程 ３．用公式法求解一元二次方程（一） 横山县第三中学柳金帛 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力. 二、教学任务分析 公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。 其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。 为此，本节课的教学目标是： ①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 ②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.
③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。 ④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力 三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。 第一环节；回忆巩固 活动内容： ①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+- x x 即: 016 25)47(2=--x 1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得： 4547±=-x 4547±= x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21
一元二次方程的解法(公式法)教案 ——小店一中潘卫生 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 （老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得：x2-7 6 x=- 1 6 配方，得：x2-7 6 x+（ 7 12 ）2=- 1 6 +（ 7 12 ）2 （x- 7 12 ）2= 25 144 x- 7 12 =± 5 12 x1= 5 12 + 7 12 = 75 12 + =1 x2=- 5 12 + 7 12 = 75 12 - = 1 6 （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根 x 1=2b a -+x 2=2b a -- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：a x 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a = 即x=2b a -± ∴x 1=2b a -，x 2=2b a - 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时， ?将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案） 一、选择题： 1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2 4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 二、填空题 5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______． 6．若x 1,x 2 分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x 1 +x 2 =______． 7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______． 9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______． 10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______． 11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______． 12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______． 13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．
育英学校九年级自学能力测试题 21.2.2公式法 一、读懂文本，捕捉重要的知识信息，为记住知识和应用知识奠定基础。（30分）。 读懂材料第 页: 1.知识点1： 一般地，式子ac b 42-叫做方程02=++c bx ax （0≠a ） .通常用希腊字母?表示它，即 2.知识点2： 当△≥0时，方程0c b a 2=++x x （a ≠0）的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式。 3.知识点3： [方法归纳] 用公法解下列一元二次方程的步骤： (1)把方程化为一般形式，确定a,b,c,的值。 (2)求出b 2－4ac 的值。 （3）若b 2－4ac ≥0，则将a,b,c,的值代入求根公式求出方程的根。 4.读完文本后，你有哪些疑惑？ 5.本文和以前学过的知识有什么联系？ 二、加强记忆，巩固知识，解决问题，提升能力。（60分） 1.方程0132=+-x x 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根 解下列一元二次方程 (1)x 2-3x-1=0 (2) x 2+x-6=0 (3)3x 2-6x-2=0 (4)4x 2-6x=0
(5)x2+4x+8=4x+11 (6)x(2 x-4)=5 -8x 三、选做题（20分） 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）． A．x= 36 2 -± B．x= 36 2 ± C．x= 323 2 -± D．x= 323 2 ± 2．代数式x2-8x+12的值是-4,求x的值 四、思想提升（学用结合，让本文与学习者自身的学习、记忆、巩固、再现和应用紧密挂钩，站在学的角度思考文本对于自己有什么用处，达到培养学习者学科思想的目的。）（10分） 1、本节知识的重点内容是什么？学习这些知识后有什么用处？（5分） 2、学习本节内容你有什么好的方法，写下来与大家分享。（5分）
. 解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） A．2 B．-2 C． D． 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数D．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4） 4 1 x2-x-4=0 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x2-7x+2的最小值； （2）求-3x2+5x+1的最大值。 一元二次方程解法练习题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0 1 42= - x2、2 )3 (2= - x