第8章 重积分

习题8.1

1、利用二重积分的几何意义填空：

(1) 设是由D x 轴、y 轴及直线22x y 0+?=所围成的区域，则D

d σ=∫∫ ；

(2) 设是以原点为中心，D R

为半径的圆，则D

σ 。

解 (1) 1；(2)

32

3

R π。 2、根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。

(1)

2()D

x y d σ+∫∫与3

()D

x y d σ+∫∫,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成； (2) 2()D

x y d σ+∫∫与ln()D

x y d σ+∫∫,其中D 由x 轴、y 轴、直线1

2

x y +=和1x y +=围成；

(3) ln()D

x y d σ+∫∫与2[ln()]D

x y d σ+∫∫，其中{(,)35,0 1 }D x y x y =≤≤≤≤。

解 (1) 因在积分区域内有D 10≤+≤y x ,所以

32)()(y x y x +≥+

故

()2

3

()D

D

x y d x y d σσ+≥+∫∫∫∫。

(2) 因在积分区域内有

D 1

12

x y <+<，ln()0x y +<，2()x y 0+>，所以在内有 D 2ln()()x y x y +<+

从而2ln()()D

D

x y d x y d σσ+<+∫∫∫∫。

(3) 由35,01x y ≤≤≤≤，可得36x y ≤+≤。所以

1ln 3ln()ln 6x y <≤+≤

从而2

ln()[ln()]x y x y +≤+。故

2

ln()[ln()]D

D

x y d x y d σσ+≤+∫∫∫∫ 3、估计22d d 100cos cos D

x y

I x y =

++∫∫的值，其中{(,)10}D x y x y =+≤。 解 如图8.1.1，区域的面积为

D 2200σ==。

图8.1.1

由于在上

D 22

111102100cos cos 100

x y ≤≤++ 故

200200

I 102100

≤≤

，即1.96 ≤ I ≤ 2。 4、利用二重积分的性质，判断下列等式是否成立？其中区域22{(,)1}D x y x y =+≤，区域221{(,)1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥。

(1)

1

4D

D σσ=；

(2) 1

)4)D D x y d x y d σσ??=??∫∫∫∫；

(3)

1

4D

D xy d xy d σσ=∫∫∫∫。

解 (1) 成立。因为积分区域对称于D x 轴和

y 是关于和

y x 的图像在各对称的分块上都相同，故等式成立。

(2) 不成立。因为

)D

x y d σ??∫∫的几何意义是以为底，

平面D z x =??y 为顶

的曲顶柱体的体积。虽然积分区域14D D =，但是被积函数的图像在对称的分块上不同，故等式不成立。

(3) 成立。因为积分区域，且被积函数14D D =z xy =的图像在各对称的分块上都相同。

习题8.2

1、计算下列二重积分。

(1) 22()D

x y d σ+∫∫，其中是矩形区域：D 1,1x y ≤≤； (2)

D

x y d σ∫∫，其中是由抛物线D 2

y

x =及直线2y x =?所围成；

(3)

()D

x y d σ+∫∫

，其中是由D 2y x =，2

4y x =，1y =所围成； (4)

2

2

y D e

d σ?

∫∫，其中是由曲线D 2x y =，直线1x =及x 轴所围成；

(5)

3

2

2

2

(1)

D

y

d x

y σ++∫∫，区域为{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤。

解 (1) 积分区域如图8.2.1 所示．

D 则

11

2

2

221

1

()()D

x

y d dx x y dy σ??+=+∫∫∫∫

1212(2)3x dx ?=+∫ 8

3

= 图8.2.1 (2) 为计算简便，先对x 后对积分，则积分区域(如图8.2.2)可表为

y 2{(,)2,12}D x y y x y y =≤≤+?≤

图8.2.2

≤

则

22

2

1

y y

D

x y d d y xy d x σ+?=∫∫∫

∫

2

2

2

211y y x y d +???=??∫y

225

11[(2)]2

y y y d y ?=

+?∫ []43262141

21

2436

y y y y =++?? 458

= (3) 积分区域如图8.2.3，则由区域关于D D

y 轴的对称性，有

()D

D

D

x y d xd yd σσσ+=+

∫∫∫∫∫∫

D

yd σ=∫∫

1

2D yd σ=∫∫

其中1(,)|

1D x y x y ??

=≤≤≤??

?

≤?。

图8.2.3

故

1

()2D

x y d dy ydx σ+=∫∫∫

31

2

y dy =∫

25

=

(4) 积分区域如图8.2.4。交换积分次序，得

D 2

2

21112200

y y y

dx dy

dy e

dx ?

?

=∫∫∫

2122

0(1)y e

y ?

=?∫dy

2

2

11220

y y e

dy

y e

dy ?

?

=?∫∫2

图8.2..4

2

211

22

() y y e

dy

yd e

?

?

=+∫∫

2

21122

00

10y y y e

dy

ye

e dy ?

?

?=+?∫∫2

2

12

e

?=

(5)

311

30

22222

2

(1)

(1)

D

y y d dx dy x y x y σ=++++∫∫

∫∫

22

1

130

0222

1(12(1)d x y dx x y ++=++∫∫)

dx =?∫

1

dx =?∫

11ln(00x =?

=

2、证明

。

()()()b

x b

a

a

a

dx f y dy f x b x dx =?∫

∫

∫证明 积分区域如图8.2.5 所示。 D 交换等式左边二次积分的积分顺序有

()()b

x b b

a

a

a

y

dx f y dy dy f y dx =∫

∫∫∫

()()()()b b

a

a

f y b y f x b x dx dy =?=?∫∫

3、计算下列二次积分。 图8.2.5

(1) 1

11

x

I dx ??=∫∫；

(2) 1121112

2

4

y y x

y

x

I dy dx dy dx =

+∫

∫∫。

解 (1) 积分区域{}(,)|1,11D x y y x x =?≤≤?≤≤。交换积分次序积分后

11

1

y

I dy ?=∫∫

3

1221

21

1[(1)]3y x y d ?=??+∫y

13

11(1)3y d ?=??∫y

13021(1)32

y dy =??=∫

(2) 因为

y x

e dx ∫

不能用初等形式表示出其结果， 图8.2.6

故应先交换积分次序积分区域如图8.2.6。

D 2

2

11122111

1122

24

22 y

y

y y x x

x x x y

x dy dx dy dx e dy e dy e dy +=++∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫

y

x x x

2

2

12d d y y

x x

x x x x x e y

x e y =+∫∫

∫

2

2

111

12d d d y x

x x x 2x

y x xe x x e y ??==∫∫

??????∫

1

12

()x xe xe dx =?∫

38e 2

=

?

4、更换下列二次积分的积分顺序。

(1) 10

(,)y

dy f x y dx ∫；

(2) ；

1

(,)y

dy f x y dx ∫∫(3) ；

10

(,)e

ln x

dx f x y dy ∫

∫

(4) ；

1arcsin 0

arcsin (,)y y

d y f x y dx π?∫

∫

(5)

1

4

1

2

(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy ?+∫∫。

解 (1)

因为原积分区域{(,)01,D x y y y x =≤≤≤≤为Y 型区域，其图形如图8.2.7

所示。交换积分次序后，区域应视为D X 型区域。 故

21

10

(,)(,)x

y

x

dy f x y dx dx f x y dy =∫

∫∫。

(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域，其图形如图8.2.8所示。交换积分次序后，区域应视为D X 型区域。 故

。

1

11

0(,)(,)y o

x

dy f x y dx dx f x y dy =∫∫∫∫(3) 因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x =≤≤≤≤为X 型区域，其图形如图8.2.9所 示。交换积分次序后，区域应视为Y 型区域。 D 故

。

ln 11

(,)(,)y

e

x

e

e dx

f x y dy dy f x y dx =∫∫

∫∫

图8.2.7 图8.2.8 图8.2.9

(4) 积分区域为Y 型区域，交换积分次序后，区域应视为D D X 型区域。 故

。

1arcsin sin 0

arcsin 0

(,)(,)y x y

d y f x y dx dx f x y d y ππ?=∫

∫

∫∫

(5) 因为原积分区域12D D D =U 为X 型区域，其图形如图8.2.10所示。其中

{1(,)01,D x y x y =≤≤≤≤

，{2(,)14,2D x y x x y =≤≤?≤

交换积分次序后，区域应视为Y 型区域。 D 故

2

1

4220

1

2

1

(,)(,)(,)y x y dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx +??+=∫∫∫∫

。

图8.2..101

5、设()f x 在[]0,1上连续，证明：

。

1

1

()()0

1f x f y e dx e dy ?≥∫

∫证明 令 ()

1

1

()

()

()0

f x f x f y f y D

e I e

dx e

dy dxdy e ?=∫

∫∫∫＝，其中

{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤

同样有 ()

1

1

()

()

()0

f y f y f x f x D

e I e

dy e

dx dxdy e ?=

=∫∫∫∫。

故有 2()2()(())2f x f y f f x D y e e dxdy e e ??+????∫∫()()()()112f x f y f y f x D e e I dxd e e y ??=+=????∫∫1

212D

dxdy ≥=∫∫。 即

。

1

1

()

()0

1f x f x e

dx e dy ?≥∫

∫6、将下列二次积分化为极坐标形式：

(1) 22200

)a

dx x y dy +∫；

(2) 0

0a

dx ∫∫

；

(3) 2

1

12

2

20()

x

x

dx x y dy

?

+∫∫；

(4)

220

)a

dy x y dx +∫。

解 (1) 积分区域如图8.2.11所示。 图8.2.11

D 令cos sin x r y r θθ

=??=?

，则y 的极坐标方程为 2cos r a θ= 而被夹在D 02

π

θθ==

与之间，故

22cos 22

320

) a

a dx x y dy d r dr π

θ

θ+=∫

∫∫

(2) 积分区域如图8.2.12所示。

D 令cos sin x r y r θθ

=??

=?，则直线x a =的极坐标方程为 cos a

r θ=；

直线与的极坐标方程分别为y x =0y =4

π

θ=与0θ=。

故

sec 24

a x

a dx d r dr π

θθ=

∫

∫

∫

∫

。 图8.2.12

(3) 积分区域如图8.2.13所示。

D 令cos sin x r y r θθ

=??

=?，则抛物线2

y x =与直线y x =

的极坐标方程分别为 tan sec r θθ=与4

π

θ=。

故

2

11tan sec 22

42

()x

x dx x y dy d dr π

θθ

θ?

+=∫∫

∫∫

。 图8.2.13

(4) 积分区域如图8.2.14所示。

D

令cos sin x r y r θθ

=??=?，则圆222x y a +=的极坐标方程为r a =。 而被夹在D 0θ=与2

π

θ=

之间，故

22

320

)a

a

dy x y dx d r dr π

θ+=∫∫∫

7、利用极坐标计算下列二重积分： 图8.2.14

(1)

sin

D

σ∫∫，其中{}

2222(,)4D x y x y ππ=≤+≤；

(2) arctan D

y

d x σ∫∫，D 由，x y 221x y +=224+=，0y =和y x =所围成的第象限部分； Ι

(3)

D

σ，其中22{(,)}D x y x y Rx =+≤。

解 (1) 积分区域如图8.2.15所示

D 令cos sin x r y r θ

θ

=??=?，则 {(,)2,02}D r r θππθ=≤≤≤≤π

故

220

sin D

d r rdr π

π

π

σθ=∫∫ 图8.2.15

∫∫

r

220

cos d rd π

π

π

θ=∫

∫

20

(2+)d π

ππθ=?∫

26π=?

(2) 积分区域如图8.2.16所示。 D 令cos sin x r y r θ

θ

=??

=?，则

{(,)12,0}4

D r r π

θθ=≤≤≤≤ 图8.2.16

故

24

01arctan D

y d d r x π

σθθ=∫∫∫∫dr 2

40

1

d rdr π

θθ=∫∫2

364

π=

(3) 积分区域如图8.2.17所示。 D 令cos sin x r y r θ

θ

=??

=?，则 图8.2.17

{(,)0cos ,}22

D r r R π

π

θθ=≤≤?

≤≤θ 故

cos 20

2R D

d rd ππσθ?=∫

∫

r

cos 20

2R d π

θ

θ=∫∫

rdr

322220

cos 2[()]03R R r d π

θθ=??∫

333

202 (sin )3R R d π

θθ=??∫34()33

R π=?

习题8.3

1、试求区域的面积，其中为由圆D D 2

2

2x y y +=，2

2

4x y +=y

及直线0x ?=，

y =0所围成的平面闭区域。

解 积分区域如图8.3.1。

D 圆2

2

2x y +=y 的极坐标方程为2sin r θ=；

圆2

2

4x y +=y 的极坐标方程为4sin r θ=； 直线

y =0的极坐标方程为23

π

θ=； 图8.3.1 直线x =0的极坐标方程为16

π

θ=

；则

D S dx D

=∫∫dy 3

6

4sin 2sin d d r r π

πθ

θ

θ=∫∫

6

26sin d π

πθθ=∫

36

3(1cos 2)d π

πθθ=?∫

2

π

=

2、求由平面231x y z ++=，，0x =0y =，0z =所围成立体的体积。

解 所求曲顶柱体如图8.3.2所示，它是以区域

1(,)0,0122D x y y x y ??=≤≤≤≤???

??

1为底，以平面23x y z ++=为顶的曲顶柱体。

123D

x y

V d ??=∫∫

xdy 1

12200

123

y

x y

dy dx ???=∫∫

图8.3.2 1220

12112

[()]0363

y x x yx d ?=??∫y 1220

112

[(12)(12)(12)]363y y y y =?????∫dy

1

220122

()633

y y dy =?+∫136=

3、求旋转抛物面2z x y 2

=+和平面2z a =所围立体的体积。

图8.3.3

解 所围立体的体积如图8.3.3所示，可以看作以区域{

}222

(,)D x y x y a =+=为底，

分别以平面和曲面为顶的曲顶柱体的体积之差。

2z a =2

z x y =+2

r 222()D

D

V a dxdy x y dxdy =?+∫∫∫∫

2230

d d a

a r ππθ=?∫∫

41

2

a π= 4、为修建高速公路，要在一山坡中开辟出一条长500m ，宽20m 的通道，以出发点一侧为原点，往另一侧方向为x 轴(，往公路延伸方向为020)x ≤≤y 轴(0500)y ≤≤，且山坡的高度为

sin

10sin

20

500

z x y π

π

=+

试计算所需挖掉的土方量。

解 土方量为

20500

(sin

10sin

)20

500

V dx x y dy π

π

=+∫∫

370028.2m ≈

o

o

2

z a =

习题8.4

1、计算下列广义二重积分。

(1) ，其中区域x y

D e

dxdy +∫∫{(,)0}D x y y x =≤≤； (2)

y

D

xe

dxdy ?∫∫，其中区域2{(,),0}D x y y x x =≥≥。

解 (1) 积分区域D 如图8.4.1所示。

故

x

x y

x y D

e dxdy dx e dy +∞

++=∫∫∫∫0

()0

x y x

e e dx +∞

=?∫ 图8.4.1

(1)x x e e dx +∞=?∫

21

(1)02x e +∞=? =+∞

则广义积分发散。

(2) 积分区域D 如图8.4.2所示。 故

2

y

x

D

y xe dxdy dx xe dy +∞

+∞

?=∫∫∫∫

? 图8.4.2

2

()y

x e d x

+∞

?+∞=??∫x

2

x xe dx +∞

?=∫

2102

x

e ?+∞

=? 12

=

2、用极坐标计算广义积分。

22()22sin()x y e x y +∞

+∞?+?∞?∞

+∫∫dxdy 解 令cos sin x r y r θ

θ

=??=?，则{(,)0,02}D r r θθπ=≤<+∞≤≤。

则有

222

2()2220

sin()sin x y r e x y dxdy d e r π

θ+∞

+∞+∞?+??∞?∞

+=?∫∫

∫

∫

rdr 220

01sin 2t t r d e tdt πθ+∞?=∫∫令 0

sin t

e t π+∞?=∫

dt

cos cos 0

t t e t e t ππ+∞??+∞=??∫

dt dt

0sin t

e d t ππ+∞?=?∫

sin t e t ππ+∞?=?∫

故 0

2sin t e tdt ππ+∞?=∫。

即

22()

2

2sin()2

x y e x y dxdy π

+∞+∞?+?∞?∞

+=

∫∫

。

总复习题8

1、填空题(请将正确答案直接填在题中横线上)。

(1) 平面区域是由直线，D y x =1

2y x =

及1x =围成，则2d D

σ=∫∫ ； (2) 设{(,)01,03}D x y x y =≤≤≤≤，则

D

xyd σ=∫∫ ；

(3) 设{(,)11,03}D x y x y =?≤≤≤≤，则

3

sin (1cos )D

x y d σ+=∫∫ ； (4) 设区域由围成，则在极坐标系下D 2

2

(3)x y +?=9(,)D

f x y d σ=∫∫ 。

(5) 常数，且

0a

>222

,x y a π+≤=∫∫

则a ＝ 。

解 (1).12；(2).94

；(3). 0 ； (4).6sin 00d (cos ,sin )d f r r r πθθθ∫∫r θ；(5)

2、选择题(请在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内)。

(1) 下列不等式正确的是（ ）． (A)

1

1

(1)x y x d σ≤≤?>∫∫00； (B) 22221

()x y x y d σ+≤??>∫∫

；

(C)

11

(1)0x y y d σ≤≤?>∫∫； (D) 11

(1)x y x d σ≤≤0+>∫∫。

(2) 设是第二象限的一个有界闭区域，D 01y <<，则31d D

I yx σ=

∫∫， 23

2d D

I y x σ=∫∫，1

323d D

I y x σ=∫∫的大小顺序为（ ）。

3(A) 12I I I ≤≤； (B) 213I I I ≤≤； (C) 321I I I ≤≤； (D) 312I I I ≤≤。 (3) 设由x 轴，围成，则 D ln y x x =、e =(,)D f x y dxdy ∫∫=（ ）

。 (A) ln (,d )x

e 1d e

f x y y ∫

x ∫

d ； (B)

ln 0

0d (,)e

x

x f x y y ∫

∫

；

(C)

； (D)

。

1

00

d (,)y

e y

f x y ∫

∫

d x d 1

d (,)y e

e

y f x y x ∫

∫(4) 设

1

10

(,)(,)x

D

f x y dxdy dx f x y dy ?=∫∫

∫∫

，则改变积分次序后为（ ）；

(A) ； (B)

； 11

00(,)x

dy f x y dx ?∫

∫1

10

0(,)x

dy f x y dx ?∫

∫

(C)

； (D)

。

1

10

(,)dy f x y dx ∫∫

1

10

(,)y

dy f x y dx ?∫∫

(5) 设(,)f x y 连续，且(,)(,)D

f x y xy f x y dxdy =+

∫∫

，其中是由 ，D 0y =2y x =，

1x =所围成的闭区域，则(,)f x y 等于（ ）。

(A) xy ； (B) 2xy ； (C) 1

8

xy +

； (D) 1xy +。 解 (1). D ；因1x <，1y <时，有10x ?<，10y ?<，故A、C 错；而；故B 也错；从而只能D ；

220x y ??≤

(2). ；提示：因01，故D y <<12

2

y y y ≤≤；又因3

0x <，

故在上有D 1

3322y x yx y x ≤≤3

。

(3)．D ；因积分区域D 可写为{(,)01,}y

D x y y e x e =≤≤≤≤；故应选D ；

(4)．D ；因积分区域D 可写为{(,)01,01}D x y x y x =≤≤≤≤?或

{(,)01,01}D x y y x y =≤≤≤≤?

(5)．C 。

3、计算下列二重积分：

(1)

5

51

ln y

dx

dy y x

∫

∫

； (2)

2

1

1dy ∫；

(3)

2

42

1

2

22x

x

x

dx dy dx dy y

y

ππ+∫∫；

(4) 设，且()[0,1]f x C ∈1

0()d f x x A =∫，求1

1

0d ()()d x x f x f y y ∫∫；

(5) 22D

xy

d x y σ+∫∫ ，其中22{(,),12}D x y y x x y =≥≤+≤；

(6) D ，其中D 是曲线 (1cos )r a θ=? 所围成；

(7)*

2

2ln()D

x

y d σ+∫∫，

其中222

{(,)1}D x y x y ε=≤+≤，并求此二重积分当0ε→时之极限；

(8) *

4G

dxdy 2x y +∫∫，其中G 是由1x ≥，2

y x ≥所围成的区域。

解 (1) 积分区域如图8.1所示。

D 交换积分次序，得

5

551

1

1ln ln x y

dx

dy dy dx y x y x =∫∫

∫∫

5

1

dx =∫4= 图8.1

(2) 积分区域如图8.2所示。因为D sin x

dx x

∫

不能用初等形式表示出其结果，则交换积分次序，可得

22

1

111

01sin x x dy dx dy x +=∫∫∫

1

sin x xdx =∫

sin1cos1=? 图8.2

(3) 积分区域如图8.3所示。

D 2

42

12

22x

x

x

dx dy dx dy y

y

ππ+∫∫

2

2

22

2

1

2

sin

sin

sin

22y y y y

2x

x

x

dx dx dx y

y

y

πππ=++∫∫∫

2

2

2

1

sin

sin

22y y y y

x

x

dx dx y

y

ππ=+∫∫

2

2

1

sin

2y y

x

dy dx y

π=∫∫

2

1

2(cos

)2y

y dy π

π

=?

∫

3

4(2)

ππ

+= 图8.3 (4) 先交换积分顺序后，再将x ，互换，则有

y 1

1110

d ()()d d ()()d d ()()d y x

x

x f x f y y y f x f y x x f x f y y ==∫∫∫∫∫∫

故 1

110

2d ()()d d ()()d x

x

I x f x f y y x f x f y y =

+∫∫∫∫

1

10

d ()()d x f x f y y =∫∫

11

20

()d ()d f x x f y y A ==∫∫

(5) 积分区域如图8.4所示。

cos ,sin ,x r y r θθ=??

=?

令则5{(,)12,}44D r r ππ

θθ=≤≤≤≤。 故 52

242

2214

cos sin D xy

r dxdy d rdr x y r π

πθθθ=+∫∫∫∫ 图8.4 544

3

sin 24

d π

π

θθ

=∫0= (6) 积分区域如图8.5所示。

D cos sin x r y r θ

θ=??

=?

令，则 {(,)0(1cos ),02}D r r a θθθπ=≤≤?≤≤ 图8.5

故

2(1cos )

a D

d r rdr π

θθ?=

?∫

∫

23

30

1(1cos )3

a d π

θθ=?∫ 3

53

a π=

(7) 积分区域如图8.6所示示。

D cos ,

sin ,x r y r θθ=??

=?

令则{(,)1,02}D r r θεθ=≤≤≤≤π。 图8.6 故

21

22

20ln()ln D

x y d d r rdr π

ε

σθ+=?∫∫∫∫

2

22

1(ln )2

d π

εεεθ?=??∫

1)d 222(ln πεεε=??

令22ln()D

I x y σ=+∫∫，则

2220

lim lim (ln 1)I εεπεεε→→=??

22

0ln lim 2lim

εεε

πεπε?→→=?π?

π=?

(8) 令。显然，a 且b 时，必有G D 。故 2

{(,)|1,}G x y x a x y b =≤≤≤≤→+∞→+∞→242421lim [lim a b x a b G

dxdy dy

I dx x y x →+∞→+∞==++∫∫

∫∫y

2221

1

lim [lim (

arctan |)]a

a b b y dx x x x

→+∞→+∞=∫

2211lim

[lim

(arctan 4a

a b b dx x x

π

→+∞→+∞=?∫ 211lim 4a a dx x π→+∞=∫4

π

= 4、改变下列积分次序。

2

1

2(1) (,)x dx f x y dy ?∫；

sin 0

sin

2

(2) (,)x

x dx f x y dy π

?∫∫

；

1

00

(3) (,)y

e dy

f x y dx ∫∫

； 2

12

2

010

(4) (,) (,)y y dy f x y dx dy f x y dx ?+??+∫∫

∫∫

。

解 (1)

因为积分区域{(,)12,2D x y x x y =≤≤?≤≤为X 型区域，其图形如 图8.6。交换积分次序后，区域应视为型区域。故

D

Y 2

1

1120

2(,)(,).x

y

dx f x y dy dy f x y dx ??=∫∫∫

(2) 因为积分区域{(,)0,sin

sin }2

x

D x y x y x π=≤≤?≤≤为X 型区域，其图形如图8.7所示。交换积分次序后，区域应视为Y 型区域。故

D sin 0

1arcsin 0

sin

1

2arcsin 0

arcsin 2

(,)(,)(,).x

y

x y

y

dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx π

π

π????=+∫∫

∫∫

∫∫

图8.6 图8.7

(3) 因为积分区域{(,)01,0}y D x y y x e =≤≤≤≤为Y 型区域，其图形如图8.8所 示。交换积分次序后，区域应视为D X 型区域。故

1

111

1

ln (,)(,)(,)y

e e x

dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy =+∫∫

∫∫∫∫

(4) 因为积分区域12D D D =+，其中1{(,)21,02}D x y y x y =?≤≤?≤≤+，

22{(,)10,0}D x y y x y =?≤≤≤≤为Y 型区域，其图形如图8.9所示。 交换积分次序后，区

域应视为D X 型区域。故

2

1

2

12

1

2

(,) (,)(,)y y x dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy ?+???+=∫

∫

∫∫∫∫

图8.8 图8.9

5、计算下列二重积分。

(1)

2

22[sin ln(1)]xy D

e y y x y d σ+++∫∫，其中区域由圆域D 22

(1)x y 1?+≤所围成；

(2)

D ，其中{(,)1,02}D x y x y =≤≤≤；

(3)

2

2

2()x y D

x x ye d xd y ++∫∫

，其中①22{(,)1}D x y x y =+≤。

②是由直线所围成。

D ,1,y x y x ==?=1解 (1) 此题的积分区域(如图8.10，关于D x 轴对称，而被积函数

是关于的奇函数，则有

2

22sin ln(1)xy e y y x y +++y 2

22[sin ln(1)]xy D

I e y y x y d σ=+++∫∫0=

(2)

22

y x y x

≥=<，如图8.11

，则

1

23

D

D D D +=+

∫∫∫∫

2

212

1

1

10

x x

dx dx ??=+∫∫∫∫

532

π=

+

图8.10 图8.11

(3 ) ① 积分区域如图8.12(a )，利用对称性，得

D 2

2

2

2

22()x y x

y D

D

D

x x ye d xd y x d xd y x ye d xd y +++=+∫∫∫∫∫∫

1

22

1()2D x y d xd y =

+∫∫0+ 2130012d r d r πθ=∫∫4

π=

②积分区域如图8.12(b )，添加辅助线D y x =?，将分为，利用对称性，得

D 1,D D 2d d 22

22

22

1

2

2

2

()d d x y x y x y D D D

D x

x ye

d xd y x d xd y x ye

x y x ye

x y +++=++∫∫∫∫∫∫∫∫+

1

2

1

1

2

d d 003

x

x x y ??=++∫∫=

图8.10（a ） 图8.10（b ）

6、已知()f x 在上连续，求证：当时，有

[,]a b 0n >11()()()()1b

y

b

n n a

a

a

dy y x f x dx b x f x dx n +?=

?+∫∫∫ 证明 因为积分区域{(,),}D x y a y b a x y =≤≤≤≤为Y 型区域，其图形如图8.13

所示。交换积分次序后，区域应视为D X 型区域。故

()()()()b

y b b

n n a

a

a

x

dy y x f x dx dx y x f x dy ?=?∫

∫∫∫

1

()[

()1

n b

a b y x ]f x dx x n +?=+∫ 1()[(1

n b

a b x )]f x dx n +?=+∫

11()()1b

n a

b x f x dx n +=

?+∫ 图8.13 7*、计算由双曲线2xy a =与直线5

(02x y a a )+=>所围成的图形的面积。

解 由双曲线2xy a =与直线5

(02x y a a )+=>所围成的图形区域如图8.14所示.。

D 积分区域满足

D 2

22

52a

x a a y a x x

?≤≤????≤≤??? 则所求面积为 D A d σ=

∫∫25222

a

a x a

a x

dx dy ?=∫

∫

2

22

5(2a

a

a a x dx x

=??∫) 图8.14 2222

51

(ln 22

a

a ax x a x =??)

215

(ln 48

a =?)1

8、求由平面所围成的柱体被平面001x y x y ====、、、0z =与23x y z 6++=所

截得的立体的体积。

解 该曲顶柱体如图8.15所示。

()623D

V x y =??∫∫dxdy

()11

623dx x y dy =??∫∫

7

2

=

图8.15 9、求两个底圆半径为R 的圆柱面所围的立体的体积。

解 设两个圆柱面方程为

222x y R += ， 222x z R +=

利用对称性，所求立体的体积V 立体位于第一挂限部分可看作一个 是该立体位于第一挂限部分(如图8.16)的体积的8倍。 曲顶1

V 柱体，它的底是区域

{(,)0D x y y =≤≤ }x R ≤≤

z =

的一部分，从 图8.16

曲顶是柱面

188D

V V ==

00

8=∫

220

8()R

R x dx =?∫

3

163

R =

()f x 在上连续，证明：[],a b ()2

2()()()b b

a

a

f x dx b a f x dx ≤?∫

∫10、设。

左端证明()()b b

a

a

f x dx f y d y =

∫

∫

()()D

f x f y dxd y =∫∫{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤)

(其中区域 ()2

2()()12b b b b x dx f +∫∫a

a a a d y f x d y d y ≤∫∫

()2

2()()2

b b a a b a f x dx f y d y ?=+∫∫

＝右端

2()()b

a

b a f x dx =?∫

§ 9 重积分习题与答案

第九章 重积分 A 1、 填空题 1）交换下列二次积分的积分次序 （1）()=?? -dx y x f dy y y 10 2,______________________________________________ （2）()=??dx y x f dy y y 2 022,______________________________________________ （3）()=? ?dx y x f dy y 1 00,_______________________________________________ （4）()=?? ---dx y x f dy y y 1 1122 ,___________________________________________ （5） ()=?? dy y x f dx e x 1ln 0 ,______________________________________________ （6） ()()=?? ---dx y x f dy y y 40 42 1 4,________________________________________ 2）积分 dy e dx x y ? ?-2 2 2 的值等于__________________________________ 3)设(){} 10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D ??+=的 值则 。 4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2??+=与()σd y x I D 3 ??+=的大小________________________________ 5）设()??? ? ??≤ ≤≤ ≤=20,2 0,ππ y x y x D ，则积分()dxdy y x I D ??+-=2 sin 1 ___________________________________________ 6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ???Ω =xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________ =I 7）设Ω是由球面222y x z --= 与锥面22y x z +=的围面，则三重积分 dxdydz z y x f I ???Ω ++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为 2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值

重积分的计算方法

重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子

对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：

在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）

9山东专升本高等数学第九章二重积分.

第九章二重积分 【考试要求】 1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义． 2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法． 【考试内容】 一、二重积分的相关概念 1．二重积分的定义 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域 ?σ1，?σ2，，?σn，其中?σi表示第i个小区域，也表示它的面积．在每个?σi上任取一点 n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi?)σi i（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)?σii i=1．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存 在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作??f(x,y)dσ，即 D n iii??f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)?σ Dλ→0． i=1 其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)?σii i=1ni叫做积分和． 说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作 ??f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素． D 2．二重积分的几何意义 一般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0， 的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果 而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若干部分区域上是正的， D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差． 3．二重积分的性质 （1）设α、β为常数，则

第十章 重积分练习题(答案)

1.填空: (1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+??≥3 ()D x y d σ+??. (2)设??++=D d y x I σ)94(22,其中(){} 4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π. (3)交换积分次序:=??-2210),(y y dx y x f dy ????-+222021 010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域，化二重积分σd y x f D ),(??为两个不同次序的二次积分是????x x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022 0),(),(2，. （5）在极坐标系中，面积元素为d d ρρθ。 2.选择: (1)设平面区域(){}(){} 0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ). (A)????=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)????=1 4D D xydxdy xydxdy . (C)14D D =. (D)????=1 4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+??D dxdy y x xy )sin cos (( A ). (A)??1sin cos 2 D ydxdy x . (B)??12D xydxdy . (C)??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0. (3)设?? ????+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D 2223222221)cos(,)cos(cos ，,其中 (){} 1,22≤+=y x y x D ,则( A ). (A)123I I I >>. (B)321I I I >>.

高等数学(同济五版)第九章-重积分-练习题册

第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ 第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则

?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ?? ?? ? ????? +----=1 10 2210 10 2 2 101 02210 10221 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 2 2222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求

第十章重积分自测题(答案)

第十章《重积分》自测题 一、单项选择题 1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心点在(1,1)-，记 22 1 221y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2 222y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2233 y x y x D I e dxdy ---= ??则123,,I I I 大小 顺序为（ B ）。 （A ）123I I I ≤≤；(B) 213I I I ≤≤；（C ）321I I I ≤≤；（D ）312I I I ≤≤。 2．D=}2 1 ,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D )(2 2??+=( A ) (A)? - 1 2 1dx dy y x x x )(2 2 112 2? ---+ (B) dy x x ? ---2 2 11? - +12 12 2)(dx y x (C) ? - 12 1dx dy y x x )(2 12 12 2? -- + (D) ? - 12 1dx dy y x )(1 2 12 2? - + 3．改变12 2 2 111 2 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx + ??? ?的积分次序，则下列结果正确的是（A ） （A ）??21 1),(x x dy y x f dx （B ）??2 1 1 ),(x x dy y x f dx （C ）??31 1),(x x dy y x f dx （D ）??1 3 11 ),(x x dy y x f dx 4．已知D 是正方形域：11,02x y -≤≤≤≤，则2 D I y x dxdy = -?? 的值为（ D ） （A ） 23 ； （B ） 43 ； （C ） 2115 ； （D ） 4615 5．设D ：2222 ,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>，则(,)D f x y dxdy ??可化为（ D ）。 （A ）cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr π θθθ θθ?? ； （B ）sin 402(cos ,sin )a a d f r r rdr π θθ θθ?? ； （C ）sin 400 (cos ,sin )a d f r r rdr π θ θ θθ?? ＋sin 2 cos 4 (cos ,sin )a a d f r r rdr π θπθ θ θθ?? ； （D ） sin 40 (cos ,sin )a d f r r rdr π θθ θθ? ? ＋ cos 2 4 (cos ,sin )a d f r r rdr π θπ θ θθ?? 6．Ω由不等式2 2 y x z +≥，222 (1)1x y z ++-≤确定，则???Ω dv z y x f ),,(=（D ）

第十章 重积分单元测试卷

第十章 重积分单元测试卷 一、填空题（每小题4分，共20分）： {} . ,1)2()1(.5.,),,(,2,1,2.4. sin .3. ,0,1|),(.2. ,),(,),(.1222221 0221 20 2 ???????? ???? Ω Ω -= ≤+-+-Ω= ====+Ω==≥≤+== =dv z y x I dxdydz z y x f I z z z y x dy x x dy ydxdy y y x y x D I dy y x f dx I y x f y y D x x 则为设则下的三次积分化为柱面坐标系将所围成由设则设则改变积分次序将连续设 二、选择题（每小题5分，共20分）： .)(;)(;)(;)()( ,,,)sin(,)(, )ln(,1,21 ,0,0.1312231123321321321I I I D I I I C I I I B I I I A I I I dxdy y x I dxdy y x I dxdy y x I y x y x y x D D D D <<<<<<<<+=+=+==+=+==??????间的大小关系为则所围成由设 ( ) . ),(),()(; ),()(;),(),()(; ),()(),(,),(.201 80 21 21 21 228 26 218 2 2121 212282122 6 21 4 2 ??? ? ?? ??? ? ?? ??--+-++------+++---+---++=y y y y y y y y y y y x x dx y x f dy dx y x f dy D dx y x f dy C dx y x f dy dx y x f dy B dx y x f dy A dy y x f dx y x f 则二次积分是连续函数设 3. 半径为R 和r(0

二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)

显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

高数教案第十章重积分

高数教案第十章重积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高等数学教案

第十章 重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。 当(,)x y D ∈时,(,)f x y 在D 上连续且(,)0f x y ≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V 可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?， ，n σ?，以这 些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω， ，n ?Ω。 （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

图10-1-1 从而 1n i i V ==?Ω∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω??i i i i i i i f ≈?∈()()( )ξησξησ (以不变之高代替变高, 求i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈=∑()ξησ?1 (4) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i =→=∑lim (),λξησ01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(),x y 处的面密度为(),x y ρ,这里(),0x y ρ≥,而且(),x y ρ在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M 。

第十章_重积分测验题答案

高等数学A 第十章重积分测验题答案 一、填空题：（每小题5分，共20分） 1. 交换积分顺序： 2 2 21(,)y y dy f x y dx +-=?? 14 1 2 (,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+ ? ? 。 2. 2 11 y x dx e dy -= ? ?11(1)2 e - 。 3. 设D 是由)0(,3>==x x y x y 所围成的平面区域，则=?? D d x x σsin )1sin 1(cos 23+-。 4. 设??? = Ω dxdydz z y x f I ),,(，积分区域0),(3,1:2 22 2 ≥+≥ --≤y y x z y x z Ω所确定， 则I 在柱面坐标系下的三次积分为? ??-2 1321 ),sin ,cos (ρρ π θρθρρρθdz z f d d 。 二、选择题（每小题5分，共20分） 1．设区域D 是221x y +≤在第一，四象限部分，(,)f x y 在D 上连续，则二重积分 (,)D f x y d x d y =?? （ B ） （A ）110 1 (,)dx f x y dy -??； （B ）11 (,)dy f x y dx -?； （C ）10 2(,)dx f x y dy ?； （D ）1 20 2 (,)d f r rdr π π θθ- ? ?。 2．若已知2 (sin )1dx xf y dy π π =??，则20 (cos )f x dx π =?（ D ） （A ） 2 π； （B ） 2 π ； （C ） 2 4 π ； （D ） 2 4 π 。 3．设(,)f x y 是所给积分区域上的连续函数，则下列（ B ）等式成立。 （A ）(,)(,)b d d b a c c a dx f x y dy dx f x y dy = ????； （B ）(,)(,)b d d b a c c a dx f x y dy dy f x y dx = ??? ?； （C ）() ()()() (,)(,)b x x b a x x a dx f x y dy dy f x y dx φφ??= ?? ?? （D ）() () () () (,)(,)b x b y a x a y dx f x y dy dy f x y dx φφ??= ?? ? ? 。 4．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:,0,0,0x y z R x y z Ω++≤≥≥≥，则（C ） （A ）1 2 4xdv xdv ΩΩ=??????；（B ）1 2 4ydv ydv ΩΩ=??????； （C ）1 2 4zdv zdv ΩΩ=??????；（D ）1 2 4xyzdv xyzdv ΩΩ=??????。

第十章 重积分

习题 10 - 1 1. 设有一平面薄板（不计其厚度）占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为 (x,y)μμ=的电荷，且(x,y)μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q. 2. 设 1 3 22 1(x y )D I d σ=+??的其中 {}1(x,y)|11,22D x y =-≤≤-≤≤ 又 2 3 222(x y )D I d σ=+?? ，其中 {}2(x,y)|01,02D x y =≤≤≤≤ 试利用二重积分的几何 意义说明 1I 与 2I 之间的关系 . 3. 利用二重积分定义证明： （1） (D ) D d σσσ=??其中为的面积 （2） (x,y)(x,y)D D kf d k f d σσ =???? （其中k 为常数） （3） 2 (x,y)(x,y)(x,y)D D D f d f d f d σσσ =+?????? 1212,D D D D D =其中、为两个无公共内点的闭区域. 4.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2 (x y)D d σ +?? 与 3 (x y )D d σ + ?? ，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x+y=1 所围成; （2）2 (x y)D d σ +?? 与 3 (x y ) D d σ+?? ，其中积分区域D 是由圆周 22(x 2)(y 1)2-+-= 所围成； （3） 2 ln(x )[ln(x )], D D y d y d σσ++????与 其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为 （1,0），（1,1），（2,0）； （4） 2 ln(x )[ln(x )],D D y d y d σσ++???? 与其中 {} (x,y)|35,01D x y =≤≤≤≤.

三重积分的计算方法小结与例题

三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

高数教案第十章重积分

高等数学教案

第十章 重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。

当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑(将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1

_高等数学2第十章答案

习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+?? ，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； （2） ln()D x y d σ+??与2 [ln()]D x y d σ+??，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)， (1,1)，(2,0)； 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22 sin sin D I x yd σ= ??，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤； （2）22 (49)D I x y d σ= ++?? ，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤ . （3） .D I = ，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤ 解 () ,f x y = ，积分区域的面积等于2，在D 上(),f x y 的最大值

()10 4M x y = ==，最小值()1 1,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤ 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分： （1） 22 ()D x y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤； （2） cos()D x x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1） x y D e d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤

（2） 2 2()D x y x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。 3.化二重积分(,)D I f x y d σ= ??为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次 积分），其中积分区域D 是： （1）由直线y x =及抛物线2 4y x =所围成的闭区域； （2）由直线y x =，2x =及双曲线1 (0)y x x = >所围成的闭区域。

高等数学1第九章 重积分练习题答案

《高等数学Ⅰ》练习题 系 专业 班 姓名 学号 6．1 二重积分（1） 一．选择题 1．设积分区域 D 是4122≤+≤y x ，则??D dxdy = [ B ] （A ） π （B ）3 π （C ）4 π （D ）15 π 2．设积分区域 D 是1≤+y x ，则??D dxdy = [ B ] （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 3．设平面区域 D 由1,21 =+=+y x y x 与两坐标轴所围成，若??+=D dxdy y x I 91)][ln(， ??+=D dxdy y x I 92)(，??+=D dxdy y x I 93)][sin(，则它们之间的大小顺序为： [ C ] （A ） 321I I I ≤≤ （B ）123I I I ≤≤ （Ｃ）231I I I ≤≤ （Ｄ）213I I I ≤≤ 4．设区域 D 是由两坐标轴及直线1=+y x 围成的三角形区域，则??D xydxdy ＝ [ D ] （A ） 41 （B ）81 （C ）121 （D ）24 1 二．填空题 1．设区域 D 是20,10≤≤≤≤y x ，估计积分的值 2 ??≤++≤D dxdy y x )1( 8 2．设 ??≤+++= 10||||22sin cos 100y x y x d I σ ，则I 的取值范围是≤≤I 2 3． 1 2 x dx xy dy ?? 三．计算题 1．设区域 D 由11≤≤-x ，11≤≤-y 所确定，求 ??-D dxdy x y xy )( 解：原式= 1 1 1 22 1 1 12 ()03 ----==? ?? dx xy x y dy xdx

(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple Integral 姓名：蒋晓颖 学号： 1007012048 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：蒋新荣（副教授） 完成时间：2014年1月23日

三重积分的计算方法小结 蒋晓颖 【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。 【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式

Methods of Calculation of Triple Integral Jiang Xiaoying 【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral． 【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula

第10章章测题1(重积分的计算部分)

第10 章测验题（一）重积分的计算一、填空题 2 2x?x 2 1.改变积分次序：∫ ∫= dx f (x, y)dy 。 1 2?x 2 2 y 2.改变积分次序：∫ ∫= dy f (x, y)dx 。 0 2 y 1 1?y 2 3.改变积分次序：∫ ∫= dy f (x, y)dx 。 0 ?1?y 2 4.设平面区域D ={(x, y)1 ≤x ≤ 3,2 ≤y ≤5},则∫∫= ρdρdθ。 D 5.设平面区域D 的面积为A，则 ∫∫= 2dδ。 D 二、计算题 1.计算二重积分∫∫(++) x3 3 2 3 σ，其中D ={(x, y)0 ≤x ≤1, 0 ≤y ≤1}。 x y y d D 2.计算二重积分∫∫(+?) x2 2 σ，其中积分区域D 由直线y = 2 ，y =x 及y = 2 所围y x d x D 成。 3.计算二重积分∫∫ x σ，其中积分区域D 由曲线y =x 及y =x2 所围成。 yd D 4.计算二重积分∫∫(+) 3 ，其中积分区域D 由两坐标轴及直线x +y = 2 所围成。 x 2y dσ D ∫∫+ 5.计算二重积分sin x y dδ，其中D = {(x, y)π 2 ≤x2 +y2 ≤ 4π2}。 2 2 D

y ∫∫arctan 6.计算二重积分dxdy x D ，其中D 是由两个圆周x 4和x2 +y2 = 9 ，及两 2 +y2 = 条直线和 y = 0 y =x 所围成(在第一象限内)的闭区域。 h 7.计算三重积分∫∫∫zdV ，其中是由锥面 Ωx2 y 2 z =+与平面z =h (R > 0, h > 0) R Ω 所围成的闭区域。 1

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有