第10章重积分
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多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面
积分?它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、
近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分?本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用
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奥斯特罗格拉茨基 (Octporpajickh h )对重积分的研究也作了许多工作，他在研究
热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式.
1828年，格林(Green)在其私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁
学理论的一篇论文》中，为了推动位势论的进一步发展，建立了著名的格林公式.
10.1二重积分的概念及性质
10.1.1 二重积分的概念
实例1设函数z f(x, y)在有界闭区域D上连续，且f(x, y) 0 .以函数z f(x, y) 所表示的曲面为顶，以区域D为底，且以区域D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示.求该曲顶柱体的体积V .
对于平顶柱体，它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面，当点(x,y)在D上变动时，其高度z f(x, y)是一个变量，因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下
第一步(分割).用一组曲线网将区域D任意分成n个小区域1, 2,… i ,…
n，其中记号i (i = 1 , 2,…，n)也用来表示第i个小区域的面积?分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成
图
10.1.1
图
10.1.2
小曲顶柱体V , V…，V…，V，其中记号V i （i = 1, 2,…，n）也用来表示第i 个小曲顶柱体的体积.
第二步（近似）?因为f（x,y）在区域D上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这
个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体（如图10.1.2）?分别在每个小区域i上任取一点（i, i），以f（i, i）为高，i为底的小平顶柱体的体积f（i, i）i作为第i个小曲顶
柱体体积V i的近似值，即
V f ( i, i) i(i 1,2, ,n).
第三步（求和）.这n个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V的近似值，即
n n
V V i f（i, i）i.
i 1 i 1
第四步（取极限）?对区域D分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值0（有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）时，若上述和式的极限存在，贝U 该极限值就是曲顶柱体的体积V，即有
n
V li叫f（i, i）i .
i 1
实例2设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在xOy平面上占有有界闭区域D , 此薄片在点（x,y） D处的面密度为（x, y），且（x, y）在D上连续?求该薄片的质量M .
如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量
就等于面密度与面积的乘积.现在薄片的面密度随着点（x, y）
的
位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量?用一
组曲线网将区域D任意分成n个小块1, 2…，n;由
于（x,y）在D上连续，只要每个小块i （i = 1, 2,…，n）
上任取一点（i,」，用点
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的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片?在
n
（i , i ）
i 1
极限值就是所求平面薄片的质量,
n
lim 0i1（i ，i ）
尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结
为求二元函数的某种特定和式的极限?在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念.
（i ，i ）
图 10.1.3 处的面密度 (i , i )近似代替区域 i 上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片
i 的质量的近似值
（i ，i ） （i 1,2, ,n ）；
整个薄片质量的近似值为 将薄片无限细分，当所有小区域
i 的最大直径 0时，若上述和式的极限存在，这个
根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积V是其曲顶函数f(x,y)在底面
区域D上的二重积分，即
V f(x, y)d ；
D
例10.1.2中平面薄片的质量M是其面密度函数(x, y)在其所占闭区域D上的二重积分，
即
M (x,y)d ?
D
关于二重积分的几点说明.
(1) 如果函数f (x,y)在区域D上的二重积分存在，则称函数 f (x, y)在D上可积.如
果函数f (x, y)在有界闭区域D上连续，则f (x, y)在D上可积.
(2) 当f(x, y)在有界闭区域D上可积时，积分值与区域D的分法及点(i, i)的取法
无关.
(3) 二重积分只与被积函数 f (x, y)和积分区域D有关.
二重积分f(x,y)d 的几何意义.
D
(1) 若在闭区域D上f (x, y) 0 ,二重积分表示曲顶柱体的体积；
(2) 若在闭区域D上f (x, y) 0 ,二重积分表示曲顶柱体体积的负值；
(3) 若在闭区域D上f (x, y)有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和.
10.1.2 二重积分的性质
二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去.
性质1被积函数中的常数因子可以提到积分符号的外面，即
kf(x, y)d k f (x, y)d ，其中k
为常数.
D D
性质2有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和，即