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第三讲+(计量经济学)

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《计量经济学》第3章数据

《计量经济学》第3章数据

《计量经济学》各章数据第3章 多元线性回归模型例3.1.1 经过研究，发现家庭书刊消费水平受家庭收入及户主受教育年数的影响。

现对某地区的家庭进行抽样调查，得到样本数据如表3.1.1所示，其中y 表示家庭书刊消费水平(元/年)，x 表示家庭收入(元／月)，T 表示户主受教育年数。

下面我们估计家庭书刊消费水平同家庭收入、户主受教育年数之间的线性关系。

回归模型设定如下： t t t t u T b x b b y +++=210(t =1,2, …)表3.1.1 某地区家庭书刊消费水平及影响因素的调查数据表例3.4.1根据表3.4.1给出的中国1980-2003年间总产出(用国内生产总值GDP度量，单位：亿元)，劳动投入L(用从业人员度量，单位为万人)，以及资本投入K(用全社会固定投资度量，单位：亿元)，试建立我国的柯布——道格拉斯生产函数。

表3.4.1 1980-2003年中国GDP、劳动投入与资本投入数据例3.4.2 某硫酸厂生产的硫酸透明度一直达不到优质要求，经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。

影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。

通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。

测量了47组样本值，数据见表3.4.3。

试建立硫酸透明度(y)与铁杂质含量(x)的回归模型。

表3.4.3 硫酸透明度(y)与铁杂质含量(x)数据例3.4.3假设某企业在15年中每年的产量Y(件)和总成本X(元)的统计资料表3.4.7所示，试估计该企业的总成本函数模型。

表3.4.7 某企业15年中每年总产量与总成本统计资料3.6.1 案例1——中国经济增长影响因素分析根据表3.6.1给出的1980-2003年间总产出(用国内生产总值GDP度量，单位：亿元)，最终消费CS(单位：亿元)，投资总额I(用固定资产投资总额度量，单位：亿元)，出口总额（单位：亿元）统计数据，试对中国经济增长影响因素进行回归分析。

计量经济学专业知识讲座

计量经济学专业知识讲座
ui=1ui-1+2ui-2+Lui-L+i
14-34
类似地，可进行第三次、第四次迭代。 有关迭代旳次数，可根据详细旳问题来定。
一般是事先给出一种精度，当相邻两次1,2, ,L旳估计值之差不大于这一精度时，迭代
终止。 实践中，有时只要迭代两次，就可得到
较满意旳成果。两次迭代过程也被称为科克 伦—奥科特两步法。
Y1* 1 2 Y1
X
* 1
1 2 X1
该变换称为Prais-Winsten变换。
对于样本容量足够大，则不必进行这种变换。
14-24
使用广义差分方程应阐明旳几点：
双变量模型可推广到多变量模型； 差分变换可推广到高阶过程：从AR(1)到AR(2)、
AR(3)等。 使用上述措施必须懂得旳值，下面我们阐明
14-29
旳其他估计措施
Cochrane-Orcutt (科克伦-奥克特)迭代法； Cochrane-Orcutt 两步法 Durbin 两步法 Hildreth-Lu (希尔德雷斯-陆)搜索法 最大似然法
14-30
附：补充旳估计措施
科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt） 迭代法 杜宾（durbin）两步法
14-27
从Durbin-Watson d统计量中估计
因为： d2(1-’) ’ 1-d/2
根据上式，我们能够得到旳近似估计值。
14-28
从OLS残差et中估计
因为： ut=ut-1+vt
用样本误差e替代u，得： et=’et-1+vt
式中， ’ 是旳估计量。
尽管对小样本而言，是真实旳有偏估计，但伴 随样本容量旳增长，这个偏差会逐渐消失
进行OLS估计，得各Yj（j=i-1, i-2, …,i-l)前旳系数

计量经济学授课教案(多场合)

计量经济学授课教案(多场合)

计量经济学授课教案一、课程概述计量经济学是经济学的一个重要分支，它运用数学、统计学和计算机科学的方法，研究经济现象中的数量关系和规律性。

本课程旨在帮助学生掌握计量经济学的基本理论、方法和应用，提高学生运用计量经济学方法分析和解决实际经济问题的能力。

二、教学目标1.理解计量经济学的基本概念、原理和方法；2.掌握经典线性回归模型的估计、检验和预测；3.了解非线性回归模型、面板数据模型和时间序列模型；4.学会运用计量经济学软件进行数据处理和分析；5.培养学生运用计量经济学方法解决实际经济问题的能力。

三、教学内容与安排1.第一讲：导论1.1计量经济学的定义与作用1.2计量经济学的研究方法与步骤1.3计量经济学软件介绍2.第二讲：经典线性回归模型2.1一元线性回归模型2.2多元线性回归模型2.3回归模型的估计方法：最小二乘法3.第三讲：回归模型的检验与预测3.1模型拟合优度检验3.2回归参数的显著性检验3.3回归模型的预测与区间估计4.第四讲：非线性回归模型4.1线性模型的局限性4.2二次回归模型4.3Logit回归模型与Probit回归模型5.第五讲：面板数据模型5.1面板数据的定义与特点5.2面板数据模型的设定与估计5.3面板数据模型的检验与预测6.第六讲：时间序列模型6.1时间序列数据的定义与特点6.2自回归模型（AR）6.3移动平均模型（MA）6.4自回归移动平均模型（ARMA）7.第七讲：计量经济学应用案例分析7.1金融市场分析7.2货币政策分析7.3贸易政策分析四、教学方法1.课堂讲授：讲解计量经济学的基本理论、方法和应用；2.案例分析：通过实际经济案例，引导学生运用计量经济学方法解决实际问题；3.上机实践：指导学生运用计量经济学软件进行数据处理和分析；4.小组讨论：鼓励学生分组讨论，提高学生的合作能力和沟通能力。

五、考核方式1.平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况和小组讨论；2.期中考试：考查学生对计量经济学基本理论、方法和应用的理解；3.期末考试：综合考查学生对计量经济学的掌握程度，包括理论知识和实际应用能力。

计量经济学课件(全)

计量经济学课件(全)

计量经济学第一章绪论目前，在经济学、管理学以及一些相关学科的研究中，定量分析用得越来越多。

所谓定量分析，即揭示经济活动中客观存在的数量关系。

定量分析方法统计分析方法：一元多元经济计量分析方法：以模型为基础时间序列分析方法：动态时间序列§1.1 计量经济学及其模型概述一、计量经济学计量经济学的诞生计量经济学“Econometrics”一词最早是由挪威经济学家弗里希(R.Frish)于1926年仿照“Biometrics”(生物计量学)提出来的，这标志着计量经济学的诞生。

弗里希将计量经济学定义为经济学、统计学和数学三者的结合。

计量经济学的定义计量经济学是以经济理论为指导，以经济事实为依据，以数学、统计学为方法，以计算机为手段；主要从事经济活动的数量规律研究，并以建立、检验和运用计量经济学模型为核心的一门经济学学科。

二、计量经济学模型模型，是对现实的描述和模拟。

模型分类语义模型：语言文字。

物理模型：简化的实物。

几何模型：几何图形。

数学模型：数学公式。

计算机模拟模型：计算机模拟技术。

计量经济学模型属于经济数学模型，即用数学公式来描述经济活动。

例：生产函数经济数学模型是建立在经济理论的基础之上的。

生产理论：“在供给不足的条件下，产出由资本、劳动、技术等投入要素决定，随着各投入要素的增加，产出也随之增加，但要素的边际产出递减。

” 建立初始模型初始模型的特点模型描述了经济变量之间的理论关系；通过模型可以分析经济活动中各因素之间的相互影响，从而为控制经济活动提供理论指导；认为这种关系是准确实现的；模型并没有揭示各因素之间的定量关系，因为参数未知。

模型的改进以1964-1984年我国工业生产活动的数据作为样本，估计得到：改进模型的特点1.用随机性的数学方程描述现实的经济活动与经济关系。

2.揭示了经济活动中各因素之间的定量关系。

3.可用于对研究对象进行深入的研究，如结构分析、生产预测等。

初始模型——数理经济学模型数理经济学模型：由确定性的数学方程所构 成，用以揭示经济活动中各因素间的理论关系。

高级计量分析第三讲

高级计量分析第三讲

第三讲 渐近理论初步（Basic elements of asymptotic theory ）在计量经济学研究中，对总体参数的推断、估计和检验是通过一个样本来进行的，而样本统计量如何随着样本发生改变也是我们所感兴趣的问题，特别是所构造的参数估计量是否会随着样本容量趋向无穷大而收敛于总体参数。

在前面的讲述中，我们讨论了OLS 估计量的有限样本特性，或称小样本特性，并证明了OLS 估计量具有无偏性、有效性，是总体参数的最佳线性无偏估计量，同时还证明了估计量服从精确的分布，并据以进行统计推断。

不过这些结论在满足经典假设条件下导出，而这些假设常常在实际中很难满足。

我们寻求样本容量趋于无穷大情况，估计量的统计特性及其渐近分布。

这就是本讲中要考虑的问题。

欲了解现代计量经济理论，首先要学习一些统计渐近理论，更进一步就是要对概率极限理论有一定的理解。

前苏联的概率论大师柯尔莫哥洛夫和格涅坚科曾如是说：“概率论的认识论价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义。

”简单可以将概率极限定理分成三种类型：（1）弱大数定律（WLLN ）、（2）强大数定律（SLLN ）、（3）中心极限定律（CLT ）。

计量经济学中的渐近理论内容非常广博，我们只在本讲中介绍其最基本的一些内容。

对于想深入了解渐近理论的同学推荐阅读White （2003）和Davidson （1994）的经典著作。

1四种随机收敛的概念及性质1.1依概率收敛（convergence in probability ）（1）定义对于随机变量序列 ,,,,21n X X X ，如果存在X 满足：0>∀ε，0}{lim =<-∞→εX X P n n就称序列},2,1,{ =n X n 依概率收敛于X 。

记作：X X Pn →，或X X P n n =∞→lim 。

我们将X 称为序列},2,1,{ =n X n 的概率极限。

《计量经济学讲义》新

《计量经济学讲义》新

第一章绪论§计量经济学一、计量经济学的产生与发展计量经济学是经济学的一个分支，是以揭示经济活动中的客观存在的数量关系为容的分支学科。

其创立者R.弗里希将其定义为经济理论、统计学、数学三者的结合，但它又完全不同于这三个学科的每一个分支。

计量经济学（Econometrics）1926年由挪威经济学家弗里希（R.Frish）仿造生物计量学（Biometrics）一词提出的。

1930年12月弗里希、丁百根和费歇耳等经济学家在美国克利夫兰市成立经济计量学会。

1933年出版《计量经济学杂志》在发刊词中弗里希将计量经济学定义为：经济理论、数学、统计学的结合。

计量经济学的学术渊源和社会历史根源：17世纪英国经济学家威廉.配弟在《政治算术》一书中应用“数字、重量或尺度”来阐述经济现象19世纪法国经济学家古尔诺《财富理论的数学原理研究》中认为：某些经济畴、需求、价格、供给可以视为互为函数关系，从而有可能用一系列的函数方程表述市场中的关系，并且可以用数学语言系统地阐述某些经济规律（数理学派的奠基者）其后瑞士经济学家瓦尔拉斯创立了一般均衡理论，利用联立方程研究一般均衡的决定条件（洛桑学派的先驱）意大利经济学家帕累托发展了一般均衡理论。

用立体几何研究经济变量之间的关系。

1890年（剑桥学派的创始人）马歇尔的《经济学原理》的问世，使数学成为经济学研究不可缺少的描述与分析推理的工具为计量经济学奠定了基础计量经济学从二十世纪三十年代诞生起就显示了极强的生命力。

一方面出于对经济的干预政策的需要，许多国家都广泛采用经济计量理论和方法，进行经济预测，加强市场研究，探讨经济政策的效果。

另一方面随着科学技术的发展与进步，各门科学相互协作、相互渗透，计算机科学、数学、系统论、信息论、控制论等相继进入了经济研究领域。

特别是计算机技术的高速发展为计量经济学广泛应用铺平了道路。

计量经济学的发展过程是计量经济模型的建立、应用和发展的过程。

计量经济学第三讲

三、系数的估计误差与置信区间 （一） OLS 估计的概率分析根据（2-1）式计算的只是回归系数a,b 的点估计值，计量经济研究中经济使用系数（的估计值）来定量分析解释变量对y 的影响程度。

因此，分析过程中需要了解参数估计值与真值之间究竟有多大误差，或者说，两者的接近程度如何，是否能以一定的概率确定参数真值所属的范围。

例如，例2中曾估计出我国城镇居民的边际消费倾向为0.6237，这个估计值有多大误差？边际消费倾向的上下限各为多少（置信区间）？为了说明这些问题，需要先确定OLS 估计的概率分布。

在高斯——马尔可夫定理的证明过程中已经得到：xxS bD b bE /)ˆ()ˆ(2σ== 而且 ∑∑++==)(ˆiiiiibx a k y k bε 假定：iε～),0(2σN由于正态分布的线性组合仍然服从正态分布，而且分布形式由其均值和方差惟一确定，所以：bˆ～)/,(2xxS b N σ 同理可以证得： aˆ～)/,(22∑xxi nS x a N σ（二） 系数的估计误差估计误差即估计值bˆ与真值的偏差b b -ˆ，随着抽样的不同，误差大小是一个随机变量，因此考虑概率意义下的平均误差。

由于，平均误差（平方）=xxS b D b E b E b bE /)ˆ())ˆ(ˆ()ˆ(222σ==-=-上式解释：若不取平方，则0)ˆ()ˆ(=-=-b bE b bE ，第二等式应用的是：)ˆ(bE b =上式的含义：即等于估计量的方差；这一点也容易理解，因为OLS 估计是无偏估计，均值即为参数真值，所以估计量匀值的平均偏差————方差也就反映了估计量与参数真值的平均偏差。

这样，参数估计量的平均误差为：xxS b D b bE /)ˆ()ˆ(22σ==-，其中，涉及到随机误差项i ε的方差 ，这个值通常并不知道，实际计算中一般采用2σ的无偏估计量：∑-=)2/(ˆ22n e iσ来估计2σ，并且用符号)ˆ(bS 表示系数b ˆ的估计误差：xxixxSn e S b S )2(ˆ)ˆ(22-∑==σ同理a 的估计误差为：xxi i）Sn n x e a S 2())(()ˆ(22-∑∑=)ˆ(),ˆ(a S bS 又称为系数的标准误差（或标准差）。

计量经济学全册课件(完整)pptx


预测与置信区间
阐述如何利用一元线性回归模型进行 预测，并给出预测值的置信区间，以 评估预测的不确定性。
2024/1/28
8
多元线性回归模型
模型设定与参数估计
介绍多元线性回归模型的基本形 式，解释多个自变量对因变量的 影响，以及最小二乘法在多元线 性回归中的应用。
模型的统计性质
探讨多元线性回归模型的统计性 质，包括回归系数的解释、拟合 优度的度量、多重共线性的诊断 与处理等。
经典线性回归模型
REPORTING
2024/1/28
7
一元线性回归模型
模型设定与参数估计
介绍一元线性回归模型的基本形式， 解释因变量、自变量和误差项的含义 ，阐述最小二乘法（OLS）进行参数 估计的原理。
模型的统计性质
探讨一元线性回归模型的统计性质， 包括回归系数的解释、拟合优度的度 量（如R方）、回归系数的显著性检 验等。
贝叶斯计量经济学的定义
贝叶斯计量经济学是应用贝叶斯统计推断方法，对经济模 型进行参数估计、假设检验和预测的一门学科。
贝叶斯计量经济学的研究对象
贝叶斯计量经济学主要关注经济模型的参数估计和不确定 性问题，如线性回归模型、时间序列模型、面板数据模型 等。
贝叶斯计量经济学的研究方法
贝叶斯计量经济学的研究方法主要包括先验分布的设定、 后验分布的推导、马尔科夫链蒙特卡罗模拟（MCMC）等 。
介绍如何在EViews中导入数据，进行 数据清洗、转换和预处理等操作。
计量经济学模型估计
介绍如何在EViews中建立计量经济学 模型，进行参数估计、模型检验和预 测等操作。
24
Stata软件介绍及操作指南
Stata软件概述
Stata是一款流行的计量经济学软件，具有强大 的数据处理和统计分析功能。

经典单方程模型


1、序列相关性
• 模型随机项之间不存在相关性，称为：No Autocorrelation。 以截面数据为样本时，如果模型随机项之间存 在相关性，称为：Spatial Autocorrelation。
以时序数据为样本时，如果模型随机项之间存 在相关性，称为：Serial Autocorrelation。
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
3、怀特（White）检验
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i i
建立辅助 回归模型
以二元模型为例
2 2 2 ~ ei 0 1 X1i 2 X 2i 3 X1i 4 X 2i 5 X1i X 2i i
地区城镇居民消费模型—WLS
地区城镇居民消费模型—WLS—Weighted
地区城镇居民消费模型—WLS—Weighted
地区城镇居民消费模型—WLS—HCCC
地区城镇居民消费模型—WLS—HCCC
5、在实际操作中通常采用的经验方法
• 采用截面数据作样本时，不对原模型进行异方 差性检验，而是直接选择加权最小二乘法。
二、异方差性的后果 Consequences of Using OLS in the Presence of Heteroskedasticity
1、参数估计量非有效
• OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。
• 因为在有效性证明中利用了E(’)=2I
• 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有 一致性，但仍然不具有渐近有效性。
2、变量的显著性检验失去意义
• 变量的显著性检验中，构造了t统计量
• 其他检验也是如此。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具 有良好的统计性质；

第三讲、序列相关性的检验


1992
1993 1994
7539
8395 9281
1504.637
1605.813 1644.222
8711.156
10326.95 13760.55
9748.009
13143.88 15471.3
二、序列相关性的检验
• 1、散点图法： • 2、D—W检验法： • 3、B.G检验：
1、散点图法：
• 原理：若数据不存在序列相关性，则et和et-1成随
机关系，两者的差较为适中，此时DW值则会取一个 适中值。而若存在序列相关性的话，则DW的分子会 过大或过小，进而影响DW的值。具体的数学证明见 李子奈书P62。
(e
DW
t2
n
t n
et 1 )
2 t
2
e
t 1
Durbin-Watson检验用于随机误差项之间是否存在一 阶自相关的情况。 DW∈(0，4) DW值在每次的ols估计中都会由EViews系统自动算 出，因此这种方法比较简便易行。
• 第二步、在命令栏键入Scat resid resid(-1) 得到
残差的散点图(见下页图)：
判断标准：
1、若散点在四个 象限呈无规律的散 布状态，则模型不 存在自相关。
2、若散点多散布在一三象限，则模型存在着严重的正自相关。
3、若散点多散布在二四象限，则模型存在着严重的负自相关。
2、D—W检验法：
1、广义最小二乘法：
由于WLS步骤和异方差基本相同，另外经常 出现进行一次或多次广义最小二乘法后， 仍不能良好地消除序列相关性的情况。因 此我们不再讲述WLS的具体操作步骤。
2、差分法
• 原理：采用普通最小二乘法估计原模型，得到随
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在满足经典线性回归模型的基本假定之下,模型 在满足经典线性回归模型的基本假定之下, 参数的最大似然估计量 普通最小二乘估计量是 最大似然估计量与 参数的最大似然估计量与普通最小二乘估计量是 相同的. 相同的. 但是,扰动项的方差估计是不同的. 但是,扰动项的方差估计是不同的.
ML : σ
2
∑e =
一元线性回归模型的参数估计( 一元线性回归模型的参数估计(续)
普通最小二乘估计的残差及其性质 普通最小二乘估计残差: 普通最小二乘估计残差: ei = Yi β 0 β 1 X i
^ ^
普通最小二乘估计残差的性质: 普通最小二乘估计残差的性质:
∑e = 0 ∑e X = 0
i i i
∑(Yi β0 β1 X i ) = 0 ∑(Yi β0 β1 X i ) X i = 0
第二讲回顾: 第二讲回顾:模型及估计 1,相关性分析与回归分析 相关关系, 相关关系,因果关系
2,基本概念: 基本概念:
一元线性总体回归模型: 一元线性总体回归模型: Y = β 0 + β1 X +
一元线性总体回归函数: 一元线性总体回归函数: f ( X ) = β 0 + β1 X 一元线性样本回归函数: 一元线性样本回归函数:
Y1 , Y2 ,..., Yn
1 f (Yi ) = e σ 2π
1 2σ
1 2σ
Yi ~ N ( β 0 + β 1 X i , σ 2 )
( Yi β 0 β 1 X i ) 2 2
L( β 0 , β 1 , σ 2 ) = P (Y1 , Y 2 , , Y n )
=
1 ( 2π ) σ n
通常用于衡量估计量好坏的标准
无偏性, 无偏性,有效性 渐近无偏性, 渐近无偏性,渐近 有效性,一致性. 有效性,一致性. 样本容量一定 时的性质. 时的性质. 样本容量变大 时的性质. 时的性质.
无偏性: 无偏性:即 E β 0 = β 0 , E β 1 = β 1
证:
^
^
β1 = β1 +
一元线性回归模型经典假定下的推论: 一元线性回归模型经典假定下的推论: 在线性回归模型的经典假定下, 1,在线性回归模型的经典假定下,随机扰 动项独立同服从正态分布, 动项独立同服从正态分布,即
i .i .d
i ~ N (0, σ )
2
2,
Yi ~ N ( β 0 + β 1 X i , σ 2 )
1 2 2 1 2 1 X k + X 2 xi 2 2 = ∑ 2 Xk i + X k i σ = ∑ i ∑ x2 ∑ n n n n i
2
σ 2
1 X2 = + n ∑ x2 i
2 σ =
∑ x + nX n∑ x
2 i 2 i
2
σ2
3,解释变量与随机扰动项不相关,即 ,解释变量与随机扰动项不相关,
ρ X , = 0, i = 1,2,..., n
i i
4,正态性假设: ,正态性假设:
当解释变量一定的条件下,随机扰 当解释变量一定的条件下, 动项服从正态分布即: 动项服从正态分布即:
i | X i ~ N (0, σ )
2
以上假设也称为线性回归模型的经典假 设或高斯( 设或高斯(Gauss)假设,满足该假设的 )假设, 线性回归模型, 线性回归模型,也称为经典线性回归模 型(Classical Linear Regression Model, CLRM). ).
^
一元线性回归模型参数的区间估计:置信区间. 一元线性回归模型参数的区间估计:置信区间.
的区间估计所需要的统计量: 参数β0的区间估计所需要的统计量:
T0 =
β0 β0
S^
β0
^
~ t ( n 2)
p{| T0 |< t α } = 1 α
1,解释变量确定 2,随机扰动项: 当解释变量一定时, 随机扰动项: 当解释变量一定时, 期望为0 且所有随机扰动项同方差, 期望为0,且所有随机扰动项同方差, 序列不相关. 序列不相关.
Var ( i X i ) = σ , i = 1, 2, , n
2
Cov(i , j Xi , X j ) = 0, i, j = 1,2,, n, i ≠ j
Y1 , Y2 ,..., Yn
相互独立. 相互独立.
3:随机扰动项方差的估计 :
E ( ∑ ei ) = ( n 2)σ 2 可以证明: 可以证明:
2
1 2 σ = ∑ ei n2
2
^
三,一元线性回归模型参数的最大似 然法(ML) 然法(ML)
1,最大似然法
基本原理:似然原理 基本原理: 一元线性回归模型 一元线性回归模型ML使用的条件:已知随机扰动 使用的条件: 使用的条件 项的分布. 项的分布.
n 2
∑ ( Yi β 0 β 1 X i ) 2 2
e
n 2
L = ln( L) = ln(2πσ )
* 2
1 2σ 2
∑(Yi β 0 β1 X i ) 2
∑(Yi β0 β1Xi )2 = 0 β 0 ∑(Yi β0 β1Xi )2 = 0 β1 * L =0 2 σ
?
4,最小二乘估计量的简化: ,最小二乘估计量的简化:
∑X i2 ∑Yi ∑X i ∑Yi X i β0 = n∑X i2 (∑X i ) 2 β1 = n∑Yi X i ∑Yi ∑X i n∑X i2 (∑X i ) 2
?
∑xi yi β1 = ∑xi2 β = Y β X 1 0
即:正规方程组揭示的是残差的性质. 正规方程组揭示的是残差的性质.
2,普通最小二乘估计量与参数的关系
β1 = β1 + ∑ k i i
β 0 = β 0 + ∑ wi i
^
二,经典线性回归模型的基本假设 The Basic Assumptions of Classical Linear Regression Model(CLRM)
Cov( X , ) 0 = β1 + = β1 Q Q
其他性质(课后习题) 其他性质(课后习题)
Y =Y
Hale Waihona Puke ^∑e Yi
^
i
=0
五,参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计
1,普通最小二乘估计的分布
β 1 ~ N ( β1 , σ
^
2
∑k
2
i
)
β 0 ~ N ( β 0 , σ 2 ∑ w2 )
∑X = n∑ x
2 i i
σ2 2
证明最小方差性
β1* 是其他估计方法得到的关于β1 的线性无偏估计量: 假设
β 1* = ∑ c i Yi
由于此估计量为无偏估计量,因此 由于此估计量为无偏估计量,
E ( β 1* ) = β 1
^
∑ ci = 0 ∑ ci X i = 1
下面证明: 下面证明:
var( β 1* ) = σ 2 ∑ [(ci k i ) + k i ]2
^
= σ [ ∑ ( c i k i ) + ∑ k i + 2∑ ( c i k i ) k i ]
2 2 2
= σ 2 ( ∑ ( ci k i ) 2 + ∑ k i2 )
∑ ( c i k i )k i = ∑ c i
i
^
(n 2)
σ σ2
^2
~ χ ( n 2)
2
1 2 σ = ∑ ei n2
2
^
参数估计量的标准差
S ^ = σ 2 ∑ k i2
β1
S ^ = σ 2 ∑ w i2
β0
参数估计量的样本标准差 参数估计量的样本标准差 样本
S^ = σ
β1
^ 2
∑k
2 i
S^ = σ
β0
^ 2
∑w
2 i
六,一元线性回归模型参数的区间估计:置信区间. 一元线性回归模型参数的区间估计:置信区间.
(1)先求 β 0 与 β 1 的方差
var(β 1 ) = var(∑ k i Yi ) = ∑ k i2 var(β 0 + β 1 X i + i ) = ∑ k i2 var( i )
xi = ∑ ∑ x2 i 2 σ2 σ = xi2 ∑
2
var(β 0 ) = var(∑ wi Yi ) = ∑ wi2 var(β 0 + β 1 X i + i ) = ∑ (1 / n Xk i ) 2 σ 2
n
2 i
OLS : σ
2
∑e =
2 i
n2
注意: 注意:若随机扰动项不服从正态 分布, 分布,则最小二乘估计与极大似 然估计不一定相同. 然估计不一定相同.
四,一元线性回归模型普通最小二乘 估计量的性质
高斯—马尔可夫定理 高斯 马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在经典线性回归的假定下, 在经典线性回归的假定下,最小二乘 估计量是具有最小方差的线性无偏 估计量. 估计量.
参数β 的区间估计所需要的统计量: 参数β1的区间估计所需要的统计量:
T1 =
β1 β1
S^
β1
^
~ t ( n 2)
p{| T |< t α } = 1 α
2
设置信水平 1 α
^
得置信区间: 得置信区间: ( β 1 t α × S β , β 1 + t α × S β )
^ ^ 2 1 2 1
ui为随机扰动项, i = 1,2,3,...n 为随机扰动项,