第五章 线性微分方程组
研究对象
一阶线性微分方程组
??????
?++++='++++='++++=')()()()()()()()()()()()(22112
22221212112121111
t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x n n nn n n n
n n n n 1 基本概念
1）一阶微分方程组的标准型
含有n 个未知函数n x x x ,,,21 及其一阶导数的微分方程组
??????
?='='='),,,,(),,,,(),,,,(2121222111
n n n
n
n x x x t f x x x x t f x x x x t f x （5.1） 称为一阶微分方程组的标准型，其中),,2,1)(,,,,(21n i x x x t f n i =是定义在1+n 维空间
),,,,(21n x x x t 的某区域D 内已知的连续函数，t 是自变量。
2）初值问题
求满足方程组（5.1）及初值条件n n t x t x t x ηηη===)(,,)(,)(0202101 的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。表示如下
??????
?='='='),,,,(),,,,(),,,,(2121222111
n n n
n
n x x x t f x x x x t f x x x x t f x 及n n t x t x t x ηηη===)(,,)(,)(0202101 。
3）通解
方程组（5.1）含有n 个独立的任意常数n C C C ,,,21 的解
??????
?===)
,,,,(),,,,(),,,,(2121222111n n n n
n C C C t x C C C t x C C C t x ???
称为它的通解。
4) 高阶线性方程与一阶方程组等价
n 阶线性微分方程的初值问题
?????=='==+'+++---n n n n n n t x
t x t x t f x t a x t a x
t a x ηηη)(,,)(,)()()()()(0)
1(20101)1(1)( 其中)(),,,2,1)((t f n i t a i =是区间],[b a 上确定的函数，
n b a t ηηη,,,],,[210 ∈是确定的常数，它的解为)(t φx =。只要令)1(321,,,,-=''='==n n x x x x x x x x ，它可以化为下列一阶线性微分方程组的初值问题
???????
?????????+???
??????????
???---='-)(000)()()(1000
01000010
11t f t a t a t a n n x x ，ηx =????????????=n t ηηη 210)(，
其中??
???
?? ??'''='??????? ??=n n x x x x x x
2
1
21,x x ，并且它的解为??????
? ??'=-)()()()(1t φt φt φt )(n φ。 同时，给定其中一个初值问题的解，就可构造另一个初值问题的解，在这个意义下，称上面两个初值问题是等价的。
5）一阶线性微分方程组
若（5.1）中函数),,2,1)(,,,,(21n i x x x t f n i =关于n x x x ,,,21 是线性的，即
??????
?++++='++++='++++=')()()()()()()()()()()()(22112
22221212112121111
t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x n n nn n n n
n n n n （5.2） 则称（5.2）为一阶线性微分方程组，简称为线性方程组，其中n j i t f t a i ij ,,2,1,),(),( =在区间],[b a 上连续。
6) 线性方程组的向量表示 方程组（5.2）的向量形式为
)()(t t dt
d f x A x
+= （5.3）
其中??
??
?
?
?
??=)()
()()()
()()()()()(212222111211t a t a t a t a t a t a t a t a t a t nn n n n n A ， ??????? ??=)()()()(21t x t x t x t n x ，????
??
?
??=)()()()(21t f t f t f t n
f ，??????????
?
??=dt
dx dt dx dt dx dt d n 21x 。 在方程组（5.3）中，若]),[(,)(b a t t ∈≡0f ，则有
x A x
)(t dt
d = （5.4） 称（5.4）为线性齐次方程组，否则称（5.3）为线性非齐次方程组，
7) 向量函数组的线性相关和线性无关
定义在区间],[b a 上的n 维向量函数)(,),(),(21t t t m x x x ，如果存在m 个不全为零的常数m C C C ,,,21 ，使得0≡+++)()()(2211t C t C t C m m x x x 在区间],[b a 上成立，则称这个向量函数组在区间],[b a 上线性相关，否则称)(,),(),(21t t t m x x x 线性无关。
8) 向量函数组的朗斯基行列式
设)(,),(),(21t t t n x x x 是n 个向量函数，以)(t i x 作为第i 列),,2,1(n i =所构成的矩阵记为))(,),(),(()(21t t t t n x x x X =，将其行列式)(det t X 称为向量函数组
)(,),(),(21t t t n x x x 的朗斯基行列式，记为
)
()()()
()()()()()
()(det )(212222111211t x t x t x t x t x t x t x t x t x t t W nn n n n n
=
=X 。
9）基本解组和基本解矩阵
若)(,),(),(21t t t n x x x 是线性齐次方程组（5.4）的n 个线性无关解，那么称
)(,),(),(21t t t n x x x 是它的一个基本解组，并称矩阵))(,),(),((21t t t n x x x 为方程组
（5.4）的基本解矩阵，简称基本解矩阵。
2 基本定理及性质
定理5.1 如果矩阵函数)(t A 及向量函数)(t f 在区间],[b a 上连续，则对],[b a 上任一点0t 以及任意给定的0x ，初值问题
],[,)()
()(00
0b a t t t t dt
d ∈?????=+= x x f x A x
在区间],[b a 内存在唯一的解。
定理5.2（线性齐次方程组的叠加原理）
设)(,),(),(21t t t m x x x 是线性齐次方程组（5.4）的m 个解，则
)()()()(2211t C t C t C t m m x x x x +++=
也是（5.4）的解，其中m C C C ,,,21 是任意常数，即线性齐次方程组的任意有限个解的任意线性组合仍为该方程组的解。
定理 5.3 如果向量函数组)(,),(),(21t t t n x x x 在区间],[b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(t W 在区间],[b a 上恒等于零。
推论5.1 如果向量函数组)(,),(),(21t t t n x x x 的朗斯基行列式)(t W 在区间],[b a 上的某一点0t 不等于零，即0)(0≠t W ，则该向量函数组在区间],[b a 上线性无关。
定理 5.4 如果方程组（5.4）的n 个解在其定义区间],[b a 上线性无关，则它们的朗斯基行列式)(t W 在区间],[b a 上处处不为零。
推论 5.2 方程组（5.4）的n 个解在其定义区间],[b a 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式)(t W 在区间],[b a 上处处不为零。
定理5.5 线性齐次方程组（5.4）存在并且至多存在n 个线性无关的解。
定理5.6（刘维尔公式） 若)(,),(),(21t t t n x x x 是线性齐次方程组（5.4）的n 个解，则这n 个解的伏朗斯基行列式与方程组（5.4）的系数有如下关系式
?+++=t
t nn dt
t a t a t a e
t W t W 02211)]()()([0)()( 。
定理5.7 （线性齐次方程组通解结构）如果向量函数组)(,),(),(21t t t n x x x 是线性齐
次方程组（5.4）的n 个线性无关解，则方程组（5.4）的任一解)(t x 均可表示为
)()()()(2211t C t C t C t n n x x x x +++= ，
这里n C C C ,,,21 是n 个相应的常数。
结论1（线性齐次方程组通解结构的矩阵表示）线性齐次方程组（5.4）的通解为
C Φx )()(t t =，其中)(t Φ为（5.4）的基本解矩阵，C 为任意常向量。
性质5.1 如果)(*t x 是线性非齐次方程组（5.3）的解，而)(0t x 是其对应线性齐次 方程组（5.4）的解，那么)(*)(0t t x x +是线性非齐次方程组（5.3）的解。
性质5.2 线性非齐次方程组（5.3）的任意两个解的差是其对应线性齐次方程组（5.4） 的解。
定理5.8（非齐次方程组通解结构）线性非齐次方程组（5.3）的通解等于其对应的齐 次线性方程组（5.4）的通解与其自身的一个特解之和，即若)(*t x 是线性非齐次方程组（5.3）的一个特解，)(,),(),(21t t t n x x x 是线性齐次方程组（5.4）的n 个线性无关的解，则
)()()()()(2211t t C t C t C t n n *++++=x x x x x 就是（5.3）的通解。
结论2（线性非齐次方程组通解结构的矩阵表示）线性非齐次方程组（5.3）的通解为
)()()(t t t *+=x C Φx ，其中)(t Φ为（5.4）的基本解矩阵，C 为任意常向量，)(*t x 是非
齐次线性方程组（5.3）的一个特解。
结论3 （常数变易公式）如果)(t Φ是线性齐次方程组（5.4）的基本解矩阵，则线性 非齐次方程组（5.3）满足初始条件ηφ=)(0t 的特解)(*t x 由下面公式给出
?--+=t
t ds s s t t t t 0
)()()()()()(*101f ΦΦηΦΦx
其中)(1
t -Φ表示矩阵)(t Φ的逆矩阵。
注意：利用常数变易法可求线性非齐次方程组（5.3）的一个特解。 定理5.9 给定常系数线性方程组
Ax x
=dt
d ，那么 a) 如果A 的特征值的实部都是负的，则方程组的任一解当+∞→t 时都趋于零。
b) 如果A 的特征值的实部都是非正的，且实部为零的特征值都是简单特征值，则方程组的任一解当+∞→t 时都保持有界。
c) 如果A 的特征值至少有一个具有正实部，则方程组至少有一解当+∞→t 时趋于无穷。
3 基本求解方法 1）常数变易法
第一步：确定线性非齐次微分方程组（5.3）对应的线性齐次方程组（5.4）的通解。 若方程组（5.4）的基本解矩阵为)(t Φ，则（5.4）的通解为C Φx )()(t t =。 第二步：设（5.3）有形如)()()(t t t C Φx =的解，)(t C 为待定的向量函数。 第三步：确定向量函数)(t C 。
将)()()(t t t C Φx =代入方程（5.3），有
)()()()()()()()(t t t t t t t t f C ΦA C ΦC Φ+='+'，
因)(t Φ为方程组（5.4）基本解矩阵，则有)()()(t t t ΦA Φ='，所以上式为
)()()(t t t f C Φ='，
即
)()()(1t t t f ΦC -='，
积分得
ds s s t t
t )()()(1
f Φ
C -?=
其中取0=)0(C ，
所以得到方程组（5.3）满足初始条件0=)(0t φ的解为
?-=t
t ds s s t t 0
)()()()(*1f ΦΦx 。
第四步：求线性非齐次方程组（5.3）的通解。 由结论2，方程组（5.3）的通解可表示为
+=C Φx )()(t t ?-t
t ds s s t 0
)()()(1f ΦΦ。
第五步：求线性非齐次方程组（5.3）满足初始条件ηφ=)(0t 的解。
将初始条件ηφ=)(0t 代入通解表达式中得，ηΦC )(01
t -=，故方程组（5.3）满足初
始条件ηφ=)(0t 的解为
?--+=t
t ds s s t t t t 0
)()()()()()(101f ΦΦηΦΦφ。
2）常系数线性齐次方程组的解法
若（5.4）中系数矩阵为常矩阵，则称其为常系数线性齐次方程组，记为
Ax x
=dt
d （5.5） 由齐次方程组通解结构定理5.7和结论1，求解常系数线性齐次方程组的关键在于求它的基本解矩阵。
定理 5.10 矩阵函数t
e
t A X =)(是常系数线性方程组（5.5）的基本解矩阵，且
E X =)0(。
基本解矩阵At
X e
t =)()exp(t A =的特点：
a) 基本解矩阵)exp()(t t A X =是标准基本解矩阵，即满足E X =)0(。
b) 若系数矩阵A 为实矩阵，则)exp(t A 是实基本解矩阵，且任一基本解矩阵)(t Φ与
)exp(t A 有关系)0()()ex p(1-=ΦΦA t t 成立。
定理5.10给出了常系数线性齐次方程组（5.5）的基本解矩阵的构造形式，具体解题时要计算矩阵级数t
e
t A X =)(k
k k k t A ∑∞
==0!
相当困难。下面给出计算基本解矩阵的常用方法。 基本解矩阵的计算方法 方法1空间分解法
定理5.11 如果矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量),,2,1(,n i i = v ，对应特征值
),,2,1(n i i =λ（不必各不相同），则矩阵+∞<<-∞=t e e e t n t λt λt λn
),,,,()(212
1
v v v Φ 是
方程组（5.5）的一个基本解矩阵。
特别地，有下面重要结论
结论4 若矩阵A 有n 个互异的特征值),,2,1(n i i =λ，
i v 是A 对应于i λ的特征向量，则),,2,1(n i i =v 必线性无关，且矩阵),,,()(2121n t
t
t
n e e e t v v v Φλλλ =是方程组（5.5）的
基本解矩阵。
更一般地，基于代数学中的空间分解定理，给出基本解矩阵的计算方法。
设),,2,1(k j j =λ是A 的相异特征值，它们的重数分别为k n n n ,,,21 ，且
n n n n k =+++ 21，对于每一个j n 重特征值j λ，线性代数方程组
0=-u E λA j n
j )(
具有j n 个线性无关的解)
()
2()
1(,,,j n j
j
j u u u ，（称为矩阵A 对应于j λ的广义特征向量），因
而方程组0=-u E λA j n
j )(的解的全体构成一个j n 维子空间),,2,1(k j j =U ，并且n 维线性空间U 可以表示为这些子空间),,2,1(k j j =U 的直和，即对任一向量U v ∈，存在唯一的),,2,1(k j =∈j j U u ，使得k u u u v ++= ,21。
定理5.12 方程组（5.5）满足初始条件ηφ=)0(的解可表示为
∑∑
=-=-=k
j n i j i j i
t
j j i t
e t 1
10])(!
[)(v E λA φλ 其中),,2,1(k j j =λ是A 的相异特征值，它们的重数分别为k n n n ,,,21 ，
n n n n k =+++ 21，k v v v η+++= 21，),,2,1(,k j j =∈U v j ，而j U 是n 维线
性空间U 的直和分解，即k U U U U ⊕⊕⊕= 21。
利用定理5.12求基本解矩阵的步骤： 步骤1 求特征根
解代数方程组0=-E A λ。
假如求得A 的相异特征值为),,2,1(k j j =λ，它们的重数分别为k n n n ,,,21 ，
n n n n k =+++ 21。
步骤2 对n 维线性空间U 进行直和分解 分别求解方程组
0=-u E λA j n
j )(，k j ,,2,1 =
得到j λ对应的j n 个线性无关的向量
,,,,)
()2()1(j n j j j u u u k j ,,2,1 =，
由)
()2()1(,,,j n j
j j u u u 所张成的线性子空间，记为j U ，则有 k U U U U ⊕⊕⊕= 21。
步骤3 ηφ=)0( 在n 维线性空间k U U U U ⊕⊕⊕= 21 中的表示 由于,,,,)
()2()1(j n j
j j u u u k j ,,2,1 =线性无关，方程组
ηu u u
=+++∑=)
(n j n
j )
(j
j k
j )(j j j j ααα 221
11
有唯一的解j n
j
j j α,α,α~,~~21 ，k j ,,2,1 =。 这样就得到了j
)(n j n j )(j j )(j j j j αααv u u u =+++~~~2211 j U ∈，k j ,,2,1 =，∑==k
j j 1
v η。 步骤4 计算标准基本解矩阵)exp(t A
令 i e η=，),,2,1(010n i i i =←?????
??
?
??=行第e ，利用公式
∑∑
=-=-=k
j n i j i j i
t
j j i t
e t 1
10])(!
[)(v E λA φλ 分别求得)(t i φ),,2,1(n i =，则方程组（5.5）的基本解矩阵为
)),(,),(),(()ex p(21t t t t n φφφA ==
特别当矩阵A 只有一个特征值λ时
∑-=-=1
0)(!
)ex p(n i i i
t λλi t e t E A A 。
方法2 待定系数法
定理5.13 如果A 有相异特征值为),,2,1(k j λj =，它们的重数分别为k n n n ,,,21 ，
n n n n k =+++ 21，则方程组（5.5）存在j n 个形如
t
λni i i i j e t p t p t p t ??????
? ??=)()()()(21 x ，（j n i ,,2,1 =）
的线性无关解，其中)(t p ri （j n i n r ,,2,1,,,2,1 ==）为t 的次数不高于1-j n 的多项式，取遍所有的),,2,1(k j λj =就得到方程组（5.5）的一个基本解组。
具体确定这个基本解组的方法是 步骤1 求特征根
解代数方程组0=-E A λ。
假如求得A 的相异特征值为),,2,1(k j j =λ，它们的重数分别为k n n n ,,,21 ，
n n n n k =+++ 21。
步骤2 根据定理5.13，设出方程组（5.5）的形式解 对于每个j λ，方程组（5.5）有下列形式的解，
t λt
λn nn n n t
λn n n j j j j j j j e t e t p t p p e t p t p p t x t x t )()()()(1211112111P (x =?????
? ??++++++=????? ??=--))(
),,2,1(k j = 步骤3 确定待定系数 将t
λj e
t t )()(P x =代入方程组（5.5），有
t
λt
λj t
λj j j e t e t λe t )()()(AP P P ≡+'
即
)()()(t t λj P P E A '≡-
比较t 的同次幂系数，可得到关于待定系数)(t p ri （j n i n r ,,2,1,,,2,1 ==）的
j n n ?个等式。但注意到上式右端次数比左端要低一次，且j λ是A 的j n 重特征根，我们并
不能得到j n n ?个无关的等式。由代数知识可证所有j n n ?个系数可以通过其中j n 个来表示。
设为,,,,21j n C C C 依次令
,
1,,0,0,0,,1,0,
0,,0,1212121=========j j j n n n C C C C C C C C C
就可得到方程组（5.5）的j n 个线性无关的解。
取遍所有的),,2,1(k j λj =就得到方程组（5.5）的n n n n k =+++ 21个线性无关的解，构成方程组（5.5）一个基本解组。
方法3 约当(Jordan)标准型法 结论5 方程组Ax x ='的基本解矩阵为
12
)exp(-??
????
?
?
?=T T A J J J 1m t t t e e e t
其中，????
??
?
?
?=i i
i i λλλJ 11 是i n 阶的若当块，m i ,,2,1 =，n n n n m =+++ 21，而m 为矩阵E A λ-的初等因子的个数，i λ，m i ,,2,1 =为矩阵A 的特征根，T 为n 阶
非奇异矩阵，使得J AT T =-1
，??????
?
?
?=m J J J J
2
1
。 注：矩阵中空白的地方为零，T 称为过渡矩阵。 方法4递推法
结论6 方程组Ax x ='的基本解矩阵为 ∑-=+=
1
1
)()ex p(n j j j t r
t P A
其中E P =0，∏==-=
j
k k
j n j λ1
,,2,1),( E A P ，)(,),(),(2
1
t r t r t r n
是下列初值问题
?
??
??==+='='-0
)0(,1)0(11111j j
j j j r r r λr r r λr ，),,3,2(n j = 的解，),,2,1(n i i =λ是矩阵A 特征值（不必相异）。
方法5 拉普拉斯变换法
记向量函数????
??
?
??=)()()()(21t x t x t x t n
x 的拉普拉斯变换为 ?
???
??
? ??==))(())(())(()()]([21t x L t x L t x L s t L n
X x ， 对方程（5.5）两端进行拉普拉斯变换，得)(s X 的代数方程组
)()0()(s s s AX x X =-，
求解得)(s X ，再求逆变换)()]([1
t s L x X =-，此即为方程组（5.5）满足初始条件0)0(x x =的解。
我们依次取初始条件),,2,1(,)0()
(0n i i i ==x x 为
==)
(0
)0(i i x x ),,2,1(010n i i =←?????
??
? ??行第 就得到方程组（5.5）n 个线性无关的解，从而构成它的一个基本解组，也是标准基本解矩阵。
方法6 消元法
借助于方程组和高阶方程的关系，将原方程组的求解问题转化为关于某一个变量的高阶 方程的求解问题来计算出基本解矩阵。
注意：以上求基本解矩阵的6种方法各具特色，一般情况下，如果特征根是互不相同的 单根时，可应用结论4来计算；如果有重特征根，且系数矩阵的阶数较低时可选择空间分解法（定理5.12）、待定系数法（定理5.13）、约当标准型法（结论5）、递推法（结论6）之
一即可，但当系数矩阵的阶数较高时，建议采用空间分解法或递推法比较方便；至于拉普拉斯变换法和消元法一般针对的是比较特殊的方程，特别是对线性非齐次方程也适用。
3）常系数线性非齐次微分方程组的解法 常系数线性非齐次微分方程组可表示为
)(t dt
d f Ax x
+= （5.6） 其中A 为常矩阵，)(t f 为连续的向量函数。
第一步：常系数线性齐次微分方程组的通解
设常系数线性齐次微分方程组的标准基本解矩阵为)exp(t A ，则其通解为
C A x )exp()(t t =。
第二步：常系数线性非齐次微分方程组的特解
常数变易法（方法同前）只需取方程组（5.5）的基本解矩阵为)exp()(t t A Φ=即可， 得到满足初始条件0=)(0t φ的特解为
=
*)(t x ?-t
t ds s s t 0
)(])exp[(f A 。
注：也可用拉普拉斯变换法求方程组（5.6）的特解。 第三步：常系数线性非齐次微分方程组的通解。
+
=C A x )exp()(t t ?-t
t ds s s t 0
)(])exp[(f A 。
第四步：常系数线性非齐次微分方程组的满足初始条件ηφ=)(0t 的解。
+
-=ηA x ])ex p[()(0t t t ?-t
t ds s s t 0
)(])exp[(f A 。
微分方程习题及答案
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1) (22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3）23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-='y x y
常微分方程复习题 一、填空题 1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：1 2．形如_ 的方程称为齐次方程. 答： )(x y g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 答：cos 2,sin 2x x . 1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 答：x x x e ,e 3. 若()t ?和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵，则()t ?和()t ψ具有的关系是 。 4.一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是 。 5. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。有只含y 的积分因子的充要条件是 。 6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为 。 7. 称为n 阶齐线性微分方程。 8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m P x 是m 次多项式)中，则方程有形如 的特解。 9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如 的特解。
10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。 9. 微分方程4 230xy y y ''''++=的阶数为 。 10. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的 通解可表为 . 11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解, ()(0,1,2, ,)i x t i n =是其对应的齐次线性 方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 . 12. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =是齐次线性方程()(1)11()()()0 n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的n 个解，)(t w 为其朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程 。 答：1()0w a x w '+= 13. 函数 是微分方程02=-'-''y y y 的通解. 14. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1λ=-(二重根)，那么该方程有基本解组 ． 16. ()Y A x Y '=一定存在一个基解矩阵()x Φ，如果()x ψ是()Y A x Y '=的任一解，那么()x ψ= 。 17.若)(t Φ是()X A t X '=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= 是 ()()X A t X F t '=+的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件η?=)(0t 的解。 18. 设12(),()X t X t 分别是方程组1()()X A t X F t '=+，2()()X A t X F t '=+的解，则满足方程12()()()X A t X F t F t '=++的一个解可以为 。 19. 设* X 为非齐次线性方程组()()X A t X F t '=+的一个特解, )(t Φ是其对应的齐次线性方程组()X A t X '=的基解矩阵, 则非齐线性方程组()()X A t X F t '=+的所有解可表为 . 20.方程组()X A t X '=的n 个解12(),(), ,()n X t X t X t 线性无关的充要条件
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。 令n 维向量函数 Y )(x =? ??? ?? ??????)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=????????????),,,,( ),,,,(),,,,(21212 211n n n n y y y x f y y y x f y y y x f
第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程 式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx (3.20)
其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1 T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2, ,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组 (3.20)化为 1 dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型 1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0 n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ ---= =- 的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.
一阶微分方程典型例题 例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x . 解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N ?，且有 )(x N kx dt dx ?=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =?)(，积分之，kNt kNt ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0 0x N x c ?= 例2 求2 sin 2sin y x y x y ?=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y ?=′.当02 sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22 sin ?=, 积分之，得通积分 2 sin 44tan ln x c y ?=. 对应于02 sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin ≠y ，故所求通解中可能会失去使 02 sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y 的特解.
解法1 把原方程改写为x e y x y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x ????∫∫??∫∫??=+=?+=?+?????????? ∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x e x x y x 11+?=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx d =)(，积分后，得c e x xy x +?=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x e x x y x 11+?=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=?+?dx x xy dy x 满足初始条件 10 ==x y 之特解. 解 将原方程改写为1 cos 1222?=?+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ????????+∫?∫=∫??? c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2?+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =?，故特解为2sin 11 x y x ?=?. 例5 求方程 4y x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程 31y x y dx dy =?. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得 ?? ????+=????????+∫∫=∫?c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n ==L det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-L L M M M L
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλL 这时 12100 n T AT λλλ-??????=?????? 方程组(3.20)变为 11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ??????????????????????=???????????????? ?????? M M (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=????????M 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ????????????????==???????????????? L M M 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ???? ??==?????? M (1,2,,)i n =L
第五章 线性微分方程组 [教学目标] 1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构， 2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法， 4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [考核目标] 1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。 §5.1 存在唯一性定理 5.1.1记号和定义 考察形如 1 11112211221122222 1122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++?? ??'=++++? （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n = 和()(1,2,,)i f t i n = 在区间a t b ≤≤上 上是连续的。方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及1 2,,,n x x x ''' 是线性的. 引进下面的记号： 1112121 22 212()() ()()() ()()()() ()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ??????=?? ? ? ?? （5.2） 这里()A t 是n n ?矩阵，它的元素是2 n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n = . 12()()()()n f t f t f t f t ??????=?????? 12n x x x x ??????=?????? 1 2n x x x x '????'??'=???? '?? （5.3）
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x
3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念与 一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时） 一、 目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky 行列式等概念. 二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky 行列式. 三、难点：基本解矩阵, Wronsky 行列式. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1. 一阶线性微分方程组的一般概念 如果在一阶微分方程组(3.1)中, 函数12(,,,,)(1,2,,)i n f x y y y i n =, 关于12,,,n y y y 是线性的, 即(3.1)可以写成 1111122112211222221122()()()()()()()()()()()() n n n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx ?=++ ++???=++++?????=++++? ?
(3.6) 则称(3.6)为一阶线性微分方程组. 我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ij a x i j n = 及()(1,2,,)i f x i n = 在某个区间I R ? 上连续. 为了方便, 可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记 1112121 22212()()()()()()()()()()n n n n nn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ??????=?????? 及 12()()()()n f x f x F x f x ???? ??=?????? 根据第13讲的记号, (3.6)就可以写成向量形式 ()()dY A x Y F x dx =+ (3.7) 如果在I 上, ()0F x ≡,方程组(3.7)变成 ()dY A x Y dx = (3.8)
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 '()y p x y =-
而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -??? ?=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1） 的解等于一阶线性齐次常微分方程（A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .
2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5．'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ?? =+ ????，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =?．
高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.